Primeira Lista de Exercícios

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Universidade Federal do Ceara´
Campus de Sobral
Primeira Lista de Ca´lculo Diferencial e Integral II
Professor: Francisco Pereira Chaves
Aluno:
1. Encontre a integral indefinida.
(a)
∫ √
5x+ 1 dx
(b)
∫
3x
√
4− x2 dx
(c)
∫
x(2x2 + 1)6 dx
(d)
∫
5x 3
√
(9− 4x2)2 dx
(e)
∫
x3 dx
(1− 2x4)5
(f)
∫
6x2 senx3 dx
(g)
∫
x cosec3x2 cotg3x2 dx
(h)
∫
x2 sec2 x3 dx
2. Calcule a integral definida.
(a)
∫ 4
0
(x3 − x2 + 1) dx
(b)
∫ 4
1
√
x(2 + x) dx
(c)
∫ 5
4
x2
√
x− 4 dx
(d)
∫ 4
−4
|x− 2| dx
(e)
∫ 1
−2
(x+ 1)
√
x+ 3 dx
(f)
∫ 4
1
x5 − x
3x3
dx
(g)
∫ 1
0
senpix cos pix dx
(h)
∫ 1/2
0
sec2
1
2
pix tg
1
2
pix dx
3. Encontre a a´rea limitada pelas curvas dadas e fac¸a uma figura mostrando a regia˜o.
(a) y = x2 − 2x+ 3; eixo x; x = −2; x = 1
(b) y =
√
x+ 1; eixo x; eixo y; x = 8
(c) y = senx; eixo x; x =
1
3
pi; x =
2
3
pi
(d) y2 = −x; x = −2; x = −4
(e) x3 = 2y2; x = 0; y = −2
(f) xy2 = y2 − 1; x = 1; y = 1; y = 4
(g) y = x3 + 3x2 + 2x; y = 2x2 + 4x
(h) y = senx; y = −senx; x = −1
2
pi; x =
1
2
pi
1
4. Encontre a a´rea do triaˆngulo tendo ve´rtices (5, 1), (1, 3) e (−1,−2).
5. Encontre o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado quando a regia˜o limitada pela
curva y = x2 + 1, pelo eixo x e pelas retas x = 2 e x = 3 e´ rotacionada em torno do
eixo x.
6. Encontre o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado pela rotac¸a˜o, em torno da reta
indicada, da regia˜o limitada pela curva y =
√
x, pelo eixo x e pela reta x = 4.
(a) A reta x = 4.
(b) A reta y = 2.
7. Encontre, por meio de corte, o volume do tetraedro com treˆs faces mutuamente
perpendiculares e treˆs arestas mutuamente perpendiculares, cujos comprimentos
sa˜o 3, 4 e 7 cm.
8. A regia˜o limitada pela curva y = cotgx, pela reta x =
1
6
pi e pelo eixo x e´ girada em
torno do eixo x. Encontre o volume do so´lido gerado.
9. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pela reta x = −4
e pela para´bola x = 4 + 6y + 2y2, em torno da reta x = −4.
10. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo y, da regia˜o
limitada pela reta que passa pelos pontos (1, 3) e (3, 7) e pelas retas y = 3, y = 7 e
x = 0.
11. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno da reta y = −3, da
regia˜o limitada pelas para´bolas y = x2 e y = 1 + x− x2.
12. A regia˜o do primeiro quadrante, limitada pelos eixos coordenados, pela reta y = 1
e pela curva y = cotgx, faz uma rotac¸a˜o em torno do eixo x. Encontre o volume do
so´lido gerado.
13. Um so´lido de revoluc¸a˜o e´ formada pela rotac¸a˜o, em torno do eixo x, da regia˜o
limitada pela curva y =
√
2x+ 4, pelo eixo x, pelo eixo y, e pela reta x = c (c > 0).
Para que valor de c o volume sera´ de 12pi unidades cu´bicas?
14. A base de um so´lido e´ a regia˜o encerrada por um c´ırculo com 2 unidades de raio.
Encontre o volume do so´lido se todas as sec¸o˜es planas perpendiculares a um diaˆmetro
fixo da base forem quadrados.
2
15. Uma cunha e´ cortada de um so´lido com a forma de um cone circular reto tendo um
raio da base com 5 cm e uma altura de 20 cm, por dois planos contendo o eixo do
cone. O aˆngulo entre os planos tem uma medida de 30o. Encontre o volume da
cunha.
16. A regia˜o limitada pelas curvas y = x2 e y2 = x e´ girada em torno do eixo x.
Encontre o volume do so´lido gerado, tomando elementos retangulares paralelos ao
eixo de revoluc¸a˜o.
17. A regia˜o limitada pelas curvas x = y2 − 2 e x = 6 − y2 e´ girada em torno da reta
y = 2. Encontre o volume do so´lido gerado.
18. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo y, da regia˜o
limitada pelo gra´fico de y = 3x− x3 pelo eixo x e pela reta x = 1.
19. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelo gra´fico de
y = 4x− 1
8
x4, pelo eixo y e pela reta y = 6, em torno da reta x = 2.
20. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas
y = x3 e x = y3 em torno do eixo x.
21. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pela curva
x2/3 + y2/3 = 32/3 em torno do eixo y.
22. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o no primeiro quadrante
limitada pela curva y = cosx2 e pelos eixos coordenados, em torno do eixo y.
23. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o fora da curva y = x2 e
entre as retas y = 2x− 1 e y = x+ 2 em torno do eixo y.
24. Calcule o comprimento do segmento da reta y = 3x do ponto (1, 3) ao ponto (2, 6).
25. Calcule o comprimento do segmento da reta x + 3y = 4 do ponto (−2, 2) ao ponto
(4, 0).
26. Calcule o comprimento do segmento da reta 5x − 2y = 10 entre os interceptos x e
y.
27. Encontre o comprimento do arco da curva 9y2 = 4x3 da origem ao ponto (3, 2
√
3).
28. Encontre o comprimento do arco da curva 8y = x4 + 2x−2 do ponto onde x = 1 ao
ponto onde x = 2.
3
29. Encontre o comprimento da curva 9y2 = x(x− 3)2 no primeiro quadrante, do ponto
onde x = 1 ao ponto onde x = 3.
30. Escreva, mas na˜o calcule, uma integral para a a´rea da superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o
da curva ao redor do eixo dado.
(a) y = sen2x, 0 ≤ x ≤ pi/2; eixo x
(b) y = cosx, 0 ≤ x ≤ pi/2; eixo y
(c) y = secx, 0 ≤ x ≤ pi/4; eixo y
(d) y = ex, 1 ≤ y ≤ 2; eixo y
31. Calcule a a´rea da superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da curva dada ao redor do eixo x.
(a) y = x3, 0 ≤ x ≤ 2
(b) 9x = y2 + 18, 2 ≤ x ≤ 6
(c) y = cos 2x, 0 ≤ x ≤ pi/6
(d) y =
x3
6
+
1
2x
,
1
2
≤ x ≤ 1
32. Calcule a a´rea da superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da curva dada ao redor do eixo y.
(a) y = 3
√
x, 1 ≤ x ≤ 2
(b) y = 1− x2, 0 ≤ x ≤ 1
(c) x =
√
9− y2, 0 ≤ y ≤ 3/2
(d) x = 2 cosh(y/2), −2 ≤ x ≤ 2
33. Encontre a a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da curva 6y2 = x(2−x)2 em torno
do eixo x.
34. Ca´lcule a a´rea da superf´ıcie do elipso´ide gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo x,
da elipse
x2
16
+
y2
9
= 1.
4