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Teoria da Probabilidade
Prof. Danielle Peralta
Maio de 2013
Prof. Danielle Peralta Estatística
Introdução
1. Teoria da Probabilidade
A teoria da probabilidade é a base sobre a qual toda estatística é
desenvolvida, fornecendo um meio para modelar populações,
experimentos ou praticamente, qualquer outra coisa que possa ser
considerada como um fenômeno aleatório. Por meio desses modelos
estatísticos, é possível fazer inferências sobre populações baseados na
análise de uma parte dessa população, chamada de amostra.
Um dos principais objetivos da estatística é obter conclusões sobre uma
população de objetos pela condução do experimento. A primeira etapa,
nesta tarefa, é identificar os possíveis resultados ou, como diz a
terminologia estatística, espaço amostral.
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1.1 Teoria dos conjuntos
Definição 1.1: O conjunto S de todos os possíveis resultados de um
determinado experimento é chamado de espaço amostral do experimento.
Definição 1.2: Um evento é qualquer conjunto de possíveis resultados
de um experimento, ou seja, é a coleção de valores de interesse de um
espaço amostral S.
I União: a união de dois eventos A e B, denotada por A
⋃
B,
representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B;
I Intersecção: a intersecção dos eventos A e B, denotada por
A
⋂
B representa a ocorrência simultânea de A e B; e
I Complementação: representa todos os elementos do espaço
amostral S, exceto de um evento de interesse. O complementar de
um evento A é representado por Ac ou A.
I Outra operação muito utilizada no estudo de probabilidade é o
conceito de eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos.
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Definição 1.3: Dois eventos A e B são disjuntos (ou mutuamente
exclusivos) quando não possuem elementos em comum, ou seja,
A
⋂
B = (conjunto sem elementos).
Por exemplo: Considere o experimento de selecionar uma carta
aleatoriamente a partir de um baralho padrão e anotar seu naipe:
copas(C), espadas (E), ouros (O) ou paus (P). O espaço amostral é
S = {C ,E ,O,P}
e alguns eventos possíveis são
A = {C ,E} e B = {E ,O,P}
a partir desses eventos podemos formar:
(A
⋃
B) = {C ,E ,O,P} (A⋂B) = {E} e Ac = {O,P}
Além disso, observe que (A
⋃
B) = S e (A
⋂
B) = , onde denota o
conjunto vazio (conjunto sem elementos).
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Teorema 1.1: Para três eventos quaisquer, A, B e C, pertencentes ao
espaço amostral S, as seguintes propriedades são válidas:
I Comutatividade: A
⋃
B = B
⋃
A e A
⋂
B = B
⋂
A;
I Associatividade:
A
⋃
(B
⋃
C) = (A
⋃
B)
⋃
C e A
⋂
(B
⋂
C) = (A
⋂
B)
⋂
C
I Leis distributivas:
A
⋃
(B
⋂
C) = (A
⋃
B)
⋂
(A
⋃
C)
e A
⋂
(B
⋃
C) = (A
⋂
B)
⋃
(A
⋂
C)
I Leis de Morgan: (A
⋃
B)c = Ac
⋂
Bc e (A
⋂
B)c = Ac
⋃
Bc
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Exercícios:
1. Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias com três
crianças, em relação ao sexo das mesmas, segundo a ordem de
nascimento. Enumerar os eventos:
a) ocorrência de dois filhos do sexo masculino;
b) ocorrência de pelo menos um filho do sexo masculino;
c) ocorrência de no máximo duas crianças do sexo feminino.
2. Lançam-se duas moedas. Sejam A: "saída de faces iguais"e B: "saída
de cara na primeira moeda". Determinar os eventos: A ∪ B, A ∩ B, Ac ,
Bc , (A∪B)c , (A∩B)c , Ac ∩Bc , Ac ∪Bc , Ac ∪B, Bc ∪A, A−B e B−A
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2. Princípios básicos da Teoria da
Probabilidade
A definição clássica de probabilidade se refere a eventos unitários
equiprováveis, isto é, eventos com a mesma chance de ocorrência, no
caso enumerável finito temos:
P(A) = ]A]S
]: número de elementos.
Se S for não enumerável o conceito se aplicará ao comprimento de
intervalos, medida de área ou similares. Chamada de probabilidade
geométrica é definida como:
P(A) = comprimento de Acomprimento de S
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2.1 Axiomas: Kolmogorov apresentou um conjunto de axiomas
matemáticos para definir probabilidade, são eles:
1. P(S) = 1;
2. Para qualquer evento A, P(A) ≥ 0;
3. Para um sequência de eventos A1,A2, . . . disjuntos 2 a 2,
temos:
P(
⋃∞
i=1 Ai) =
∑∞
i=1 P(Ai)
Ou seja, uma função P(.) é denominada probabilidade se satisfaz as
condições apresentadas nos axiomas 1, 2 e 3.
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2.2 Algumas propriedades de probabilidade:
I 1. Se é o espaço vazio (evento impossível), então P() = 0. A
recíproca não é verdadeira;
I 2. Para qualquer evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1;
I 3. Para qualquer evento A, P(Ac) = 1− P(A) ou
P(A) = 1− P(Ac);
I 4. Se A ⊂ B então P(A) ≤ P(B);
I 5. Seja A e B dois eventos quaisquer:
P(A
⋃
B) = P(A) + P(B)− P(A⋂B);
I 6. Seja A e B dois eventos em S,
P(Ac
⋃
Bc) = P(A
⋂
B) = 1− P(A⋂B) e
P(Ac
⋂
Bc) = P(A
⋃
B) = 1− P(A⋃B)
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Exercícios:
1. Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a
probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas?
2. As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando
cobram um penalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um
cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que pelo menos um
marque gol?
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2.3 Probabilidade Condicional e Independência:
I Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório com o qual se
trabalha pode ser separado em etapas. A informação do que
ocorreu em uma determinada etapa pode influenciar nas
probabilidades de ocorrências das etapas seguintes. Essa nova
probabilidade é chamada de probabilidade condicional do evento A
dado que o evento B ocorreu, denotada por P(A|B).
I Sejam A e B dois eventos quaisquer, tal que P(B) > 0, então,
P(A|B) = P(A
⋂
B)
P(B) (1)
No caso de P(B) = 0, a P(A|B) é indefinida, porém alguns
autores preferem usar que P(A|B) = 0.
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Exemplos:
I Exemplo 1: Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três
vermelhas (V). Sorteiam-se dessa urna, duas bolas, ao acaso, sem
reposição. Seja o evento A: "bola branca na segunda extração",
calcule a probabilidade de A.
I Exemplo 2: Suponha agora que as duas extrações são feitas da
mesma urna do exemplo anterior, mas a primeira bola é reposta na
urna antes da extração da segunda. Seja o evento A: "bola branca
na segunda extração", calcule a probabilidade de A.
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2.3.1 Independência:
I Então, se A e B forem independentes:
P(A|B) = P(A
⋂
B)
P(B)
P(A) = P(A
⋂
B)
P(B)
P(A
⋂
B) = P(A)× P(B) (2)
I Importante!! Eventos independentes temos que
P(A
⋂
B) = P(A)× P(B) enquanto que eventos disjuntos
P(A
⋂
B) = P(φ) = 0
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Exercícios:
I 1. A probabilidade de A resolva um problema é 2/3, e a
probabilidade de que B o resolva é 3/4. Se ambos tentarem
independentemente, qual a probabilidade de que o problema ser
resolvido?
I 2. Considere dois eventos A e B, disjuntos, com P(A)=0,3 e
P(B)=0,5. Calcule:
a) P(A
⋂
B)
b) P(A
⋃
B)
c) P(A|B)
d) P(Ac)
I 3. Uma escola do ensino médio do interior de São Paulo tem 40%
de estudantes do sexo masculino. Entre estes, 20% nunca viram o
mar, ao passo que, entre as meninas, essa porcentagem é de 50%.
Qual a probabilidade de que um aluno selecionado ao acaso seja:
a) Do sexo masculino e nunca tenha visto o mar?
b) Do sexo feminino dado que nunca tenha visto o mar?
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2.4 Partição do Espaço Amostral
I Seja S o espaço amostral de um experimento qualquer, considere
que A1,A2, . . .An são eventos disjuntos em S onde
⋃n
i=1 Ai = S,
logo podemos dizer que esses eventos formam uma partição do
espaço amostral S.
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I Por exemplo, suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20%
de todo o leite que utiliza da uma fazenda F1, 30% de outra
fazenda F2 e 50% de F3. Um órgão fiscalizador inspecionou as
fazendas e descobriu que 20% do leite produzido por F1 era
adulterado por adição de água, enquanto F2 e F3, essa proporção
era de 5% e 2%, respectivamente. Na indústria de sorvetes os
galões de leite são armazenados em um refrigeradorsem
identificação das fazendas. Para um galão escolhido ao acaso, qual
a probabilidade de que a amostra adulterada tenha sido obtida do
leite fornecido pela fazenda F1?
A resposta desse exemplo, implica em inverter a probabilidade
condicional conhecida P(A|F1). Situações como essa são típicas
para uso do resultado apresentado a seguir.
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2.4.1 Teorema de Bayes
I Suponha que os eventos C1,C2, . . .CK formem uma partição de S
e que suas probabilidades sejam conhecidas. Suponha, ainda, que
para um evento A, se conheçam a probabilidades P(A|Ci) para
todo i = 1, 2, . . . , k. Então para qualquer j ,
P(Cj |A) = P(A|Cj)∑n
i=1 P(A|Ci)
(3)
para j = 1, 2, . . . , k
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Exercício:
I 1. Para selecionar seus funcionários, uma empresa oferece aos
candidatos um curso de treinamento durante uma semana. No
final do curso, eles são submetidos a uma prova e 25% são
classificados como bons (B), 50% como médios (M) e os restantes
25% como fracos (F). Para facilitar a seleção, a empresa pretende
substituir o treinamento por um teste contendo questões
referentes a conhecimentos gerais e específicos. Para isso, gostaria
de conhecer qual a probabilidade de um indivíduo aprovado no
teste ser considerado fraco, caso fizesse o curso. Assim, neste ano,
antes do início do curso, os candidatos foram submetidos ao teste
e receberam o conceito aprovado (A) ou reprovado (R). Se a
probabilidade do indivíduo ser aprovado dado que ele é "bom"é de
80%, a probabilidade do indivíduo ser aprovado dado que ele é
classificado "médio"é de 50% e a probabilidade do indivíduo ser
aprovado dado que ele é classificado "fraco"é de 20%. Determine
a probabilidade de um aluno ser classificado como "fraco"dado que
ele foi aprovado no curso?
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Referências
I BUSSAB, W.O. e MORETIN, P.A., Estatística Básica, 4. ed., São
Paulo, Atual, 1987
I MAGALHÃES, M. N. e LIMA, A. C. P. Noções de Probabilidade e
Estatística. 6a Ed. EDUSP, 2008.
I MORETTIN, L.G., Estatística Básica, Volume 1 - Probabilidade,
7. ed, São Paulo, Pearson Education do Brasil, 1999.
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