Apostila - Professora Luciana - Unidade3a

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CENTRO´IDES E BARICENTROS
1. Centro de gravidade de um corpo bidimensional
• Ja´ vimos que a atrac¸a˜o gravitacional sobre um corpo (seu peso) pode
ser representada por uma forc¸a aplicada no centro de gravidade do
corpo. Vamos agora aprender a determinar o centro de gravidade
para corpos de diversas formas.
• Vamos enta˜o considerar uma placa plana horizontal dividida em n pe-
quenos elementos; as coordenadas de cada elemento sa˜o xi e yi, e
o peso de cada elemento e´ dado por ∆ ~Wi.
1
• Para fins pra´ticos, podemos tomar as forc¸as ∆ ~Wi como paralelas e
perpendiculares ao plano, e portanto a resultante pode ser escrita
como W =
∑
∆Wi. As coordenadas x¯ e y¯ do centro de gravidade G
podem enta˜o ser obtidas pelas equac¸o˜es abaixo:∑
My : x¯W =
∑
xi∆Wi, (1)∑
Mx : y¯W =
∑
yi∆Wi. (2)
Se aumentarmos o nu´mero de elementos em que se divide a placa e
diminuirmos simultaneamente o tamanho de cada elemento, obtere-
mos
W =
∫
dW, x¯W =
∫
xdW, y¯W =
∫
ydW. (3)
• As mesmas equac¸o˜es podem ser obtidas para um fio contido no plano
xy; no entanto, em geral, o centro de gravidade na˜o esta´ localizado
sobre o fio.
• No caso de uma placa homogeˆnea de espessura uniforme, a intensi-
dade do peso W e do peso de cada elemento dW torna-se
W = ρgV = γV = γtA, dW = ρgdV = γtdA, (4)
onde ρ e´ a massa especı´fica do material (densidade), γ e´ o peso
especı´fico, t e´ a espessura da placa, A sua a´rea total e dA a a´rea
de um elemento. As equac¸o˜es que definem a posic¸a˜o do centro de
gravidade tornam-se, neste caso
x¯A =
∫
xdA, y¯A =
∫
ydA. (5)
O ponto de coordenadas x¯ e y¯ tambe´m e´ conhecido como centro´ide
C da superfı´cie da placa, isto e´, para uma placa homogeˆnea o centro
de gravidade coincide com o centro´ide.
• Seguindo o mesmo raciocı´nio acima, para um fio homogeˆneo de com-
primento L teremos
x¯L =
∫
xdL, y¯L =
∫
ydL. (6)
• A integral ∫ xdA e´ conhecida como momento de primeira ordem da
superfı´cie A em relac¸a˜o ao eixo y. Analogamente, a integral
∫
ydA
define o momento de primeira ordem da superfı´cie A em relac¸a˜o ao
eixo x,
Qy =
∫
xdA, Qx =
∫
ydA. (7)
Logo,
Qy = x¯A, Qx = y¯A. (8)
• Relac¸o˜es semelhantes podem ser obtidas para os momentos de primei-
ra ordem de uma curva em relac¸a˜o aos eixos de coordenadas.
• Quando uma superfı´cieA ou uma curva L possui um eixo de simetria,
seu momento de primeira ordem em relac¸a˜o a esse eixo e´ zero e seu
centro´ide localiza-se sobre esse eixo.
• Se uma superfı´cie ou curva tiver dois eixos de simetria, seu centro´ide
C devera´ se localizar na intersec¸a˜o dos dois eixos.
• Em muitas situac¸o˜es, uma placa plana pode ser dividida em retaˆngulos,
triaˆngulos ou outras formas usuais. As coordenadas do centro de
gravidade G para a placa podem enta˜o ser escritas como
X¯
∑
i
Wi =
∑
i
x¯iWi, Y¯
∑
i
Wi =
∑
i
y¯iWi, (9)
onde x¯i, y¯i eWi sa˜o as coordenadas e o peso de cada parte macrosco´-
pica que forma a placa.
• Se a placa for homogeˆnea e de espessura uniforme, o centro de gravi-
dade coincide com o centro´ide:
Qx = Y¯
∑
i
Ai =
∑
i
y¯iAi, Qy = X¯
∑
i
Ai =
∑
i
x¯iAi. (10)
As equac¸o˜es acima fornecem os momentos de primeira ordem da su-
perfı´cie composta e podem ser usadas para se obter as coordenadas
X¯ e Y¯ do seu centro´ide.
• O raciocı´nio anterior vale para fios e curvas compostas.
Exemplo 1: Para a superfı´cie mostrada, determine (a) os momentos
de primeira ordem em relac¸a˜o aos eixos x e y e (b) a localizac¸a˜o do
centro´ide.
Podemos verificar que a superfı´cie e´ formada pela adic¸a˜o de um retaˆn-
gulo, um triaˆngulo e um semicı´rculo e pela subtrac¸a˜o de um cı´rculo.
Utilizando-se os eixos de coordenadas da figura e a tabela do final do
exercı´cio, a a´rea e as coordenadas do centro´ide de cada componente
sa˜o determinadas:
Pela tabela anterior, verificamos que Qx = 506,3 × 103 mm3 e
Qy = 757,7 × 103 mm3. Podemos agora determinar a localizac¸a˜o
do centro´ide utilizando a soma das a´reas calculada na tabela anterior
e as equac¸o˜es (10): X¯ = 54,8 mm e Y¯ = 36,6 mm.
Exemplo 2: A figura mostrada e´ feita de um pedac¸o de arame fino e
homogeˆneo. Determine a localizac¸a˜o do centro de gravidade.
Como a figura e´ formada por um arame homogeˆneo, seu centro de
gravidade coincide com o centro´ide da curva correspondente. Esco-
lhendo os eixos de coordenadas mostrados na figura, determinamos
a posic¸a˜o do centro´ide de cada segmento de reta e calculamos os
momentos de primeira ordem em relac¸a˜o aos eixos de coordenadas:
Utilizando as equac¸o˜es que determinam o centro´ide de uma curva
composta:
X¯
∑
L =
∑
x¯L→ X¯ (150) = 3.750, (11)
Y¯
∑
L =
∑
y¯L→ Y¯ (150) = 1.125, (12)
e encontramos enta˜o X¯ = 25 cm e Y¯ = 7,5 cm.
Figuras:
– http://pt.scribd.com/doc/45340494/Tabla-de-Centroides-1#scribd
– Curso de Mecaˆnica Geral - Prof. Antoˆnio Carlos P. Bitencourt - Instituto Federal de Educac¸a˜o,
Cieˆncia e Tecnologia/Bahia
Refereˆncias:
– BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecaˆnica Vetorial para Engenheiros: esta´tica. 5. ed. Sa˜o
Paulo: Pearson Education, 2008.