11f0a376-c165-4cbb-af2d-69da869dd779

Prévia do material em texto

CRP 250 - Cálculo III
Lista de Exerćıcios 1 - Funções Vetoriais
Prof. Rodrigo S. González
1. Determine o domı́nio das funções vetoriais a seguir:
(a) r⃗(t) = ⟨
√
4− t2, e−3t, ln(t+ 1)⟩ (b) r⃗(t) =
t− 2
t+ 2
ı̂+ sen t ȷ̂+ ln(9− t2)k̂
2. Calcule os limites a seguir:
(a) lim
t→0
(
e−3t ı̂+
t2
sen2 t
ȷ̂+ cos 2t k̂
)
(b) lim
t→1
(
t2 − 1
t− 1
ı̂+
√
t+ 8ȷ̂+
senπt
ln t
k̂
) (c) lim
t→∞
〈
1 + t2
1− t2
, arctg t,
1− e−2t
t
〉
(d) lim
t→∞
〈
te−t,
t3 + t
2t3 − 1
, t sen
1
t
〉
3. Encontre uma equação vetorial para o segmento de reta que liga os ponto P e Q em cada
caso a seguir:
(a) P (0, 0, 0) e Q(1, 2, 3)
(b) P (1, 0, 1) e Q(2, 3, 1)
(c) P (0,−1, 1) e Q
(
1
2
,
1
3
,
1
4
)
4. Em quais pontos a curva r⃗(t) = t̂ı+ (2t− t2)k̂ intercepta o paraboloide z = x2 + y2?
5. Em quais pontos a hélice r⃗(t) = ⟨sen t, cos t, t⟩ intercepta a esfera x2 + y2 + z2 = 5?
6. Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das superf́ıcies:
(a) O cilindro x2 + y2 = 4 e a superf́ıcie z = xy.
(b) O cone z =
√
x2 + y2 e o plano z = 1 + y
(c) O paraboloide z = 4x2 + y2 e o cilindro parabólico y = x2
(d) A hipérbole z = x2 − y2 e o cilindro x2 + y2 = 1.
7. Considere duas part́ıculas movendo-se no espaço de acordo com as funções horárias
r⃗1(t) = ⟨t2, 7t− 12, t2⟩ e r⃗2(t) = ⟨4t− 3, t2, 5t− 6⟩, para t ≥ 0. As part́ıculas colidem? Em
caso afirmativo, determine o instante e a posição da colisão.
8. Duas part́ıculas se movem ao longo das curvas espaciais r⃗1(t) = ⟨t, t2, t3⟩ e
r⃗2(t) = ⟨1 + 2t, 1 + 6t, 1 + 14t⟩. As part́ıculas colidem? Suas trajetórias se interceptam?
9. Determine a derivada de cada função vetorial a seguir:
(a) r⃗(t) = ⟨t sen t, t2, t cos 2t⟩
(b) r⃗(t) = ⟨tg t, sec t, t−2⟩
(c) r⃗(t) = ı̂− ȷ̂+ e4tk̂
(d) r⃗(t) = et
2
ı̂− ȷ̂+ ln(1 + 3t)k̂
(e) r⃗(t) = a⃗+ t⃗b+ t2c⃗
(f) r⃗(t) = t⃗a× (⃗b+ t⃗c)
1
10. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada no ponto especifi-
cado para cada caso a seguir:
(a) x = 1 + 2
√
t, y = t3 − t, z = t3 + t; P (3, 0, 2)
(b) x = et, y = tet, z = tet
2
; P (1, 0, 0)
(c) x = e−t cos t, y = e−t sen t, z = e−t; P (1, 0, 1)
(d) x =
√
t2 + 3, y = ln(t2 + 3), z = t; P (2, ln 4, 1)
11. Encontre uma equação para a reta tangente à curva de interseção dos cilindros x2+y2 = 25
e y2 + z2 = 20 no ponto (3, 4, 2).
12. Encontre o ponto na curva de r⃗(t) = ⟨2 cos t, 2 sen t, et⟩, 0 ≤ t ≤ π, em que a reta tangente
é paralela ao plano
√
3x+ y = 1.
13. Calcule as integrais:
(a)
∫ 2
0
(t̂ı− t3ȷ̂+ 3t5k̂)dt
(b)
∫ 1
0
(
4
1 + t2
ȷ̂+
2t
1 + t2
k̂
)
dt
(c)
∫ π/2
0
(3 sen2 t cos t ı̂+ 3 sen t cos2 t ȷ̂+ 2 sen t cos t k̂)dt
(d)
∫ 2
1
(t2 ı̂+ t
√
t− 1ȷ̂+ t senπt k̂)dt
(e)
∫
(et ı̂+ 2tȷ̂+ ln t k̂)dt
(f)
∫
(cosπt ı̂+ senπt ȷ̂+ tk̂)dt
14. Determine o comprimento da curva dada:
(a) r⃗(t) = ⟨t, 3 cos t, 3 sen t⟩, −5 ≤ t ≤ 5
(b) r⃗(t) = ⟨2t, t2, 1
3 t
3⟩, 0 ≤ t ≤ 1
(c) r⃗(t) =
√
2t̂ı+ etȷ̂+ e−tk̂, 0 ≤ t ≤ 1
(d) r⃗(t) = cos t ı̂+ sen t ȷ̂+ ln cos t k̂, 0 ≤ t ≤ π/4
(e) r⃗(t) = ı̂+ t2ȷ̂+ t3k̂, 0 ≤ t ≤ 1
(f) r⃗(t) = 12t̂ı+ 8t3/2ȷ̂+ 3t2k̂, 0 ≤ t ≤ 1
15. Seja C a curva de interseção do cilindro parabólico x2 = 2y e da superf́ıcie 3z = xy.
Encontre o comprimento exato de C da origem até o ponto (6, 18, 36).
16. Suponha que você comece no ponto (0, 0, 3) e se mova 5 unidades ao longo da curva
x = 3 sen t, y = 4t, z = 3 cos t na direção positiva do parâmetro. Onde você está agora?
2
Respostas
1. (a) (−1, 2] (b) {t ∈ R| − 3