física

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Grandezas escalares e vetoriais Em sua vida você tem contato com uma de grandezas, como a temperatura de um corpo, o comprimento de um terreno, a área de um campo de futebol ou o tempo de duração de determinado É comum nos referirmos a elas dizendo: "Paulinho com de ou "o tempo de duração de uma aula é de 50 minutos". Em todos esses exemplos, a grandeza citada fica perfeitamente conhecida quando informarmos o seu valor, também conhecido como e a unidade utilizada para medi-la. Todas as grandezas como as mencionadas, que ficam perfeitamente caracterizadas quando fornece- mos seu módulo e sua unidade de medida, são chamadas grandezas Existem, no entanto, outras grandezas, que não ficam completamente determinadas apenas o Quando dizemos que um carro passou com uma velocidade de 40 km/h, às vezes, pre- cisamos avaliar se essa informação está completa dependendo do contexto. Perguntas do tipo "mas passou onde, para que lado ele estava indo?" devem ser respondidas para com- pletar a informação então: o automóvel passou com uma velocidade de 40 km/h (módulo e unidade) na rua onde moro (direção), indo do meu colégio para centro da cidade (sentido). Essas observações nos levam a concluir que a velocidade de um corpo só se torna perfeitamente caracterizada se conhecermos seu módulo (e unidade), sua direção e seu sentido. As grandezas que, para se tornarem perfeitamente definidas, necessitarem de um módulo, uma dire- ção e um sentido são chamadas grandezas vetoriais e são representadas por vetores. Vetores são segmentos de reta orientados esses segmentos orientados nos informam, pelo tama- nho e para onde apontam, qual é o valor, a direção e o sentido da grandeza. Além da velocidade, vamos encontrar, em nosso curso, várias outras grandezas vetoriais. Quando empurramos ou puxamos um corpo, dizemos que aplicamos sobre ele uma força. Força também é uma grandeza vetorial, isto é, para que ela seja perfeitamente conhecida, temos de lhe atribuir um módulo, uma direção e um sentido. Para se identificar uma grandeza vetorial, como a velocidade ou a força, coloca-se sobre a letra indi- cativa da grandeza uma seta: v: que se lê "vetor que se lê "vetor a"; F: que se lê "vetor F"; B: que se lê "vetor B". Se nos referirmos somente ao módulo da grandeza vetorial, escrevemos V, F, a ou B (sem as setas). Suponha que lhe informe que aplicou uma força sobre um caixote, isto é, fez sobre ele um esforço muscular. Somente com essa informação, você não pode fazer ideia da maneira como ela foi aplicada. A força poderia ter sido aplicada paralelamente ao piso, como na figura A, ou inclinada de um ângulo em relação a ele, como mostra a figura B. Mesmo que a pessoa dissesse que a força foi exercida horizontalmente, ainda restaria uma dúvida: ela foi aplicada para a direita ou para a esquerda? (A) (B) F Um vetor só pode ser perfeitamente conhecido se fornecermos o módulo, a direção e o sentido. Dessa maneira, para que a informação da pessoa seja completa, ela deverá fornecer: o módulo da força: é a parte numérica da grandeza, ou seja, seu valor. A direção da força: se o esforço foi paralelo ao piso ou formando com ele um ângulo a. o sentido da força: se o esforço muscular foi feito para um lado ou para o outro da direção especificada.Parada complementar 19. Desenhe, utilizando segmentos de reta orientados, os seguintes casos: a) Dois vetores com mesmo b) Dois vetores com mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. c) Dois vetores com módulos diferentes, mesma direção e mesmo 20. Considere as seguintes situações: I. Dois carros de corrida dividem espaço em uma mesma Os dois estão com a mesma velocidade. Uma criança puxa seu carrinho de brinquedo pela reta e plana da sua Não as duas situações, nomeando os vetores utilizados e indicando seus módulos através de segmentos de reta orientados. se esqueça do símbolo que acompanha a letra que representa o vetor. Teste seu conhecimento: 37 a Adição de vetores Uma das maiores dificuldades quando estudamos as grandezas vetoriais pela primeira vez é entender que a soma dessas grandezas não é realizada usando as operações algébricas que estudamos quando crianças. Por exemplo: um jogo de futebol tem dois tempos de 45 minutos e um intervalo de 15 minutos o tempo total de uma partida é 45 min + 45 min + 15 min = 105 minutos. No entanto, quando vamos somar duas velocidades de 45 km/h, podemos não obter 90 km/h. o valor dessa soma pode variar de zero, quando os vetores têm a mesma direção e sentidos contrários (Fig. A), até 90 km/h, quando eles têm mesma direção e mesmo sentido (Fig. B). Se formarem um ângulo a qualquer, a soma estará compreen- dida entre 0 e 90 km/h (Fig. C). (A) a b (B) a a a b (A) A soma dos vetores vale zero, pois têm mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários. (B) A soma dos vetores vale 90 km/h eles têm mesma direção e sentido. Caso formem um ângulo qualquer, a soma estará entre 0 e 90 km/h. Dessa maneira, as operações algébricas para lidar com grandezas vetoriais são realizadas de forma diferente. A regra do polígono Podemos obter a soma de vetores utilizando um método gráfico conhecido como regra do poligono. Considere os vetores e b mostrados na figura a seguir. Para obtermos a soma desses dois vetores tra- çamos o vetor b com a origem na extremidade do vetor a soma ou resultante é obtida ligando-se a origem do vetor à extremidade de b.traca com a resultante ando a do o vetor é a soma ou resultante dos vetores e deb Pode-se generalizar essa regra para um número qualquer de vetores, como mostra a figura seguinte. extremidade ma seta can V do outro vetor he o vetor V representa a resultante dos vetores a A regra do paralelogramo Para se obter a resultante de dois vetores e b também é possível utilizar outro método gráfico conhecido como regra do paralelogramo. Nesse método, os dois vetores são traçados de maneira que suas origens sejam coincidentes. A diagonal do paralelogramo que tenha e b como lados representa a resultante desses vetores. das se grentos A regra do paralelogramo. Compare vetor resultante c, obtido usando a regra do paralelogramo com obtido usando a b regra do polígono (figura anterior). 0 que você pode concluir? Comentário A propriedade que diz "a ordem das parcelas não altera a soma" pode ser aplicada à adição vetorial. Refaça as figuras 2 e 3 da página anterior, alterando a ordem dos vetores, e comprove essa regra. Fique por dentro Você sabe realizar operações com vetores? Consulte a simulação interativa de operações com vetores. Ela vai ajudá-lo a visualizar melhor as regras do poligono e do paralelogramo em: 19 maio 2020.Subtração de vetores A subtração entre dois vetores pode ser obtida utilizando-se, também, a regra do Considere a que poderá ser escrita como Logo, para se determinar a diferença d entre dois vetores, basta somar ao vetor o simétrico de b. Por exemplo, na figura que se segue, estão representados dois vetores e b. MAS b Dois vetores quaisquer e b. Na figura abaixo, traçamos o vetor C que representa a soma dos dois vetores b A soma dos vetores a Já na figura a seguir, representamos um vetor d que representa a diferença dos dois - -b a A diferença entre os vetores a e b. Observe que os vetores e d são diferentes em módulo, direção e sentido. Observe, também, que ou seja, o módulo da diferença pode ser maior que o módulo da soma.Multiplicação de um vetor por um escalar Considere um vetor Podemos obter o vetor isto é, a multiplicação do vetor a por um escalar considerando que: Portanto, é um vetor de módulo duas vezes maior, que possui a mesma direção e o mesmo sentido de A figura seguinte exemplifica a situação. Multiplicação de um vetor por um escalar k Dessa forma, podemos definir a multiplicação de um vetor por um escalar da seguinte maneira: para multiplicar um vetor por um escalar k > 0, somamos o vetor vezes, mantendo a mesma direção e o sentido original de Caso basta lembrar que - é o vetor simétrico ou oposto de Se k é um número adimensional, então o vetor terá a mesma unidade do vetor a. Porém, se tem as unidades de uma grandeza física, as unidades do produto serão obtidas multiplicando-se as unidades de pelas unidades do vetor Como fazer Considere vetor V (velocidade), representado a seguir, cuja unidade é m/s (metros por segundo). Obtenha um vetor P = mv, tal que m = 3 kg (quilogramas). Resolução: Basta somarmos três vezes o vetor como mostra a figura. o vetor P terá a mesma direção e o mesmo sentido do vetor (horizontal e para a direita). Sua unidade será kg m/s.c presente, através de um vetor, o resultado da operação eslocamento de um motoboy nas ruas de uma cidade pode ser representado pela imagem a seguir. Nela é possível identificar vetores. Considerando que todos os vetores possuem módulos iguais a 20 metros, responda: A B erá a distância total percorrida por ele entre os pontos A e B? ente o vetor resultante e determine seu módulo. Teste seu conhecimento: 41 a 44 Componentes de um vetor Da mesma maneira que podemos somar dois vetores e substitui-los por um único, o inverso também é ou seja, podemos transformar um vetor em dois cuja soma resulte no vetor decomposto. Considere a figura seguinte, na qual o vetor F foi pelos vetores F traçados, respectivamen- te, nas direções e y. Esses dois vetores são chamados componentes de F. Assim, os componentes retangu- lares Fx e y do vetor F podem, em conjunto, substitui-lo. y y a 0 0 (A) (B) (A) Representação dos componentes do vetor F nas Mudando-se a direção do vetor F (por exemplo, alterando-se valor do ângulo a), módulo dos componentes se altera.Quando mudamos a direção do vetor por exemplo, aumentando ângulo módulo dos compo- nentes se altera. Na situação limite em que o vetor F esteja situado no eixo y, teremos Fx = o módulo de cada uma das componentes, F e do vetor F pode ser calculado utilizando-se as rela- ções matemáticas entre os lados de um triângulo retângulo cateto oposto a sen a = hipotenusa a adjacente cateto a hipotenusa De forma resumida, essas relações podem ser escritas a partir do triângulo OAB da figura seguinte. y A F o triângulo OAB 30 permite relacionar 45 60 vetor F com B 1 seus componentes 0 Sen 2 2 2 Usando as relações trigonométricas no triângulo OAB, encontramos: 605 J3 e sen a 2 2 2 Parada obrigatória 23. Faça a decomposição dos seguintes vetores: a) Vetor f cujo o módulo é igual a 20. a y 20 FX= 3 1 2 Fx = 3 Fy = 10 30° X