Aula 01 - Funções Vetoriais

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Profª Ramina Camargo 
raminasamoa@hotmail.com 
 
Aula 1: Funções Vetoriais 
Função Vetorial 
Uma função vetorial, ou função de valor 
vetorial, é uma função cujo domínio é um 
conjunto de números reais e cuja imagem 
é um conjunto de vetores. 
t
( )r t
R
3
R
Funções Componentes 
( ), ( ) e ( )f t g t h t
Se são os componentes 
do vetor , então são funções 
de valor real chamadas funções 
componentes de e escrevemos 
( )r t , e f g h
r
( ) ( ), ( ), ( )r t f t g t h t
 ou
( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k  
Exemplo 1 
Se então as 
 
 funções coordenadas são 
3( ) , ln(3 ),r t t t t 
3( )f t t ( ) ln(3 )g t t  ( )h t t
Exemplo 1 
Se então as 
 
 funções coordenadas são 
3( ) , ln(3 ),r t t t t 
3( )f t t ( ) ln(3 )g t t  ( )h t t
( ) [0,3)Dom r 
Limite 
O limite de uma função vetorial é definido 
tomando-se os limites de suas funções: 
 
 
 
 
 desde que os limites das funções 
componentes existam. 
r
lim ( ) lim ( ), lim ( ), lim ( )
t a t a t a t a
r t f t g t h t
   

Exemplo 2 
Determine onde 
 
 
 
 
Resp. 
0
lim ( )
t
r t

3 sen( ) (1 ) t
t
r t t i te j k
t
   
0
lim ( )
t
r t i k

 
Continuidade 
Uma função é contínua em se 
 
 
 
 ou seja, 
 é contínua em se e somente se 
suas funções componentes 
são contínuas em . 
r
a
lim ( ) ( )
t a
r t r a


a
, , e f g h
a
r
Curvas 
Suponha que f , g , e h sejam funções reais 
contínuas em um intervalo I. 
Então o conjunto C de todos os pontos 
(x,y,z) no espaço para os quais 
 
 x = f(t) y = g(t) z = h(t) 
 
e t varia no intervalo I é chamado curva 
espacial. 
Equações Paramétricas Parâmetro 
Traço de uma curva 
Exemplo 3 
Descreva a curva definida pela função 
vetorial 
( ) 1 ,2 5 , 1 6r t t t t    
Solução 
( ) 1 ,2 5 , 1 6r t t t t    
1
2 5
1 6
x t
y t
z t
 

 
   
Equação de uma reta
Exemplo 4 
Esboce a curva cuja função vetorial é dada 
por 
( ) cos senr t t i t j t k  
Solução 
Exemplo 5 
Dada uma função F(t)= (t, 2t). Calcule F(0) 
e F(1). Desenhe a imagem de F. 
Sol. F(0) = (0,0) e f(1)=(1,2) 
 
Sejam as funções F, G e f definidas em R e 
dadas por F(t)= (cos 3t, sen 2t, t2) , 
G(t)=(3, t3, arctg t) e f(t) = e-2t. 
 
a) H(t)= F(t). G(t) = 
3cos 3t + t3sen 2t+ t2 arctg t 
 
b) f(t). F(t) = e-2t(cos 3t,sen 2t,t2 )= 
(e-2tcos 3t, e-2tsen 2t, e-2t t2 ) 
 
Operações 
c) (F ^ G)(t) = 
 
 
 
= 
 
tarctgt
ttsent
kji
 3
23cos
3
2


 k )2 33cos(t j ) 3cos3( i )– t t arctg2t (sen 325 tsenttarctgtt
Derivadas 
Sejam F = (F1, F2, ..., Fn) e t0 DF. Então 
 
 
Exemplo. Seja Calcule, 
 
a) b) 
 
))´(),....,´(),´(()´( 002010 tFtFtFtF n
).,,3(
2
tetsenF t

)(t
dt
Fd

)0(
dt
Fd

Atividade 
a) Determine a derivada de 
 
 
b) Encontre o versor tangente no ponto 
 
 
c) Encontre a equação da reta tangente no 
ponto 
3( ) (1 ) i j sen 2 ktr t t te t   
0t 
0t 
Regras de derivação 
Suponha e funções vetoriais 
diferenciáveis , um escalar e uma 
função real. Então 
 1. ( ) ( )
d
u v u t v t
dt
    
 2. ( ) ( )
d
cu t cu t
dt
 
 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
f t u t f t u t f t u t
dt
   
u v
c f
Regras de derivação 
Suponha e funções vetoriais 
diferenciáveis , um escalar e uma 
função real. Então 
 4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
u t v t u t v t u t v t
dt
      
 6. ( ( )) ( ) ( ( )) (Regra da Cadeia)
d
u f t f t u f t
dt
  
 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
u t v t u t v t u t v t
dt
      
u v
c f
Seja F: A Rn derivável em t0, com 
 
 
Dizemos que é um vetor tangente à 
trajetória de F, em F(t0). A reta 
 
 X = F(t0) +  ,  R 
 
Denomina-se reta tangente à tragetória de F no ponto F(t0) 
 
)( 0t
dt
Fd



 0)( 0t
dt
Fd
)( 0t
dt
Fd

Exemplo 
 Seja F(t) = (cost , sent) , t R. Determinar a equação da reta 
tangente à trajetória de F no ponto F(/4). 
Sol. 
 
 
A equação da reta tangente é 
 
 
 
 
 

















2
2
,
2
2
)
4
( então, );cos,( ;
2
2
,
2
2
)
4
(

dt
dF
tsent
dt
dF
F
. ),
2
2
,
2
2
(-)
2
2
,
2
2
( y)(x,
 seja, 
)
4
( )
4
(
R
ou
dt
dF
FX






Integrais 
A integral definida de uma função contínua 
 pode ser estabelecida da mesma 
forma que para a função real, exceto que 
a integral resulta em um vetor. 
( )r t
     ( ) ( ) i ( ) j ( ) kb b b ba a a ar t dt f t dt g t dt h t dt     
Exemplo 
Calcule 



1
0
2 .]4[ dtktjit













   kdttjdtidttdtktjit
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2 4 ]4[

 kji
3
1
4
2
1
Atividade 
Calcule , onde 
 
 
2
0
( )r t dt


( ) 2cos i sen j 2 kr t t t t  
Comprimento de Curva 
Seja I um intervalo em R. Uma curva  em Rn, 
definida em I, é uma função  : I Rn. 
Definição. Seja  : [a,b] Rn uma curva com 
derivada contínua em [a,b].Definimos o 
comprimento L() da curva  por 
 
. )´( )( dttL
b
a 
Exemplo 
Calcule o comprimento da curva (t)=(cos t, sen 
t, t), t[0,2]. 
 
Sol. ´(t)= (-sent,cost,1); 
 
 
O Comprimento de curva  é 
 
 
 
2111)(cos)()`( 222  tsentt
  222 2 )´( 20
2
0
2
0
    tdtdtt