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Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica M. Kennedy UNEMAT Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 1 / 15 ELEMENTO MI´NIMO Def. 2.1 Seja A um conjunto dos inteiros. Chama-se elemento m´ınimo de A um elemento a ∈ A tal que a ≤ x para todo x ∈ A. Notac¸a˜o: minA - lemos m´ınimo de A Em s´ımbolos: min A = a⇔ a ∈ A e ∀x ∈ A a ≤ x M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 2 / 15 UNICIDADE DO MIN A Teorema 2.1 Se a e´ o elemento m´ınimo de A, enta˜o este elemento e´ u´nico. Ex. 2.1 N = {1, 2, 3, . . .} Ex. 2.2 A = {x ∈ Z | x > 12} Ex. 2.3 Z− = {0,−1,−2,−3, . . .} Ex. 2.4 A = { x ∈ N | 3 divide x2} M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 3 / 15 PRINC´IPIO DA BOA ORDENAC¸A˜O Todo conjunto na˜o vazio A de inteiros na˜o negativos possui o elemento m´ınimo Em outras palavras, dado A ⊂ Z+, com A 6= φ ⇒ ∃ minA. com, Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .} M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 4 / 15 TEOREMA DE ARCHIMEDES Teorema 2.2 Se a e b sa˜o dois inteiros positivos quaisquer, enta˜o existe um inteiros positivo n tal que na ≥ b. M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 5 / 15 PRINC´IPIO DE INDUC¸A˜O FINITA Teorema 2.3 Seja S um subconjunto do conjunto de N dos inteiros positivos (S ⊂ N) que satisfaz as duas seguites condic¸o˜es: 1 1 pertence a S (1 ∈ S) 2 para todo inteiro, positivo k , se k ∈ S , enta˜o k + 1 ∈ S . Nestas condic¸o˜es, S e´ o conjunto dos N dos inteiros positivos: S = N. M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 6 / 15 INDUC¸A˜O MATEMA´TICA Teorema 2.4 Seja P(n) uma proposic¸a˜o associada a cada inteiro positivo n e que satisfaz a`s duas seguintes condic¸o˜es: 1 P(1) e´ verdadeira; 2 para todo inteiro, positivo k , se P(k) e´ verdadeira, enta˜o P(k + 1) tambe´m e´ verdadeira. Nestas condic¸o˜es, a proposic¸a˜o P(n) e´ verdadeira para todo inteiro positivo n. M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 7 / 15 EXEMPLOS Demonstrar as proposic¸o˜es: Ex. 2.7 P(n) : 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀n ∈ N Ex. 2.8 P(n) : 1 1.2 + 1 2.3 + 1 3.4 + . . .+ 1 n(n + 1) = n n + 1 , ∀n ∈ N Ex. 2.9 P(n) : 3\(22n − 1), ∀n ∈ N Ex. 2.10 P(n) : 2n > n, ∀n ∈ N M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 8 / 15 M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 9 / 15 M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 10 / 15 M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 11 / 15 M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 12 / 15 M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 13 / 15 M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 14 / 15 M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 15 / 15
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