Aula - Quadratura de Gauss Legendre

Prévia do material em texto

Quadratura de Gauss-Legendre 
A idéia da Quadratura de Gauss-Legendre é determinar fórmulas de integração que sejam exatas 
para polinômios de grau ≤ 2n - 1. Para isso, relaxa-se o critério de Newton-Cotes de que os pontos 
de integração sejam igualmente espaçados. 
Obs.: Onde n são pontos distintos utilizados. 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
Os pontos podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível 
da área sob a curva. 
Então, considerando dois pontos (n=2), o trabalho é determinar uma fórmula do tipo: 
� ������� � 	
���
��� 
 	������ 
De modo que ela seja exata para polinômios de grau ≤ 3. 
Para facilitar os cálculos, façamos uma mudança de variável de x para t, no intervalo [-1,1], 
representando em: 
� �������
�
 � 	
���
� 
 	������ 
Dizer que a fórmula é exata para polinômios de grau ≤ 3 equivale dizer que a fórmula é exata para 
����� � �, �
��� � �, ����� � �� e ����� � �� 
Assim: 
� ���� � � � ����
�
 � � � 	
����
� 
 	������� � 	
� � 
 	�� � 
Chamaremos I 
 
� ���� � ���� ��
 � �� � ��
�
 � � � 	
�
��
� 
 	��
���� � 	
�
 
	��� 
Chamaremos II 
� ����� � ���� ��
 � �����
�
 �
�� � 	
����
� 
 	������� � 	
�
� 
 	���� 
Chamaremos III 
� ����� � ���� ��
 � �� � ��
�
 � � � 	
����
� 
 	������� � 	
�
� 
 	���� 
Chamaremos IV 
Podemos reunir I, II, III e IV em um sistema não linear de ordem 4: 
� !
 "	
� � 
 	� � � � �	
�
 
 	��� � �	
�
� 
 	���� � ��	
�
� 
 	���� � �
� 
Cuja solução é: 
�
 � � �#� �� � �#� 	
 � 	� � � 
Para generalizar o resultado para o intervalo [a, b], precisamos entender como x se relaciona com t: 
 
 
 
 
 
Para relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, 
tomando a equação da reta, temos que: 
���� � �� 
 �
 � ���
 � �� �� � ��� 
���� � $ 
 % � $� 
 � �� 
 �� 
���� � $ 
 % � $� � 
 % � $� 
x 
t 
a 
b 
-1 1 
(-1, a) 
(1,b) 
���� � % � $� � 
 % � $ 
 �$� 
���� � % � $� � 
 $ 
 %� 
De modo que: 
�� � % � $� ��� 
 
Assim: 
� ������� ���
% � $� � �&����'
�
 ��� 
% � $� � �&����'
�
 ��� �
% � $� (	
�&���
�' 
 	��&�����') 
 
Exemplo: Calcular * ���� 
 ��� 
 +� 
 �����,
 usando a quadratura de Gauss Legendre com dois 
pontos. 
���� � % � $� � 
 $ 
 %� 
���� � - � �� � 
 - 
 �� � �� 
 � 
 
�� � % � $� ��� 
�� � - � �� ��� � ���� 
 
� ������� �,
 �� �&����'
�
 ��� 
�&����' � ���� 
 ��� 
 ���� 
 ��� 
 +��� 
 �� 
 � 
 
.� � % � $� &	
���
� 
 	������' 
 
 
 
�
 � � �#� 
���
� � � /� �#� 
 �0
� 
 �/� �#� 
 �0
� 
 +/� �#� 
 �0 
 � 
���
� � ��12-� 
 
�� � �#� 
����� � � / �#� 
 �0
� 
 �/ �#� 
 �0
� 
 + / �#� 
 �0 
 � 
����� � ���1��+ 
 
.� � % � $� &	
���
� 
 	������' 
.� � ���� 3 ��12-� 
 � 3 ���1��+� 
.� � -��