Propriedades Geométricas de Área

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DESCRIÇÃO
A aplicação das equações matemáticas no estudo das principais propriedades geométricas de
uma seção reta de área A.
PROPÓSITO
Compreender as propriedades geométricas de uma seção de área A como requisito
fundamental na formação do engenheiro, pois tais propriedades geram uma importante
ferramenta no aprendizado de efeitos comuns, como: torção, flexão e cisalhamento, em
estruturas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou
use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular o centroide de uma área
MÓDULO 2
Calcular o momento estático de uma área
MÓDULO 3
Calcular o momento de inércia de uma área
MÓDULO 4
Empregar o produto de inércia de uma área
APRESENTAÇÃO DAS PROPRIEDADES
GEOMÉTRICAS DE ÁREA E SUAS APLICAÇÕES
AVISO: orientações sobre unidades de medida.
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por
questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um
espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais
materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos
números e das unidades.
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MÓDULO 1
 Calcular o centroide de uma área.
O CENTROIDE DE UMA ÁREA
INTRODUÇÃO
No estudo das propriedades geométricas de uma área A, é fundamental reconhecer o ponto
denominado centroide, uma vez que várias expressões matemáticas dos fenômenos ocorridos
em uma estrutura o utilizam como referencial (eixos que passem por esse ponto). Além disso, é
importante calcular as coordenadas desse ponto em relação a um dado conjunto de eixos.
A figura mostra uma área A, no plano xy, e o seu centroide C cujas coordenadas são dadas por
x̄ e ȳ.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 1 - Centroide de uma área
CENTROIDE VERSUS CENTRO DE MASSA
O centroide de uma área e centro de massa são identificados pelas coordenadas de um ponto.
Seus conceitos são distintos, mas sob determinadas condições, esses pontos podem ser
coincidentes, apresentando a mesma localização em relação a um par de eixos.
Centro de massa
O centro de massa é um ponto onde pode-se considerar toda a massa concentrada.

Centroide
O centroide, independe da massa, é uma característica geométrica.
Supondo uma placa no plano xy de espessura constante t e massa específica uniforme, os
pontos que definem o centro de massa e o centroide coincidem. A figura a seguir apresenta
uma área A cujo material possui massa específica não constante. Nesse caso, o centroide e o
centro de massa não coincidem.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues
 Figura 2 - Centroide e centro de massa
No caso de uma superfície geométrica com massa específica constante, os pontos associados
ao centroide e ao centro de massa são coincidentes, isto é, apresentam as mesmas
coordenadas para um mesmo par de eixos.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 3 - Centroide e centro de massa coincidentes
 ATENÇÃO
O centroide está associado exclusivamente à geometria da área. Assim, dois retângulos
congruentes, sendo um constituído de alumínio e o outro, de madeira, apresentarão o mesmo
centroide para o mesmo par de eixos.
EXEMPLO 1
Considere dois retângulos com dimensões b e h (em centímetros) e um mesmo par de eixos
xy. O primeiro dos retângulos é constituído de aço 1020 e o segundo de alumínio 7012. A
respeito das coordenadas dos centroides (em centímetros) dessas duas seções geométricas,
qual é a opção que pode apresentar corretamente as coordenadas do centroide de cada
retângulo?
(1, 2) e (2 e 1)
(1, 2) e (5 e 6)
(4, 1) e (4 e 1)
(0, 0) e (1 e 1)
(2, 1) e (6 e 5)
RESOLUÇÃO
O centroide independe do tipo de material que compõe a área. É função apenas da área.
Considere as figuras a seguir que representam os dois retângulos descritos no exemplo para o
eixo xy.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues
Como as dimensões são iguais e os eixos de referências são idênticos, os centroides
apresentarão mesmas coordenadas (a, b). Assim, a alternativa C é a única possível.
DETERMINAÇÃO DO CENTROIDE
No item anterior, foi feita uma análise qualitativa sobre o centroide de uma área A. Agora, o
objetivo é a determinação do centroide, ou seja, encontrar suas coordenadas x̄, ȳ .
Na figura abaixo tem-se uma representação esquemática de uma área A, o ponto centroide e
as coordenadas para o par xy considerado.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 4 - Representação do centroide de uma área.
As coordenadas do centroide são determinadas a partir das equações 1 e 2, a seguir:
( )
X̄ =
∫ X DA
∫ DA
(equação 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ȳ =
∫ Y DA
∫ DA
(equação 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que o denominador, ∫dA, é igual à área A da figura.
 ATENÇÃO
Caso a superfície não esteja no plano xy, será determinada, também, a coordenada:
z̄ =
∫ z dA
∫ dA
EXEMPLO 2
Determinar as coordenadas do centroide de um retângulo de base b e altura h em relação aos
eixos x e y.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues
RESOLUÇÃO
Inicialmente, deve-se individualizar um elemento infinitesimal de área dA. Nesse exemplo, o
elemento de área é um retângulo vertical de base dx e altura h. A abscissa do centroide desse
elemento é x.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Assim, é possível escrever que dA = h · dx (área do retângulo). Substituindo na equação 1,
tem-se que:
x̄ =
∫ x dA
∫ dA =
∫b0x . h . dx
A =
h ∫b0x . dx
b . h =
h .
x2
2
b . h =
h .
b2
2
b . h =
b
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira análoga, é possível determinar a ordenada do centroide, ou seja, ȳ =
h
2 .
EXEMPLO 2.1 - APLICAÇÃO
Determine o centroide de uma placa retangular de base 20cm e altura 8cm em relação ao par
de eixos x e y, de tal forma que x passe pela base do retângulo e y, pela altura, à esquerda.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 5 - Centroide de uma área.
RESOLUÇÃO
A partir das expressões encontradas no exemplo anterior, basta fazer a substituição dos
valores da base e da altura. Assim:
x̄ =
b
2 =
20
2 = 10cm 
 
e 
 
ȳ =
h
2 =
8
2 = 4cm
Logo, C (10, 4) cm.
O centroide de uma área pode ser um ponto pertencente ou não à área A.
A figura 6 representa as duas possibilidades.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 6 - Centroide de uma área pertencente e não pertencente à área
TEOREMA DA SIMETRIA
Muitas seções que são utilizadas na Engenharia apresentam simetria, como os perfis
mostrados abaixo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 7 - Seções com simetrias (eixos representados).
HAVENDO A SIMETRIA NA ÁREA EM QUE SE DESEJA
DETERMINAR O CENTROIDE, O TEOREMA DA
SIMETRIA É UMA FERRAMENTA QUE AUXILIA NA
DETERMINAÇÃO DE SUAS COORDENADAS. O
CENTROIDE C ESTARÁ SOBRE O EIXO DE SIMETRIA.
NO CASO DE EXISTIREM DOIS EIXOS DE SIMETRIA, O
CENTROIDE C ESTARÁ NA INTERSEÇÃO DESSES
EIXOS.
A partir do teorema da simetria, é fácil localizar o centroide de uma placa retangular de
dimensões b (base) e h (altura). A figura a seguir, ilustra a utilização do teorema para o caso de
um retângulo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 8 - Centroide de um retângulo a partir do teorema da simetria
EXEMPLO
Suponha um retângulo de área 72cm² e tal que sua base seja o dobro de sua altura. Determine
as coordenadas do centroide em relação ao par de eixos indicados na figura.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues
RESOLUÇÃO
Inicialmente, deve-se determinar as dimensões do retângulo. Seja a altura h = x e, portanto, a
base será b = 2 · x. Como a área é igual a 72cm², tem-se:
x · (2x) = 72 → 2 · x2 = 72 → x2 = 36 → x = 6cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a base b é iguala 12cm e a altura h igual a 6cm.
Utilizando o teorema da simetria é possível localizar o centroide da área retangular. Veja:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Da figura anterior, é possível determinar (por inspeção) as coordenadas do centroide em
relação aos eixos considerados. Assim, a abscissa do centroide x̄ é igual a 10cm e a
ordenada ȳ é igual a 5cm.
( )
( )
 ATENÇÃO
Quando o eixo y for de simetria, sabe-se que x̄ = 0, e quando o eixo x for de simetria, que ȳ = 0
. Caso os dois eixos x e y sejam de simetria, o centroide encontra-se na origem C (0,0).
CENTROIDE DE FIGURAS COMPOSTAS
Muitas seções podem ser decompostas em figuras geométricas mais simples, cuja localização
do centroide é conhecida. Dessa forma, a partir de uma média ponderada, é possível
determinar o centroide da figura composta. As relações matemáticas são apresentadas nas
equações 3 e 4.
X̄ =
∑ X̄I . AI
∑ AI
 
(equação 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ȳ =
∑ ȲI . AI
∑ AI
 
(equação 4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que x̄i e ȳi são as coordenadas do centroide do elemento i que forma a peça composta e Ai
sua área.
A tabela mostra algumas figuras geométricas simples e as coordenadas de seus centroides em
relação ao par xy adotado.
Figura geométrica x̄ ȳ
Figura geométrica x̄ ȳ
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues
Junior
b
2
h
2
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues
Junior
b
3
h
3
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues
Junior
R
4R
3p
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela 1 – Centroides de figuras geométricas.
Conhecendo as expressões simples da tabela 1, é possível determinar o centroide de peças
compostas a partir dessas figuras geométricas, utilizando as equações 3 e 4.
EXEMPLO 3
Considere um perfil T cujas dimensões são apresentadas na figura. Determine as coordenadas
de seu centroide em relação ao par de eixos apresentado.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
A partir do teorema da simetria, o centroide do perfil T encontra-se no eixo de simetria. Logo, a
abscissa do centroide do perfil T é 10cm.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Para a determinação da ordenada do centroide, será feita a decomposição da figura, conforme
esquema a seguir:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Considerando os retângulos 1 e 2, tem-se:
Retângulo 1: ȳ1 = 10cm e A1 = 4. 20 = 80cm
2
Retângulo 2: ȳ2 = 22cm e A2 = 4. 20 = 80cm
2
A partir da equação 4:
ȳ =
∑ ȳi · Ai
∑ Ai
=
ȳ1 · A1 + ȳ2 · A2
 A1 + A2
=
10 · 80 + 22 · 80
80 + 80 =
2560
160 = 16cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, C (10,16)cm
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE UMA ÁREA NA FORMA DE UM RETÂNGULO DE
DIMENSÕES 100MM (BASE) E 50MM (ALTURA). EM RELAÇÃO AO PAR DE
EIXOS XY MOSTRADO NA FIGURA, AS COORDENADAS DO CENTROIDE
DA ÁREA ESTÃO CORRETAMENTE EXPRESSAS NA OPÇÃO:
A) C (50,25)mm
B) C (25,50)mm
C) C (0,0)mm
D) C (50,50)mm
E) C (25,25)mm
2. SEJA UMA SEÇÃO RETANGULAR DE DIMENSÕES 80MM (BASE) E
40MM (ALTURA). EM RELAÇÃO AO PAR DE EIXOS XY (PASSANDO NOS
PONTOS MÉDIOS DA BASE E DA ALTURA) MOSTRADO NA FIGURA,
QUAIS AS COORDENADAS DO CENTROIDE DA ÁREA?
A) C(40,20)mm
B) C(20,40)mm
C) C(20,20)mm
D) C(0,0)mm
E) C(40,40)mm
3. UM ESTAGIÁRIO DE ENGENHARIA NECESSITA DETERMINAR O
CENTROIDE DA ÁREA (QUARTO DE CÍRCULO DE RAIO R) DA FIGURA A
SEGUIR, TOMANDO-SE OS EIXOS X E Y COMO REFERÊNCIA.
A) C (0,
4R
3π )
B) C (0,0)
C) C ( 
4R
3π ,0)
D) C (
4R
3π ,
4R
3π )
E) C (0,
2R
3π )
4. CONSIDERE UM PERFIL NA FORMA DE UM I, CONFORME A
ILUSTRAÇÃO A SEGUIR. AS ABAS SUPERIOR E INFERIOR TÊM,
RESPECTIVAMENTE, 20CM E 10CM E ESTÃO SIMETRICAMENTE
DISPOSTAS EM RELAÇÃO À ALMA DO PERFIL DE ESPESSURA 2CM. A
ORDENADA DO CENTROIDE DESSA ÁREA É:
A) 10cm
B) 12cm
C) 8,5cm
D) 7,5cm
E) 7cm
5. CONSIDERE AS AFIRMATIVAS A SEGUIR:
O CENTRO DE MASSA E O CENTROIDE DE UMA SUPERFÍCIE
SEMPRE COINCIDEM.
O CENTROIDE DE UMA SUPERFÍCIE SEMPRE PERTENCERÁ À
SUPERFÍCIE.
QUANDO UMA SUPERFÍCIE APRESENTA UM EIXO DE SIMETRIA, O
CENTROIDE SEMPRE ESTARÁ SOBRE ESSE EIXO.
AS COORDENADAS DO CENTROIDE DE UMA ÁREA INDEPENDEM
DOS EIXOS ADOTADOS COMO REFERÊNCIAS.
SÃO CORRETAS:
A) Apenas a afirmativa II
B) Apenas a afirmativa III
C) Apenas as afirmativas II e III
D) Apenas as afirmativas I, II e III
E) Apenas as afirmativas I, II e IV
6. CONSIDERE UMA SEÇÃO RETA DE UMA VIGA, REPRESENTADA PELA
FIGURA. A EXPRESSÃO MATEMÁTICA ASSOCIADA É DADA PORY = X3, 
0 ≤ X ≤ 400MM.
DETERMINANDO A ABSCISSA DO CENTROIDE DA SEÇÃO, O VALOR
ENCONTRADO É:
A) 150mm
B) 180mm
C) 250mm
D) 300mm
E) 320mm
GABARITO
1. Considere uma área na forma de um retângulo de dimensões 100mm (base) e 50mm
(altura). Em relação ao par de eixos xy mostrado na figura, as coordenadas do centroide
da área estão corretamente expressas na opção:
A alternativa "A " está correta.
O retângulo apresenta dois eixos de simetria (passando pelos pontos médios da base e da
altura). Assim, o seu centroide encontra-se na metade da base e na metade da altura, ou seja,
50mm e 25mm. Considerando o par de eixos adotado, C(50,25)mm.
2. Seja uma seção retangular de dimensões 80mm (base) e 40mm (altura). Em relação ao
par de eixos xy (passando nos pontos médios da base e da altura) mostrado na figura,
quais as coordenadas do centroide da área?
A alternativa "D " está correta.
O retângulo apresenta dois eixos de simetria. Assim, o seu centroide encontra-se no encontro
desses eixos. Os eixos x e y adotados são os de simetria. Logo, o centroide está na origem,
isto é, C(0,0)mm
3. Um estagiário de Engenharia necessita determinar o centroide da área (quarto de
círculo de raio R) da figura a seguir, tomando-se os eixos x e y como referência.
A alternativa "D " está correta.
O quarto de círculo possui um eixo de simetria que é a reta bissetriz dos eixos. Assim, o
centroide está sobre essa bissetriz. Como o ângulo é de 45º, o centroide é equidistante dos
eixos x e y (triângulo isósceles – ver figura). Uma vez que, para o semicírculo, o centroide está
a uma distância de 
4R
3π do diâmetro, é possível concluir que x̄ = ȳ =
4R
3π . Observe a figura a
seguir:
4. Considere um perfil na forma de um I, conforme a ilustração a seguir. As abas superior
e inferior têm, respectivamente, 20cm e 10cm e estão simetricamente dispostas em
relação à alma do perfil de espessura 2cm. A ordenada do centroide dessa área é:
A alternativa "C " está correta.
Fazendo a decomposição do perfil em três retângulos: superior, base e vertical, e determinando
a ordenada dos seus centroides em relação ao par xy e suas áreas, tem-se:
Retângulo horizontal base: ȳ1 = 1cm e A1 = 2. 10 = 20cm
2
Retângulo aba superior: ȳ2 = 13cm e A2 = 2. 20 = 40cm2
Retângulo vertical: ȳ3 = 7cm e A2 = 2. 10 = 20cm2
A partir da equação 4:
ȳ =
∑ ȳi . Ai
∑ Ai
=
ȳ1 . A1 + ȳ2 . A2 + ȳ3 . A3
A1 + A2 + A3
=
1.20 + 13.40 + 7.20
20 + 40 + 20 =
680
80 = 8,5cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Considere as afirmativas a seguir:
O centro de massa e o centroide de uma superfície sempre coincidem.
O centroide de uma superfície sempre pertencerá à superfície.
Quando uma superfície apresenta um eixo de simetria, o centroide sempre estará
sobre esse eixo.
As coordenadas do centroide de uma área independem dos eixos adotados como
referências.
São corretas:
A alternativa "B " está correta.
I – O centro de massa e o centroide coincidem quando a superfície é constituída de material
cuja massa específica é constante.
II – O centroide pode estar ou não na superfície, dependendo da distribuição da área.
IV – As coordenadas do centroide dependem do referencial adotado. O ponto físico não muda
de posição, mas suas coordenadas podem variar para cada par de eixos xy adotado.
6. Considere uma seção reta de uma viga, representada pelafigura. A expressão
matemática associada é dada pory = x3, 0 ≤ x ≤ 400mm.
Determinando a abscissa do centroide da seção, o valor encontrado é:
A alternativa "E " está correta.
No vídeo a seguir o professor apresenta a resolução da questão. Veja!
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um engenheiro faz parte de uma equipe que deverá dimensionar uma estrutura. Uma das
etapas desse dimensionamento é a determinação do centroide de uma seção representada
pela figura. A expressão matemática associada é dada por y = 2. x2, 0 ≤ x ≤ 1m.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
O engenheiro, portanto, deseja encontrar as coordenadas do centroide da seção em relação ao
par de eixos considerado. No vídeo a seguir o professor apresenta a resolução da questão.
Veja!
CÁLCULO DO CENTROIDE DE UMA ÁREA POR MEIO
DE INTEGRAÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (IBFC ‒ EBSERH ‒ 2020 ‒ ENGENHEIRO MECÂNICO) 
 
O USO DE INTEGRAIS NO DESENVOLVIMENTO DE COMPONENTES
MECÂNICOS PERMITE QUE O ENGENHEIRO POSSA OBTER DIVERSOS
PARÂMETROS UTILIZADOS NOS CÁLCULOS DE RESISTÊNCIA DE UMA
PEÇA. A RESPEITO DO CÁLCULO DO CENTROIDE, ASSINALE A
ALTERNATIVA CORRETA:
A) O centroide sempre terá o mesmo valor, em módulo, do centro de massa de uma mesma
peça.
B) Só é possível obter o centroide de uma área caso a secção seja simétrica em um dos eixos.
C) Para cálculo do centroide, é necessário saber o material da peça em questão.
D) O centroide de uma área refere-se ao ponto que define o centro geométrico dela.
E) O centroide de uma área refere-se ao ponto que define o centro de massa de uma peça.
2. UMA ESTRUTURA TEM UMA VIGA EM PERFIL I TAL QUE AS ABAS
SUPERIOR E INFERIOR APRESENTAM O MESMO COMPRIMENTO, E A
ALMA ESTÁ SIMETRICAMENTE DISPOSTA EM RELAÇÃO AS ESSAS
ABAS. OBSERVE A SEÇÃO RETA DESSA VIGA:
AS DIMENSÕES SÃO AS SEGUINTES: AS ABAS (RETÂNGULOS
HORIZONTAIS) TÊM 100MM DE COMPRIMENTO E 10MM DE ESPESSURA,
E A ALMA (RETÂNGULO VERTICAL) TEM 120MM DE COMPRIMENTO E
ESPESSURA DE 10MM. COM RELAÇÃO AOS EIXOS X E Y ADOTADOS
(DE SIMETRIA), AS COORDENADAS DO CENTROIDE SÃO:
A) (50,60)mm
B) (60,50)mm
C) (0,70)mm
D) (0,0)mm
E) (50,70)mm
GABARITO
1. (IBFC ‒ EBSERH ‒ 2020 ‒ Engenheiro Mecânico) 
 
O uso de integrais no desenvolvimento de componentes mecânicos permite que o
engenheiro possa obter diversos parâmetros utilizados nos cálculos de resistência de
uma peça. A respeito do cálculo do centroide, assinale a alternativa correta:
A alternativa "D " está correta.
 
O centroide de uma área independe do material. É função exclusiva da forma. O centro de
massa é dependente da massa específica do material. Centroide e centro de massa coincidem
quando a massa específica do material que constitui a área é constante.
2. Uma estrutura tem uma viga em perfil I tal que as abas superior e inferior apresentam
o mesmo comprimento, e a alma está simetricamente disposta em relação as essas
abas. Observe a seção reta dessa viga:
As dimensões são as seguintes: as abas (retângulos horizontais) têm 100mm de
comprimento e 10mm de espessura, e a alma (retângulo vertical) tem 120mm de
comprimento e espessura de 10mm. Com relação aos eixos x e y adotados (de simetria),
as coordenadas do centroide são:
A alternativa "D " está correta.
 
Uma vez que os eixos x e y considerados são simétricos, o teorema da simetria afirma que o
centroide se localiza em sua interseção. Como a interseção é a origem do par, o centroide tem
coordenadas (0,0)mm.
MÓDULO 2
 Calcular o momento estático de uma área
INTRODUÇÃO
O MOMENTO ESTÁTICO DE UMA ÁREA
O momento estático de uma área A também é denominado momento de primeira ordem.
Matematicamente, sua determinação é realizada pela resolução de uma integral. Uma
aplicação para o momento estático é a determinação das coordenadas do centroide de uma
área, visto no módulo anterior.
CONCEITOS DE MOMENTO ESTÁTICO DE
UMA ÁREA
Considere uma área A e dois eixos x e y de referência.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 9 - Área A e par xy de referência.
Considerando um elemento infinitesimal de área dA, os momentos estáticos dessa área são
definidos em relação aos eixos x e y, de acordo com as equações 5 e 6.
DSX = YDA
(equação 5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DSY = XDA
(equação 6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que y e x são, respectivamente, as distâncias da área infinitesimal aos eixos x e y.
Integrando-se as equações 5 e 6, tem-se os momentos estáticos da área A em relação aos
eixos x e y. Observe as equações 7 e 8:
SX = ∫YDA
(equação 7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SY = ∫XDA
(equação 8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
AS UNIDADES DE MOMENTO ESTÁTICO SÃO
UNIDADES DE COMPRIMENTO ELEVADAS À
TERCEIRA POTÊNCIA, OU SEJA, CM3, M3, MM3 ETC.
EXEMPLO 4
Seja uma seção retangular de base b, altura h e o par xy, conforme figura. Determine os
momentos estáticos da seção em relação aos eixos.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
Inicialmente, deve-se individualizar um elemento infinitesimal de área dA. Nesse exemplo, o
elemento de área é um retângulo vertical de base dx e altura h, sendo a distância desse
elemento ao eixo y igual a x.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Assim, é possível escrever que dA = h. dx (área do retângulo). Substituindo na equação 8,
tem-se:
Sy = ∫xdA = ∫
b
0x. h. dx = h. ∫
b
0x. dx = h.
x2
2 =
b2 . h
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira análoga, é possível determinar o momento estático da área retangular em relação
ao eixo x, isto é, Sx =
b . h2
2 .
SINAIS DO MOMENTO ESTÁTICO
Considere o par de eixos xy e seus quatro quadrantes. Em cada um desse quadrantes, existe
uma área Ai.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 10 - Áreas Ai nos quatro quadrantes.
A áreas A1, A2, A3 e A4 sempre apresentam valores positivos e as coordenadas x e y em cada
quadrante podem ter valores positivos ou negativos.
1º QUADRANTE: X > 0 E Y > 0 
2º QUADRANTE: X < 0 E Y > 0 
3º QUADRANTE: X < 0 E Y < 0 
4º QUADRANTE: X > 0 E Y < 0
A partir das equações 7 e 8 e a argumentação de sinais anteriores, é possível concluir que:
No 1º quadrante, x e y são positivos. Como a área é positiva, seções retas situadas
inteiramente nesse quadrante têm Sx e Sy positivos.
Analogamente, é possível concluir sobre os sinais de Sx e Sy em cada quadrante:
2º quadrante: Sy < 0 e Sx < 0
3º quadrante: Sy < 0 e Sx < 0
4º quadrante: Sy > 0 e Sx < 0
MOMENTO ESTÁTICO E CENTROIDE
No módulo 1, as equações 1 e 2 determinam as coordenadas do centroide de uma área. A
partir dessas equações, é possível escrever que:
X̄ =
∫ X DA
∫ DA → X̄ · ∫DA = ∫X DA → SY = X̄ · A 
 
Ȳ =
∫ Y DA
∫ DA → Ȳ · ∫DA = ∫Y DA → SX = Ȳ · A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
A partir das expressões anteriores, é possível afirmar que quando o eixo considerado para o
cálculo do momento estático for centroidal (passar pelo centroide), o momento de primeira
ordem (ou momento estático da área) é nulo.
EXEMPLO 5
Considere a seção retangular da figura a seguir, em que a base (b) é igual a 200mm e a altura
(h), 80mm. Determine o momento estático em relação aos eixos x e y.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
Inicialmente, deve-se determinar as coordenadas do centroide da área. Assim:
x̄ =
b
2 → x̄ =
200
2 = 100mm
ȳ =
h
2 → ȳ =
80
2 = 40mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A área A do retângulo é dada por A = 200 · 80 = 16.000mm2. Substituindo os valores nas
expressões de Sx e Sy, tem-se:
Sy = x̄ · A → Sy = 100 · 16000 = 1.600.000mm
3
Sx = ȳ · A → Sx = 40 · 16000 = 640.000mm
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalEXEMPLO 6
Determine a expressão para o momento estático em relação ao eixo x de uma placa com o
formato de um semicírculo de raio R.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
Inicialmente, será utilizada a expressão que determina a ordenada do semicírculo em relação
ao par de eixos adotados. Assim, ȳ =
4R
3π . A área do semicírculo de raio R é dada pela
expressão A =
π · R2
2 .
A expressão que determina o momento estático ou de primeira ordem em relação ao eixo é:
Sx = ȳ · A
Substituindo as expressões da área A =
π · R2
2 e da ordenada do centroide ȳ =
4R
3π na
expressão do momento estático, tem-se:
Sx = ȳ · A → Sx =
4R
3π ·
π · R2
2 =
2 · R3
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE QUE O EIXO DE TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA DE UM
MOTOR SEJA CIRCULAR MACIÇO DE 100MM DE RAIO. SUPONHA UMA
SEÇÃO RETA DO EIXO CIRCULAR E DOIS EIXOS, HORIZONTAL E
VERTICAL, QUE PASSAM PELO CENTRO DO CÍRCULO. DETERMINE OS
MOMENTOS ESTÁTICOS DA SEÇÃO RETA EM RELAÇÃO AOS EIXOS X E
Y.
A) Sx = 1.000.000mm
3 e Sy = 1.000.000mm
3
B) Sx = 10.000mm3 e Sy = 10.000mm3
C) Sx = - 1.000.000mm3 e Sy = - 1.000.000mm3
D) Sx = 0 e Sy = 0
E) Sx = - 10.000mm3 e Sy = - 10.000 mm3
2. A FIGURA A SEGUIR APRESENTA UMA REGIÃO RETANGULAR CUJAS
DIMENSÕES SÃO: BASE 12CM E ALTURA 6CM. CONSIDERANDO O EIXO
X DA FIGURA, DETERMINE O MOMENTO ESTÁTICO DA ÁREA
RETANGULAR EM RELAÇÃO AO EIXO X CONSIDERADO.
A) 60cm3
B) 216cm3
C) 360cm3
D) 432cm3
E) 400cm3
3. SUPONHA UMA SEÇÃO RETA COM A FORMA DE UM QUADRADO DE
LADO L. O MOMENTO ESTÁTICO DA ÁREA EM RELAÇÃO AO EIXO
HORIZONTAL X QUE PASSA PELA BASE DO QUADRADO É DADO PELA
SEGUINTE EXPRESSÃO:
A) Sx =
L3
2
B) Sx =
L3
3
C) Sx =
L3
4
D) Sx =
L3
6
E) Sx =
L3
8
4. UMA VIGA TEM COMPRIMENTO DE 2M E SEÇÃO RETA UM
SEMICÍRCULO DE DIÂMETRO 300MM. O MOMENTO ESTÁTICO DA
SEÇÃO EM RELAÇÃO AO EIXO QUE COINCIDE COM O DIÂMETRO, EM 
MM3, É IGUAL A:
A) 1,25 × 106
B) 1,50 × 106
C) 1,75 × 106
D) 2,00 × 106
E) 2,25 × 106
5. CONSIDERE A SEÇÃO RETA DE UMA ESTRUTURA, CONFORME A
FIGURA. SUPONDO QUE O RAIO DO QUARTO DE CÍRCULO VALE 300MM,
DETERMINE O MOMENTO ESTÁTICO EM RELAÇÃO AO EIXO E, QUE
PASSA PELO CENTROIDE DA ÁREA.
A) 0
B) 10 × 106 mm3
C) 12 × 106mm3
D) 15 × 106mm3
E) 18 × 106mm3
6. UMA ESTRUTURA MECÂNICA É CONSTRUÍDA UTILIZANDO-SE O AÇO
ASTM A36. UMA DAS PARTES DESSA ESTRUTURA É UMA VIGA, CUJA
SEÇÃO RETA É UM QUARTO DE CÍRCULO DE RAIO 3,0DM. UM DOS
CÁLCULOS A SER REALIZADO PELO ENGENHEIRO É O DO MOMENTO
ESTÁTICO DA SEÇÃO RETA. CONSIDERANDO O EIXO QUE COINCIDE
COM O RAIO, O VALOR DO MOMENTO ESTÁTICO DA SEÇÃO RETA
VALE:
A) 0
B) 6 dm3
C) 9 dm3
D) 15 dm3
E) 18 dm3
GABARITO
1. Considere que o eixo de transmissão de potência de um motor seja circular maciço de
100mm de raio. Suponha uma seção reta do eixo circular e dois eixos, horizontal e
vertical, que passam pelo centro do círculo. Determine os momentos estáticos da seção
reta em relação aos eixos x e y.
A alternativa "D " está correta.
O centroide do círculo coincide com o seu centro, devido ao fato de dois eixos de simetria
concorrerem nesse centro. Assim, os momentos estáticos do círculo em relação aos eixos x e y
que passam pelo centro, serão nulos. Observe que:
Sy = x̄ · A → Sy = 0 · A = 0
Sx = ȳ · A → Sx = 0 · A = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A figura a seguir apresenta uma região retangular cujas dimensões são: base 12cm e
altura 6cm. Considerando o eixo x da figura, determine o momento estático da área
retangular em relação ao eixo x considerado.
A alternativa "C " está correta.
Considere o centroide do retângulo, mostrado na figura.
O centroide encontra-se a uma distância ȳ = 5cm do eixo x, conforme a figura. A área é dada
por A = 12 × 6 = 72cm2. Substituindo em Sx = ȳ · A → Sx = 5 · 72 = 360cm
3.
3. Suponha uma seção reta com a forma de um quadrado de lado L. O momento estático
da área em relação ao eixo horizontal x que passa pela base do quadrado é dado pela
seguinte expressão:
A alternativa "A " está correta.
O momento estático de uma área retangular de base b e altura h em relação ao eixo x que
passa por sua base é dado por: Sx =
b · h2
2 . O quadrado é um caso particular do retângulo em
que b=h=L. Assim, substituindo na expressão, tem-se que Sx =
L3
2 .
4. Uma viga tem comprimento de 2m e seção reta um semicírculo de diâmetro 300mm. O
momento estático da seção em relação ao eixo que coincide com o diâmetro, em mm3, é
igual a:
A alternativa "E " está correta.
A expressão que determina o momento estático de um semicírculo em relação ao eixo que
coincide com seu diâmetro é dada por Sx =
2 · R3
3 , sendo R o raio. O enunciado apresenta o
diâmetro, logo o raio R vale R =
300
2 = 150mm. Substituindo na expressão, tem-se que:
Sx =
2 · R3
3 =
2 · ( 150 ) 3
3 =
2 · ( 3.375 ) · ( 10 ) 3
3 =
2 · ( 3.375 ) · ( 10 ) 3
3 = 2250 · 10
3 = 2,25 · 106 mm3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Considere a seção reta de uma estrutura, conforme a figura. Supondo que o raio do
quarto de círculo vale 300mm, determine o momento estático em relação ao eixo e, que
passa pelo centroide da área.
A alternativa "A " está correta.
Como o eixo considerado para o cálculo do momento estático da seção (ou de primeira ordem)
passa pelo centroide dessa área (eixo centroidal), o momento estático é nulo.
6. Uma estrutura mecânica é construída utilizando-se o aço ASTM A36. Uma das partes
dessa estrutura é uma viga, cuja seção reta é um quarto de círculo de raio 3,0dm. Um
dos cálculos a ser realizado pelo engenheiro é o do momento estático da seção reta.
Considerando o eixo que coincide com o raio, o valor do momento estático da seção reta
vale:
A alternativa "C " está correta.
CÁLCULO DO MOMENTO ESTÁTICO DA SEÇÃO DE
UMA VIGA (QUARTO DE CÍRCULO)
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O engenheiro utilizará o perfil em U em umas das vigas de uma estrutura. Ele deverá fazer
uma série de cálculos que envolvem a geometria da seção reta. Dentre os cálculos, ele
necessita conhecer o momento estático ou de primeira ordem da seção em relação ao eixo
horizontal, conforme figura.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
No vídeo a seguir o professor apresenta a resolução da questão. Veja!
CÁLCULO DO MOMENTO ESTÁTICO DE UMA SEÇÃO
COMPOSTA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O PAR DE EIXOS XY, TAL QUE X SEJA HORIZONTAL
PARA A DIREITA E Y, VERTICAL PARA CIMA, DIVIDINDO O PLANO EM
QUATRO QUADRANTES. UMA ÁREA RETANGULAR ENCONTRA-SE
INTEIRAMENTE NO TERCEIRO QUADRANTE. A RESPEITO DO MOMENTO
ESTÁTICO DESSA ÁREA EM RELAÇÃO AO EIXO X, PODE-SE AFIRMAR
QUE:
A) É sempre negativa, pois A > 0 e x̄ < 0
B) É sempre negativa, pois A > 0 e ȳ < 0
C) É sempre positiva, pois A > 0 e x̄ < 0
D) É sempre positiva, pois A > 0 e ȳ < 0
E) É sempre positiva, pois A > 0 e x̄. ȳ > 0
2. CONSIDERE UM EIXO CIRCULAR MACIÇO CUJO DIÂMETRO É DADO
POR D.
DETERMINE O MOMENTO ESTÁTICO OU DE PRIMEIRA ORDEM DO
CÍRCULO EM RELAÇÃO AO EIXO X.
A) Sx =
π . D3
2
B) Sx =
π . D3
4
C) Sx =
π . D3
8
D) Sx =
π . D3
16
E) Sx = 0
GABARITO
1. Considere o par de eixos xy, tal que x seja horizontal para a direita e y, vertical para
cima, dividindo o plano em quatro quadrantes. Uma área retangular encontra-se
inteiramente no terceiro quadrante. A respeito do momento estático dessa área em
relação ao eixo x, pode-se afirmar que:
A alternativa "B " está correta.
 
No terceiro quadrante, os valores de x e y são negativos. Assim, a área retangular estando
inteiramente no 3º quadrante, ȳ < 0. Como a área A tem valor positivo, Sx = ȳ · A apresentará
sempre um valor negativo.
2. Considere um eixo circular maciço cujo diâmetro é dado por D.
Determine o momento estático ou de primeira ordem do círculo em relação ao eixo x.
A alternativa "C " está correta.
 
O momento estático de uma área em relação ao eixo x é dado porSx = ȳ. A. A área do círculo
é dada por
A = π. R)2 = π.
D
2
2
=
π . D2
4 ,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e a ordenada do centroide do círculo em relação ao eixo x dado é ȳ = R =
D
2 . Substituindo,
tem-se:
( ( )
Sx = ȳ. A →
D
2 .
π . D2
4 =
π . D3
8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Calcular o momento de inércia de uma área.
INTRODUÇÃO
O MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA
Na Engenharia, a determinação das propriedades geométricas de uma área é importante, por
exemplo, no dimensionamento de pequenas estruturas. A propriedade geométrica denominada
momento de inércia da área A (em relação a um dado eixo) ou momento de área de segunda
ordem será apresentada neste módulo.
MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA A
EM RELAÇÃO AOS EIXOS X E Y
Considere a figura a seguir em que uma área A é representada. Um elemento infinitesimal
dessa área (dA) está destacado. O momento de inércia desse elemento de área em relação ao
eixo x, ou momento de área de segunda ordem, é dado pelo produto do momento estático da
área dA pela distância ao eixo x (representado por y).
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 11 - Seção reta e elemento de área dA individualizado.
Na figura a seguir a situação é similar, contudo, o momento de área refere-se ao eixo y, por
isso a distância do elemento infinitesimal até o eixo y é denominada x.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 12 - Seção reta e elemento de área dA individualizado
Assim, tem-se que:
dIx = y. (y. dA) → dIx = y
2dA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando para toda a região A, o momento de inércia em relação ao eixo x será dado pela
equação 9:
IX = ∫ Y
2DA
(equação 9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analogamente, é possível determinar o momento de inércia da área em relação ao eixo y por
meio da equação 10.
IY = ∫ X2DA
(equação 10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
OS VALORES PARA IX E IY SÃO POSITIVOS E TÊM
UNIDADES DE COMPRIMENTO ELEVADAS À QUARTA
POTÊNCIA, ISTO É, M4, CM4, MM4 ETC.
EXEMPLO 7
Considere que a seção reta de um componente mecânico é um retângulo de base b e altura h.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
Adotando-se um elemento infinitesimal retangular horizontal com base b e altura dy, sua área
será dada por dA = b · dy. Substituindo a expressão dA na equação 9, tem-se que:
IX = ∫ Y2DA = ∫
H
0 Y
2. B. DY = B. ∫H0 Y
2. DY = B.
Y3
3 =
B . H3
3
(equação 11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir do desenvolvimento anterior, é possível também determinar o momento de inércia de
uma área retangular em relação ao eixo y.
IY =
H · B3
3
(equação 12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MOMENTO POLAR DE INÉRCIA DE UMA
ÁREA (J0)
De maneira similar ao apresentado no item anterior, o momento polar de inércia (J0) de uma
área A é o cálculo de uma integral. A diferença básica é que esta propriedade geométrica é
determinada em relação a um polo 0 e, em consequência, a distância utilizada é entre o
elemento infinitesimal e o polo, denominada r. A equação 13 apresenta a relação matemática.
J0 = ∫ R
2DA
(equação 13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A figura a seguir representa uma área genérica no plano xy, o elemento infinitesimal para
estudo (dA) e sua distância r ao polo 0.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 13 - Seção reta e elemento de área dA individualizado.
A partir da figura, é fácil perceber que as coordenadas do elemento de área dA são x e y.
Assim, pelo teorema de Pitágoras, pode-se escrever que r2 = y2 + x2. A partir da equação 13
e da expressão anterior, é possível escrever que:
J0 = ∫ r
2dA = ∫( y2 + x2 dA = ∫y2dA + ∫ x2dA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Entretanto, de acordo com as equações 9 e 10, tem-se que:
J0 = IX + IY
(equação 14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma seção muito comum na Engenharia é a circular de raio R. Dessa forma, será feita a
demonstração para o seu momento polar de inércia. Observe na figura abaixo um elemento de
área dA (um anel infinitesimal) de raio interno r e espessura dr.
)
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 14 - Seção reta de um círculo área dA.
O elemento de área dA escolhido é uma coroa circular de raios r e (r + dr). Assim, sua área dA
será π. r + dr)2 - π. r)2, ou seja, 2 · π · r · dr + π · dr)2. O último termo pode ser desprezado
( < < < < 0). Logo, dA = 2. π. r. dr. Substituindo na equação 13.
Jo = ∫ r
2. dA = ∫R0 r
2. 2. p. r. dr = 2p. ∫R0 r
3. dr → Jo = 2p.
R4
4 → Jo =
p . R4
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
AS UNIDADES DE MOMENTO POLAR DE INÉRCIA SÃO
CM4, MM4, M4 ETC. SEUS VALORES SÃO SEMPRE
QUANTIDADES POSITIVAS.
EXEMPLO 8
Determine o momento polar de inércia de uma seção tubular circular de raios externo e interno
iguais a 100mm e 80mm.
RESOLUÇÃO
( ( (
Inicialmente, será feita a decomposição da seção reta tubular em dois círculos.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
É possível escrever que o momento polar de inércia da seção tubular é igual à diferença
entre os momentos polares de inércias das seções maciças de raios 100mm e 80mm. A partir
da equação que determina J0, tem-se que:
Jo =
π · R4
2 -
π · r4
2 =
π · R4 - r4
2 =
π · 1004 - 804
2 = 92,7 · 10
6 mm4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CÍRCULO
EM RELAÇÃO AOS EIXOS X E Y
A partir das propriedades de simetria e do fato de que os momentos de inércia de uma área em
relação aos eixos x e y (que passam pelo centro do círculo) somados levam ao valor do
momento polar de inércia (equação 14), é possível, sem a utilização da definição formal
(apresentada nas equações 9, 10 e 13), determinar Ix e Iy para o círculo.
SIMETRIA : IX = IY 
 
J0 = IX + IY 
( ) ( )
 
IX = IY =
J0
2 =
P · R4
4
(equação 15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 9
Considere um eixo maciço circular utilizado em um motor elétrico. Sendo seu diâmetro igual a
4cm, determine os momentos de inércia em relação aos eixos x e y e o momento polar de
inércia. Os eixos x e y são, respectivamente, os eixos horizontal e vertical, passando pelo
centro do círculo.
RESOLUÇÃO
O valor apresentado no enunciado é o diâmetro do eixo. Dessa forma, seu raio R vale 2cm.
Utilizando a expressão Jo =
π . R4
2 , é possível determinar o momento polar de inércia do círculo,
ou seja,
Jo =
π . R4
2 =
π . 24
2 = 25,12cm
4.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 15, Ix = Iy = p ·
24
4 = 12,56cm
4.
TEOREMA DE STEINER OU DOS EIXOS
PARALELOS
Em muitas situações na Engenharia, conhece-se o momento de inércia de uma área em
relação a um eixo (tabela), e deseja-se o momento de inércia dessa mesma área em relação a
outro eixo. Sob dadas condições, é possível resolver essa situação sem ter que utilizar a
definição de momento de inércia de uma área (integral).
Quando os dois eixos envolvidos são paralelos e um deles é centroidal, ou seja, passa pelo
centroide, é possível utilizar o teorema de Steiner ou dos eixos paralelos.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 15 - Área A e dois eixos paralelos
Para a Figura 15, o teorema de Steiner é dado pela equação 16.
IX = IX̄ + A · D2
(equação 16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
Ix - momento inércia da área A em relação ao eixo x
Ix̄ - momento inércia da áreaA em relação ao eixo centroidal x̄
A - área
d - distância entre os paralelos x e x̄
De maneira análoga, o teorema de Steiner (ou dos eixos paralelos) é aplicável para o momento
de inércia da área em relação ao eixo y e para o momento polar de inércia, desde que as duas
condições sejam satisfeitas, ou seja, eixos paralelos, sendo um deles centroidal.
EXEMPLO 10
Seja uma área retangular de base b e altura h. Determinar o momento de inércia do retângulo
em relação ao eixo centroidal x̄.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
É possível utilizar o teorema de Steiner, uma vez que as duas condições são satisfeitas
simultaneamente (eixos x e x̄ são paralelos e o eixo x̄ é centroidal).
A partir da equação 11, o momento de inércia do retângulo em relação ao eixo x que passa por
sua base é dado por Ix =
b · h3
3 . O centroide do retângulo tem ordenada ȳ =
h
2 em relação ao
eixo x, e a sua área A é dada por A=b.h. Substituindo as expressões na equação 16 (teorema
de Steiner), tem-se:
Ix = Ix̄ + A · d
2 
 
b · h3
3 = Ix̄ + b · h ·
h
2 )
2 
 
b · h3
3 = Ix̄ + b · h ·
h2
4 
 
b · h3
3 = Ix̄ +
b · h3
4 
 
Ix̄ =
b · h3
12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(
De maneira análoga, é possível mostrar que o momento de inércia do retângulo em relação ao
eixo centroidal vertical (ȳ) é dado por Iȳ =
h · b3
12 .
Obs.: Usando a mesma argumentação, pode-se determinar os momentos de inércia do
triângulo retângulo de base b e altura h em relação aos eixos centroidais x̄ e ȳ: Ix̄ =
b . h3
36 e 
Iȳ =
h · b3
36 .
RAIO DE GIRAÇÃO
Considere uma área A que possui momento de inércia Ix em relação a dado eixo, por exemplo,
x. Uma faixa de área A paralela a esse mesmo eixo apresentará o mesmo momento de inércia 
Ix se estiver a uma distância kx do eixo, em que kx é denominado raio de giração.
Ix = A · k
2
x → kx =
Ix
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analogamente, para o momento de inércia Iy e para o momento polar de inércia J0:
ky =
Iy
A e k0 =
J0
A 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 11
Considere uma área de 20cm² e momento de inércia Ix = 2.000cm
4. Determine o raio de
giração kx dessa área.
RESOLUÇÃO
kx =
Ix
A =
2.000
20 = 10cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
√
√ √
√ √
MÃO NA MASSA
1. SENDO UMA SEÇÃO RETA NA FORMA DE UM QUADRADO COM
ÁREAS DE 36 CM², DETERMINE SEU MOMENTO DE INÉRCIA EM
RELAÇÃO AO EIXO HORIZONTAL X, QUE PASSA PELA BASE DO
QUADRADO.
A) 216cm4
B) 300cm4
C) 432cm4
D) 450cm4
E) 512cm4
2. UMA SEÇÃO TEM A FORMA DE UM RETÂNGULO DE DIMENSÕES 3M
DE BASE E 1M DE ALTURA. CONSIDERANDO O EIXO QUE PASSA PELA
BASE DESSE RETÂNGULO, DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA
DESSE RETÂNGULO.
A) 1m4
B) 2m4
C) 3m4
D) 4m4
E) 5m4
3. SEJA UM RETÂNGULO DE BASE 20CM E ALTURA 10CM, EM QUE SUA
BASE REPOUSA SOBRE UM EIXO HORIZONTAL X. A ARESTA
ESQUERDA DO RETÂNGULO COINCIDE COM O EIXO VERTICAL Y.
DETERMINANDO OS MOMENTOS DE INÉRCIA IX E IY, QUANTO VALE A
RAZÃO 
IX
IY
?
A) 4
B) 2
C) 1
D) 0,5
E) 0,25
4. (FCC ‒ TRF ‒ 1ª REGIÃO ‒ ANALISTA JUDICIÁRIO ‒ ENGENHARIA
CIVIL ‒ ADAPTADA) UMA VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR FOI
PROJETADA BUSCANDO-SE O MOMENTO DE INÉRCIA IGUAL A 
2,25 × 10 - 4M4 (EM RELAÇÃO AO EIXO X’ QUE PASSA PELO CENTROIDE
E É PARALELO À BASE). COMO A ALTURA DA VIGA É IGUAL A 0,3M, A
LARGURA DA VIGA, EM CM, DEVE SER IGUAL A:
A) 21
B) 30
C) 10
D) 5
E) 18
5. CONSIDERE UMA SEÇÃO RETA, CONFORME A FIGURA A SEGUIR,
CUJA ÁREA A É IGUAL A 400 CM² E OS EIXOS 1 E 2 SÃO PARALELOS. O
MOMENTO DE INÉRCIA DA ÁREA A EM RELAÇÃO AO EIXO 1, VALE 
20.000 CM4.
A DISTÂNCIA ENTRE OS EIXOS 1 E 2 É DE 2CM, E O CENTROIDE ESTÁ A
UMA DISTÂNCIA DE 3CM DO EIXO 2. QUAL É O MOMENTO DE INÉRCIA
DA ÁREA EM RELAÇÃO AO EIXO 2?
A) 18.400cm4
B) 16.200cm4
C) 15.800cm4
D) 13.800cm4
E) 13.600cm4
6. CONSIDERE UMA VIGA CUJO PERFIL SEJA UM T. A FIGURA
REPRESENTA A SEÇÃO RETA DESSA VIGA COM AS SUAS DIMENSÕES.
DETERMINE O MOMENTO DE INÉRCIA DO PERFIL EM RELAÇÃO AO
EIXO HORIZONTAL QUE PASSA POR SEU CENTROIDE.
A) 8 ,5334 . 103 cm4
B) 5,5467. 103 cm4
C) 2,9867. 103 cm4
D) 2,6667. 103 cm4
E) 0,1067. 103 cm4
GABARITO
1. Sendo uma seção reta na forma de um quadrado com áreas de 36 cm², determine seu
momento de inércia em relação ao eixo horizontal x, que passa pela base do quadrado.
A alternativa "C " está correta.
Sendo a área do quadrado igual a 36cm², seu lado será 6cm. O quadrado é um retângulo
particular em que b= h = L. A partir da equação 11, tem-se que:
Ix = b ·
h3
3 = L ·
L3
3 =
L4
3 =
64
3 = 432cm
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma seção tem a forma de um retângulo de dimensões 3m de base e 1m de altura.
Considerando o eixo que passa pela base desse retângulo, determine o momento de
inércia desse retângulo.
A alternativa "A " está correta.
A partir da expressão que determina o momento de inércia do retângulo em relação ao eixo
que passa pela base, Ix =
b · h3
3 , tem-se, portanto, que Ix =
3 · 13
3 = 1m
3.
3. Seja um retângulo de base 20cm e altura 10cm, em que sua base repousa sobre um
eixo horizontal x. A aresta esquerda do retângulo coincide com o eixo vertical y.
Determinando os momentos de inércia Ix e Iy, quanto vale a razão 
Ix
Iy
?
A alternativa "E " está correta.
O momento de inércia do retângulo em relação ao eixo que passa pela base é dado por 
Ix =
b . h3
3 . Em relação ao eixo y é igual a Iy =
h . b3
3 .
A razão 
Ix
Iy
=
b · h3
3
h · b3
3
=
h2
b2
= 0,25.
4. (FCC ‒ TRF ‒ 1ª REGIÃO ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil ‒ Adaptada) Uma
viga de seção retangular foi projetada buscando-se o momento de inércia igual a 
2,25 × 10 - 4m4 (em relação ao eixo x’ que passa pelo centroide e é paralelo à base). Como
a altura da viga é igual a 0,3m, a largura da viga, em cm, deve ser igual a:
A alternativa "C " está correta.
A expressão que determina o momento de inércia de um retângulo (dimensões b e h) em
relação ao eixo x̄̅, paralelo à base, passando pelo centroide, é:
Ix̄ =
b . h3
12 
 
2,25.10 - 4 =
b . ( 0,3 ) 3
12 
 
12. 2,25.10 - 4 = b. (0,3)3 
 
b = 0,1m = 10cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Considere uma seção reta, conforme a figura a seguir, cuja área A é igual a 400 cm² e
os eixos 1 e 2 são paralelos. O momento de inércia da área A em relação ao eixo 1, vale 
20.000 cm4.
A distância entre os eixos 1 e 2 é de 2cm, e o centroide está a uma distância de 3cm do
eixo 2. Qual é o momento de inércia da área em relação ao eixo 2?
A alternativa "E " está correta.
Os eixos 1 e 2 são paralelos, mas nenhum deles é centroidal. Assim, não se deve utilizar o
teorema de Steiner. Contudo, suponha um eixo 3, paralelo aos dois primeiros e que passe pelo
centroide da área.
Aplicação de Steiner para os eixos 1 e 3:
I1 = I3 + A. d
2 
I3 = 10.000cm
4 
20.000 = I3 + 400. 5
2
Aplicação de Steiner para os eixos 2 e 3:
I2 = I3 + A. d
2 
 
I2 = 10.000 + 400. 3
2 = 13 .600 cm4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considere uma viga cujo perfil seja um T. A figura representa a seção reta dessa viga
com as suas dimensões. Determine o momento de inércia do perfil em relação ao eixo
horizontal que passa por seu centroide.
A alternativa "A " está correta.
No vídeo a seguir o professor apresenta a resolução da questão. Veja!
CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS
COMPOSTAS (PERFIL T)
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Nos projetos de Engenharia, várias são as fases até a concepção final de um produto. Um
estagiário recebe a incumbência de determinar o momento de inércia de uma seção reta na
forma de um semicírculo em relação ao eixo centroidal (paralelo ao diâmetro). A seção reta
descrita, pertence a um elemento estrutural metálico de aço ASTM 1045 com diâmetrode
1.000mm.
RESOLUÇÃO
No vídeo a seguir o professor apresenta a resolução da questão. Veja!
CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA SEÇÃO
SEMICIRCULAR EM RELAÇÃO AO SEU EIXO
CENTROIDAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA UMA SEÇÃO RETA QUADRANGULAR DE LADO 12CM. OS EIXOS
X E Y SÃO TAIS QUE X (HORIZONTAL) COINCIDE COM A BASE DO
QUADRADO E Y (VERTICAL), COM A ARESTA À ESQUERDA. DESSA
FORMA, O MOMENTO POLAR DO QUADRADO, SENDO O POLO O
ENCONTRO DESSES EIXOS EM UM DOS VÉRTICES DO QUADRADO
VALE:
A) 1.824cm4
B) 3.456cm4
C) 6.912cm4
D) 13 .824 cm4
E) 15.912cm4
2. A VIGA ESTRUTURAL DE UM COMPONENTE MECÂNICO (SEÇÃO
RETANGULAR) APRESENTA AS SEGUINTES DIMENSÕES: BASE 200MM
E ALTURA 300MM. DESEJA-SE CONHECER O RAIO DE GIRAÇÃO KX,
SENDO X O EIXO QUE PASSA PELA BASE DO RETÂNGULO. ASSIM,
QUAL DAS ALTERNATIVAS APRESENTA A SOLUÇÃO?
A) 100mm
B) 173mm
C) 200mm
D) 223mm
E) 245mm
GABARITO
1. Seja uma seção reta quadrangular de lado 12cm. Os eixos x e y são tais que x
(horizontal) coincide com a base do quadrado e y (vertical), com a aresta à esquerda.
Dessa forma, o momento polar do quadrado, sendo o polo o encontro desses eixos em
um dos vértices do quadrado vale:
A alternativa "D " está correta.
 
A resolução passa pela ideia de que J0 = Ix + Iy, ou seja, a partir dos momentos de inércia da
área em relação aos eixos x e y, pode-se determinar o momento polar de inércia J0. Para o
quadrado, é verdade que Ix = Iy =
L4
3 =
124
3 = 6.912cm
4.
Logo, J0 = Ix + Iy = 6.912 + 6.912 = 13.824 cm
4.
2. A viga estrutural de um componente mecânico (seção retangular) apresenta as
seguintes dimensões: base 200mm e altura 300mm. Deseja-se conhecer o raio de
giração kx, sendo x o eixo que passa pela base do retângulo. Assim, qual das
alternativas apresenta a solução?
A alternativa "B " está correta.
 
A partir da definição de raio de giração, tem-se que kx =
Ix
A . Além disso, o momento de
inércia da área retangular em relação ao eixo horizontal x que passa por sua base, é dado por 
Ix =
b · h3
3 , e a área A do retângulo vale A = b · h. Determinando a área A e o momento de
inércia Ix, tem-se que:
• Área do retângulo: A = 200 × 300 = 60.000mm2
• Momento de inércia: Ix =
b · h3
3 =
200 · ( 300 ) 3
3 = 1,8 · 10
9 mm4
Assim, kx =
1,8 · 109
60.000 =
1,8 · 105
6 =
18 · 104
6 = 100 · √3 mm = 173m
MÓDULO 4
 Empregar o produto de inércia de uma área.
INTRODUÇÃO
√
√ √ √
O PRODUTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA
Finalizando o estudo das propriedades geométricas, deve-se compreender o produto de inércia
(Ixy) de uma área. Diferentemente do momento de inércia e do momento estático, o produto de
inércia não se refere a um eixo, mas a um par de eixos, por exemplo, x e y.
PRODUTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA A
Suponha uma área A e o par de eixos xy, conforme ilustrado na figura. Um elemento
infinitesimal de área dA está destacado com coordenadas (x,y).
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 16 - Elemento de área dA para cálculo do produto de inércia
O produto de inércia dessa pequena área dA é dado por dIxy = x · y · dA. Fazendo a
integração, o produto de inércia para a área A será dado pela equação 17.
IXY = ∫XYDA
(equação 17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O PRODUTO DE INÉRCIA PODE SER NULO,
APRESENTAR VALORES POSITIVOS OU NEGATIVOS,
E TER AS MESMAS UNIDADES DO MOMENTO DE
INÉRCIA DE UMA ÁREA, OU SEJA, MM4, CM4, M4 ETC.
ANÁLISE DO PRODUTO DE INÉRCIA DE
UMA ÁREA A EM RELAÇÃO AO
QUADRANTE
Sempre que um par de eixos xy é desenhado em um plano, há uma divisão em quatro
quadrantes. Para cada quadrante, abcissa (x) e ordenada (y) apresentam valores
positivos/negativos.
Dessa forma, uma vez que a área é sempre positiva, dependendo do posicionamento da peça
em relação aos quadrantes, o produto de inércia poderá ter valor positivo ou negativo.
A partir da figura abaixo, é fácil perceber algumas situações em que os valores do produto de
inércia têm sinal negativo ou positivo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 17 - Análise do sinal do produto de inércia
Análise das áreas 1, 2, 3 e 4 ‒ Note que cada área A é sempre positiva. A partir da expressão 
Ixy = ∫xydA, é possível concluir que:
Área 1, as coordenadas x e y são positivas, o que leva o produto de inércia Ixy a um valor
positivo.

Área 2, a abscissa x é negativa e a ordenada y positiva. Dessa forma, o produto de inércia da
área 2 é um número negativo.

Área 3, as coordenadas x e y são negativas e, portanto, o produto de inércia é um número
positivo.

Área 4, x e y têm sinais diferentes, o que acarreta um produto de inércia negativo.
 ATENÇÃO
Note que a análise foi feita considerando a área A inteiramente em um dos quadrantes.
Quando um dos eixos x ou y é também um eixo de simetria da área, é fácil mostrar que o
produto de inércia é nulo (teorema da simetria).
A figura abaixo revela essa propriedade.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 18 - Teorema da simetria para o produto de inércia.
Como o x é um eixo simétrico, as áreas A1 e A4 / A2 e A3 são iguais. Além disso, é sempre
possível ter nas áreas 1 e 4 pontos que tenham o mesmo x e y simétricos, isto é, um é y e
outro – y. Analogamente, esse raciocínio se estende para as áreas A2 e A3. Ao somar-se o
produto de inércia de cada uma dessas quatro áreas, o valor total será zero.
 
TEOREMA DE STEINER PARA O PRODUTO
DE INÉRCIA IXY
O teorema dos eixos paralelos, ou teorema de Steiner, pode ser aplicado para o caso da
determinação do produto de inércia de uma área A.
AS PREMISSAS PARA SUA UTILIZAÇÃO SÃO QUE: 
 
• OS DOIS PARES DE EIXOS CONSIDERADOS SEJAM
PARALELOS (XY E X’Y’). 
• UM DOS PARES TENHA A ORIGEM NO CENTROIDE
DA ÁREA A.
A figura abaixo representa, esquematicamente, as premissas citadas anteriormente.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 19 -Teorema de Steiner para o produto de inércia de uma área.
 ATENÇÃO
Note que existe um par de eixos xy e o par de eixos (x̄ ȳ) que passa pelo centroide C. Além
disso, os dois pares são paralelos, ou seja, x paralelo a x̄ e y paralelo a ȳ.
A expressão do teorema de Steiner para o produto de inércia é apresentada na equação 18.
IXY = ĪXY + DX. DY. A
(equação 18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
Ixy – Produto de inércia em relação aos eixos x e y
Īxy – Produto de inércia em relação aos eixos centroides x̄e ȳ
A – Área da figura
dx e dy – Distâncias entre os eixos paralelos
EXEMPLO 11
Considere o retângulo de base 180mm e altura 100mm disposto em relação ao eixo xy,
conforme a figura. Suponha que o eixo y seja um eixo de simetria e determine o produto de
inércia em relação ao par de eixos xy.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
Pelo teorema da simetria, o produto de inércia do retângulo descrito em relação ao par de eixos
xy é nulo.
EXEMPLO 12
Considere um retângulo de base 200mm e altura 100mm disposto em relação ao eixo xy,
conforme a figura. Determine o produto de inércia do retângulo em relação ao par de eixos xy.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
Inicialmente, será traçado um par de eixos paralelos a x e y e que passe pelo centroide do
retângulo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Analisando a figura anterior, os eixos centroidais (x̄ e ȳ̅) são também de simetria, logo Īxy = 0.
Além disso, a área do retângulo é igual a A = 200. 100 = 2. 104 mm2, e as distâncias entre os
eixos paralelos valem 150mm e 200mm. Substituindo na equação 18, tem-se que:
Ixy = Īxy + dx. dy. A
Ixy = 0 + 150.200. 2.10
4
Ixy = 6.10
8 mm4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
MOMENTOS DE INÉRCIA PARA UMA ÁREA
EM TORNO DE EIXOS X´ E Y´ INCLINADOS
Em sua obra, Hibbeler (2010) afirma que, em muitas situações na Engenharia, existe a
necessidade de determinar as propriedades geométricas em relação a um par de eixos
diferentede xy. Genericamente, pode-se arbitrar um par x’y’ rotacionado de um ângulo θ.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 20 - Rotação de eixos.
Esquematicamente, a figura a seguir mostra a entrada e saída de dados para determinar as
propriedades geométricas relacionadas ao par x’y’.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
O processamento esquematizado na figura anterior representa uma série de equações listadas
a seguir:
Ix ´ =
Ix + Iy
2 +
Ix - Iy
2 . cos2θ - Ixy. sen2θ
Iy ´ =
Ix + Iy
2 -
Ix - Iy
2 . cos2θ + Ixy. sen2θ
Ix ´ y ' =
Ix - Iy
2 . sen2θ + Ixy. cos2θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir das equações de Ix ´ ou Iy ´ é possível determinar o valor do ângulo θ que leva aos
valores extremos dos momentos de inércia, ou seja, máximo e mínimo (momentos principais).
Para isso, basta derivar uma das expressões em relação a θ e igualar a zero.
Assim, serão determinados dois valores de θ (defasados de 90º) para os quais ocorrem os
valores máximo e mínimo do momento de inércia. A expressão para determinar esses ângulos
é dada pela equação 19.
TG2ΘP =
2 . IXY
IY - IX
(equação 19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os valores dos momentos de inércia principais são apresentados na equação 20.
IMÁXIMO , MÍNIMO =
IX + IY
2 ±
IX - IY
2
2
+ I 2XY
(equação 20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os valores dos produtos de inércia, máximo e mínimo, são determinados a partir da equação
21.
√( )
IXY MÁXIMO , MÍNIMO = ±
IX - IY
2
2
+ I 2XY
(equação 21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O PRODUTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AOS EIXOS
PRINCIPAIS X´ E Y´ É ZERO, OU SEJA, IX ´ Y' = 0.
MÃO NA MASSA
1. SEJAM AS AFIRMATIVAS A SEGUIR A RESPEITO DO PRODUTO DE
INÉRCIA DE UMA ÁREA A EM RELAÇÃO A UM PAR DE EIXOS XY
CONSIDERADO.
O PRODUTO DE INÉRCIA DA ÁREA INTEIRAMENTE LOCALIZADA NO
2⁰ QUADRANTE É SEMPRE NEGATIVO.
A ÁREA ESTANDO DISTRIBUÍDA NOS QUATRO QUADRANTES TERÁ
PRODUTO DE INÉRCIA NULO, DE ACORDO COM O TEOREMA DA
SIMETRIA.
O TEOREMA DE STEINER NÃO É APLICÁVEL PARA A
DETERMINAÇÃO DO PRODUTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA A.
SÃO CORRETAS AS AFIRMATIVAS:
√( )
A) Apenas a afirmativa I
B) Apenas as afirmativas I e II
C) Apenas a afirmativa I e III
D) Apenas a afirmativa II e III
E) Apenas a afirmativa III
2. SEJA UMA VIGA DE 2M DE COMPRIMENTO E SEÇÃO RETA
RETANGULAR TAL QUE A BASE 0,3M E A ALTURA 0,2M.
CONSIDERANDO O PAR DE EIXOS XY DA FIGURA, DETERMINE O
PRODUTO DE INÉRCIA DO RETÂNGULO.
A) 5.10 - 4 m4
B) 6.10 - 4 m4
C) 7,5.10 - 4 m4
D) 8.10 - 4 m4
E) 9.10 - 4 m4
3. CONSIDERE UMA ÁREA A DE 100CM² E O PAR DE EIXOS PRINCIPAIS
X’ E Y’. O PRODUTO DE INÉRCIA DESSA ÁREA A EM RELAÇÃO AO PAR
DE EIXOS X’Y’ VALE, EM CM4:
A) 0
B) 100cm4
C) 120cm4
D) 180cm4
E) 200cm4
4. SEJA A FIGURA A SEGUIR QUE REPRESENTA O CROQUI DA SEÇÃO
RETA (TRIÂNGULO RETÂNGULO DE CATETOS B E H) DE UMA VIGA A
SER UTILIZADA EM UM PROJETO. CONSIDERANDO O PRODUTO DE
INÉRCIA DA ÁREA DA FIGURA EM RELAÇÃO AOS EIXOS CENTROIDAIS (
X̄ E Ȳ) IGUAL A ĪXY =
- B2 . H2
72 , DETERMINE A EXPRESSÃO DO PRODUTO
DE INÉRCIA DA ÁREA TRIANGULAR EM RELAÇÃO AOS EIXOS XY.
A) 
- b2 . h2
72
B) 
- b2 . h2
36
C) 
 b2 . h2
72
D) 
 b2 . h2
24
E) 
 b2 . h2
48
5. CONSIDERE A SEÇÃO RETA DE UMA VIGA COMO SENDO UM
SEMICÍRCULO DE RAIO R. DETERMINE A EXPRESSÃO DO PRODUTO DE
INÉRCIA DA ÁREA SEMICIRCULAR EM RELAÇÃO AOS EIXOS XY,
CONFORME A FIGURA. CONSIDERE QUE OS PARES DE EIXOS SÃO
PARALELOS.
A) 
R4
3
B) 
R4
2
C) 
4 . R4
5
D) 
2 . R4
3
E) 
4 . R4
3
6. CONSIDERE UMA SEÇÃO CIRCULAR DE RAIO 20MM. AS
COORDENADAS DE SEU CENTROIDE EM RELAÇÃO AO PAR XY SÃO (25,
- 30) MM. DETERMINE O PRODUTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO EM RELAÇÃO
AO PAR XY.
A) -9 ,42 . 105 mm4
B) -7,48. 105 mm4
C) -6,12. 105 mm4
D) -1,50. 105 mm4
E) +3,52. 105 mm4
GABARITO
1. Sejam as afirmativas a seguir a respeito do produto de inércia de uma área A em
relação a um par de eixos xy considerado.
O produto de inércia da área inteiramente localizada no 2⁰ quadrante é sempre
negativo.
A área estando distribuída nos quatro quadrantes terá produto de inércia nulo, de
acordo com o teorema da simetria.
O teorema de Steiner não é aplicável para a determinação do produto de inércia de
uma área A.
São corretas as afirmativas:
A alternativa "A " está correta.
Uma seção reta, inteiramente localizada no 2⁰ quadrante, apresenta abscissa negativa e
ordenada positiva. Como a área é sempre positiva, o produto de inércia da área em
relação ao par de eixos será negativo.
Para que o produto de inércia seja nulo, um dos eixos dever ser de simetria. O fato de a
área estar nos quatro quadrantes não garante que um dos eixos (x ou y) seja de simetria.
É possível utilizar o teorema de Steiner para o produto inércia de uma área A, desde que
os dois pares de eixos sejam paralelos e um deles passe pelo centroide da área.
2. Seja uma viga de 2m de comprimento e seção reta retangular tal que a base 0,3m e a
altura 0,2m. Considerando o par de eixos xy da figura, determine o produto de inércia do
retângulo.
A alternativa "E " está correta.
Traçando-se um par de eixos que passe pelo centroide do retângulo, é possível aplicar o
teorema da simetria (Īxy = 0) e de Steiner.
A área do retângulo vale A = 0,3 · 0,2 = 0,06m2 e as distâncias entre os eixos paralelos valem
0,15m e 0,10m. Substituindo os valores de A, as distâncias e o produto de inércia em relação
aos eixos centroidais na equação 18, tem-se que:
Ixy = Īxy + dx. dy. A
Ixy = 0 + 0,1 . 0,15 . (0,06) = 9.10
- 4 m4
Ixy = 9.10
- 4 m4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( )
3. Considere uma área A de 100cm² e o par de eixos principais x’ e y’. O produto de
inércia dessa área A em relação ao par de eixos x’y’ vale, em cm4:
A alternativa "A " está correta.
Quando os momentos inércia são os principais, ou seja, os valores máximo e mínimo, o
produto de inércia para esses eixos, ditos principais, é sempre igual a zero.
4. Seja a figura a seguir que representa o croqui da seção reta (triângulo retângulo de
catetos b e h) de uma viga a ser utilizada em um projeto. Considerando o produto de
inércia da área da figura em relação aos eixos centroidais (x̄ e ȳ) igual a Īxy =
- b2 . h2
72 ,
determine a expressão do produto de inércia da área triangular em relação aos eixos xy.
A alternativa "D " está correta.
O centroide da área triangular apresentada tem as coordenadas (
b
3 , 
h
3 ). Considerando os pares
de eixos paralelos (e um deles passa pelo centroide da área), é possível utilizar o teorema de
Steiner para o produto de inércia:
Ixy = Īxy + dx. dy. A
Ixy =
- b2 . h2
72 +
h
3 .
b
3 .
b . h
2
Ixy =
- b2 . h2
72 +
b2 . h2
18
Ixy =
3b2 . h2
72 =
b2 . h2
24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
5. Considere a seção reta de uma viga como sendo um semicírculo de raio R. Determine
a expressão do produto de inércia da área semicircular em relação aos eixos xy,
conforme a figura. Considere que os pares de eixos são paralelos.
A alternativa "D " está correta.
O centroide da área semicircular apresentada em relação aos eixos x e y tem as coordenadas (
R, 
4R
3p ). Considerando os pares de eixos paralelos (sendo um centroidal), é possível utilizar o
teorema de Steiner para o produto de inércia. Ademais, o eixo (ȳ) é simétrico. Assim, pelo
teorema da simetria, Īxy = 0:
Ixy = Īxy + dx. dy. A
Ixy = 0 +
4R
3p . R.
p . R2
2
Ixy =
2 . R4
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considere uma seção circular de raio 20mm. As coordenadas de seu centroide em
relação ao par xy são (25, - 30) mm. Determine o produto de inércia da seção em relação
ao par xy.
A alternativa "A " está correta.
No vídeo a seguir o professor apresenta a resoluçãoda questão. Veja!
( )
CÁLCULO DO PRODUTO DE INÉRCIA DE UMA SEÇÃO
CIRCULAR
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O engenheiro deseja determinar a rotação que os eixos x e y devem apresentar para
determinar os momentos de inércia principais da seção reta de uma viga. Para tanto,
determinou os momentos de inércia Ix e Iy da área. A expressão que determina o ângulo dos
eixos em que os momentos de inércia são principais é tg2θp =
2 . Ixy
Iy - Ix
. Dessa forma, ainda há a
necessidade de calcular o produto de inércia da área em relação aos eixos xy, ou seja, Ixy.
Considere a seção reta da viga dada pela figura a seguir.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Considerando que a variação de x encontra-se no intervalo 0 ≤ x ≤ 1m, qual é o valor do
produto de inércia da área em relação ao par xy?
RESOLUÇÃO
No vídeo a seguir o professor apresenta a resolução da questão. Veja!
CÁLCULO DO PRODUTO DE INÉRCIA DE UMA SEÇÃO
POR MEIO DE INTEGRAÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE UM SEMICÍRCULO E DOIS EIXOS X E Y, CONFORME A
FIGURA ABAIXO. O PRODUTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO PAR
CONSIDERADO É DETERMINADO PELA EXPRESSÃO 
2 . R4
3 . SUPONHA
QUE UM SEMICÍRCULO, CUJO RAIO VALE 12MM, TENHA PRODUTO DE
INÉRCIA P (EM RELAÇÃO AO PAR XY). AO SE MULTIPLICAR POR DOIS O
RAIO DESSE SEMICÍRCULO, O NOVO PRODUTO DE INÉRCIA P’ (EM
RELAÇÃO AO MESMO PAR XY) VALERÁ:
A) P’ = P
B) P’ = 2.P
C) P’ = 4.P
D) P’ = 8.P
E) P’ = 16.P
2. A FIGURA A SEGUIR É A SEÇÃO RETA DE UMA VIGA.
CONSIDERANDO O PRODUTO DE INÉRCIA DA ÁREA DA FIGURA EM
RELAÇÃO AOS EIXOS CENTROIDAIS (X̄ E Ȳ) IGUAL A ĪXY =
- B2 . H2
72 ,
DETERMINE A EXPRESSÃO DO PRODUTO DE INÉRCIA DA ÁREA
TRIANGULAR EM RELAÇÃO AOS EIXOS X, Y.
A) 
- b2 . h2
36
B) 
- b2 . h2
24
C) 
- b2 . h2
12
D) 
- b2 . h2
8
E) 
- b2 . h2
6
GABARITO
1. Considere um semicírculo e dois eixos x e y, conforme a figura abaixo. O produto de
inércia em relação ao par considerado é determinado pela expressão 
2 . R4
3 . Suponha que
um semicírculo, cujo raio vale 12mm, tenha produto de inércia P (em relação ao par xy).
Ao se multiplicar por dois o raio desse semicírculo, o novo produto de inércia P’ (em
relação ao mesmo par xy) valerá:
A alternativa "E " está correta.
 
O produto de inércia apresentado depende do raio elevado à quarta potência. Assim, ao se
multiplicar o raio por 2, tem-se:
P =
2 . R4
3
P ' =
2 . ( 2R ) 4
3 → P' =
32 . R4
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
P'
P =
32 . R4
3
2 . R4
3
= 16 → P ' = 16. P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A figura a seguir é a seção reta de uma viga. Considerando o produto de inércia da
área da figura em relação aos eixos centroidais (x̄ e ȳ) igual a Īxy =
- b2 . h2
72 , determine a
expressão do produto de inércia da área triangular em relação aos eixos x, y.
A alternativa "D " está correta.
 
O centroide da área triangular apresentada tem as coordenadas (
- 2b
3 , 
h
3 ) em relação aos eixos
x e y. Considerando os pares de eixos paralelos (e um deles passa pelo centroide da área), é
possível utilizar o teorema de Steiner para o produto de inércia:
Ixy = Īxy + dx. dy. A
Ixy =
- b2 . h2
72 -
h
3 .
2b
3 .
b . h
2
Ixy =
- b2 . h2
72 -
b2 . h2
9
Ixy =
- b2 . h2
8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
( )
Neste conteúdo falamos sobre as principais propriedades geométricas de uma área.
Inicialmente foi feita uma abordagem a respeito do centroide de uma seção, apresentando as
relações matemáticas e o teorema da simetria. Vimos a determinação do centroide por
integração e de figuras compostas com geometria conhecida. A partir da definição das
coordenadas do centroide, definimos o momento estático ou de primeira ordem. Na sequência,
estudamos o conceito de momento de inércia e as relações matemáticas associadas, e
determinamos o momento de inércia para algumas geometrias particulares. Apresentamos o
teorema de Steiner para possibilitar a translação do eixo em relação ao qual se determina o
momento de inércia. Por fim, mostramos o produto de inércia e os momentos de inércia
principais.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática. 2. ed.
São Paulo: Mc GRAW-HILL DO BRASIL LTDA., 1976.
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson
Makron Books, 1995.
FONSECA, A. Curso de Mecânica – Estática. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1976.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia – Estática. 7. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2016.
EXPLORE+
Para desenvolver os conceitos abordados, são sugeridas as seguintes fontes:
Complementar o estudo de centroides e momento de inércia com as tabelas das páginas
1201 e 1203 da fonte BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3.
ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995.
Complementar o estudo de produto de inércia de uma seção (capítulo 7) pela fonte
FONSECA, A. Curso de Mecânica – Estática. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1976.
Complementar o estudo de rotação de eixos (páginas 348 a 352) pela fonte MERIAM, J.
L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia – Estática. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2016.
CONTEUDISTA
Julio Cesar José Rodrigues Junior