Resumo do Capítulo 92

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Resumo do Capítulo 9 – Análise 
Diferencial do Escoamento de 
Fluidos 
O estudo da análise diferencial do escoamento de fluidos é fundamental para 
compreender o comportamento dos fluidos em nível microscópico, permitindo uma 
descrição mais precisa dos fenômenos envolvidos. Essa abordagem se baseia na 
formulação de equações diferenciais que descrevem propriedades como velocidade, 
pressão e densidade ao longo do escoamento. 
Conservação da Massa: equação da Continuidade 
A equação da continuidade expressa matematicamente o princípio da conservação da 
massa em um fluido em movimento. No caso de um fluido incompressível, a equação 
diferencial da continuidade em coordenadas cartesianas é dada por: 
 
Onde representa o vetor velocidade do fluido. Essa equação indica 
que não há variação da densidade ao longo do escoamento e que a massa se conserva 
em cada ponto do fluido. 
Exemplo: Em um duto de seção variável, se a área transversal aumenta, a velocidade 
do fluido deve diminuir para manter a conservação da massa, conforme predito pela 
equação da continuidade. 
A conservação do momento linear é um princípio fundamental da mecânica clássica, 
derivado da Segunda Lei de Newton, que afirma que o momento linear de um sistema 
isolado permanece constante na ausência de forças externas: 
 
Matematicamente, a variação do momento linear em relação ao tempo é: 
 
A inovação de Cauchy é a base para a formulação das Equações de Navier-Stokes, que 
modelam o comportamento dos fluidos viscosos. Para fluidos ideais (sem 
particulares), a inovação se simplifica na forma da Equação de Euler 
Equação de Navier-Stokes – Conservação do Momento 
A equação de Navier-Stokes é derivada a partir da aplicação da Segunda Lei de 
Newton a um volume de controle infinitesimal dentro do fluido. Para um fluido 
newtoniano incompressível, sua forma geral é: 
 
Onde: 
 
Essa equação é crucial para a análise dos escoamentos, pois descreve o balanço entre 
as forças de inércia, pressão, viscosidade e forças externas. Ela permite prever 
fenômenos como o escoamento laminar e turbulento, além de determinar perfis de 
velocidade e distribuição de pressão. 
Exemplo: o escoamento totalmente desenvolvido dentro de um tubo horizontal, a 
equação de Navier-Stokes pode ser simplificada para: 
 
Essa equação descreve o perfil de velocidades parabólico, conhecido como 
escoamento de Hagen-Poiseuille, característico do regime laminar em tubos. 
 
Função Corrente 
A função corrente é uma ferramenta matemática que simplifica a análise de 
escoamentos bidimensionais, garantindo que a equação da continuidade seja 
satisfeita automaticamente. Ela é definida por: 
 
Onde é a função corrente. O uso dessa função facilita a representação gráfica do 
escoamento, uma vez que suas linhas representam diretamente as trajetórias 
seguidas pelo fluido. 
Soluções Exatas das Equações da Continuidade e de Navier-Stokes 
As equações diferenciais que governam os fluidos são altamente não lineares, 
tornando difícil a obtenção de soluções analíticas exatas. No entanto, para casos 
específicos, algumas soluções exatas podem ser obtidas, sendo úteis para validar 
modelos numéricos e compreender o comportamento de escolhas simples. Alguns 
exemplos clássicos incluem: 
1) Escoamento de Couette - escoamento entre duas placas paralelas, sendo uma fixa e 
outra em movimento. 
 
2) Escoamento de Poiseuille - escoamento viscoso entre placas paralelas ou em tubos 
circulares devido a um gradiente de pressão. 
 
3) Escoamento de Stokes (Problema da Esfera) - descreva o escoamento ao redor de 
uma esfera pequena em um fluido viscoso. A força de arrasto sobre a esfera é dada 
pela Lei de Stokes: 
 
 
A análise diferencial do escoamento de fluidos é um método essencial para a 
descrição precisa dos fenômenos que ocorrem em diferentes regimes de escoamento. 
No entanto, devido à complexidade matemática envolvida, as soluções exatas são 
obtidas apenas para casos simplificados. Para escoamentos mais complexos, técnicas 
numéricas como a Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD) são amplamente 
empregadas para obter soluções aproximadas que auxiliam na engenharia e na 
pesquisa científica.