Textos de apoio_Numeros indices

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Texto de apoio de Estatística I: Ano 2011 
Por: Firmino Alberto Guiliche 
Capítulo 6. Números índices 
 
 
6.1. Introdução 
 
 
Vários instituições espahadas pelo mundo publicam com muita frequência valores de 
vários índices. Em Moçambique o Instituto Nacional de estatística publica 
regularmente índices de preços no consumidor e prepara-se para produzir e publicar 
índices de preços de produção industrial e índices de produção industrial. 
Para quem pretenda usar de forma adequada estes indicadores tem de saber como 
os números índices são calculados. 
Um número índice é uma medida estatística que permite expressar a variação 
relativa de uma ou mais variáveis no tempo, ou no espaço, ou entre categorias 
semelhantes. 
Na prática, um número índice é o rácio entre o valor observado para uma variável 
em causa, designado por valor corrente, e outro valor tomado para comparação e 
designado por valor base. Este rácio, é normalmente multiplicado por 100 de modo a 
que as variações percentuais ressaltem facilmente das comparações. 
Uma dada variável x, assume os valores vo e vt, para dois momentos no tempo, t e o. 
O número índice de v no momento t por referência a o, It/o, define-se como: 
 
100.
0
/
v
v
I
t
ot

 
 
A taxa de variação dos valores observados entre os momentos t e o, para a variável é 
dada por: 
 
100100.
0//


 I
v
vv
Tv t
o
ot
ot
 
 
As comparações decorrentes do emprego de números índices podem ser consideradas 
sobre três aspectos ou categorias: 
 Variações ocorridas ao longo do tempo; 
 Diferenças entre lugares; 
 Diferenças entre categorias semelhantes, como pessoas, produtos ou coisas. 
 
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Texto de apoio de Estatística I: Ano 2011 
Por: Firmino Alberto Guiliche 
 
A utilização dos índices é bastante vasta, mas podemos destacar os seguintes usos: 
 Como um resultado em si mesmo, isto é, como informação final. Constitui um 
exemplo deste tipo de utilização a referência ao IPC, para ilustrar a inflação, 
ou do Índice de produção industrial como indicador de crescimento real da 
indústria. 
 Como instrumento para melhor interpretar a informação primária quando 
comparamos a evolução de variáveis com unidades de medida diferentes ou 
escalas de unidades de medida distantes. 
 Como um meio para produzir outra informação; a utilização do IPC para 
determinar o poder aquisitivo dos salários (cálculo dos salários reais) é um 
exemplo deste tipo de utilizações. 
 
Tendo em consideração a definição da base podemos considerar dois tipos de índices: 
índices de base fixa e índices de base móvel. Os do primeiro tipo tomam como base 
de comparação um único momento fixo e os do segundo tipo a base de comparação 
é dinâmica. 
De acordo com a natureza e número de variáveis observadas, os números índices 
podem ser agrupados em simples, compostos e complexos. Os índices complexos 
expressam a variação de um conjunto de fenómenos de natureza diversa e não serão 
objecto de estudo neste manual. 
 
6.2. Propriedades dos índices. Modificação da base de um índice 
 
Um conjunto de propriedades podem ser estabelecidas para os números índices. 
Identidade: o índice do período base ou de um outro momento que reproduza as 
mesmas condições do período base assume valor 1 (100%). 
100
0
0
I 
Reversibilidade: permutando os períodos de base e de referência, o índice é 
substituído pelo seu inverso. 
I
I 0
1
1
0
1

 ; 
1.
0
1
1
0
II 
Transitividade (circularidade). Permite comparar directamente entre dois períodos 
não coincidentes com o ano base, isto é, esta propriedade permite modificar a base 
de um índice. A transitividade está ligada às propriedades da identidade e 
reversibilidade: 
IIII
1
0
2
1
3
2
3
0
..
 
 
3 
 
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Se o índice verificar as propriedades acima, é possível realizar um conjunto de 
manipulações a nível da base, respeitando integralmente a formulação matemática, 
nomeadamente: 
 
 transformar uma série de índices de base fixa em índices de base móvel; 
 
I
I
I t
t
t
t 1
0
0
1 

 
 
 transformar uma série de índices de base móvel numa série de base fixa; 
 
IIIIII
t
t
t
t
t
1
1
2
3
2
2
1
1
00
........




 
 
 mudar a base de um índice 
I
I
I n
t
t
n
0
0
 
 
Uma das razões para mudar a base de um índice, é porque é desejável que o 
período base não esteja muito distante do momento corrente dos índices a produzir. 
Por isso, é necessária a mudança desse período, de tempos em tempos. 
A mudança de uma série de índices para uma base mais recente é obtida dividindo-
se cada índice da série original pelo índice correspondente ao novo período base. 
Esses resultados representam os novos índices, sendo o índice do novo período bese 
igual a 100. 
 
6.3. Índices económicos 
 
Os índices mais usados e que serão objecto de estudo no presente capítulo, destinam-
se a medir variações ocorridas ao longo do tempo das variáveis preço, quantidade e 
valor, ou seja, os chamados índices económicos. 
 O índice de preços (p) é um indicador que nos dá a variação dos preços 
unitários de uma mercadoria ou de um conjunto de mercadorias, entre dois 
momentos no tempo. Como exemplo, temos o índice de preços no consumidor, 
índice de preço da produção industrial. 
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 O índice de quantidade (q) é um indicador que nos dá a variação nas 
quantidades (produzidas ou consumidas) de um produto ou de um grupo de 
produtos, entre dois momentos no tempo. Por exemplo, índice de volume físico 
da produção na industria. 
 O índice de valor (pxq) é um indicador que nos dá a variação no valor total 
de um artigo ou de um conjunto de artigos, entre dois momentos no tempo. 
Como exemplo, índice de valor monetário (nominal) da produção industrial, 
índice de valor monetário (nominal) do comércio externo. 
 
6.3.1. Índices simples de preços, quantidades e valor 
 
Os índices simples estão associados à comparação de um único fenómeno, ou seja, 
medem a evolução do preço ou da quantidade ou ainda do valor de um produto 
entre dois períodos. 
Sejam: 
0p = preço do período base 
tp = preço do período corrente 
0q = quantidade do período base 
tq = quantidade do período corrente 
0v = valor do período base 
tv = valor do período corrente 
Os respecivos índices simples de preços, quantidades e valor são: 
Índ. simples Base fixa Base móvel 
Preços 
 
 
 
 
 
Quantidades 
 
 
 
 
 
Valor 
 
 
 
 
 
100 x 
p
p
i
0
t
p  100 x 
p
p
i
1-t
t
p 
100 x 
q
q
i
0
t
q  100 x 
q
q
i
1-t
t
q 
100 x 
qp
qp
00
tti pq
100 x 
qp
qp
1-t1-t
tti pq
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Exemplo: Com os dados sobre a produção de material eléctrico da empresa “Beta”, 
calcule-se os índices simples de quantidade, de preço e do valor monetário 
 
Quadro 1. Quantidades e preços de material eléctrico 
Mercadorias 
Quantidades produzidas, 
Milhares Preço por unidade, USD 
2001 2002 2003 2001 2002 2003 
Lâmpadas; Unidade 20 18 22 0,75 0,50 0,60 
Cabos, metro 2000 2200 2400 1,00 1,20 1,00 
Fusíveis, Unidade 400 440 420 0,20 0,22 0,18 
 
Quadro 2. Índices simples de base fixa de quantidades e preços 
Mercadorias 
Quantidades Preço 
2001 2002 2003 2001 2002 2003 
Lâmpadas; Unidade 100,0 90,0 110,0 100,0 66,7 80,0 
Cabos, metro 100,0 110,0 120,0 100,0 120,0 100,0 
Fusíveis, Unidade 100,0 110,0 105,0 100,0 110,0 90,0 
 
Índice de quantidades de lâmpadas de 2003 face a 2001: 
 
 
 
Índice de preços de lâmpadas de 2003 face a 2001: 
 
 
 
Índice de valor monetário de lâmpadas de 2003 face a 2001: 
 
 
 
 
80100x
0,75
0,60
100 x 
p
p
i
01
03
p 
110x100
20
22
100 x 
q
q
i
01
03
q 
6,88x100
(0,75x20)
(0,60x22)
100 x 
qp
qp
0101
0303 i pq
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Pelos resultados, conclui-se que de 2001 a 2003, houve uma queda do valor da 
produção na ordem dos 12%, como resultado da queda de preços em 20%, não 
obstante ter-se verificado um aumento nas quantidades produzidas em cerca de 
10%. 
 
Quadro 3. Índices simples de base móvel de quantidades e preços 
Mercadorias 
Quantidades Preço 
2001 2002 2003 2001 2002 2003 
Lâmpadas; Unidade - 90,0 122,2 - 66,7 120,0 
Cabos, metro - 110,0 109,1 - 120,0 83,3 
Fusíveis, Unidade - 110,0 95,5 - 110,0 81,8 
 
Índice de quantidades de lâmpadas de 2003 face a 2002: 
 
 
 
Índice de preços de lâmpadas de 2003 face a 2002: 
 
 
 
Índice de valor monetário de lâmpadas de 2003 face a 2002: 
 
 
 
 
6.3.2. Índices agregativos não ponderados 
 
Os índices tratados anteriormente referem-se à medição de um único fenómeno. 
Porém, muitas das vezes temos que sintetizar a evolução de um conjunto de 
fenómenos num único. 
A primeira solução e que afigura mais simples para determinar o índice sintético, é o 
emprego da média de índices simples ( I ot / ) ou de valores (vt ) dos fenómenos 
estudados. 
 
122,2x100
18
22
100 x 
q
q
i
02
03
q 
0,120100x
0,50
0,60
100 x 
p
p
i
02
03
p 
7,146100x
(0,50x18)
(0,60x22)
100 x 
qp
qp
0202
0303 i pq
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O emprego da média dos valores apenas é possível no caso de índices compostos em 
variáveis expressas na mesma unidade. 
 
 
i. Média dos índices simples (média de relativos) 
 
Média aritmética 
 
n
I
I
ot
ot

 /
/
 
 
 
Média geométrica 
 
n
otot II 
//
 
 
 
ii. Média dos valores (média de absolutos) 
 
Média aritmética 
 
100
0
/
x
V
Vt
otI


 
 
Média geométrica 
 
100
/
xn
o
t
ot
v
v
I 










 
 
A principal vantagem do emprego de índices agregativos não ponderados é a sua 
grande simplicidade. Porém, o facto de um índice deste tipo atribuir igual 
importância aos componentes cuja contribuição para o fenómeno global é 
diferenciada, enviesa o resultado. 
 
 
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6.3.3. Índices Agregativos ponderados 
 
Derivado da limitação apresentada anteriormente dos índices agregativos não 
ponderados foram desenvolvidos os índices agregativos ponderados. 
 
Os índices agregativos ponderados, são índices que relacionam os preços, as 
quantidades e os valores em períodos diferentes e referem-se a vários produtos, que 
são analisados como um todo. 
 
i. Índice de Laspeyres ou método do período base 
 
O índice de Laspeyres, é a média aritmética ponderada de preços relativos e 
quantidades relativas, sendo os factores de ponderação determinados a partir dos 
preços e quantidades do período base. 
 
A aplicação do método Laspeyres para a construção de um índice agregativo de 
todos os componentes elementares corresponde à utilização de ponderadores de base 
fixa: 
 
preços do período base como ponderadores de um índice de quantidades (p0); 
 
quantidades do período base como ponderadores de um índice de preços (q0). 
 
Laspeyres quantidades 
 
 
 
 
Laspeyres preços: 
 
 
 
 
 
Exemplo de cálculo dos índices de Laspeyres de quantidades e de preços com base nos 
dados da produção de material eléctrico: 
 
 
100 x 
qp
qp
00
0t


Lp
100 x 
pq
pq
00
0t


Lq
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Laspeyres quantidades de 2003 face a 2001 
 
 
 
Laspeyres preços de 2003 face a 2001 
 
 
 
 
ii. Índice de Paasche ou método do período corrente 
 
A aplicação do método Paasche para a construção de um índice agregativo de todos 
os componentes elementares corresponde à utilização de ponderadores do período 
corrente: 
preços do período corrente como ponderadores de um índice de quantidades (pt); 
 
quantidades do período corrente como ponderadores de um índice de preços (qt). 
 
Paasche quantidades 
 
 
 
Paasche preços 
 
 
 
Exemplo de cálculo dos índices de Paasche de quantidades e de preços com base nos 
dados da produção de material eléctrico: 
Paasche quantidades de 2003 face a 2001 
 
 
 
 
 
 
 
100 x 
pq
pq
t0
tt


Pq
100 x 
qp
qp
t0
tt


Pp
4,119100x
400x0,20)2000x1,00(20x0,75
420x0,20)2400x1,00(22x0,75
100 x 
pq
pq
0101
0103 





Lq
5,99100x
)400x20,02000x00,120x75,0(
)400x18,02000x00,120x60,0(
100 x 
qp
qp
0101
0103 





Lp
4,119100
400x0,18)2000x1,00(20x0,60
0,18x420)2400x1,00(22x0,60
100 x 
pq
pq
0301
0303 





 xPq
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Paasche preços de 2003 face a 2001 
 
 
 
 
iii. Índice agregativo de valor 
 
Mostra a evolução global de um conjunto de fenómenos em função da variação 
simultânea de preços e quantidades: 
 
Base fixa Base móvel 
 
 
 
 
 
 
Índice de valor de 2003 face a 2001: 
 
 
Base fixa 
 
 
Índice de valor de 2003 face a 2002: 
 
 
Base móvel 
 
 
Com um pouco de atenção, é simples verificar que um índice de valor, pode ser 
obtido como o produto de um índice Laspeyres quantidades por um índice Paasche 
preço, ou como produto de um índice Paashe quantidades por um índice Laspeyres 
preços. 
 
 
 
8,118x100
0,20x400)1,0x2000(0,75x20
0,18x420)1,0x2400(0,60x22
 
qp
qp
0101
0303 





I pq
5,99100
0,20x420)1,00x2400(0,75x22
0,18x420)1,00x2400(0,60x22
100 x 
qp
qp
0301
0303 





 xPp
6,90100x
0,22x440)1,20x2200(0,50x18
0,18x420)1,00x2400(0,60x20
100 x 
qp
qp
0202
0303 





I pq
100
qp
qp
00
tt xI pq 

 100
qp
qp
1-t1-t
tt xI pq 


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Texto de apoio de Estatística I: Ano 2011 
Por: Firmino Alberto Guiliche 
Vantagens e desvantagens dos métodos Laspeyres e Paasche: 
 
O método Laspeyres tem como vantagens a sua simplicidade de cálculo e a 
comparabilidade entre os índices. A utilização do mesmo período base quer para as 
quantidades quer para os preços, permite comparação directa entre os índices 
obtidos. Tem no entanto, a desvantagem de não tomar em consideração alterações 
na estrutura de ponderação que se mantém inalterada em toda a série do índice. 
 
O método Paasche tem a vantagem de combinar as variações dos componentes 
elementares com as modificações estruturais no esquema de ponderação. Tem 
porém, as desvantagens de complexidade de cálculo e a necessidade de conhecer a 
estrutura corrente de ponderação. 
 
Comparação entre índices Laspeyres e Paasche: 
 
Indice Paasche > Indice Laspeyres: se os preços e quantidades tendem a evoluir no 
mesmo sentido entre o período 0 e o t, 
 
Indice Laspeyres > Indice Paasche: se os preços e quantidades tendem a evoluir em 
direcções opostas entre o período 0 e o t. 
 
 
iv. Outras categorias de índices agregativos 
 
Derivado das desvantagens referidas anteriormente, outras categorias foram 
propostas: 
 
Índice de Fischer 
 
O índice de Fischer corresponde à média geométrica de um índice Laspeyres e 
Paasche 
 
Fischer de quantidades 
 





pq
pq
pq
pq
t
tttFq
000
0 *
 
 
 
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Fischer de preços 
 





qp
qp
qp
qp
t
tttFp
000
0 *
 
 
Índice de Marshall-Edgeworth 
 
O índice proposto, tem como ponderadores a média das quantidades ou dos preços 
do período corrente e período base. 
 
Marshall-Edgeworth de preços 
 
 
 
 
 
Marshall-Edgeworth de preços 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)q (qp
)q (qp
too
t ot


Ep
 
)p (pq
)p (pq
too
t ot


Eq
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Por: Firmino Alberto Guiliche 
 
 
Exercícios: 
1. Com base no quadro a seguir da produção da empresa “Alfa”:Produtos 
Quantidades Preço unitário 
2002 2003 2004 2002 2003 2004 
A, Lt 9675 9717 10436 3.95 3.89 4.13 
B, Kg 118 116 116 61.50 62.20 59.70 
C, Kg 78 74 83 34.80 35.40 38.90 
 
a) Calcular os Índices simples, de preços, quantidades e valor, com base em 2002; 
b) Calcular índices agregativos não ponderados, com base em 2002 
c) Calcular Índices Laspeyres de preços e de quantidades, com base em 2002; 
d) Calcular Índices Paasche de preços e de quantidades, com base em 2002; 
e) Calcular os Índices agregativos de valor, com base em 2002; 
f) Comentar os resultados. 
 
 
2. Considere a seguinte informação relativa à produção da empresa Agrícola 
Agrofrutas: 
 
Produtos 
Toneladas produzidas Preço por tonelada 
Mai Jun Jul Ago Mai Jun Jul Ago 
Maçãs 500 450 300 250 40 50 70 75 
Laranjas 65 70 72 68 75 65 64 70 
 
a) Calcular Índices Laspeyres de preços e de quantidades com base em Maio; 
b) Calcular Índices Paasche de preços e de quantidades com base em Maio; 
c) Calcular os Índices Agregativos de valor com base em Maio; 
d) Calcular os Índices simples de valor com base em Maio; 
 
 
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3. O quadro a seguir refere-se à produção de 4 produtos não especificados numa 
unidade fabril: 
 
Produtos 
Quantidades Preço unitário (USD) 
2002 2003 2004 2005 2002 2003 2004 2005 
A 5 6 7 7 20 30 30 20 
B 3 4 5 5 15 20 25 27 
C 7 8 7 6 15 12 15 16 
D 5 5 6 7 30 35 25 30 
 
a) Calcular os Índices de preços e quantidades do tipo Laspeyres com base em 2002; 
b) Calcular os Índices de preços e quantidades do tipo Paasche com base em 2002; 
c) Calcular os Índices agregativos de valor com base em 2002; 
 
4. Estando disponíveis dados sobre as quantidades produzidas e os respectivos 
volumes monetários a preços correntes: 
 
 Quantidades produzidas 
Volume monetário da produção a 
preços correntes, Mil Meticais 
Artigos 2000 2001 2002 2000 2001 2002 
A, Ton 12 14 18 720 868 1044 
B, Un 15 17 19 420 442 551 
 
a) Calcular os respectivos preços unitários; 
b) Calcular Índices de preços e quantidades do tipo Laspeyres (2000 = 100); 
c) Calcular Índices de preços e quantidades do tipo Paasche (2000 = 100); 
d) Calcular índices simples de preços, de quantidades e de valor (2000 = 100) 
e) Calcular índices agregativos de valor não ponderados (2000 = 100); 
f) Calcular índices agregativos de valor ponderados (2000 = 100); 
g) Explicar a razaão das diferenças entre os resultados da alínea e) e f).