Lista1 C_N1

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1a LISTA DE CÁLCULO NUMÉRICO I
1. Seja A 2 Rnxn e seja o resultado que estabelece que:
1X
k=0
Ak = (I �A)�1.
Considere B = I � A e então avalie a inversa de uma matriz B a partir de
considerar os primeiros 4, 8 e 16 termos da série:
1X
k=0
(I �B)k = B�1.
Faça este mesmo procedimento e explique o que se observa para as seguintes
matrizes:
B1 =
�
1
2
1
4
1
4 1
�
B2 =
�
1 2
3 4
�
B3 =
�
1 3
0 1
�
B4 =
�
1 1
�1 1
�
2. Escreva os seguintes números que se encontram na base 10:
x1 = 0; 55 x2 = 3; 14 x3 =
1
3
x4 = 16 x5 = 2009 x6 = 0; 00017
nas bases � 2 f2; 3; 4g.
3. Escreva os seguintes números na base � = 10 normalizados:
x1 = 433; 55 x2 = 2002; 3 x3 = 0; 185
x4 = �33; 19 x5 = 0; 000039 x6 = 78; 89
4. Considere o sistema z(10; 3; 2; 2) e represente os números do exercício
anterior neste sistema. Discuta os casos que apresentam aparente comporta-
mento extraordinário. Por …m, determine a quantidade de números que são
representáveis neste sistema.
5. Seja o problema de calcular o valor da integral:
yn =
1Z
0
xn
x+ a
dx;
onde a >> 1. Usando o fato de que 0 < x < 1, mostre que as seguintes
estimativas são válidas:
1Z
0
xn
1 + a
dx � yn �
1Z
0
xn
a
dx;
1
e logo mostre que:
1
(n+ 1)(1 + a)
� yn � 1
(n+ 1)a
:
Considere a = 10 e n = 10 e estime y10 usando o resultado anterior. No passo
seguinte use o teorema do binômio de Newton que expressa:
(z � y)n =
nX
k=0
(�1)k
�
n
k
�
zn�kyk;
para mostrar que:
xn =
nX
k=0
(�1)k
�
n
k
�
(x+ a)n�kak:
Substitua esta expressão para xn na integral acima e mostre que:
yn =
n�1X
k=0
(�1)kak
�
n
k
�
1
n� k
�
(1 + a)n�k � an�k�+ (�a)n ln�1 + a
a
�
:
Para a = 10 e n = 10 calcule o valor de y10 com esta expressão. Compare os
resultados obtidos e conclua sobre a origem da situação aparentemente extra-
ordinária.
6. Seja a seguinte integral:
In =
1Z
0
xn
x+ 5
dx ; n = 0; 1; 2:::; k
onde k é su…cientemente grande. Encontre uma fórmula de recorrência para o
cálculo desta integral e a partir dela analise a fórmula de recorrência do erro e
discuta sua propagação utilizando a fórmula de recorrência na forma crescente
e na forma decrescente.
7. Considere a seguinte propriedade: Se x 2 z(�; t;m;M), então:
fl(x) = x(1 + �) com j�j � u;
onde u =
1
2
�1�t que é denominada a precisão de máquina.Como consequência
desta propriedade temos a seguinte relação:
jfl(x)� xj
jxj � u e x+ y = fl(x) + fl(y):
Seja x+y = (1 + �)(x + y) com j�j � u. Demonstre que para todo x; y 2
z(�; t;m;M), a seguinte desigualdade é válida:
jx+y � (x+ y)j
jx+ yj � u(1 + u)
� jxj+ jyj
jx+ yj
�
+ u:
Observe que:
jx+y � (x+ y)j
jx+ yj �
jx+y � (fl(x) + fl(y))j
jx+ yj +
jfl(x)� x+ fl(y)� yj
jx+ yj :
2