APOSTILA DE ESTATÍSTICA 3

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ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL JOSÉ FEIJÓ 
APOSTILA DE 
ESTATÍSTICA II 
Curso Técnico em Contabilidade 
 
Profº Sandro Viégas 
26/07/2013 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
 
1. Revisão........................................................................................................................3 
1.1. Arredondamento de dados...................................................................................3 
1.2. Principais conceitos da Estatística Descritiva..............................................3 
1.3. Distribuição de Frequência (D.F.)......................................................................4 
 
2. Medidas de Tendência Central.............................................................................5 
2.1. Média Aritmética para dados não grupados...................................................5 
2.2. Média Aritmética para dados grupados............................................................5 
2.3. Desvios em relação à média.....................................................................................6 
2.4. Propriedade da Média..............................................................................................7 
2.5. Média Ponderada.......................................................................................................7 
2.6. Moda................................................................................................................................8 
2.7. Mediana .......................................................................................................................11 
 
3. Medidas de Assimetria.........................................................................................14 
 
4. Medidas de Dispersão ou Variabilidade.........................................................15 
4.1. Amplitude Total........................................................................................................16 
4.2. Variância......................................................................................................................17 
4.3. Desvio Padrão............................................................................................................18 
4.4. Coeficiente de Variação.........................................................................................19 
 
5. Análise Estatística dos resultados....................................................................20 
 
 
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1. REVISÃO 
1.1. Arredondamento de dados 
De acordo com a resolução 886/66 da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da 
seguinte maneira: 
 
 Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o 
último algarismo a permanecer. 
 
Exemplo: 53,224 passa a 53,22 
 
 Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma 
unidade o algarismo a permanecer. 
 
Exemplos: 
42,878 passa a 42,88 
25,008 passa a 25,01 
53,999 passa a 54,00 
 
 Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem os zeros, o último alagrismo a 
ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. 
 
Exemplos: 
24,775 passa a 24,78 
24,565 passa a 24,56 
24,465 passa a 24,46 
 
1.2. Principais conceitos da Estatística Descritiva 
1.2.1. Definições 
1) O que é População e o que é Amostra? 
 
População  é o todo. São dados trabalhados que tem pelo menos uma característica 
em comum. 
Amostragem  é uma parte do todo. Subconjunto da População. 
 
2) O que é variável? É um conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
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3) O que é variável qualitativa e quantitativa? 
Variável Qualitativa  é aquela que só é expressa por atributo. Ex: Cor do cabelo. 
Variável Quantitativa  é aquela que só pode ser expressa por números. Ex: Diãmetro 
de uma peça. 
 
4) Como se divide a variável quantitativa? E como diferenciamos uma da outra? 
Variável Quantitativa Discreta e Variável Quantitativa Contínua. 
 
Variável Quantitativa Discreta  é expressa por número inteiro. Ex: 5 
Variável Quantitativa Contínua  é expressa por números decimais. Ex: 5,25 
 
1.3. Distribuição de Frequência (D.F.) 
Exemplo: preços dos produtos da loja A 
Preços dos produtos da loja A 
 
i Preços (R$) fi xi Fa 
1 15,00 |--- 25,00 1 20,00 1 
2 25,00 |--- 35,00 2 30,00 3 
3 35,00 |--- 45,00 5 40,00 8 
4 45,00 |--- 55,00 10 50,00 18 
5 55,00 |--- 65,00 8 60,00 26 
6 65,00 |--- 75,00 6 70,00 32 
  32 
Fonte: fictícia 
Sendo: 
xi = ponto médio da classe → 
 
 
 (para cada classe) 
fi = frequência absoluta 
Fa = frequência acumulada 
Exercícios 1 – Revisão – página 2 do Caderno de Exercícios 
 
 
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2. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
São medidas usadas para indicarem um valor com o objetivo de representar um conjunto. 
Tende a se localizar no meio da distribuição, classe ou série. 
 
2.1. Média Aritmética para dados não grupados 
 ̅ = 
 
 
 
 ̅ = média aritmética. 
xi = valores das variáveis do conjunto. 
n = nº de valores do conjunto. 
Ex: xi = {5, 6, 1, 8, 2, 2} 
 
 ̅ = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 4  ̅ = 4 
 
 
 
2.2. Média Aritmética para dados grupados 
 ̅ = 
 
 
 
xi = ponto médio do intervalo de classe. 
fi = freqüência absoluta. 
N = ∑fi 
∑fixi = somatório dos valores resultantes da multiplicação de fi por xi. 
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Ex: Preços dos produtos de uma fábrica. 
i Preços (R$) fi xi fixi 
1 100,00 |---- 200,00 10 150,00 1500,00 
2 200,00 |---- 300,00 8 250,00 2000,00 
3 300,00 |---- 400,00 2 350,00 700,00 
 20 4200,00 
 
 ̅ = 
 
 
 = 
 
 
 = R$ 210,00 
Este resultado nos mostra que o preço médio dos produtos dessa fábrica é de R$ 210,00. 
 
 
2.3. Desvios em relação à média 
Chamamos de desvio os valores que se afastam da média aritmética. Representado por di. 
di = xi - ̅ 
Ex: Sabendo-se que a produção leiteira diária de uma empresa de laticínios. Durante uma 
semana foi de: 
1º dia  10 litros; 
2º dia  14 litros; 
3º dia  13 litros; 
4º dia  15 litros; 
5º dia  16 litros; 
6º dia  18 litros; 
7º dia  12 litros. 
 
 
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 ̅ = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = 14 litros 
di = xi - ̅ 
di = 10 – 14 = - 4 
di = 14 – 14 = 0 
di = 13 – 14 = - 1 
di = 15 – 14 = 1 
di = 16 – 14 = 2 
di = 18 – 14 = 4 
di = 12 – 14 = -2 
 
2.4. Propriedade da Média (∑di=0) 
A soma algébrica dos desvios em relação a média será sempre nula. 
Ex: Utilizando os desvios do exemplo acima, teremos: 
∑di = - 4 + 0 + (- 1) + 1 + 2 + 4 + (- 2) = 0 
EXERCÍCIOS 2 – Média e Propriedade da Média – página 3 do Caderno de Exercícios 
 
2.5. Média Ponderada 
Quando associamos pesos a determinado elemento com a intenção de valorizá-los ou não. 
 ̅P = 
 
 
 
 ̅P = média ponderada. 
∑xipi = somatório d multiplicação de xi por pi. 
∑pi = é o total dos pesos. 
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Ex: Se para osvalores 6, 5, 7, 2 e 3, respectivamente, tivermos pesos 2, 1, 3, 8 e 4, teremos: 
 ̅P = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
 = 
 
 
 = 3,67 
EXERCÍCIOS 3 – Média Ponderada – página 4 do Caderno de Exercícios 
 
 
2.6. Moda 
Determinamos Moda, o valor que ocorre com maior freqüência em uma série. 
Ex: Em uma indústria o salário modal será aquele recebido pelo maior número de 
empregados. 
 
2.6.1. Moda para dados NÃO grupados 
É facilmente reconhecida, basta identificar o valor que mais se repete dentro da série. 
Ex: xi = {7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 15}  resposta: Mo = 10 (esta é a moda) 
 
2.6.2 As séries modal são classificadas como: 
a) Série Unimodal  é aquela em que existe uma moda. 
Ex: xi = {2, 3, 5, 3, 4, 6}  Mo = 3 
b) Série Bimodal  é aquela onde há duas modas. 
Ex: xi = {1, 3, 4, 1, 2, 4, 6}  Mo = 1 e 4 
c) Série Multimodal  é aquela onde existe mais de duas modas. 
Ex: xi = {6, 4, 6, 5, 3, 3, 4, 1, 2} Mo = 6, 4 e 3. 
d) Série Amodal  Não existe moda. 
Ex: xi = {2, 5, 3, 7, 1}  Mo =  
 
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2.6.3. Expressões gráficas da moda para dados NÃO grupados 
Podemos demonstrar através de gráficos os tipos de moda. Na curva de frequência a moda 
e o valor que corresponde ao eixo das abscissas ao ponto de ordenada máxima. 
 
CURVA UNIMODAL CURVA BIMODAL 
 
 
 
 
 Mo1 Mo1 Mo2 
 
 CURVA MULTIMODAL 
 
 
 
 
 Mo1 Mo 2 Mo3 
 
 
CURVA AMODAL 
 
 
 
 
 
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2.6.4. Moda para dados grupados 
- Uma vez agrupados os dados, é possível calcular a moda através da moda Bruta, King ou 
Kzuber. 
- A classe que apresenta maior freqüência é denominada de CLASSE MODAL. 
 
a) Moda Bruta  é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe 
modal. 
Mo = 
 
 
 
li = limite inferior da classe modal 
ls = limite superior da classe modal 
 
b) Moda King 
Mo = li + 
 ( )
, ( ) ( )-
 . h 
li = limite inferior da classe modal 
h = intervalo de classe 
 ( ) = freqüência imediatamente posterior à freqüência máxima. 
 ( )= freqüência imediatamente anterior à freqüência máxima. 
fM = freqüência máxima. 
 
c) Moda Kzuber 
Mo = li + 
, ( )-
* [ ( ) ( )]+
 . h 
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Ex: Notas da turma CA3 
 
 
 
 
 
 
h = 2 
- MODA BRUTA 
Mo = 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 = 5  Mo = 5 
 
- MODA KING 
Mo = li + 
 
,( ) ( )-
 . h = 4 + 
 
( )
 . 2 = 4 + 
 
 = 4 + 1,16 = 5,16  Mo = 5,16 
 
- MODA KZUBER 
Mo = li + 
,( ) ( )-
* ,( ) ( )-+
 . h = 4 + 
( )
 ( )
 . 2 = 4 + 
 
 
 . 2 = 4 + 
 
 
 = 4 + 1,33 = 
Mo = 5,33 
OBS: estes resultados indicam que a nota mais freqüente fica em torno da nota cinco. 
 
2.7. Mediana (Md) 
É outra medida de posição, definida com o número que se encontra no centro de uma série, 
estando estes ordenados. 
 
i Notas fi 
1 0,00 |---- 2,00 2 
2 2,00 |---- 4,00 5 
 3 4,00 |---- 6,00 9 
4 6,00 |---- 8,00 7 
5 8,00 |----| 10,00 3 
 ∑ 26 
fM - 1 
fM (classe modal) 
fM + 1 
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2.7.1. Mediana para dados não grupados 
Situação 1: número ímpar de variáveis 
Ex1: xi = {8, 2, 5, 7, 3, 1, 6} 
Cálculo da posição Mediana (P) 
 
 
 
 → n = número de variáveis 
1º passo: colocamos os valores em ordem crescente → xi = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} 
2º passo: determinamos a posição mediana (p) 
n = 7 variáveis → 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} 
Md = 5 (Valor que se encontra no centro da série) 
Obs: 50% dos valores estão acima de 5 e os outros 50% estão abaixo! 
 
Situação 2: número par de valores 
Ex2: xi = {1, 9, 7, 6, 8, 4, 2, 5} 
1º passo: colocamos os valores em ordem crescente → xi = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
2º passo: determinamos a posição mediana (p) 
n = 8 variáveis → 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 
 
 
 
4ª posição 
4ª posição 
5ª posição 
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Md = 5,5 (Valor que se encontra no centro da série) 
 
Obs1: 50% dos valores estão acima de 5,5 e os outros 50% estão abaixo! 
Obs2: A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos, essa é uma das 
diferenças entre a média e a mediana. 
ex: xi = {5, 7, 10, 13, 15}  ̅ = 10 e Md = 10 
 xi = {5, 7, 10, 13, 65}  ̅ = 20 e Md = 10 
 
2.7.2. Mediana para dados grupados 
Md = li + 
 
 
 . h 
Sendo: 
li = limite inferior da classe mediana 
fa`= freqüência acumulada anterior a classe mediana 
fi = freqüência absoluta correspondente a classe mediana 
h = intervalo de classe 
P = posição mediana 
P = 
 
 
 (Quando N é par) 
P = 
 
 
 (Quando N é ímpar) 
Ex: 
 
 
 
 
i NOTAS fi fa 
1 0,00 |---- 2,00 2 2 
2 2,00 |---- 4,00 5 7 
 3 4,00 |---- 6,00 9 16 
4 6,00 |---- 8,00 7 23 
5 8,00 |----| 10,00 3 26 
 ∑ 26 
fa` 
Classe Mediana (fi) 
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h = 2 
Para calcular a posição: 
N = 26 (PAR), teremos: 
P = 
 
 
 = 
 
 
 = 13ª posição (classe mediana) 
Md = li + 
 
 
 . h = 4 + 
 
 
 . 2 = 4 + 
 
 
 . 2 = 4 + 
 
 
 = 4 + 1,33 = 5,33 
 Este resultado mostra que 50% dos alunos têm notas acima de 5,33 e 50%, notas 
abaixo de 5,33. 
 
EXERCÍCIOS 4 – Média, Moda e Mediana – página 4 do Caderno de Exercícios 
 
 3. MEDIDAS DE ASSIMETRIA (As) 
Uma distribuição é simétrica quando a média e a moda coincidem, sendo que a distribuição 
assimétrica à esquerda (negativa), significa que a média é menor que moda bruta e sendo a 
assimetria à direita (positiva), significa que a média é maior que a moda. Para calcularmos 
as relações entre a média e a moda, isto é, a assimetria, usamos: 
As = ̅ – Mo 
 
3.1. Classificação da assimetria 
Se: 
As = 0  Assimetria Nula/Simétrica 
As < 0  Assimetria Negativa/à esquerda 
As > 0  Assimetria Positiva/à direita 
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3.2. Gráficos da assimetria 
CURVA SIMÉTRICA CURVA ASSIMÉTRICA NEGATIVA CURVA ASSIMÉTRICA POSITIVA 
 
 
 
 
 
 As = 0 As < 0 As > 0 
 
EXERCÍCIOS 5 – Medidas de Assimetria – página 6 do Caderno de Exercícios 
 
4. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE 
Chamamos de dispersão ou variabilidade a maior ou menor diversificação de valores de 
uma variável em torno da média. 
 
Consideramos os seguintes conjuntos de variáveis: 
a) xi = {70, 70, 70, 70, 70}  ̅ = 70 
b) xi = {68, 69, 70, 71, 72}  ̅ = 70 
c) xi = {5, 15, 50, 120, 160}  ̅ = 70 
 
Apesar das médias dos três conjuntos serem iguais, notamos que osvalores dos conjuntos 
são diferentes. No conjunto A temos uma série totalmente homogênea, no conjunto B, a 
série é menos homogênea e no C, o conjunto é heterogêneo. 
 
A distância entre os valores da série e a média, chamamos de dispersão. 
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Quatro são as medidas de dispersão: 
- Amplitude total; 
- Variância; 
- Desvio Padrão; 
- Coeficiente de variação. 
 
4.1. Amplitude total (AT) 
É a distância entre o maior e o menor valor observado, nos dando o grau de concentração. 
Ex: 
 Conjunto Y = {68, 69, 70, 71, 72} 
ATy = 72 – 68 = 4  grau de concentração 
 
Conjunto Z = {5, 15, 50, 120, 160} 
ATz = 160 – 5 = 155  grau de concentração 
 
Obs: quanto maior o grau de concentração, maior a dispersão, podendo ter maior ou menor 
homogeneidade ou heterogeneidade. 
Para dados grupados temos: 
 
 
 AT = Ls - Li 
 AT = 166 - 150 
 AT = 16 cm 
 
i Estatura (cm) fi 
1 150,00 |---- 154,00 4 
2 154,00 |---- 158,00 9 
3 158,00 |---- 162,00 11 
4 162,00 |---- 166,00 8 
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4.2 Variância (s2) 
É uma medida que não possui as falhas da amplitude total, pois leva em consideração todos 
os valores da variável em estudo, sendo por este motivo bastante estável e confiáveis. 
s2 = 
 
 
 - ̅2  Dados não grupados 
s2 = 
 
 
 - ̅2  Dados grupados 
Exemplo – Dados não grupados: 
CONJUNTO A 
 
CONJUNTO B 
xi xi2 
 
xi xi2 
8 64 
 
7 49 
9 81 
 
3 9 
10 100 
 
10 100 
8 64 
 
6 36 
6 36 
 
5 25 
11 121 
 
13 169 
7 49 
 
18 324 
13 169 
 
10 100 
∑xi =72 ∑xi2 = 684 
 
∑xi =72 ∑xi2 = 812 
 
CONJUNTO A 
 ̅ = 
 
 
 = 9 
s2 = 
 
 
 - ̅2 = 
 
 – (9)2 =85,5 – 81  s2 = 4,5 
 
CONJUNTO B 
 ̅ = 
 
 
 = 9 
s2 = 
 
 
 - ̅2 = 
 
 – (9)2 = 101,5 – 81  s2 = 20,5 
 
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Estes resultados demonstram os graus de concentração de cada conjunto, notando-se 
assim que o conjunto A é bem mais homogêneo que o B. 
 
Exemplo – Dados grupados: 
i PREÇOS (R$) fi xi fixi xi2 fixi2 
1 10,00 |---- 12,00 5 11,00 55,00 121,00 605,00 
2 12,00 |---- 14,00 13 13,00 169,00 169,00 2197,00 
3 14,00 |---- 16,00 17 15,00 255,00 225,00 3825,00 
4 16,00 |---- 18,00 18 17,00 306,00 289,00 5202,00 
5 18,00 |---- 20,00 11 19,00 209,00 361,00 3971,00 
5 20,00 |----| 22,00 6 21,00 126,00 441,00 2646,00 
 70 1120,00 18446,00 
 
 ̅ = 
 
 
 = R$ 16,00 
s2 = 
 
 
 - ̅2 = 
 
 
 – (16)2 = 263,5 – 256  s2 = R$2 7,5 
 
4.3. Desvio Padrão (s) 
Obtem-se o desvio calculando a raiz quadrada da variância. 
s = √ 
Obs: esta fórmula serve para dados grupados e não grupados. 
 
a) Dados NÃO grupados 
Usando os resultados das variâncias dos exemplos anteriores, temos: 
CONJUNTO A  s2 = 4,5  s = √  s = 2,12 
CONJUNTO B  s2 = 20,5  s = √  s = 4,53 
 
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b) Dados grupados 
Usando a tabela do exemplo anterior, temos: 
s2 = 7,5  s = √  s = R$ 2,74 
 
 4.4. Coeficiente de Variação (C.V.) 
Resultado dado em porcentagem, o que facilita a comparação. 
C.V. = 
 
 ̅
 . 100 
 
Interpretação do Coeficiente de Variação 
CV ≥ 30% Alta Dispersão 
15% < CV < 30% Média Dispersão 
CV ≤ 15% Baixa Dispersão 
 
- Usando os exemplos anteriores para dados NÃO grupados, temos: 
CONJUNTO A  C.V. = 
 
 ̅
 . 100 = 
 
 
 . 100 = 0,236 . 100  C.V. = 23,6% 
CONJUNTO B  C.V. = 
 
 ̅
 . 100 = 
 
 
 . 100 = 0,503 . 100  C.V. = 50,3% 
 
Interpretação do resultado: O conjunto A apresenta menor dispersão relativa do que o B. O 
conjunto A, possui média dispersão (15% < CV < 30%) e o B, alta dispersão (CV > 30%). 
 
- Usando os exemplos anteriores para dados NÃO grupados, temos: 
C.V. = 
 
 ̅
 . 100 = 
 
 
 . 100 = 0,171 . 100  C.V. = 17,1% 
Interpretação do resultado: A distribuição de freqüência possui média dispersão (15% < CV 
< 30%). 
EXERCÍCIOS 6 – Medidas de Variação – página 6 do Caderno de Exercícios 
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Curso Técnico em Contabilidade 
Profº Sandro Viégas 
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5. ANÁLISE ESTATÍSTICA DOS RESULTADOS 
Com base no cálculo da Média, da Moda, da Mediana, da Variância, do Desvio Padrão, do 
Coeficiente de Variação e de Assimetria podemos fazer uma Análise Estatística dos 
resultados para tirar conclusões sobre a amostra coletada. 
 
A seguir é apresentada uma D.F. e os respectivos resultados dos cálculos das Medidas de 
Tendência Central e de Dispersão e sua Análise Estatística. 
 
Exemplo: 
Preço dos Produtos da empresa Viégas Ltda 
i 
PREÇOS DOS PRODUTOS 
(R$) fi xi fixi Fa xi2 fixi2 
1 5,00 |---- 10,00 1 fm-1 7,50 7,50 1 56,25 56,25 
2 10,00 |---- 15,00 6 fm 12,50 75,00 7 156,25 937,50 
3 15,00 |---- 20,00 4 fm+1 17,50 70,00 11 306,25 1225,00 
4 20,00 |---- 25,00 3 22,50 67,50 14 506,25 1518,75 
5 25,00 |----| 30,00 2 27,50 55,00 16 756,25 1512,50 
 ∑ 16 275,00 5250,00 
Fonte: fictícia 
A Média Aritmética; 
 ̅ = 
 
 
 = 
 
 
 = R$ 17,19 
 
A Moda Bruta; (obs: a moda está na 2ª classe –> fi = 6) 
Mo = 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 = R$ 12,5 
 
A Moda King; 
 
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Mo = 10 + 
 
 
 . 5 = 10 + 
 
 
 = 10 + 4 = R$ 14,00 
 
A Moda Kzuber; 
 
 
Mo = 10 + 
 
 ( )
 . 5 = 10 + 
 
 
 . 5 
Mo = 10 + 
 
 
 = 10 + 3,57 = R$ 13,57 
 
A Mediana; 
 
P = 
 
 
 = 8ª posição 
Md = 15 + 
 
 
 . 5 = 15 + 
 
 
 . 5 = 15 + 
 
 
 = 15 + 1,25 = R$ 16,25 
 
A Variância; 
 
s2 = 
 
 
 - ( ) = 328,12 – 295,50 = R$2 32,62 
 
O Desvio Padrão; 
S = √ = R$ 5,71 
 
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O Coeficiente de Variação; 
C.V. = 
 
 ̅
 . 100 = 
 
 
 . 100 = 0,3322 x 100 = 33,22% 
 
Análise Estatística dos resultados. 
O valor médio dos produtos é de R$ 17,19, a 2ª classe é a modal e seu valor fica 
em torno de R$ 13,57, 50% dos valores ficam acima de R$16,25 e os outros 50%, 
abaixo. A D.F. tem alta dispersão porque C.V. > 30%. 
 
Exercício 7 – Prova Simulada – página 7 do Caderno de Exercícios