Funcao-Do-2o-Grau-Exercicios-Resolvidos

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Exercícios Resolvidos 
1) Calcular os zeros das seguintes funções: 
 
a) f(x) = x2 3x 10 
b) f(x) = x2 + x 20 
c) f(x) = x2 x + 12 
d) f(x) = x2 + 4x 4 
e) f(x) = 36x2 + 12x + 1 
f) f(x) = (2x + 3).(x 2) 
a) f(x) = x2 3x 10 a = 1 ; b = 3 ; 
c = 10 
 
 
 
 Equação do 2º grau! 
 
 
 
 
 
As raízes da equação são x1 = 2 e x2 = 5 
Os zeros da função são x1 = 2 e x2 = 5 
b) f(x) = x2 + x 20 
a = 1 ; b = 1; 
c = 20 
 Equação do 2º grau! 
 
 
 
 
 
 
As raízes da equação são x1 = 5 e x2 = 4 
Os zeros da função são x1 = 5 e x2 = 4 
c) f(x) = x2 x + 12 
a = 1 ; b = 1 
; 
c = 12 
 Equação do 2º grau! 
 
A função continua inalterada, mas a 
equação foi multiplicada por 1, apenas 
para facilitar o cálculo das raízes.
Para efeito de cálculos, consideraremos agora ; e 
 
 
 
As raízes da equação são x1 = 4 e x2 = 3
Os zeros da função f(x) = x2 x + 12 são x1 = 4 e x2 = 3 
d) f(x) = x2 + 4x 4 a = 1 ; b = 4 ; 
c = 4 
Equação do 2º grau! 
 
A função continua inalterada, mas a 
equação foi multiplicada por 1, apenas 
para facilitar o cálculo das raízes.
Para efeito de cálculos, consideraremos agora ; e 
 
 
 
 
 
A equação tem duas raízes reais e iguais a 2 
A função f(x) = x2 + 4x 4 
e) f(x) = 36x2 + 12x + 1 a = 36; b = 12 ; 
c = 1 
 
 
 
A equação tem duas raízes reais e iguais a 
A função f(x) = 36x2 + 12x + 1 
f) f(x) = (2x + 3).(x 2) 
 Equação do 2º grau! 
Se o produto é igual a zero, podemos ter certeza que um dos 
fatores, ou , é nulo. 
Daí... 1º) Se (1ª raiz) 
2º) Se (2ª raiz) 
As raízes da equação são x1 = 3/2 e x2 = 2 
Os zeros da função f(x) = (2x + 3).(x 2) são x1 = 3/2 e x2 = 2 
2) Calcular m para que: 
 
a) a função f(x) = (m 3)x2 + 4x 7 seja côncava para cima. 
 
b) a função f(x) = (2m + 8)x2 2x + 1 seja côncava para baixo. 
 
c) a função f(x) = (m2 4)x2 4x + 3 seja quadrática. 
a) Para que o gráfico de uma função quadrática, ou do 2º Grau, seja uma parábola 
com a concavidade voltada para cima (CVC), é necessário que o coeficiente do x2 
seja positivo: 
 
f(x) = (m 3)x2 + 4x 7 f(x) = (m 3)x2 + 4x 7 
 
b) Para que o gráfico de uma função quadrática, ou do 2º Grau, seja uma parábola 
com a concavidade voltada para baixo (CVB), é necessário que o coeficiente do x2
seja negativo: 
 
f(x) = (2m + 8)x2 2x + 1 f(x) = (2m + 8)x2 2x + 1 
 
c) Para que uma função seja quadrática, ou do 2º Grau, é necessário que o 
coeficiente do x2 não seja nulo: 
 
f(x) = (m2 4)x2 4x + 3 f(x) = (m2 4)x2 4x + 3 
 
3) Nas funções abaixo, calcule as coordenadas do vértice, dizendo se este é 
ponto de máximo ou mínimo. 
 
a) f(x) = x2 4x + 3 
b) f(x) = x2 x + 2
c) f(x) = 4x4 + 4x + 1 
 
a) f(x) = x2 4x + 3 a = 1 ; b = 4; c = 3 
Abscissa do vértice: 
Ordenada do vértice: 
 
 
Coordenadas do vértice: 
a) f(x) = x2 4x + 3 a = 1 ; b = 4; c = 3 
Abscissa do vértice: 
Ordenada do vértice: (cálculo alternativo) 
 
 
 
 
a) f(x) = x2 4x + 3 a = 1 ; b = 4; c = 3 
 
 
 
2 
1 Valor mínimo da 
função ou yMIN = 1 
V 
Resposta: O vértice da função f(x) = x2 4x + 3 é no ponto ( 2 , 1 ) e, sendo seu 
gráfico uma parábola com a concavidade voltada para CIMA, a função admite um 
valor MÍNIMO, no caso, yV = 1 
 
b) f(x) = x2 x + 2
a = 1 ; b = 1; 
c = 2 
Abscissa do vértice: 
Ordenada do vértice: 
 
 
Coordenadas do vértice: 
 
 9/4 
1 
Valor máximo 
da função ou 
yMAX = 9/4 
V 
Resposta: O vértice da função f(x) = x2 x + 2 é no ponto ( 1 , 9/4 ) e, sendo seu 
gráfico uma parábola com a concavidade voltada para BAIXO, a função admite um 
valor MÁXIMO, no caso, yV = 9/4 
 
b) f(x) = x2 x + 2
a = 1 ; b = 1; 
c = 2 
c) f(x) = 4x4 + 4x + 1 
a = 4 ; b = 4; 
c = 1 
 
 
 
 
 
Resposta: O vértice da função f(x) = 4x4 + 4x + 1 é no ponto ( 1/2 , 0 ) e, sendo seu 
gráfico uma parábola com a concavidade voltada para CIMA, a função admite um 
valor MÍNIMO, no caso, yV = 0 
 
4) Em cada função mostrada, calcule a concavidade, os zeros, as coordenadas 
do vértice, crescimento e decaimento, valor máximo, ou mínimo, e faça o 
esboço do gráfico. 
 
a) f(x) = x2 4x + 3
b) f(x) = x2 + 4x 4 
c) f(x) = x2 + 3x + 4
d) f(x) = x2 + 2x 4 
 
a) f(x) = x2 4x + 3
 
Raízes: 
 
 
Vértice: 
 
 
 
Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy: 
 
Pontos onde a curva 
intercepta o eixo Ox: 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para valores de x, 
menores que 2, a função 
é decrescente
Para valores de x, 
maiores que 2, a função 
é crescente 
A função tem seu valor 
mínimo y = 1 
b) f(x) = x2 + 4x 4 
 
 
 
Raízes: 
 
Ox em apenas um ponto, aqui, ( 2 , 0 ) 
ATENÇÃO: Neste caso, sempre que tivermos , a raiz é também a abscissa do 
vértice e, consequentemente, a ordenada do vértice será igual a zero! 
Vértice: 
Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy: 
 
 A parábola, côncava para baixo, vai tangenciar o eixo 
Ox no vértice V = ( 2 , 0 ) 
 
 
 
 
 
 
Para valores de x, 
menores que 2, a função 
é crescente 
Para valores de x, 
maiores que 2, a função 
é decrescente 
A função tem seu valor 
máximo y = 0 
c) f(x) = x2 + 3x + 4 
 
 
 
Raízes: 
 
intercepta o eixo Ox 
Vértice: 
 
Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para valores de x, 
menores que 1.5, a 
função é decrescente 
Para valores de x, maiores 
que 1.5, a função é 
crescente 
A função tem seu valor 
mínimo y = 1.75 
d) f(x) = x2 + 2x 4 
 
 
 
Raízes: 
 
intercepta o eixo Ox 
Vértice: 
 
Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para valores de x, 
menores que 1, a função 
é crescente 
Para valores de x, 
maiores que 1, a função 
é decrescente 
A função tem seu valor 
máximo y = 3 
 
5) Determine a lei da função afim cuja reta que a representa tem coeficiente angular 
igual a 2 e passa pelo vértice da parábola de equação y = x2 + 4. 
 
 
 
 
Função afim: 
 
 
Resposta: A lei de formação da 
função afim é 
6) Responda: entre todos os pares de números reais x e y, tais que x y = 10 determine 
aqueles para os quais a soma de seus quadrados seja mínima. 
Soma dos quadrados: 
Os pontos ou 
 
A expressão da soma dos quadrados está escrita agora, 
apenas em função da variável x, logo, é uma f(x) 
 
 
Função do 2º grau com , logo, representada por 
uma parábola côncava para cima que tem seu valor 
mínimo no vértice 
 
Resposta: Par 
Como 
7) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. 
Para os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma 
área máxima. Quais as medidas dos lados menor e maior? 
 
 
 
 
Área: 
 
Função do 2º Grau CVB, ou seja, admite valor MÁXIMO no vértice 
 
Resposta: Lado menor = 100 m e lado maior = 200 m
Como 
8) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de 
futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = 2t² + 8t (t 0), onde t é o 
tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. 
Determine, após o chute:a) o instante em que a bola retornará ao solo
b) a altura máxima atingida pela bola 
 
Para termos uma boa visão geral da situação, vamos fazer o gráfico (mesmo 
que isso não esteja sendo pedido na questão)
Raízes: 
 
 ou 
Abscissa do vértice: 
 
Ordenada do vértice: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) o instante em que a bola retornará ao solo: 
b) a altura máxima atingida pela bola: 
9) De um cartão retangular de base 14cm e altura 12cm, deseja-se recortar um 
quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte 
hachurada será retirada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule o valor de x, em centímetros, para que a área total removida seja mínima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ou 
Função quadrática CVC que 
admite MÍNIMO no vértice 
 
Resposta: O lado do quadrado deverá medir 1 cm 
 
 
 
 
 
 
10) Uma empresa trabalha com placas de publicidade retangulares, de lados iguais a 
(x + 3) e (2x 4) metros. 
 
a) Determine os valores de x, para que a área da placa varie de 12m2 a 28m2. 
b) Determine as medidas dos lados da placa de 28m2. 
a) 
 
 
 
 
 a) 1ª parte: 
 
 
 
 INEQUAÇÃO DO 2º GRAU!
Cálculo das raízes: 
 
 
Temos que encontrar dois números que, somados dêem 1 e 
multiplicados resultem em 12 
 
 
Sem muito sacrifício, encontramos 4 e 3 (Verifique!) 
Sabemos que a expressão seria representada, como gráfico de uma 
função, por uma parábola com a concavidade voltada para cima. 
Calculamos, de cabeça, que os zeros dessa função seriam 4 e 3 e daí não é difícil 
visualizar o esboço desse gráfico. 
 
 
 
Para x = 4 e para x = 3 temos 
Para x < 4 ou para x > 3 temos 
Para 4 < x < 3 temos 
Queremos que então devemos ter ou 
a) 2ª parte: 
 
 
 
 
Cálculo das raízes: 
Temos que encontrar dois números que, novamente, somados dêem 1, mas agora, 
que multiplicados resultem em 20 
 
 
Rapidamente encontramos 5 e 4 (Fácil!)
 
 
 
Queremos que então devemos ter 
Para x = 5 e para x = 4 temos 
Para x < 5 ou para x > 4 temos 
Para 5 < x < 4 temos 
 
 ou e 
 
 
 
A solução deste sistema de inequações seria . Como nessa 
questão há uma aplicação no cálculo de áreas, x não pode ser negativo e daí a 
resposta será: x poderá variar de 3 m a 4 m. 
 
b) 
 
 
 
 
Essa equação nós já resolvemos e, lembrando que , temos apenas 
Sendo assim, as medidas dos lados para que a área seja igual a 28 m2 serão: 
e