Propriedades Geométricas de Área

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DESCRIÇÃO
A aplicação das equações matemáticas no estudo das principais propriedades geométricas de
uma seção reta de área A.
PROPÓSITO
Compreender as propriedades geométricas de uma seção de área A como requisito
fundamental na formação do engenheiro, pois tais propriedades geram uma importante
ferramenta no aprendizado de efeitos comuns, como: torção, flexão e cisalhamento, em
estruturas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou
use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular o centroide de uma área
MÓDULO 2
Calcular o momento estático de uma área
MÓDULO 3
Calcular o momento de inércia de uma área
MÓDULO 4
Empregar o produto de inércia de uma área
APRESENTAÇÃO DAS PROPRIEDADES
GEOMÉTRICAS DE ÁREA E SUAS APLICAÇÕES
AVISO: orientações sobre unidades de medida.
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por
questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um
espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais
materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos
números e das unidades.
MÓDULO 1
 Calcular o centroide de uma área.
javascript:void(0)
O CENTROIDE DE UMA ÁREA
INTRODUÇÃO
No estudo das propriedades geométricas de uma área A, é fundamental reconhecer o ponto
denominado centroide, uma vez que várias expressões matemáticas dos fenômenos ocorridos
em uma estrutura o utilizam como referencial (eixos que passem por esse ponto). Além disso,
é importante calcular as coordenadas desse ponto em relação a um dado conjunto de eixos.
A figura mostra uma área A, no plano xy, e o seu centroide C cujas coordenadas são dadas
por e .x̄ ȳ
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 1 - Centroide de uma área
CENTROIDE VERSUS CENTRO DE MASSA
O centroide de uma área e centro de massa são identificados pelas coordenadas de um
ponto. Seus conceitos são distintos, mas sob determinadas condições, esses pontos podem
ser coincidentes, apresentando a mesma localização em relação a um par de eixos.
Centro de massa
O centro de massa é um ponto onde pode-se considerar toda a massa concentrada.

Centroide
O centroide, independe da massa, é uma característica geométrica.
Supondo uma placa no plano xy de espessura constante t e massa específica uniforme, os
pontos que definem o centro de massa e o centroide coincidem. A figura a seguir apresenta
uma área A cujo material possui massa específica não constante. Nesse caso, o centroide e o
centro de massa não coincidem.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues
 Figura 2 - Centroide e centro de massa
No caso de uma superfície geométrica com massa específica constante, os pontos associados
ao centroide e ao centro de massa são coincidentes, isto é, apresentam as mesmas
coordenadas para um mesmo par de eixos.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 3 - Centroide e centro de massa coincidentes
 ATENÇÃO
O centroide está associado exclusivamente à geometria da área. Assim, dois retângulos
congruentes, sendo um constituído de alumínio e o outro, de madeira, apresentarão o mesmo
centroide para o mesmo par de eixos.
EXEMPLO 1
Considere dois retângulos com dimensões b e h (em centímetros) e um mesmo par de eixos
xy. O primeiro dos retângulos é constituído de aço 1020 e o segundo de alumínio 7012. A
respeito das coordenadas dos centroides (em centímetros) dessas duas seções geométricas,
qual é a opção que pode apresentar corretamente as coordenadas do centroide de cada
retângulo?
(1, 2) e (2 e 1)
(1, 2) e (5 e 6)
(4, 1) e (4 e 1)
(0, 0) e (1 e 1)
(2, 1) e (6 e 5)
RESOLUÇÃO
O centroide independe do tipo de material que compõe a área. É função apenas da área.
Considere as figuras a seguir que representam os dois retângulos descritos no exemplo para o
eixo xy.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues
Como as dimensões são iguais e os eixos de referências são idênticos, os centroides
apresentarão mesmas coordenadas (a, b). Assim, a alternativa C é a única possível.
DETERMINAÇÃO DO CENTROIDE
No item anterior, foi feita uma análise qualitativa sobre o centroide de uma área A. Agora, o
objetivo é a determinação do centroide, ou seja, encontrar suas coordenadas .
Na figura abaixo tem-se uma representação esquemática de uma área A, o ponto centroide e
as coordenadas para o par xy considerado.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 4 - Representação do centroide de uma área.
As coordenadas do centroide são determinadas a partir das equações 1 e 2, a seguir:
(equação 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(equação 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que o denominador, , é igual à área A da figura.
 ATENÇÃO
(x̄, ȳ)
x̄ =
∫ x dA
∫ dA
ȳ =
∫ y dA
∫ dA
∫ dA
Caso a superfície não esteja no plano xy, será determinada, também, a coordenada:
EXEMPLO 2
Determinar as coordenadas do centroide de um retângulo de base b e altura h em relação aos
eixos x e y.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues
RESOLUÇÃO
Inicialmente, deve-se individualizar um elemento infinitesimal de área dA. Nesse exemplo, o
elemento de área é um retângulo vertical de base dx e altura h. A abscissa do centroide desse
elemento é x.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
z̄ =
∫ z dA
∫ dA
Assim, é possível escrever que (área do retângulo). Substituindo na equação 1,
tem-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira análoga, é possível determinar a ordenada do centroide, ou seja, .
EXEMPLO 2.1 - APLICAÇÃO
Determine o centroide de uma placa retangular de base 20cm e altura 8cm em relação ao par
de eixos x e y, de tal forma que x passe pela base do retângulo e y, pela altura, à esquerda.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 5 - Centroide de uma área.
RESOLUÇÃO
A partir das expressões encontradas no exemplo anterior, basta fazer a substituição dos
valores da base e da altura. Assim:
 
 
e 
 
Logo, C (10, 4) cm.
O centroide de uma área pode ser um ponto pertencente ou não à área A.
dA = h ⋅ dx
x̄ = = = = = =
∫ x dA
∫ dA
∫
b
0 x.h.dx
A
h ∫
b
0 x.dx
b.h
h. x
2
2
b.h
h. b
2
2
b.h
b
2
ȳ = h
2
x̄ = = = 10cmb2
20
2
ȳ = = = 4cmh2
8
2
A figura 6 representa as duas possibilidades.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 6 - Centroide de uma área pertencente e não pertencente à área
TEOREMA DA SIMETRIA
Muitas seções que são utilizadas na Engenharia apresentam simetria, como os perfis
mostrados abaixo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 7 - Seções com simetrias (eixos representados).
HAVENDO A SIMETRIA NA ÁREA EM QUE SE DESEJA
DETERMINAR O CENTROIDE, O TEOREMA DA
SIMETRIA É UMA FERRAMENTA QUE AUXILIA NA
DETERMINAÇÃO DE SUAS COORDENADAS. O
CENTROIDE C ESTARÁ SOBRE O EIXO DE SIMETRIA.
NO CASO DE EXISTIREM DOIS EIXOS DE SIMETRIA, O
CENTROIDE C ESTARÁ NA INTERSEÇÃO DESSES
EIXOS.
A partir do teorema da simetria, é fácil localizar o centroide de uma placa retangular de
dimensões b (base) e h (altura). A figura a seguir, ilustra a utilização do teorema para o caso
de um retângulo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 8 - Centroide de um retângulo a partir do teorema da simetria
EXEMPLO
Suponha um retângulo de área 72cm² e tal que sua base seja o dobro de sua altura.
Determine as coordenadas do centroide em relação ao par de eixos indicados na figura.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues
RESOLUÇÃO
Inicialmente, deve-se determinar as dimensões do retângulo. Seja a altura e, portanto,
a base será . Como a área é igual a 72cm², tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a base b é igual a 12cm e a altura h igual a 6cm.
Utilizando o teorema da simetriaé possível localizar o centroide da área retangular. Veja:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Da figura anterior, é possível determinar (por inspeção) as coordenadas do centroide em
relação aos eixos considerados. Assim, a abscissa do centroide é igual a 10cm e a
ordenada é igual a 5cm.
 ATENÇÃO
h = x
b = 2 ⋅ x
x ⋅(2x)= 72 → 2 ⋅ x2 = 72 → x2 = 36 → x = 6cm
(x̄)
(ȳ)
Quando o eixo y for de simetria, sabe-se que , e quando o eixo x for de simetria, que 
. Caso os dois eixos x e y sejam de simetria, o centroide encontra-se na origem C (0,0).
CENTROIDE DE FIGURAS COMPOSTAS
Muitas seções podem ser decompostas em figuras geométricas mais simples, cuja localização
do centroide é conhecida. Dessa forma, a partir de uma média ponderada, é possível
determinar o centroide da figura composta. As relações matemáticas são apresentadas nas
equações 3 e 4.
(equação 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(equação 4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que e são as coordenadas do centroide do elemento i que forma a peça composta e
Ai sua área.
A tabela mostra algumas figuras geométricas simples e as coordenadas de seus centroides
em relação ao par xy adotado.
Figura geométrica
x̄ = 0
ȳ = 0
x̄ =  
∑ x̄i.Ai
∑Ai
ȳ =  
∑ ȳ i.Ai
∑Ai
x̄i ȳ i
x̄ ȳ
Figura geométrica
Imagem: Julio Cesar José
Rodrigues Junior
Imagem: Julio Cesar José
Rodrigues Junior
Imagem: Julio Cesar José
Rodrigues Junior
R
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 1 – Centroides de figuras geométricas.
Conhecendo as expressões simples da tabela 1, é possível determinar o centroide de peças
compostas a partir dessas figuras geométricas, utilizando as equações 3 e 4.
x̄ ȳ
b
2
h
2
b
3
h
3
4R
3p
EXEMPLO 3
Considere um perfil T cujas dimensões são apresentadas na figura. Determine as
coordenadas de seu centroide em relação ao par de eixos apresentado.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
A partir do teorema da simetria, o centroide do perfil T encontra-se no eixo de simetria. Logo, a
abscissa do centroide do perfil T é 10cm.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Para a determinação da ordenada do centroide, será feita a decomposição da figura, conforme
esquema a seguir:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Considerando os retângulos 1 e 2, tem-se:
Retângulo 1: e 
Retângulo 2: e 
A partir da equação 4:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, C (10,16)cm
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE UMA ÁREA NA FORMA DE UM RETÂNGULO DE
DIMENSÕES 100MM (BASE) E 50MM (ALTURA). EM RELAÇÃO AO PAR
DE EIXOS XY MOSTRADO NA FIGURA, AS COORDENADAS DO
CENTROIDE DA ÁREA ESTÃO CORRETAMENTE EXPRESSAS NA
OPÇÃO:
ȳ1 = 10cm A1 = 4. 20 = 80cm
2
ȳ2 = 22cm A2 = 4. 20 = 80cm
2
ȳ = = = = = 16cm
∑ ȳ i⋅Ai
∑Ai
ȳ1⋅A1+ȳ2⋅A2
 A1+A2
10⋅80+22⋅80
80+80
2560
160
A) C (50,25)mm
B) C (25,50)mm
C) C (0,0)mm
D) C (50,50)mm
E) C (25,25)mm
2. SEJA UMA SEÇÃO RETANGULAR DE DIMENSÕES 80MM (BASE) E
40MM (ALTURA). EM RELAÇÃO AO PAR DE EIXOS XY (PASSANDO NOS
PONTOS MÉDIOS DA BASE E DA ALTURA) MOSTRADO NA FIGURA,
QUAIS AS COORDENADAS DO CENTROIDE DA ÁREA?
A) C(40,20)mm
B) C(20,40)mm
C) C(20,20)mm
D) C(0,0)mm
E) C(40,40)mm
3. UM ESTAGIÁRIO DE ENGENHARIA NECESSITA DETERMINAR O
CENTROIDE DA ÁREA (QUARTO DE CÍRCULO DE RAIO R) DA FIGURA A
SEGUIR, TOMANDO-SE OS EIXOS X E Y COMO REFERÊNCIA.
A) C (0, )
B) C (0,0)
C) C ( ,0)
D) C ( , )
E) C (0, )
4. CONSIDERE UM PERFIL NA FORMA DE UM , CONFORME A
ILUSTRAÇÃO A SEGUIR. AS ABAS SUPERIOR E INFERIOR TÊM,
RESPECTIVAMENTE, 20CM E 10CM E ESTÃO SIMETRICAMENTE
DISPOSTAS EM RELAÇÃO À ALMA DO PERFIL DE ESPESSURA 2CM. A
ORDENADA DO CENTROIDE DESSA ÁREA É:
A) 10cm
B) 12cm
C) 8,5cm
D) 7,5cm
4R
3π
4R
3π
4R
3π
4R
3π
2R
3π
I
E) 7cm
5. CONSIDERE AS AFIRMATIVAS A SEGUIR:
O CENTRO DE MASSA E O CENTROIDE DE UMA SUPERFÍCIE
SEMPRE COINCIDEM.
O CENTROIDE DE UMA SUPERFÍCIE SEMPRE PERTENCERÁ À
SUPERFÍCIE.
QUANDO UMA SUPERFÍCIE APRESENTA UM EIXO DE SIMETRIA, O
CENTROIDE SEMPRE ESTARÁ SOBRE ESSE EIXO.
AS COORDENADAS DO CENTROIDE DE UMA ÁREA INDEPENDEM
DOS EIXOS ADOTADOS COMO REFERÊNCIAS.
SÃO CORRETAS:
A) Apenas a afirmativa II
B) Apenas a afirmativa III
C) Apenas as afirmativas II e III
D) Apenas as afirmativas I, II e III
E) Apenas as afirmativas I, II e IV
6. CONSIDERE UMA SEÇÃO RETA DE UMA VIGA, REPRESENTADA PELA
FIGURA. A EXPRESSÃO MATEMÁTICA ASSOCIADA É DADA POR
, .
y = x3
0 ≤ x ≤ 400mm
DETERMINANDO A ABSCISSA DO CENTROIDE DA SEÇÃO, O VALOR
ENCONTRADO É:
A) 150mm
B) 180mm
C) 250mm
D) 300mm
E) 320mm
GABARITO
1. Considere uma área na forma de um retângulo de dimensões 100mm (base) e 50mm
(altura). Em relação ao par de eixos xy mostrado na figura, as coordenadas do centroide
da área estão corretamente expressas na opção:
A alternativa "A " está correta.
O retângulo apresenta dois eixos de simetria (passando pelos pontos médios da base e da
altura). Assim, o seu centroide encontra-se na metade da base e na metade da altura, ou seja,
50mm e 25mm. Considerando o par de eixos adotado, C(50,25)mm.
2. Seja uma seção retangular de dimensões 80mm (base) e 40mm (altura). Em relação ao
par de eixos xy (passando nos pontos médios da base e da altura) mostrado na figura,
quais as coordenadas do centroide da área?
A alternativa "D " está correta.
O retângulo apresenta dois eixos de simetria. Assim, o seu centroide encontra-se no encontro
desses eixos. Os eixos x e y adotados são os de simetria. Logo, o centroide está na origem,
isto é, C(0,0)mm
3. Um estagiário de Engenharia necessita determinar o centroide da área (quarto de
círculo de raio R) da figura a seguir, tomando-se os eixos x e y como referência.
A alternativa "D " está correta.
O quarto de círculo possui um eixo de simetria que é a reta bissetriz dos eixos. Assim, o
centroide está sobre essa bissetriz. Como o ângulo é de 45º, o centroide é equidistante dos
eixos x e y (triângulo isósceles – ver figura). Uma vez que, para o semicírculo, o centroide está
a uma distância de do diâmetro, é possível concluir que . Observe a figura a
seguir:
4R
3π
x̄ = ȳ = 4R
3π
4. Considere um perfil na forma de um , conforme a ilustração a seguir. As abas
superior e inferior têm, respectivamente, 20cm e 10cm e estão simetricamente dispostas
em relação à alma do perfil de espessura 2cm. A ordenada do centroide dessa área é:
A alternativa "C " está correta.
Fazendo a decomposição do perfil em três retângulos: superior, base e vertical, e
determinando a ordenada dos seus centroides em relação ao par xy e suas áreas, tem-se:
Retângulo horizontal base: e 
Retângulo aba superior: e 
Retângulo vertical: e 
A partir da equação 4:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Considere as afirmativas a seguir:
I
¯̄y1 = 1cm A1 = 2. 10 = 20cm
2
¯̄y2 = 13cm A2 = 2. 20 = 40cm
2
¯̄y3 = 7cm A2 = 2. 10 = 20cm
2
¯̄y = = = = = 8,5cm
∑ ¯̄yi.Ai
∑Ai
¯̄y1. A1+ ̄ȳ2. A2+¯̄y3. A3
A1+A2+A3
1.20+13.40+7.20
20+40+20
680
80
O centro de massa e o centroide de uma superfície sempre coincidem.
O centroide de uma superfície sempre pertencerá à superfície.
Quando uma superfície apresenta um eixo de simetria, o centroide sempre estará
sobre esse eixo.
As coordenadas do centroide de uma área independem dos eixos adotados como
referências.
São corretas:
A alternativa "B " está correta.
I – O centro de massa e o centroide coincidem quando a superfície é constituída de material
cuja massa específica é constante.
II – O centroide pode estar ou não na superfície, dependendo da distribuição da área.
IV – As coordenadas do centroide dependem do referencial adotado. O ponto físico não muda
de posição, mas suas coordenadas podem variar para cada par de eixos xy adotado.
6. Considere uma seção reta de uma viga, representada pela figura. A expressãomatemática associada é dada por , .
Determinando a abscissa do centroide da seção, o valor encontrado é:
A alternativa "E " está correta.
No vídeo a seguir o professor apresenta a resolução da questão. Veja!
y = x3 0 ≤ x ≤ 400mm
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um engenheiro faz parte de uma equipe que deverá dimensionar uma estrutura. Uma das
etapas desse dimensionamento é a determinação do centroide de uma seção representada
pela figura. A expressão matemática associada é dada por , .
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
y = 2.x2 0 ≤ x ≤ 1m
RESOLUÇÃO
O engenheiro, portanto, deseja encontrar as coordenadas do centroide da seção em relação
ao par de eixos considerado. No vídeo a seguir o professor apresenta a resolução da questão.
Veja!
CÁLCULO DO CENTROIDE DE UMA ÁREA POR MEIO
DE INTEGRAÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (IBFC ‒ EBSERH ‒ 2020 ‒ ENGENHEIRO MECÂNICO) 
 
O USO DE INTEGRAIS NO DESENVOLVIMENTO DE COMPONENTES
MECÂNICOS PERMITE QUE O ENGENHEIRO POSSA OBTER DIVERSOS
PARÂMETROS UTILIZADOS NOS CÁLCULOS DE RESISTÊNCIA DE UMA
PEÇA. A RESPEITO DO CÁLCULO DO CENTROIDE, ASSINALE A
ALTERNATIVA CORRETA:
A) O centroide sempre terá o mesmo valor, em módulo, do centro de massa de uma mesma
peça.
B) Só é possível obter o centroide de uma área caso a secção seja simétrica em um dos
eixos.
C) Para cálculo do centroide, é necessário saber o material da peça em questão.
D) O centroide de uma área refere-se ao ponto que define o centro geométrico dela.
E) O centroide de uma área refere-se ao ponto que define o centro de massa de uma peça.
2. UMA ESTRUTURA TEM UMA VIGA EM PERFIL TAL QUE AS ABAS
SUPERIOR E INFERIOR APRESENTAM O MESMO COMPRIMENTO, E A
ALMA ESTÁ SIMETRICAMENTE DISPOSTA EM RELAÇÃO AS ESSAS
ABAS. OBSERVE A SEÇÃO RETA DESSA VIGA:
AS DIMENSÕES SÃO AS SEGUINTES: AS ABAS (RETÂNGULOS
HORIZONTAIS) TÊM 100MM DE COMPRIMENTO E 10MM DE ESPESSURA,
E A ALMA (RETÂNGULO VERTICAL) TEM 120MM DE COMPRIMENTO E
ESPESSURA DE 10MM. COM RELAÇÃO AOS EIXOS X E Y ADOTADOS
(DE SIMETRIA), AS COORDENADAS DO CENTROIDE SÃO:
I
A) (50,60)mm
B) (60,50)mm
C) (0,70)mm
D) (0,0)mm
E) (50,70)mm
GABARITO
1. (IBFC ‒ EBSERH ‒ 2020 ‒ Engenheiro Mecânico) 
 
O uso de integrais no desenvolvimento de componentes mecânicos permite que o
engenheiro possa obter diversos parâmetros utilizados nos cálculos de resistência de
uma peça. A respeito do cálculo do centroide, assinale a alternativa correta:
A alternativa "D " está correta.
 
O centroide de uma área independe do material. É função exclusiva da forma. O centro de
massa é dependente da massa específica do material. Centroide e centro de massa
coincidem quando a massa específica do material que constitui a área é constante.
2. Uma estrutura tem uma viga em perfil tal que as abas superior e inferior apresentam
o mesmo comprimento, e a alma está simetricamente disposta em relação as essas
abas. Observe a seção reta dessa viga:
As dimensões são as seguintes: as abas (retângulos horizontais) têm 100mm de
comprimento e 10mm de espessura, e a alma (retângulo vertical) tem 120mm de
I
comprimento e espessura de 10mm. Com relação aos eixos x e y adotados (de simetria),
as coordenadas do centroide são:
A alternativa "D " está correta.
 
Uma vez que os eixos x e y considerados são simétricos, o teorema da simetria afirma que o
centroide se localiza em sua interseção. Como a interseção é a origem do par, o centroide tem
coordenadas (0,0)mm.
MÓDULO 2
 Calcular o momento estático de uma área
INTRODUÇÃO
O MOMENTO ESTÁTICO DE UMA ÁREA
O momento estático de uma área A também é denominado momento de primeira ordem.
Matematicamente, sua determinação é realizada pela resolução de uma integral. Uma
aplicação para o momento estático é a determinação das coordenadas do centroide de uma
área, visto no módulo anterior.
CONCEITOS DE MOMENTO ESTÁTICO DE
UMA ÁREA
Considere uma área A e dois eixos x e y de referência.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 9 - Área A e par xy de referência.
Considerando um elemento infinitesimal de área dA, os momentos estáticos dessa área são
definidos em relação aos eixos x e y, de acordo com as equações 5 e 6.
dSx = ydA
(equação 5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(equação 6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que y e x são, respectivamente, as distâncias da área infinitesimal aos eixos x e y.
Integrando-se as equações 5 e 6, tem-se os momentos estáticos da área A em relação aos
eixos x e y. Observe as equações 7 e 8:
(equação 7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(equação 8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
AS UNIDADES DE MOMENTO ESTÁTICO SÃO
UNIDADES DE COMPRIMENTO ELEVADAS À
TERCEIRA POTÊNCIA, OU SEJA, , , 
ETC.
EXEMPLO 4
dSy = xdA
Sx = ∫ ydA
Sy = ∫ xdA
cm3 m3 mm3
Seja uma seção retangular de base b, altura h e o par xy, conforme figura. Determine os
momentos estáticos da seção em relação aos eixos.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
Inicialmente, deve-se individualizar um elemento infinitesimal de área dA. Nesse exemplo, o
elemento de área é um retângulo vertical de base dx e altura h, sendo a distância desse
elemento ao eixo y igual a x.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Assim, é possível escrever que (área do retângulo). Substituindo na equação 8,
tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira análoga, é possível determinar o momento estático da área retangular em relação
ao eixo x, isto é, .
SINAIS DO MOMENTO ESTÁTICO
dA = h.dx
Sy = ∫ xdA = ∫
b
0
x.h.dx = h. ∫ b
0
x.dx =  h. =x
2
2
b2.h
2
Sx =
b.h2
2
Considere o par de eixos xy e seus quatro quadrantes. Em cada um desse quadrantes, existe
uma área .
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 10 - Áreas nos quatro quadrantes.
A áreas , , e sempre apresentam valores positivos e as coordenadas x e y em
cada quadrante podem ter valores positivos ou negativos.
1º QUADRANTE: E 
2º QUADRANTE: E 
3º QUADRANTE: E 
4º QUADRANTE: E 
A partir das equações 7 e 8 e a argumentação de sinais anteriores, é possível concluir que:
No 1º quadrante, x e y são positivos. Como a área é positiva, seções retas situadas
inteiramente nesse quadrante têm e positivos.
Analogamente, é possível concluir sobre os sinais de e em cada quadrante:
2º quadrante: e 
3º quadrante: e 
4º quadrante: e 
Ai
Ai
A1 A2 A3 A4
x > 0 y > 0
x < 0 y > 0
x < 0 y < 0
x > 0 y < 0
Sx Sy
Sx Sy
Sy < 0 Sx < 0
Sy < 0 Sx < 0
Sy > 0 Sx < 0
MOMENTO ESTÁTICO E CENTROIDE
No módulo 1, as equações 1 e 2 determinam as coordenadas do centroide de uma área. A
partir dessas equações, é possível escrever que:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
A partir das expressões anteriores, é possível afirmar que quando o eixo considerado para o
cálculo do momento estático for centroidal (passar pelo centroide), o momento de primeira
ordem (ou momento estático da área) é nulo.
EXEMPLO 5
Considere a seção retangular da figura a seguir, em que a base (b) é igual a 200mm e a altura
(h), 80mm. Determine o momento estático em relação aos eixos x e y.
x̄ = → x̄ ⋅ ∫ dA = ∫ x dA →   Sy = x̄ ⋅ A
∫ x dA
∫ dA
ȳ = → ȳ ⋅ ∫ dA = ∫ y dA →   Sx = ȳ ⋅ A
∫ y dA
∫ dA
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
Inicialmente, deve-se determinar as coordenadas do centroide da área. Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A área A do retângulo é dada por . Substituindo os valores nas
expressões de e , tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 6
Determine a expressão para o momento estático em relação ao eixo x de uma placa com o
formato de um semicírculo de raio R.
x̄= → x̄ = = 100mmb
2
200
2
ȳ = → ȳ = = 40mmh
2
80
2
 A = 200 ⋅ 80 = 16.000mm2
Sx Sy
Sy = x̄ ⋅ A → Sy = 100 ⋅ 16000 = 1.600.000mm3
Sx = ȳ ⋅ A → Sx = 40 ⋅ 16000 = 640.000mm3
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
Inicialmente, será utilizada a expressão que determina a ordenada do semicírculo em relação
ao par de eixos adotados. Assim, . A área do semicírculo de raio R é dada pela
expressão .
A expressão que determina o momento estático ou de primeira ordem em relação ao eixo é:
Substituindo as expressões da área e da ordenada do centroide na
expressão do momento estático, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE QUE O EIXO DE TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA DE UM
MOTOR SEJA CIRCULAR MACIÇO DE 100MM DE RAIO. SUPONHA UMA
SEÇÃO RETA DO EIXO CIRCULAR E DOIS EIXOS, HORIZONTAL E
VERTICAL, QUE PASSAM PELO CENTRO DO CÍRCULO. DETERMINE OS
MOMENTOS ESTÁTICOS DA SEÇÃO RETA EM RELAÇÃO AOS EIXOS X E
Y.
A) e 
ȳ = 4R
3π
A = π⋅R
2
2
Sx = ȳ ⋅ A
A = π⋅R
2
2
ȳ = 4R
3π
Sx = ȳ ⋅ A → Sx = ⋅ =
4R
3π
π⋅R2
2
2⋅R3
3
Sx = 1.000.000mm3 Sy = 1.000.000mm3
B) e 
C) e 
D) e 
E) e 
2. A FIGURA A SEGUIR APRESENTA UMA REGIÃO RETANGULAR CUJAS
DIMENSÕES SÃO: BASE 12CM E ALTURA 6CM. CONSIDERANDO O EIXO
X DA FIGURA, DETERMINE O MOMENTO ESTÁTICO DA ÁREA
RETANGULAR EM RELAÇÃO AO EIXO X CONSIDERADO.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. SUPONHA UMA SEÇÃO RETA COM A FORMA DE UM QUADRADO DE
LADO L. O MOMENTO ESTÁTICO DA ÁREA EM RELAÇÃO AO EIXO
HORIZONTAL X QUE PASSA PELA BASE DO QUADRADO É DADO PELA
SEGUINTE EXPRESSÃO:
A) 
B) 
C) 
Sx = 10.000mm3 Sy = 10.000mm3
Sx = −1.000.000mm3 Sy = −1.000.000mm3
Sx = 0 Sy = 0
Sx = −10.000mm3 Sy = −10.000 mm3
60cm3
216cm3
360cm3
432cm3
400cm3
Sx = L
3
2
Sx = L
3
3
Sx = L
3
4
D) 
E) 
4. UMA VIGA TEM COMPRIMENTO DE 2M E SEÇÃO RETA UM
SEMICÍRCULO DE DIÂMETRO 300MM. O MOMENTO ESTÁTICO DA
SEÇÃO EM RELAÇÃO AO EIXO QUE COINCIDE COM O DIÂMETRO, EM 
, É IGUAL A:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5. CONSIDERE A SEÇÃO RETA DE UMA ESTRUTURA, CONFORME A
FIGURA. SUPONDO QUE O RAIO DO QUARTO DE CÍRCULO VALE
300MM, DETERMINE O MOMENTO ESTÁTICO EM RELAÇÃO AO EIXO E,
QUE PASSA PELO CENTROIDE DA ÁREA.
A) 
B) 
C) 
Sx =
L3
6
Sx =
L3
8
mm3
1,25 × 106
1,50 × 106
1,75 × 106
2,00 × 106
2,25 × 106
0
10 × 106 mm3
12 × 106mm3
D) 
E) 
6. UMA ESTRUTURA MECÂNICA É CONSTRUÍDA UTILIZANDO-SE O AÇO
ASTM A36. UMA DAS PARTES DESSA ESTRUTURA É UMA VIGA, CUJA
SEÇÃO RETA É UM QUARTO DE CÍRCULO DE RAIO 3,0DM. UM DOS
CÁLCULOS A SER REALIZADO PELO ENGENHEIRO É O DO MOMENTO
ESTÁTICO DA SEÇÃO RETA. CONSIDERANDO O EIXO QUE COINCIDE
COM O RAIO, O VALOR DO MOMENTO ESTÁTICO DA SEÇÃO RETA
VALE:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Considere que o eixo de transmissão de potência de um motor seja circular maciço
de 100mm de raio. Suponha uma seção reta do eixo circular e dois eixos, horizontal e
vertical, que passam pelo centro do círculo. Determine os momentos estáticos da seção
reta em relação aos eixos x e y.
A alternativa "D " está correta.
O centroide do círculo coincide com o seu centro, devido ao fato de dois eixos de simetria
concorrerem nesse centro. Assim, os momentos estáticos do círculo em relação aos eixos x e
y que passam pelo centro, serão nulos. Observe que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
15 × 106mm3
18 × 106mm3
0
6 dm3
9 dm3
15 dm3
18 dm3
Sy = x̄ ⋅ A → Sy = 0 ⋅ A = 0
Sx = ȳ ⋅ A → Sx = 0 ⋅ A = 0
2. A figura a seguir apresenta uma região retangular cujas dimensões são: base 12cm e
altura 6cm. Considerando o eixo x da figura, determine o momento estático da área
retangular em relação ao eixo x considerado.
A alternativa "C " está correta.
Considere o centroide do retângulo, mostrado na figura.
O centroide encontra-se a uma distância do eixo x, conforme a figura. A área é dada
por . Substituindo em .
3. Suponha uma seção reta com a forma de um quadrado de lado L. O momento estático
da área em relação ao eixo horizontal x que passa pela base do quadrado é dado pela
seguinte expressão:
A alternativa "A " está correta.
O momento estático de uma área retangular de base b e altura h em relação ao eixo x que
passa por sua base é dado por: . O quadrado é um caso particular do retângulo em
que b=h=L. Assim, substituindo na expressão, tem-se que .
4. Uma viga tem comprimento de 2m e seção reta um semicírculo de diâmetro 300mm. O
momento estático da seção em relação ao eixo que coincide com o diâmetro, em ,
é igual a:
A alternativa "E " está correta.
ȳ = 5cm
A = 12 × 6 = 72cm2 Sx = ȳ ⋅ A → Sx = 5 ⋅ 72 = 360cm3
Sx =
b⋅h2
2
Sx =
L3
2
mm3
A expressão que determina o momento estático de um semicírculo em relação ao eixo que
coincide com seu diâmetro é dada por , sendo R o raio. O enunciado apresenta o
diâmetro, logo o raio R vale . Substituindo na expressão, tem-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Considere a seção reta de uma estrutura, conforme a figura. Supondo que o raio do
quarto de círculo vale 300mm, determine o momento estático em relação ao eixo e, que
passa pelo centroide da área.
A alternativa "A " está correta.
Como o eixo considerado para o cálculo do momento estático da seção (ou de primeira
ordem) passa pelo centroide dessa área (eixo centroidal), o momento estático é nulo.
6. Uma estrutura mecânica é construída utilizando-se o aço ASTM A36. Uma das partes
dessa estrutura é uma viga, cuja seção reta é um quarto de círculo de raio 3,0dm. Um
dos cálculos a ser realizado pelo engenheiro é o do momento estático da seção reta.
Considerando o eixo que coincide com o raio, o valor do momento estático da seção
reta vale:
A alternativa "C " está correta.
Sx =
2⋅R3
3
R = = 150mm300
2
Sx = = = = = 2250 ⋅ 10
3 = 2,25 ⋅ 106 mm32⋅R
3
3
2⋅(150)3
3
2⋅ ( 3.375 ) ⋅(10)3
3
2⋅ ( 3.375 ) ⋅(10)3
3
CÁLCULO DO MOMENTO ESTÁTICO DA SEÇÃO DE
UMA VIGA (QUARTO DE CÍRCULO)
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O engenheiro utilizará o perfil em U em umas das vigas de uma estrutura. Ele deverá fazer
uma série de cálculos que envolvem a geometria da seção reta. Dentre os cálculos, ele
necessita conhecer o momento estático ou de primeira ordem da seção em relação ao eixo
horizontal, conforme figura.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
No vídeo a seguir o professor apresenta a resolução da questão. Veja!
CÁLCULO DO MOMENTO ESTÁTICO DE UMA SEÇÃO
COMPOSTA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O PAR DE EIXOS XY, TAL QUE X SEJA HORIZONTAL
PARA A DIREITA E Y, VERTICAL PARA CIMA, DIVIDINDO O PLANO EM
QUATRO QUADRANTES. UMA ÁREA RETANGULAR ENCONTRA-SE
INTEIRAMENTE NO TERCEIRO QUADRANTE. A RESPEITO DO
MOMENTO ESTÁTICO DESSA ÁREA EM RELAÇÃO AO EIXO X, PODE-SE
AFIRMAR QUE:
A) É sempre negativa, pois e 
B) É sempre negativa, pois e 
C) É sempre positiva, pois e 
D) É sempre positiva, pois e 
E) É sempre positiva, pois e 
2. CONSIDERE UM EIXO CIRCULAR MACIÇO CUJO DIÂMETRO É DADO
POR D.
DETERMINE O MOMENTO ESTÁTICO OU DE PRIMEIRA ORDEM DO
CÍRCULO EM RELAÇÃO AO EIXO X.
A) 
B) 
C) 
A > 0 x̄ < 0
A > 0 ȳ < 0
A > 0 x̄ < 0
A > 0 ȳ < 0
A > 0 x̄. ȳ > 0
Sx = π.D
3
2
Sx = π.D
3
4
Sx = π.D
3
8
D) 
E) 
GABARITO
1. Considere o par de eixos xy, tal que x seja horizontal para a direita e y, vertical para
cima, dividindo o plano em quatro quadrantes. Uma área retangular encontra-se
inteiramente no terceiro quadrante. A respeito do momento estático dessa área em
relação ao eixo x, pode-se afirmar que:
A alternativa "B " está correta.
 
No terceiro quadrante, os valores de x e y são negativos. Assim, a área retangular estando
inteiramente no 3º quadrante, . Como a área A tem valor positivo, 
apresentará sempre um valor negativo.
2. Considere um eixo circular maciço cujo diâmetro é dado por D.
Determine o momento estático ou de primeira ordem do círculo em relação ao eixo x.
A alternativa "C " estácorreta.
 
O momento estático de uma área em relação ao eixo x é dado por . A área do
círculo é dada por
,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e a ordenada do centroide do círculo em relação ao eixo x dado é . Substituindo,
tem-se:
Sx =
π.D3
16
Sx = 0
ȳ < 0 Sx = ȳ ⋅ A
Sx = ȳ .A
A = π.(R)
2
=  π. ( )
2
=D2
π.D2
4
ȳ = R = D2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Calcular o momento de inércia de uma área.
INTRODUÇÃO
O MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA
Sx = ȳ .A → . =
D
2
π.D2
4
π.D3
8
Na Engenharia, a determinação das propriedades geométricas de uma área é importante, por
exemplo, no dimensionamento de pequenas estruturas. A propriedade geométrica
denominada momento de inércia da área A (em relação a um dado eixo) ou momento de área
de segunda ordem será apresentada neste módulo.
MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA A
EM RELAÇÃO AOS EIXOS X E Y
Considere a figura a seguir em que uma área A é representada. Um elemento infinitesimal
dessa área (dA) está destacado. O momento de inércia desse elemento de área em relação
ao eixo x, ou momento de área de segunda ordem, é dado pelo produto do momento estático
da área dA pela distância ao eixo x (representado por y).
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 11 - Seção reta e elemento de área dA individualizado.
Na figura a seguir a situação é similar, contudo, o momento de área refere-se ao eixo y, por
isso a distância do elemento infinitesimal até o eixo y é denominada x.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 12 - Seção reta e elemento de área dA individualizado
Assim, tem-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando para toda a região A, o momento de inércia em relação ao eixo x será dado pela
equação 9:
(equação 9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analogamente, é possível determinar o momento de inércia da área em relação ao eixo y por
meio da equação 10.
(equação 10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
dIx = y.(y. dA)→ dIx = y2dA
Ix = ∫  y2dA
Iy = ∫  x2dA
OS VALORES PARA E SÃO POSITIVOS E TÊM
UNIDADES DE COMPRIMENTO ELEVADAS À QUARTA
POTÊNCIA, ISTO É, , , ETC.
EXEMPLO 7
Considere que a seção reta de um componente mecânico é um retângulo de base b e altura h.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
Adotando-se um elemento infinitesimal retangular horizontal com base b e altura dy, sua área
será dada por . Substituindo a expressão dA na equação 9, tem-se que:
(equação 11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir do desenvolvimento anterior, é possível também determinar o momento de inércia de
uma área retangular em relação ao eixo y.
Ix Iy
m4 cm4 mm4
dA = b ⋅ dy
Ix = ∫  y2dA = ∫
h
0  y
2. b. dy = b. ∫ h0  y
2. dy = b. =
y3
3
b.h3
3
Iy =
h⋅b3
3
(equação 12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MOMENTO POLAR DE INÉRCIA DE UMA
ÁREA ( )
De maneira similar ao apresentado no item anterior, o momento polar de inércia ( ) de uma
área A é o cálculo de uma integral. A diferença básica é que esta propriedade geométrica é
determinada em relação a um polo 0 e, em consequência, a distância utilizada é entre o
elemento infinitesimal e o polo, denominada . A equação 13 apresenta a relação matemática.
(equação 13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A figura a seguir representa uma área genérica no plano xy, o elemento infinitesimal para
estudo (dA) e sua distância r ao polo 0.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 13 - Seção reta e elemento de área dA individualizado.
A partir da figura, é fácil perceber que as coordenadas do elemento de área dA são x e y.
Assim, pelo teorema de Pitágoras, pode-se escrever que . A partir da equação
J0
J0
r
J0 = ∫  r2dA
 r2 = y2 + x2
13 e da expressão anterior, é possível escrever que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Entretanto, de acordo com as equações 9 e 10, tem-se que:
(equação 14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma seção muito comum na Engenharia é a circular de raio R. Dessa forma, será feita a
demonstração para o seu momento polar de inércia. Observe na figura abaixo um elemento de
área dA (um anel infinitesimal) de raio interno r e espessura dr.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 14 - Seção reta de um círculo área dA.
O elemento de área dA escolhido é uma coroa circular de raios e ( ). Assim, sua área
dA será , ou seja, . O último termo pode ser
desprezado ( ). Logo, . Substituindo na equação 13.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
J0 = ∫ r2dA = ∫ ( y
2 +  x2)dA = ∫ y2dA + ∫  x2dA
J0 = Ix + Iy
r r + dr
π. (r + dr)2 − π. (r)2 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr + π ⋅ (dr)2
<<<< 0 dA = 2.π. r. dr
Jo = ∫ r2. dA = ∫
R
0 r
2. 2. p. r. dr = 2p. ∫ R0 r
3. dr → Jo = 2p. →  Jo =
R4
4
p.R4
2
AS UNIDADES DE MOMENTO POLAR DE INÉRCIA SÃO
, , ETC. SEUS VALORES SÃO SEMPRE
QUANTIDADES POSITIVAS.
EXEMPLO 8
Determine o momento polar de inércia de uma seção tubular circular de raios externo e interno
iguais a 100mm e 80mm.
RESOLUÇÃO
Inicialmente, será feita a decomposição da seção reta tubular em dois círculos.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
É possível escrever que o momento polar de inércia da seção tubular é igual à diferença
entre os momentos polares de inércias das seções maciças de raios 100mm e 80mm. A
partir da equação que determina , tem-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CÍRCULO
EM RELAÇÃO AOS EIXOS X E Y
cm4 mm4 m4
J0
Jo = − = = = 92,7 ⋅ 10
6 mm4π⋅R
4
2
π⋅r4
2
π⋅(R4−r4)
2
π⋅(1004−804)
2
A partir das propriedades de simetria e do fato de que os momentos de inércia de uma área
em relação aos eixos x e y (que passam pelo centro do círculo) somados levam ao valor do
momento polar de inércia (equação 14), é possível, sem a utilização da definição formal
(apresentada nas equações 9, 10 e 13), determinar e para o círculo.
 
 
 
 
(equação 15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 9
Considere um eixo maciço circular utilizado em um motor elétrico. Sendo seu diâmetro igual a
4cm, determine os momentos de inércia em relação aos eixos x e y e o momento polar de
inércia. Os eixos x e y são, respectivamente, os eixos horizontal e vertical, passando pelo
centro do círculo.
RESOLUÇÃO
O valor apresentado no enunciado é o diâmetro do eixo. Dessa forma, seu raio R vale 2cm.
Utilizando a expressão , é possível determinar o momento polar de inércia do
círculo, ou seja,
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 15, .
Ix Iy
Simetria :  Ix = Iy
J0 = Ix + Iy
Ix = Iy = =
J0
2
p⋅R4
4
Jo =
π.R4
2
Jo = = = 25,12cm4
π.R4
2
π.24
2
Ix = Iy = p ⋅ = 12,56cm42
4
4
TEOREMA DE STEINER OU DOS EIXOS
PARALELOS
Em muitas situações na Engenharia, conhece-se o momento de inércia de uma área em
relação a um eixo (tabela), e deseja-se o momento de inércia dessa mesma área em relação a
outro eixo. Sob dadas condições, é possível resolver essa situação sem ter que utilizar a
definição de momento de inércia de uma área (integral).
Quando os dois eixos envolvidos são paralelos e um deles é centroidal, ou seja, passa pelo
centroide, é possível utilizar o teorema de Steiner ou dos eixos paralelos.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 15 - Área A e dois eixos paralelos
Para a Figura 15, o teorema de Steiner é dado pela equação 16.
(equação 16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalEm que:
 - momento inércia da área A em relação ao eixo 
 - momento inércia da área A em relação ao eixo centroidal 
 - área
Ix = Ix̄ + A ⋅ d2
Ix x
Ix̄ x̄
A
 - distância entre os paralelos e 
De maneira análoga, o teorema de Steiner (ou dos eixos paralelos) é aplicável para o
momento de inércia da área em relação ao eixo y e para o momento polar de inércia, desde
que as duas condições sejam satisfeitas, ou seja, eixos paralelos, sendo um deles centroidal.
EXEMPLO 10
Seja uma área retangular de base b e altura h. Determinar o momento de inércia do retângulo
em relação ao eixo centroidal .
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
É possível utilizar o teorema de Steiner, uma vez que as duas condições são satisfeitas
simultaneamente (eixos e são paralelos e o eixo é centroidal).
A partir da equação 11, o momento de inércia do retângulo em relação ao eixo x que passa
por sua base é dado por . O centroide do retângulo tem ordenada em
relação ao eixo x, e a sua área A é dada por A=b.h. Substituindo as expressões na equação
16 (teorema de Steiner), tem-se:
 
 
 
 
 
 
 
d x x̄
x̄
x x̄ x̄
Ix =
b⋅h3
3
ȳ = h
2
Ix = Ix̄ + A ⋅ d2
= Ix̄ + b ⋅ h ⋅ ( )
2
b⋅h3
3
h
2
= Ix̄ + b ⋅ h ⋅
b⋅h3
3
h2
4
= Ix̄ +
b⋅h3
3
b⋅h3
4
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira análoga, é possível mostrar que o momento de inércia do retângulo em relação ao
eixo centroidal vertical ( ) é dado por .
Obs.: Usando a mesma argumentação, pode-se determinar os momentos de inércia do
triângulo retângulo de base b e altura h em relação aos eixos centroidais e : e 
.
RAIO DE GIRAÇÃO
Considere uma área que possui momento de inércia em relação a dado eixo, por
exemplo, . Uma faixa de área paralela a esse mesmo eixo apresentará o mesmo
momento de inércia se estiver a uma distância do eixo, em que é denominado raio
de giração.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analogamente, para o momento de inércia e para o momento polar de inércia :
 e 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 11
Considere uma área de 20cm² e momento de inércia . Determine o raio de
giração dessa área.
RESOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ix̄ =
b⋅h3
12
ȳ  Iȳ =
h⋅b3
12
x̄ ȳ Ix̄ =
b.h3
36
Iȳ =
h⋅b3
36
A Ix
x A
Ix kx kx
Ix = A ⋅ k2x → kx = √ IxA
Iy J0
ky = √
Iy
A
k0 = √  J0A
Ix = 2.000cm4
kx
kx = √ = √ = 10cmIxA
2.000
20
MÃO NA MASSA
1. SENDO UMA SEÇÃO RETA NA FORMA DE UM QUADRADO COM
ÁREAS DE 36 CM², DETERMINE SEU MOMENTO DE INÉRCIA EM
RELAÇÃO AO EIXO HORIZONTAL X, QUE PASSA PELA BASE DO
QUADRADO.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. UMA SEÇÃO TEM A FORMA DE UM RETÂNGULO DE DIMENSÕES 3M
DE BASE E 1M DE ALTURA. CONSIDERANDO O EIXO QUE PASSA PELA
BASE DESSE RETÂNGULO, DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA
DESSE RETÂNGULO.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. SEJA UM RETÂNGULO DE BASE 20CM E ALTURA 10CM, EM QUE SUA
BASE REPOUSA SOBRE UM EIXO HORIZONTAL X. A ARESTA
ESQUERDA DO RETÂNGULO COINCIDE COM O EIXO VERTICAL Y.
DETERMINANDO OS MOMENTOS DE INÉRCIA E , QUANTO VALE A
RAZÃO ?
216cm4
300cm4
432cm4
450cm4
512cm4
1m4
2m4
3m4
4m4
5m4
Ix Iy
Ix
Iy
A) 4
B) 2
C) 1
D) 0,5
E) 0,25
4. (FCC ‒ TRF ‒ 1ª REGIÃO ‒ ANALISTA JUDICIÁRIO ‒ ENGENHARIA
CIVIL ‒ ADAPTADA) UMA VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR FOI
PROJETADA BUSCANDO-SE O MOMENTO DE INÉRCIA IGUAL A 
 (EM RELAÇÃO AO EIXO X’ QUE PASSA PELO
CENTROIDE E É PARALELO À BASE). COMO A ALTURA DA VIGA É
IGUAL A 0,3M, A LARGURA DA VIGA, EM CM, DEVE SER IGUAL A:
A) 21
B) 30
C) 10
D) 5
E) 18
5. CONSIDERE UMA SEÇÃO RETA, CONFORME A FIGURA A SEGUIR,
CUJA ÁREA A É IGUAL A 400 CM² E OS EIXOS 1 E 2 SÃO PARALELOS. O
MOMENTO DE INÉRCIA DA ÁREA A EM RELAÇÃO AO EIXO 1, VALE 
.
2,25 × 10−4m4
20.000 cm4
A DISTÂNCIA ENTRE OS EIXOS 1 E 2 É DE 2CM, E O CENTROIDE ESTÁ
A UMA DISTÂNCIA DE 3CM DO EIXO 2. QUAL É O MOMENTO DE
INÉRCIA DA ÁREA EM RELAÇÃO AO EIXO 2?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
6. CONSIDERE UMA VIGA CUJO PERFIL SEJA UM T. A FIGURA
REPRESENTA A SEÇÃO RETA DESSA VIGA COM AS SUAS DIMENSÕES.
DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA DO PERFIL EM RELAÇÃO AO
EIXO HORIZONTAL QUE PASSA POR SEU CENTROIDE.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
18.400cm4
16.200cm4
15.800cm4
13.800cm4
13.600cm4
8 ,5334. 103 cm4
5,5467. 103 cm4
2,9867. 103 cm4
2,6667. 103 cm4
0,1067. 103 cm4
1. Sendo uma seção reta na forma de um quadrado com áreas de 36 cm², determine seu
momento de inércia em relação ao eixo horizontal x, que passa pela base do quadrado.
A alternativa "C " está correta.
Sendo a área do quadrado igual a 36cm², seu lado será 6cm. O quadrado é um retângulo
particular em que b= h = L. A partir da equação 11, tem-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma seção tem a forma de um retângulo de dimensões 3m de base e 1m de altura.
Considerando o eixo que passa pela base desse retângulo, determine o momento de
inércia desse retângulo.
A alternativa "A " está correta.
A partir da expressão que determina o momento de inércia do retângulo em relação ao eixo
que passa pela base, , tem-se, portanto, que .
3. Seja um retângulo de base 20cm e altura 10cm, em que sua base repousa sobre um
eixo horizontal x. A aresta esquerda do retângulo coincide com o eixo vertical y.
Determinando os momentos de inércia e , quanto vale a razão ?
A alternativa "E " está correta.
O momento de inércia do retângulo em relação ao eixo que passa pela base é dado por 
. Em relação ao eixo y é igual a .
A razão .
4. (FCC ‒ TRF ‒ 1ª REGIÃO ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil ‒ Adaptada) Uma
viga de seção retangular foi projetada buscando-se o momento de inércia igual a 
 (em relação ao eixo x’ que passa pelo centroide e é paralelo à base).
Como a altura da viga é igual a 0,3m, a largura da viga, em cm, deve ser igual a:
A alternativa "C " está correta.
A expressão que determina o momento de inércia de um retângulo (dimensões b e h) em
relação ao eixo ̅, paralelo à base, passando pelo centroide, é:
 
 
 
Ix = b ⋅ = L ⋅ = = = 432cm4
h3
3
L3
3
L4
3
64
3
Ix =
b⋅h3
3
Ix = = 1m3
3⋅13
3
Ix Iy
Ix
Iy
Ix =
b.h3
3
Iy =
h.b3
3
= = = 0,25Ix
Iy
b⋅h3
3
h⋅b3
3
h2
b2
2,25 × 10−4m4
x̄
Ix̄ =
b.h3
12
2,25.10−4 =
b.(0,3)
3
12
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Considere uma seção reta, conforme a figura a seguir, cuja área A é igual a 400 cm² e
os eixos 1 e 2 são paralelos. O momento de inércia da área A em relação ao eixo 1, vale 
.
A distância entre os eixos 1 e 2 é de 2cm, e o centroide está a uma distância de 3cm do
eixo 2. Qual é o momento de inércia da área em relação ao eixo 2?
A alternativa "E " está correta.
Os eixos 1 e 2 são paralelos, mas nenhum deles é centroidal. Assim, não se deve utilizar o
teorema de Steiner. Contudo, suponha um eixo 3, paralelo aos dois primeiros e que passe
pelo centroide da área.
Aplicação de Steiner para os eixos 1 e 3:
 
 
Aplicação de Steiner para os eixos 2 e 3:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
12. 2,25.10−4 = b. (0,3)3
b = 0,1m = 10cm
20.000 cm4
I1 = I3 + A. d2
I3 = 10.000cm4
20.000 = I3 + 400. 5
2
I2 = I3 + A. d2
I2 = 10.000 + 400. 3
2 = 13 .600 cm4
6. Considere uma viga cujo perfil seja um T. A figura representa a seção reta dessa viga
com as suas dimensões. Determine o momento de inércia do perfil em relação ao eixo
horizontal que passa por seu centroide.
A alternativa "A " está correta.
No vídeo a seguir o professor apresenta a resolução da questão. Veja!
CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS
COMPOSTAS (PERFIL T)
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Nos projetos de Engenharia, várias são as fases até a concepção final de um produto. Um
estagiário recebe a incumbência de determinar o momento de inércia de uma seção reta na
formade um semicírculo em relação ao eixo centroidal (paralelo ao diâmetro). A seção reta
descrita, pertence a um elemento estrutural metálico de aço ASTM 1045 com diâmetro de
1.000mm.
RESOLUÇÃO
No vídeo a seguir o professor apresenta a resolução da questão. Veja!
CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA SEÇÃO
SEMICIRCULAR EM RELAÇÃO AO SEU EIXO
CENTROIDAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA UMA SEÇÃO RETA QUADRANGULAR DE LADO 12CM. OS EIXOS
X E Y SÃO TAIS QUE X (HORIZONTAL) COINCIDE COM A BASE DO
QUADRADO E Y (VERTICAL), COM A ARESTA À ESQUERDA. DESSA
FORMA, O MOMENTO POLAR DO QUADRADO, SENDO O POLO O
ENCONTRO DESSES EIXOS EM UM DOS VÉRTICES DO QUADRADO
VALE:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. A VIGA ESTRUTURAL DE UM COMPONENTE MECÂNICO (SEÇÃO
RETANGULAR) APRESENTA AS SEGUINTES DIMENSÕES: BASE 200MM
E ALTURA 300MM. DESEJA-SE CONHECER O RAIO DE GIRAÇÃO ,
SENDO X O EIXO QUE PASSA PELA BASE DO RETÂNGULO. ASSIM,
QUAL DAS ALTERNATIVAS APRESENTA A SOLUÇÃO?
1.824cm4
3.456cm4
6.912cm4
13 .824 cm4
15.912cm4
kx
A) 100mm
B) 173mm
C) 200mm
D) 223mm
E) 245mm
GABARITO
1. Seja uma seção reta quadrangular de lado 12cm. Os eixos x e y são tais que x
(horizontal) coincide com a base do quadrado e y (vertical), com a aresta à esquerda.
Dessa forma, o momento polar do quadrado, sendo o polo o encontro desses eixos em
um dos vértices do quadrado vale:
A alternativa "D " está correta.
 
A resolução passa pela ideia de que , ou seja, a partir dos momentos de inércia
da área em relação aos eixos x e y, pode-se determinar o momento polar de inércia . Para o
quadrado, é verdade que .
Logo, .
2. A viga estrutural de um componente mecânico (seção retangular) apresenta as
seguintes dimensões: base 200mm e altura 300mm. Deseja-se conhecer o raio de
giração , sendo x o eixo que passa pela base do retângulo. Assim, qual das
alternativas apresenta a solução?
A alternativa "B " está correta.
 
A partir da definição de raio de giração, tem-se que . Além disso, o momento de
inércia da área retangular em relação ao eixo horizontal x que passa por sua base, é dado por 
, e a área A do retângulo vale . Determinando a área A e o momento de
inércia Ix, tem-se que:
• Área do retângulo: 
• Momento de inércia: 
J0 = Ix + Iy
J0
Ix = Iy = = = 6.912cm4
L4
3
124
3
J0 = Ix + Iy = 6.912 + 6.912 = 13.824 cm4
kx
kx = √ IxA
Ix =
b⋅h3
3
A = b ⋅ h
A = 200 × 300 = 60.000mm2
Ix = = = 1,8 ⋅ 10
9 mm4b⋅h
3
3
200⋅(300)3
3
Assim, 
MÓDULO 4
 Empregar o produto de inércia de uma área.
INTRODUÇÃO
O PRODUTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA
kx = √ = √   = √ = 100 ⋅ √3 mm = 173m1,8⋅10
9
60.000
1,8⋅105
6
18⋅104
6
Finalizando o estudo das propriedades geométricas, deve-se compreender o produto de
inércia ( ) de uma área. Diferentemente do momento de inércia e do momento estático, o
produto de inércia não se refere a um eixo, mas a um par de eixos, por exemplo, x e y.
PRODUTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA A
Suponha uma área A e o par de eixos xy, conforme ilustrado na figura. Um elemento
infinitesimal de área dA está destacado com coordenadas (x,y).
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 16 - Elemento de área dA para cálculo do produto de inércia
O produto de inércia dessa pequena área dA é dado por . Fazendo a
integração, o produto de inércia para a área A será dado pela equação 17.
(equação 17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O PRODUTO DE INÉRCIA PODE SER NULO,
APRESENTAR VALORES POSITIVOS OU NEGATIVOS,
E TER AS MESMAS UNIDADES DO MOMENTO DE
Ixy
dIxy = x ⋅ y ⋅ dA
Ixy = ∫ xydA
INÉRCIA DE UMA ÁREA, OU SEJA, , , 
ETC.
ANÁLISE DO PRODUTO DE INÉRCIA DE
UMA ÁREA A EM RELAÇÃO AO
QUADRANTE
Sempre que um par de eixos xy é desenhado em um plano, há uma divisão em quatro
quadrantes. Para cada quadrante, abcissa (x) e ordenada (y) apresentam valores
positivos/negativos.
Dessa forma, uma vez que a área é sempre positiva, dependendo do posicionamento da peça
em relação aos quadrantes, o produto de inércia poderá ter valor positivo ou negativo.
A partir da figura abaixo, é fácil perceber algumas situações em que os valores do produto de
inércia têm sinal negativo ou positivo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 17 - Análise do sinal do produto de inércia
Análise das áreas 1, 2, 3 e 4 ‒ Note que cada área A é sempre positiva. A partir da expressão 
, é possível concluir que:
Área 1, as coordenadas x e y são positivas, o que leva o produto de inércia a um valor
positivo.
mm4 cm4 m4
Ixy = ∫ xydA
Ixy

Área 2, a abscissa x é negativa e a ordenada y positiva. Dessa forma, o produto de inércia da
área 2 é um número negativo.

Área 3, as coordenadas x e y são negativas e, portanto, o produto de inércia é um número
positivo.

Área 4, x e y têm sinais diferentes, o que acarreta um produto de inércia negativo.
 ATENÇÃO
Note que a análise foi feita considerando a área A inteiramente em um dos quadrantes.
Quando um dos eixos x ou y é também um eixo de simetria da área, é fácil mostrar que o
produto de inércia é nulo (teorema da simetria).
A figura abaixo revela essa propriedade.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 18 - Teorema da simetria para o produto de inércia.
Como o x é um eixo simétrico, as áreas são iguais. Além disso, é
sempre possível ter nas áreas 1 e 4 pontos que tenham o mesmo x e y simétricos, isto é, um é
y e outro – y. Analogamente, esse raciocínio se estende para as áreas e . Ao somar-se
o produto de inércia de cada uma dessas quatro áreas, o valor total será zero.
 
TEOREMA DE STEINER PARA O PRODUTO
DE INÉRCIA 
O teorema dos eixos paralelos, ou teorema de Steiner, pode ser aplicado para o caso da
determinação do produto de inércia de uma área A.
AS PREMISSAS PARA SUA UTILIZAÇÃO SÃO QUE: 
 
• OS DOIS PARES DE EIXOS CONSIDERADOS SEJAM
PARALELOS (XY E X’Y’). 
• UM DOS PARES TENHA A ORIGEM NO CENTROIDE
DA ÁREA A.
A figura abaixo representa, esquematicamente, as premissas citadas anteriormente.
A1 e A4 / A2 e A3
A2 A3
Ixy
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 19 -Teorema de Steiner para o produto de inércia de uma área.
 ATENÇÃO
Note que existe um par de eixos xy e o par de eixos ( ) que passa pelo centroide C. Além
disso, os dois pares são paralelos, ou seja, x paralelo a e y paralelo a .
A expressão do teorema de Steiner para o produto de inércia é apresentada na equação 18.
(equação 18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
 – Produto de inércia em relação aos eixos x e y
 – Produto de inércia em relação aos eixos centroides e 
 – Área da figura
 e – Distâncias entre os eixos paralelos
EXEMPLO 11
x̄ ȳ
x̄ ȳ
Ixy = Ī xy + dx. dy.A
Ixy
Ī xy x̄ ȳ
A
dx dy
Considere o retângulo de base 180mm e altura 100mm disposto em relação ao eixo xy,
conforme a figura. Suponha que o eixo y seja um eixo de simetria e determine o produto de
inércia em relação ao par de eixos xy.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
Pelo teorema da simetria, o produto de inércia do retângulo descrito em relação ao par de
eixos xy é nulo.
EXEMPLO 12
Considere um retângulo de base 200mm e altura 100mm disposto em relação ao eixo xy,
conforme a figura. Determine o produto de inércia do retângulo em relação ao par de eixos xy.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
Inicialmente, será traçado um par de eixos paralelos a x e y e que passe pelo centroide do
retângulo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Analisando a figura anterior, os eixos centroidais ( e ̅) são também de simetria, logo 
. Além disso, a área do retângulo é igual a , e as
distâncias entre os eixos paralelos valem 150mm e 200mm. Substituindo na equação 18, tem-
se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MOMENTOS DE INÉRCIA PARA UMA ÁREA
EM TORNO DE EIXOS X´ E Y´ INCLINADOS
Em sua obra, Hibbeler (2010) afirma que, em muitas situações naEngenharia, existe a
necessidade de determinar as propriedades geométricas em relação a um par de eixos
diferente de xy. Genericamente, pode-se arbitrar um par x’y’ rotacionado de um ângulo .
x̄ ȳ
Ī xy = 0 A = 200. 100 = 2. 10
4 mm2
Ixy = Ī xy + dx. dy.A
Ixy = 0 + 150.200. (2.104)
Ixy = 6.10
8 mm4
θ
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 20 - Rotação de eixos.
Esquematicamente, a figura a seguir mostra a entrada e saída de dados para determinar as
propriedades geométricas relacionadas ao par x’y’.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
O processamento esquematizado na figura anterior representa uma série de equações
listadas a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir das equações de ou é possível determinar o valor do ângulo que leva aos
valores extremos dos momentos de inércia, ou seja, máximo e mínimo (momentos principais).
Para isso, basta derivar uma das expressões em relação a e igualar a zero.
Assim, serão determinados dois valores de (defasados de 90º) para os quais ocorrem os
valores máximo e mínimo do momento de inércia. A expressão para determinar esses ângulos
é dada pela equação 19.
Ix´ = + . cos2θ − Ixy. sen2θ
Ix+Iy
2
Ix−Iy
2
Iy´ = − . cos2θ + Ixy. sen2θ
Ix+Iy
2
Ix−Iy
2
Ix´y' = . sen2θ + Ixy. cos2θ
Ix−Iy
2
Ix´ Iy´ θ
θ
θ
(equação 19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os valores dos momentos de inércia principais são apresentados na equação 20.
(equação 20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os valores dos produtos de inércia, máximo e mínimo, são determinados a partir da equação
21.
(equação 21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O PRODUTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AOS EIXOS
PRINCIPAIS X´ E Y´ É ZERO, OU SEJA, .
MÃO NA MASSA
tg2θp =
2.Ixy
Iy−Ix
Imáximo, mínimo  = ± √( )
2
+ I 2xy
Ix+Iy
2
Ix−Iy
2
Ixy máximo, mínimo  = ±√( )
2
+ I 2xy
Ix−Iy
2
Ix´y' = 0
1. SEJAM AS AFIRMATIVAS A SEGUIR A RESPEITO DO PRODUTO DE
INÉRCIA DE UMA ÁREA A EM RELAÇÃO A UM PAR DE EIXOS XY
CONSIDERADO.
O PRODUTO DE INÉRCIA DA ÁREA INTEIRAMENTE LOCALIZADA NO
2⁰ QUADRANTE É SEMPRE NEGATIVO.
A ÁREA ESTANDO DISTRIBUÍDA NOS QUATRO QUADRANTES TERÁ
PRODUTO DE INÉRCIA NULO, DE ACORDO COM O TEOREMA DA
SIMETRIA.
O TEOREMA DE STEINER NÃO É APLICÁVEL PARA A
DETERMINAÇÃO DO PRODUTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA A.
SÃO CORRETAS AS AFIRMATIVAS:
A) Apenas a afirmativa I
B) Apenas as afirmativas I e II
C) Apenas a afirmativa I e III
D) Apenas a afirmativa II e III
E) Apenas a afirmativa III
2. SEJA UMA VIGA DE 2M DE COMPRIMENTO E SEÇÃO RETA
RETANGULAR TAL QUE A BASE 0,3M E A ALTURA 0,2M.
CONSIDERANDO O PAR DE EIXOS XY DA FIGURA, DETERMINE O
PRODUTO DE INÉRCIA DO RETÂNGULO.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. CONSIDERE UMA ÁREA A DE 100CM² E O PAR DE EIXOS PRINCIPAIS
X’ E Y’. O PRODUTO DE INÉRCIA DESSA ÁREA A EM RELAÇÃO AO PAR
DE EIXOS X’Y’ VALE, EM :
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
4. SEJA A FIGURA A SEGUIR QUE REPRESENTA O CROQUI DA SEÇÃO
RETA (TRIÂNGULO RETÂNGULO DE CATETOS B E H) DE UMA VIGA A
SER UTILIZADA EM UM PROJETO. CONSIDERANDO O PRODUTO DE
INÉRCIA DA ÁREA DA FIGURA EM RELAÇÃO AOS EIXOS CENTROIDAIS
( E ) IGUAL A , DETERMINE A EXPRESSÃO DO PRODUTO
DE INÉRCIA DA ÁREA TRIANGULAR EM RELAÇÃO AOS EIXOS XY.
5.10−4 m4
6.10−4 m4
7,5.10−4 m4
8.10−4 m4
9.10−4 m4
cm4
0
100cm4
120cm4
180cm4
200cm4
x̄ ȳ Ī xy =
−b2.h2
72
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5. CONSIDERE A SEÇÃO RETA DE UMA VIGA COMO SENDO UM
SEMICÍRCULO DE RAIO R. DETERMINE A EXPRESSÃO DO PRODUTO DE
INÉRCIA DA ÁREA SEMICIRCULAR EM RELAÇÃO AOS EIXOS XY,
CONFORME A FIGURA. CONSIDERE QUE OS PARES DE EIXOS SÃO
PARALELOS.
A) 
−b2.h2
72
−b2.h2
36
  b2.h2
72
  b2.h2
24
  b2.h2
48
R4
3
B) 
C) 
D) 
E) 
6. CONSIDERE UMA SEÇÃO CIRCULAR DE RAIO 20MM. AS
COORDENADAS DE SEU CENTROIDE EM RELAÇÃO AO PAR XY SÃO
(25, - 30) MM. DETERMINE O PRODUTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO EM
RELAÇÃO AO PAR XY.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Sejam as afirmativas a seguir a respeito do produto de inércia de uma área A em
relação a um par de eixos xy considerado.
O produto de inércia da área inteiramente localizada no 2⁰ quadrante é sempre
negativo.
A área estando distribuída nos quatro quadrantes terá produto de inércia nulo, de
acordo com o teorema da simetria.
O teorema de Steiner não é aplicável para a determinação do produto de inércia de
uma área A.
São corretas as afirmativas:
A alternativa "A " está correta.
R4
2
4.R4
5
2.R4
3
4.R4
3
−9 ,42. 105  mm4
−7,48. 105  mm4
−6,12. 105  mm4
−1,50. 105  mm4
+3,52. 105  mm4
Uma seção reta, inteiramente localizada no 2⁰ quadrante, apresenta abscissa negativa e
ordenada positiva. Como a área é sempre positiva, o produto de inércia da área em
relação ao par de eixos será negativo.
Para que o produto de inércia seja nulo, um dos eixos dever ser de simetria. O fato de a
área estar nos quatro quadrantes não garante que um dos eixos (x ou y) seja de simetria.
É possível utilizar o teorema de Steiner para o produto inércia de uma área A, desde que
os dois pares de eixos sejam paralelos e um deles passe pelo centroide da área.
2. Seja uma viga de 2m de comprimento e seção reta retangular tal que a base 0,3m e a
altura 0,2m. Considerando o par de eixos xy da figura, determine o produto de inércia
do retângulo.
A alternativa "E " está correta.
Traçando-se um par de eixos que passe pelo centroide do retângulo, é possível aplicar o
teorema da simetria ( ) e de Steiner.Īxy = 0
A área do retângulo vale e as distâncias entre os eixos paralelos
valem 0,15m e 0,10m. Substituindo os valores de A, as distâncias e o produto de inércia em
relação aos eixos centroidais na equação 18, tem-se que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Considere uma área A de 100cm² e o par de eixos principais x’ e y’. O produto de
inércia dessa área A em relação ao par de eixos x’y’ vale, em :
A alternativa "A " está correta.
Quando os momentos inércia são os principais, ou seja, os valores máximo e mínimo, o
produto de inércia para esses eixos, ditos principais, é sempre igual a zero.
4. Seja a figura a seguir que representa o croqui da seção reta (triângulo retângulo de
catetos b e h) de uma viga a ser utilizada em um projeto. Considerando o produto de
inércia da área da figura em relação aos eixos centroidais ( e ) igual a ,
determine a expressão do produto de inércia da área triangular em relação aos eixos xy.
A alternativa "D " está correta.
O centroide da área triangular apresentada tem as coordenadas ( , ). Considerando os
pares de eixos paralelos (e um deles passa pelo centroide da área), é possível utilizar o
teorema de Steiner para o produto de inércia:
A = 0,3 ⋅ 0,2 = 0,06m2
Ixy = Ī xy + dx. dy.A
Ixy = 0 + (0,1). (0,15).(0,06)= 9.10−4 m4
Ixy = 9.10
−4 m4
cm4
x̄ ȳ Ī xy =
−b2.h2
72
b
3
h
3
Ixy = Ī xy + dx. dy.A
Ixy = + . .( )−b
2.h2
72
h
3
b
3
b.h
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Considere a seção reta de uma viga como sendo um semicírculo de raio R. Determine
a expressão do produto de inércia da área semicircular em relação aos eixos xy,
conforme a figura. Considere que os pares de eixos são paralelos.
A alternativa "D " está correta.
O centroide da área semicircular apresentada em relação aos eixos x e y tem as coordenadas
( , ). Considerando os pares de eixos paralelos (sendo um centroidal), é possível utilizar o
teorema de Steiner para o produto de inércia. Ademais, o eixo ( ) é simétrico. Assim, pelo
teorema da simetria, :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considere uma seção circular de raio 20mm. As coordenadas de seu centroide em
relação ao par xy são (25, - 30) mm. Determine o produto de inércia da seção em relação
ao par xy.
A alternativa "A " está correta.No vídeo a seguir o professor apresenta a resolução da questão. Veja!
Ixy = +
−b2.h2
72
b2.h2
18
Ixy = =
3b2.h2
72
b2.h2
24
R 4R
3p
ȳ
Ī xy = 0
Ixy = Ī xy + dx. dy.A
Ixy = 0 + .R.( )4R3p
p.R2
2
Ixy =
2.R4
3
CÁLCULO DO PRODUTO DE INÉRCIA DE UMA SEÇÃO
CIRCULAR
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O engenheiro deseja determinar a rotação que os eixos x e y devem apresentar para
determinar os momentos de inércia principais da seção reta de uma viga. Para tanto,
determinou os momentos de inércia e da área. A expressão que determina o ângulo dos
eixos em que os momentos de inércia são principais é . Dessa forma, ainda há
a necessidade de calcular o produto de inércia da área em relação aos eixos xy, ou seja, .
Considere a seção reta da viga dada pela figura a seguir.
Ix Iy
tg2θp =
2.Ixy
Iy−Ix
Ixy
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Considerando que a variação de x encontra-se no intervalo 0 ≤ x ≤ 1m, qual é o valor do
produto de inércia da área em relação ao par xy?
RESOLUÇÃO
No vídeo a seguir o professor apresenta a resolução da questão. Veja!
CÁLCULO DO PRODUTO DE INÉRCIA DE UMA SEÇÃO
POR MEIO DE INTEGRAÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE UM SEMICÍRCULO E DOIS EIXOS X E Y, CONFORME A
FIGURA ABAIXO. O PRODUTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO PAR
CONSIDERADO É DETERMINADO PELA EXPRESSÃO . SUPONHA
QUE UM SEMICÍRCULO, CUJO RAIO VALE 12MM, TENHA PRODUTO DE
INÉRCIA P (EM RELAÇÃO AO PAR XY). AO SE MULTIPLICAR POR DOIS
O RAIO DESSE SEMICÍRCULO, O NOVO PRODUTO DE INÉRCIA P’ (EM
RELAÇÃO AO MESMO PAR XY) VALERÁ:
A) P’ = P
B) P’ = 2.P
C) P’ = 4.P
D) P’ = 8.P
E) P’ = 16.P
2.R4
3
2. A FIGURA A SEGUIR É A SEÇÃO RETA DE UMA VIGA.
CONSIDERANDO O PRODUTO DE INÉRCIA DA ÁREA DA FIGURA EM
RELAÇÃO AOS EIXOS CENTROIDAIS ( E ) IGUAL A ,
DETERMINE A EXPRESSÃO DO PRODUTO DE INÉRCIA DA ÁREA
TRIANGULAR EM RELAÇÃO AOS EIXOS X, Y.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Considere um semicírculo e dois eixos x e y, conforme a figura abaixo. O produto de
inércia em relação ao par considerado é determinado pela expressão . Suponha que
um semicírculo, cujo raio vale 12mm, tenha produto de inércia P (em relação ao par xy).
Ao se multiplicar por dois o raio desse semicírculo, o novo produto de inércia P’ (em
relação ao mesmo par xy) valerá:
x̄ ȳ Ī xy =
−b2.h2
72
−b2.h2
36
−b2.h2
24
−b2.h2
12
−b2.h2
8
−b2.h2
6
2.R4
3
A alternativa "E " está correta.
 
O produto de inércia apresentado depende do raio elevado à quarta potência. Assim, ao se
multiplicar o raio por 2, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A figura a seguir é a seção reta de uma viga. Considerando o produto de inércia da
área da figura em relação aos eixos centroidais ( e ) igual a , determine a
expressão do produto de inércia da área triangular em relação aos eixos x, y.
P = 2.R
4
3
P ' = →  P ' =
2. ( 2R ) 4
3
32.R4
3
= = 16 → P ' = 16.PP '
P
32.R4
3
2.R4
3
x̄ ȳ Ī xy =
−b2.h2
72
A alternativa "D " está correta.
 
O centroide da área triangular apresentada tem as coordenadas ( , ) em relação aos
eixos x e y. Considerando os pares de eixos paralelos (e um deles passa pelo centroide da
área), é possível utilizar o teorema de Steiner para o produto de inércia:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste conteúdo falamos sobre as principais propriedades geométricas de uma área.
Inicialmente foi feita uma abordagem a respeito do centroide de uma seção, apresentando as
relações matemáticas e o teorema da simetria. Vimos a determinação do centroide por
integração e de figuras compostas com geometria conhecida. A partir da definição das
coordenadas do centroide, definimos o momento estático ou de primeira ordem. Na
sequência, estudamos o conceito de momento de inércia e as relações matemáticas
associadas, e determinamos o momento de inércia para algumas geometrias particulares.
Apresentamos o teorema de Steiner para possibilitar a translação do eixo em relação ao qual
se determina o momento de inércia. Por fim, mostramos o produto de inércia e os momentos
de inércia principais.
−2b
3
h
3
Ixy = Ī xy + dx. dy.A
Ixy = − . .( )−b
2.h2
72
h
3
2b
3
b.h
2
Ixy = −
−b2.h2
72
b2.h2
9
Ixy =
− b2.h2
8
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática. 2. ed.
São Paulo: Mc GRAW-HILL DO BRASIL LTDA., 1976.
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson
Makron Books, 1995.
FONSECA, A. Curso de Mecânica – Estática. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1976.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia – Estática. 7. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2016.
EXPLORE+
Para desenvolver os conceitos abordados, são sugeridas as seguintes fontes:
Complementar o estudo de centroides e momento de inércia com as tabelas das páginas
1201 e 1203 da fonte BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3.
ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995.
Complementar o estudo de produto de inércia de uma seção (capítulo 7) pela fonte
FONSECA, A. Curso de Mecânica – Estática. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1976.
Complementar o estudo de rotação de eixos (páginas 348 a 352) pela fonte MERIAM, J.
L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia – Estática. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2016.
CONTEUDISTA
Julio Cesar José Rodrigues Junior