ASSUNTO 05 GEOMETRIA VETORIAL ENIAC

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Introdução à geometria vetorial e suas 
aplicações
APRESENTAÇÃO
No dia a dia, as pessoas estão acostumadas a expressar informações por meio de quantificadores 
numéricos, certo? Por exemplo, a temperatura, a distância ou a velocidade. Algumas vezes, além 
do quantificador, é preciso especificar outros componentes. Nesse caso, além da velocidade de 
um elemento, é possível especificar a direção e o sentido. Esse tipo de informação requer uma 
notação própria e alguma atenção no momento em que as operações aritméticas são realizadas. 
Essas questões relacionadas a essa categoria de quantificador numérico são denominadas 
vetores. 
Um fator motivacional relacionado aos vetores é que, por meio deles, 
é possível resolver problemas nas mais variadas áreas, tais como Matemática, Física, 
Engenharia, Computação, entre outras. Além disso, os vetores são usados extensivamente em 
todas as múltiplas facetas 
no desenvolvimento de jogos. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá estudar o conceito de vetores e suas representações. 
Irá aprender como realizar operações entre vetores e, ainda, a reconhecer aplicações de vetores 
nas áreas de Matemática e Física.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Conceituar vetor e suas representações.•
Realizar operações entre vetores.•
Reconhecer aplicações de vetores nas áreas de Matemática e Física.•
DESAFIO
Uma das aplicações da geometria vetorial é o deslocamento 
de personagens ou objetos de um jogo. O desafio proposto traz uma aplicação específica para 
movimentar personagens considerando um destino específico.
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Com base nessas informações, calcule a posição estimada após 04 segundos considerando as 
especificações e o sentido de deslocamento do gato (considere o percurso uma linha reta).
INFOGRÁFICO
As operações aritméticas que envolvem números reais devem 
respeitar algumas propriedades, e isso também ocorre nas operações vetoriais. As propriedades 
ou leis das operações ajudam a entender 
as equações mais complexas; além disso, outras propriedades 
podem ser derivadas das propriedades clássicas.
Neste Infográfico, você verá as principais propriedades das 
operações vetoriais.
CONTEÚDO DO LIVRO
Um vetor representa um segmento de reta que, além de fornecer seu valor numérico, também 
contém informação da direção e do sentido em que atua. Posição, velocidade, aceleração e 
deslocamento são exemplos de grandezas ditas vetoriais. Dadas essas possibilidades de 
informações que um vetor fornece, você pode imaginar as possiblidades de problemas que 
podem ser resolvidos com o uso de vetores.
No capítulo Introdução à geometria vetorial e suas aplicações, da obra Recursos matemáticos 
aplicados em jogos, você irá estudar todas as questões envolvendo notação e operação de 
vetores, tais como cálculo da magnitude, módulo, vetor unitário, produto escalar e demais 
cálculos aritméticos.
Boa leitura.
RECURSOS 
MATEMÁTICOS 
APLICADOS EM 
JOGOS
Clicéres Mack Dal Bianco
Introdução à geometria 
vetorial e suas aplicações
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Conceituar vetor e suas representações.
 � Realizar operações entre vetores.
 � Reconhecer aplicações de vetores nas áreas de matemática e física.
Introdução
Neste capítulo, você verá que quantidades numéricas resultantes da 
geometria, da física e da engenharia são divididas em duas categorias. 
Algumas delas podem ser descritas usando um único valor, mas outras 
quantidades só podem ser completamente descritas se associadas a 
outras características, por exemplo: primeiro, a diferença entre dois pon-
tos no espaço é representada pela distância entre ambos (magnitude) 
e a direção que um dos pontos aponta para outro, ou seja, sabe-se a 
distância dos pontos e em que direção estão se deslocando; segundo, 
a força agindo sobre um objeto é representada tanto pela magnitude 
como pela direção em que é aplicada.
Essa categoria é representada pelos vetores, pois a partir deles é 
possível descobrir, além de um dado quantificador, as características, 
como o sentido e a direção. Essas características ou componentes são 
úteis em diversas situações e em diferentes áreas do conhecimento, 
como matemática e física.
1 Vetores: definições e representações
Inicialmente, é necessário conceituar um vetor. Os profissionais das ciências 
exatas e engenharias diferenciam dados numéricos em dois tipos: os escalares e 
os vetores. Os escalares são quantidades que podem ser descritas simplesmente 
por valor numérico, enquanto os vetores requerem, além do valor numérico, um 
sentido e uma direção. Por exemplo, o carro andou a uma velocidade de 50 km 
por hora. Assim, é possível se referir à rapidez que o carro se locomoveu e 
nada mais. Nesse caso, trata-se de uma informação escalar. Quando alguém 
diz “o carro andou a 50 km no sentido leste”, há duas informações, “50 km” 
e “leste”. Em um sistema de coordenadas cartesiano, pode-se dizer que essa 
velocidade é dada pelo ponto (50,0), conforme a Figura 1.
Figura 1. Vetor (50,0) projetado no plano cartesiano.
Portanto, comprimento, velocidade escalar e temperatura são exemplos de 
grandezas escalares. Velocidade e força são exemplos de grandezas vetoriais, 
pois requerem um número que diga “quanto” e “para onde”.
Introdução à geometria vetorial e suas aplicações2
Os vetores costumam ser representados, por engenheiros e matemáticos, 
em duas dimensões, no espaço bidimensional, ou três dimensões, no espaço 
tridimensional, por setas. A direção e o sentido da seta especificam a direção 
e sentido do vetor, enquanto o ângulo que essa seta é traçada define seu 
sentido, como ilustra a Figura 2a. O comprimento da seta determina seu 
comprimento ou magnitude. É possível observar ainda, conforme a Figura 2b, 
que o comprimento da seta (magnitude) foi alterado, multiplicando o vetor 
por um escalar, alterando, assim, sua magnitude. Além disso, se o valor desse 
escalar é negativo, a direção na qual o vetor aponta é revertida e a seta é movida 
pelo lado oposto (ponta da seta).
Figura 2. (a) Magnitude e direção de um vetor. (b) Segmentos de linha representando vetores.
Fonte: Adaptada de (a) Rabin (2013) e (b) Khan Academy ([2017?]).
Então, pode-se concluir que um vetor é determinado por seu ponto inicial 
e por sua extremidade. Por exemplo, o vetor v, ilustrado na Figura 3a, tem 
ponto inicial na origem (0, 0) e extremidade em (6, 5). Outro exemplo pode ser 
observado na Figura 1a, que tem ponto inicial na origem (0, 0) e extremidade 
em (50, 0).
De acordo com Axler (2016), algumas vezes, um vetor é especificado indi-
cando apenas a extremidade, assumindo que seu ponto inicial seja a origem. 
Por exemplo, o vetor v mostrado anteriormente pode ser identificado como 
(6, 5), entendendo que a origem é seu ponto inicial. Ou seja, algumas vezes 
se pensa em (6, 5) como um ponto no plano das coordenadas e outras vezes 
em (6, 5) como o vetor que parte da origem e vai até esse ponto.
3Introdução à geometria vetorial e suas aplicações
Vetores com os mesmos comprimentos (magnitude), sentidos (setas apontam 
para o mesmo sentido) e direções (suas retas são paralelas) são ditos equiva-
lentes, como o que é ilustrado na Figura 3b, apresentando os vetores v e w 
que, embora estejam em posições diferentes, são considerados equivalentes, 
pois deve se considerar os componentes comprimento, sentido e direção, não 
incluindo a posição. Esse exemplo pode ser denotado como v = w.
Figura 3. (a) Coordenadas determinando um vetor. (b) Exemplo de vetores equivalentes.
Fonte: (b) Adaptada de Axler (2016).
As operações com vetores dependem da direção e do sentido entre eles. 
Existem várias convenções para se estabelecer sentido e direção. Direção é 
dada pelo sistema de coordenadas (x, y e z), em que o vetor é projetado. Sentido 
pode ser indicado pela extremidade daseta e pode variar entre positivo ou 
negativo, leste, oeste, norte ou sul.
Para diferenciar vetor de escalar, em equações e textos, são utilizadas letras 
minúsculas em negrito, tais como v e u. Algumas literaturas trazem uma seta 
em cima da letra, que denota vetor (v→). Neste capítulo, será adotada a primeira 
terminologia para denotar as grandezas vetoriais.
Introdução à geometria vetorial e suas aplicações4
Observe as diferenças entre um ponto e um vetor relacionadas a seguir. Em termos 
numéricos, podem ser a mesma coisa, mas com semântica diferente.
Ponto (P) Vetor (v)
Representa uma posição Representa um deslocamento
Não tem sentido Tem sentido
Não tem direção Tem direção
Não tem magnitude Tem magnitude
Tem posição Não tem posição específica
Vamos comentar a questão da posição e deslocamento: se você deseja especificar 
uma posição, por exemplo, um lugar A com latitude = 23 e longitude = 46, irá projetar 
um ponto (23, 46). Agora, para denotar um deslocamento entre A (23, 46) e B (50,50), 
precisará deslocar 27 unidades no eixo x e 4 unidades em y, resultando em [27,4], 
o que é diferente de um ponto C na posição (27,4).
Matematicamente, é possível associar pontos e vetores da seguinte forma:
 � A − B = v
 � A + v = B
 � v + n = z
2 Aritmética de vetores
Para a adição vetorial entre dois vetores, v e w, ilustrada na Figura 4a, realiza-
-se colocando o início de w no final de v e, desse modo, resultando em novo 
vetor, que começa em v e termina em w, como mostra a Figura 4b. De acordo 
com Rabin (2013), se considerar cada vetor como a distância e a direção ao 
longo das quais se pode percorrer, então, essa soma representa a distância 
acumulada e a direção que seria percorrida se primeiro se percorresse ao longo 
de v e, em seguida, ao longo de w. Efetivamente, a adição é realizada entre os 
5Introdução à geometria vetorial e suas aplicações
componentes correspondentes. Se v = (a, b) e w = (c, d), então v + w = (a + c, 
b + d). Essa correspondência é válida para n-dimensões. Assim, também se 
está manipulando os componentes de um vetor. O número de componentes 
corresponde à dimensão de um vetor. Em geral, refere-se aos componentes 
x, y e z do vetor.
Já na subtração será percorrido um trajeto ao longo do vetor subtraído na 
direção oposta. Nesse caso, a diferença entre v e w é formada pela inversão 
da direção de w, como mostra a Figura 4c. Se v = (a, b) e w = (c, d), então 
v – w = (a – c, b – d).
Figura 4. (a) Dois vetores v e w. (b) A soma de dois vetores, v e w, é dada pela concatenação 
desses vetores. (c) A diferença entre dois vetores é dada pela inversão da direção que w 
aponta.
Fonte: Adaptada de Axler (2016).
Adicionamos ou subtraímos os componentes individuais de dois vetores desde que 
tenham a mesma dimensão.
Se v e w são n-dimensionais, tal como:
v + w = V1 + w1, V2 + w2, ... , Vn + wn)
v – w = V1 – w1, V2 – w2, ... , Vn – wn)
Os índices 1, 2, ..., n denotam a posição dos componentes no vetor. Em três dimensões, 
esses índices teriam o mesmo significado que x, y e z.
Introdução à geometria vetorial e suas aplicações6
Agora, será analisado o que ocorre quando se multiplica um vetor por um 
escalar. A palavra escalar é utilizada para enfatizar que uma quantidade é um 
número e não um vetor. A multiplicação por escalar resultará em um vetor. 
Suponha-se que v seja um vetor e t seja um número real, então, se v = (a, b), 
logo, vt = (ta, tb). É possível observar que cada componente é multiplicado 
pelo mesmo escalar.
Na maioria das vezes, o interesse é saber o comprimento de um vetor. 
O comprimento também é conhecido como magnitude. Se v = (a, b) en-
tão . Para um vetor v tridimensional, a magnitude é dada por 
. Nesses casos, a magnitude v pode ser pensada como a 
distância da origem. As barras diante v são a notação para módulo, o que signi-
fica que o resultado faz parte de R (conjunto de números reais não negativos).
A fórmula utilizada para o cálculo da magnitude é o teorema de Pitágo-
ras. Segundo Rabin (2013), a distância entre dois pontos p e q corresponde 
ao comprimento (magnitude) de p – q, uma vez que a diferença é o vetor 
cuja direção e comprimento representam o caminho direto iniciando em p 
e terminando em q. Ressalta-se que a multiplicação por um escalar altera a 
magnitude de um vetor.
Outra questão envolvendo a magnitude diz respeito a vetores com magni-
tude igual a 1 ou uma unidade de comprimento. Vetores com essa magnitude 
são denominados normalizados, muito úteis no desenvolvimento de jogos. 
De acordo com Lengyel (2012), o termo vetor normal também existe e se refere 
à propriedade independente em que a direção de um vetor é perpendicular a uma 
superfície. Um vetor normal é, muitas vezes, tratado como se não carregasse 
informação de magnitude, mas puramente direção. A Figura 5 mostra essa 
ideia, em que as setas pretas são os vetores unitários, a circunferência tem 
raio 1 e o comprimento do vetor é desprezado, mantendo a direção. Inúmeras 
são as situações, em cenários de jogos, que o interesse é saber a direção de 
deslocamento dos personagens. Qualquer vetor v pode ser normalizado, basta 
dividi-lo por sua magnitude, tal como:
7Introdução à geometria vetorial e suas aplicações
Figura 5. Vetores representados pelas setas cinzas 
e os unitários pelas setas pretas.
Fonte: Tavares (2014, documento on-line).
O circunflexo, na equação que define o vetor normalizado, é uma notação 
comum para indicar que o vetor tem magnitude igual a 1. Os vetores î, ĵ, k̂ 
são, normalmente, utilizados para indicar vetores alinhados com três eixos 
das coordenadas.
O produto escalar entre vetores é uma operação entre dois vetores que 
resulta em um escalar. Logo, dado dois vetores v e w e seus componentes, 
tal como segue:
v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3). Então p será:
p = v ⋅ w = ∑ni=1 vi ⋅ wi, ou seja, considerando um vetor tridimensional, 
p se torna:
p = v1 · w1 + v2 · w2 + v3 · w3
A definição geométrica do produto escalar de dois vetores v e w é dada pelo 
produto dos módulos multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles, ou seja:
v · w = ||v||||w|| cos θ
Introdução à geometria vetorial e suas aplicações8
Onde o ângulo corresponde a um ângulo planar entre as duas direções para 
as quais os vetores v e w apontam. A partir do exemplo da Figura 6, em que o 
triângulo é formado pela subtração de v e w, é possível identificar o cosseno 
do ângulo entre esses vetores usando o produto vetorial. Essa equação pode 
ser verificada pela lei do cosseno.
O produto escalar é fundamental para o cálculo de operações comuns na 
área de jogos, como o cálculo de ângulos, a projeção de um vetor na direção 
e sentido de outro, a projeção de um vetor numa direção perpendicular à di-
reção de outro, a reflexão de um vetor em torno de outro e a distância de um 
ponto a um plano. Em todos esses cálculos, pode-se simplificar o problema 
considerando que o vetor de referência é unitário. Então, deve-se normalizar 
o vetor antes de fazer os cálculos.
Figura 6. O produto escalar pode ser 
aplicado para verificar o cosseno do 
ângulo formado entre os vetores v e w.
Fonte: Lengyel (2012, p. 16).
Algumas considerações importantes surgem a partir da equação do produto 
escalar. A primeira é que v e w são perpendiculares se v · w = 0, devido ao 
fato que a função cosseno é zero em um ângulo de 90º. Outra questão é que 
os vetores cujo ponto escalar resulta em zero são ortogonais.
9Introdução à geometria vetorial e suas aplicações
3 Aplicações
Até o momento, foram apresentados vetores e as equações relacionadas às 
suas operações de maneira muito genérica, ou seja sem exemplos de aplicação. 
A seguir, serão exemplificados alguns casos para demonstrar a aplicação dos 
vetores, focando nas áreas da matemática e física, pois, nesses casos, também 
há relação com o desenvolvimento de jogos.
Os vetores estão presentes de maneira considerável na física, especialmente, 
na mecânica, em que grandezas físicas, como força e velocidade, podemser 
representadas por vetores. Na área da cinemática, é possível aplicar vetores 
para estimar ou calcular deslocamentos. Axler (2016) exemplifica o uso de 
vetores para encontrar a velocidade.
Imagine um avião que estamos interessados em descobrir sua velocidade 
(rapidez). Dado que o vento na altitude do avião seja de 50 milhas (80 km) por 
hora (em relação ao solo), movendo-se a 20º para o sudeste. Relativamente ao 
vento, o avião está voando a 300 milhas (480 km) por hora em direção a 35° 
para o norte em relação ao vento. Para determinar a rapidez do avião, vamos 
considerar essas informações como sendo componentes de vetores.
Então, vamos representar por w a velocidade do vento. Portanto, w tem 
magnitude 50 e orientação –20°. Isso implica que o vetor vento w tem coor-
denadas (50 cos (–20°), 50 sen (–20°)).
Seja a o vetor indicando o movimento do avião se não houver vento; esse 
vetor é denominado vetor velocidade no ar. Em relação ao vento, o avião está 
apontando 35° para o norte, o que significa que a tem módulo 300 e direção 
15°. Então, o vetor velocidade no ar a tem coordenadas (300 cos 15°, 300 sen 
15°). A Figura 7 ilustra os vetores plotados no gráfico.
Figura 7. Vetores indicando a velocidade do vento (w) e o deslocamento do avião (a). Ao 
somar a + w é obtido o vetor g.
Fonte: Axler (2016 p. 495).
80
40
a
g
W
w 100 200 300
Introdução à geometria vetorial e suas aplicações10
A versão inferior de w tem seu ponto inicial no mesmo local que o ponto 
inicial de a. Pense nesse ponto como a origem. A segunda versão de w tem 
seu ponto inicial na extremidade de a, de tal forma que podemos visualizar 
a soma g = a + w.
Seja g o vetor indicando o movimento do avião em relação ao solo; esse 
vetor é denominado vetor velocidade em relação ao solo. As propriedades 
do movimento implicam que a velocidade em relação ao solo é igual ao ve-
tor velocidade em relação ao ar adicionado do vetor velocidade do vento. 
Em outras palavras, g = a + w.
Em termos de coordenadas, tem-se (observação: os valores dos cosθ são 
obtidos com auxílio de calculadora):
g = a + w
 = (300 cos 15°, 300 sen 15°) + (50 cos 20°, −50 sen 20°)
 = (300 cos 15° + 50 cos 20°, 300 sen 15° − 50 sen 20°)
 ≈ (336,762, 60,5447).
Agora, a rapidez do avião em relação ao solo é o módulo de g:
Logo, relativamente ao solo, o avião está viajando a aproximadamente 
342,2 milhas (547,52 km) por hora.
Agora, serão ilustrados alguns exemplos na área da matemática, especifi-
camente, no campo da álgebra, focando no produto escalar. O produto escalar 
é a multiplicação entre vetores. Assim, será apresentada uma das aplicações 
mais comuns: o ângulo formado entre dois vetores é dado pelo produto escalar. 
Então, dada a equação geométrica do produto escalar, v · w = ||v||||w|| cosθ, 
pode-se isolar o cosseno do ângulo, de modo que:
Para exemplificar, considere os vetores e seus componentes v = (2,1, −2) e 
w = (4, 4,2). Vamos substituir os valores da equação na v · w = ||v||||w|| cosθ:
Resolve-se o lado esquerdo:
v . w = (2,4 + 4,1 + −2,2) => 8
11Introdução à geometria vetorial e suas aplicações
Calcula-se o módulo do vetor v:
Calcula-se o módulo de w:
Substituem-se esses valores na equação:
v · w = ||v||||w|| cosθ
8 = 3,6 cos θ
8 = 18 cos θ
cosθ = 0,44
Segundo Kreyszig (2013), esse resultado permite classificar o ângulo 
formado por dois vetores. Essa classificação é interessante, pois permite 
determinar o sentido de deslocamento dos objetos, conforme a seguir:
 � se v · w > 0, então cosθ > 0, logo, o ângulo é agudo;
 � se v · w < 0, então cosθ < 0, logo, o ângulo é obtuso;
 � se v · w = 0, então cosθ = 0, logo, o ângulo é reto.
Esses ângulos são apresentados na Figura 8. Voltando ao resultado anterior-
mente obtido, cosθ = 0,44, nesse caso, é classificado como agudo, além disso, 
pode-se inferir que os dois vetores estão se deslocando no mesmo sentido.
Introdução à geometria vetorial e suas aplicações12
Figura 8. Alguns exemplos de ângulos formados por dois vetores.
Como exemplo na área da geometria, será apresentado o cálculo da distância 
de um ponto para uma linha. Dado que o ponto seja uma formiga, é necessário 
verificar qual a distância entre ela e a borda de uma janela. É possível realizar 
esse cálculo utilizando o produto escalar. Suponha que o ponto (a formiga) 
se encontra na extremidade do vetor v. Será necessário realizar uma projeção 
do vetor, ilustrado pela seta azul na Figura 9, e subtrair dele sua componente 
perpendicular ao vetor que se deseja projetar.
Figura 9. Projeção sobre a reta w permitindo o cálculo de d.
Fonte: Adaptada de Rabin (2013).
A proj é a projeção do vetor v sobre o vetor w. Podemos escrever a projeção 
como proj = d w. Subtraindo essa projeção do vetor v encontraremos um 
vetor perpendicular a w, o que implica que o seguinte produto escalar é nulo.
(v – dw) · w = 0
13Introdução à geometria vetorial e suas aplicações
Das propriedades:
v · w – d(ww) = 0
v · w – d(w) = 0
d = 
Isso resulta na seguinte fórmula:
Voltando ao nosso exemplo, considere v o ponto e w a linha v = (1,2,7) e 
w = (2,1,2). Aplicando a fórmula, teremos a projeção:
Diante do vetor da projeção, pode-se calcular a magnitude (d) entre essa 
projeção e o v (formiga), para obter a distância entre elas. Para isso, utilizaremos 
a equação da distância:
d = 3,60
Encontra-se, assim, a distância entre a formiga e a borda.
Outra questão que não pode deixar de ser abordada é a aplicabilidade da 
regra do paralelogramo para a adição de vetores. Nesse caso, será feita uma 
conexão com a área da física. 
Introdução à geometria vetorial e suas aplicações14
Segundo os autores Anton e Busby (2007), se v e w são vetores que estão 
posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidem, então, os dois 
vetores formam lados adjacentes de um paralelogramo. Assim, a soma v + w 
é o vetor representado pela seta desde o ponto inicial comum de v e w até o 
vértice oposto do paralelogramo, conforme a Figura 10a.
Observe que a regra descreve corretamente o comportamento aditivo de 
forças, velocidades e deslocamentos na física. Por exemplo, o efeito de se aplicar 
as duas forças, representadas por F1 e F2, ao bloco da Figura 10b, é o mesmo 
que aplicar a única força F1 + F2 ao bloco (os sentidos das setas indicam o 
sentido que a força está sendo aplicada). Da mesma forma, se o motor do barco 
da Figura 10c atribui uma velocidade v e o vento uma velocidade w, então, 
o efeito combinado de motor e vento impõem a velocidade v + w ao barco.
Figura 10. A regra do paralelogramo sendo aplicada na soma dos vetores.
Fonte: (b) Adaptada de Anton e Busby (2007).
Outro foco da física diz respeito aos deslocamentos de partículas. Considere 
uma partícula que se move ao longo de um caminho de um ponto a a um ponto 
b no plano (espaço bidimensional ou tridimensional). Então, a distância em 
linha reta entre a e b, junto com a direção entre a e b e o sentido de a para b, 
formam uma quantidade vetorial denominada vetor deslocamento de a e b, 
como ilustra a Figura 11. O vetor deslocamento descreve a mudança posicional 
da partícula sem levar em conta o particular trajeto que a partícula percorre 
entre as posições inicial e final.
15Introdução à geometria vetorial e suas aplicações
Figura 11. Deslocamento de a para b.
Fonte: Adaptada de Anton e Busby (2007).
Os exemplos de aplicações envolvendo vetores são inúmeros. Por exemplo: 
um sistema mecânico, em que seis partículas se movem ao longo da mesma reta 
coordenada de tal modo que no instante t suas coordenadas são x1, x2, ... , x6 e 
suas velocidades são v1, v2, ... , v6, respectivamente. Essas informações podem 
ser representadas pelo vetor v = (x1,x2,x3,x4,x5,x6,v1,v2,v3,v4,v5,t). O vetor será 
denominado o estado do sistema de partículas no instante t. Enfim, é possível 
listar inúmeros outros exemplos relacionados à força, torque, conversão de 
sistemas 3D para 2D, entre outros.
ANTON, H.; BUSBY, R. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman,2007.
AXLER, S. Pré-cálculo: uma preparação para o cálculo. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
KHAN ACADEMY. Vector magnitude and direction review. [2017?]. Disponível em: 
https://www.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:vectors/
x9e81a4f98389efdf:component-form/a/vector-magnitude-and-direction-review. 
Acesso em: 11 mar. 2020. 
KREYSZIG, E. Matemática superior para engenharia. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC. 2013. 3 v.
LENGYEL, E. Mathematics for 3D game programming and computer graphics. 3rd ed. 
Boston: Cengage Learning, 2012.
RABIN, S. Introdução ao desenvolvimento de games. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2013. 2 v.
TAVARES, A. Revisão álgebra linear (básico e visual). 2014. Disponível em: http://vision.
ime.usp.br/~acmt/hakyll/posts/2014-03-07-linear-algebra.html#magnitude. Acesso 
em: 11 mar. 2020. 
Introdução à geometria vetorial e suas aplicações16
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17Introdução à geometria vetorial e suas aplicações
DICA DO PROFESSOR
Em alguns casos, a aritmética de vetores produz um resultado que é um escalar (como no 
cálculo da magnitude e do produto escalar). Em outras situações, é necessário que o resultado 
seja um vetor. 
Essa necessidade é comum em:
- sistemas tridimensionais para identificar se um ponto pertence a 
um plano, em técnicas de iluminação e conversão de uma vista em perspectiva (3D) para um 
dispositivo (2D);
- cálculos de áreas de figuras geométricas; 
- situações envolvendo características físicas como a força e o torque.
Nesta Dica do Professor, você irá conhecer o produto vetorial que multiplica vetores e produz 
um vetor como resultado. Esse produto 
tem muitas aplicações nas áreas de Física e Matemática e na área de jogos. O produto vetorial 
permite realizar a multiplicação entre vetores, e o resultado será também um vetor.
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EXERCÍCIOS
1) Uma grande diferença entre produto escalar e produto vetorial é que o produto 
vetorial produz um vetor como resultado, já o produto escalar irá produzir um 
escalar (um número). Além disso, o produto vetorial exige que ambos os vetores 
sejam tridimensionais. É amplamente empregado para calcular a área de 
paralelogramo, bem como em conversão de sistema 3D para 2D. Diante disso, 
considere os dois vetores a = ⟨2,1,-1⟩ e b = ⟨-3 ,4 ,1⟩, resolva as 
alternativas a seguir e marque a alternativa correta:
i) a × b
ii) b x a
A) i = (10,12,20); ii = (-10,-12,-20)•
B) i = (5,1,11); ii = (-5,-1,-11)
C) i = (1,6,5); ii = (-1,-6,-5)
D) i = (-3,-6,8); ii = (3,6,-8)
E) i = (3,-1,11); ii = (-3,1,-
Você já deve ter percebido que o produto escalar tem intepretação geométrica importante. 
Para calcular a área de um paralelogramo, também é possível determinar o volume de um 
paralelepípedo.
Perceba que os vetores u, v e w formam o paralelepípedo. O produto vetorial de u e v 
forma um vetor perpendicular. O módulo desse 
vetor refere-se à área. Para o volume, precisamos realizar a 
seguinte operação:
2) 
V = |w· (u x v)|
Essa operação também é denominada pelo produto mitro (usa 0 produto vetorial e o 
escalar). Diante disso, você recebeu a missão de encontrar 
o volume de um paralelepípedo dado pelos seguintes vetores:
w = <6,3-4>, v = <0,2,1>, u = <5, -1, 2>. Calcule o volume do paralelepípedo e marque a 
alternativa correta:
A) 85.
B) 110.
C) 320.
D) 75.
E) 15.
3) Você recebeu um mapa de um labirinto e precisa se deslocar entre uma porta até 
uma provável saída. Nesse trajeto, é necessário que se caminhe 480m em certa 
direção e 200m em uma direção perpendicular à primeira. Calcule a distância em 
linha reta da porta até a saída. Marque a alternativa correta:
A) 700.
B) 520.
C) 500.
D) 220.
E) 300.
4) O deslocamento de elementos é uma prática comum em um cenário 
de jogo, tanto para demonstrar movimentação quanto para criar animações. Em alguns 
momentos, também é necessário calcular os deslocamentos. Agora, veja um exemplo de 
deslocamento da forma A para B usando um vetor v = (m,n). 
Encontre os valores de m e n.
A) (3,3).
B) (-2,3).
C) (0,-5).
D) (0,5).
E) (4,-6).
5) Várias são as operações possíveis usando vetores. Uma dessas operações é o produto 
escalar, um recurso muito utilizado dentro da Geometria. Você recebeu dois vetores, 
a e b, e precisa calcular o escalar ou produto escalar entre eles. Qual seria a resposta 
a = <i+ 2j- 3k> e b =<2i – j + k>?
A) - 7.
B) -8.
C) 6.
D) -3.
E) 12.•
NA PRÁTICA
Alguns recursos provenientes do uso de vetores são fundamentais para se resolver inúmeras 
situações. Essa situação é bem recorrente também em jogos, em que é preciso identificar, por 
exemplo, a direção em que um inimigo está se locomovendo.
Neste Na Prática, você verá um exemplo do uso de vetores.
 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
O produto vetorial
Veja, a seguir, alguns detalhes sobre as propriedades do produto vetorial.
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