1-AULA INTRODUCAO A PROBABILIDADE

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Em 1651 o Conde de Méré (viciado em jogo) viajava com Pascal
(homem que estudava religião e Matemática – inventor da máquina
de calcular) e colocou-lhe a seguinte questão:
“ Eu e um amigo estávamos jogando quando uma mensagem
urgente nos obrigou a interromper o jogo. Tínhamos colocado em
jogo 30 pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia 60 pistolas o
primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no
lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi
interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha
escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”.
Como dividir as 60 pistolas?
2
Probabilidades
Pascal interessou-se por este problema e iniciou 
uma correspondência com o seu amigo Fermat 
para analisar a situação. Essa correspondência 
marca o início da Teoria das Probabilidades.
Pascal
Fermat
3
Probabilidades
A importância das probabilidades
METEREOLOGIA
É pouco provável que chova durante esta semana.
SEGUROS
Porque é que um condutor com pouco tempo de carta paga mais 
seguro?
JOGOS
Porque é que a megasena tem 60 números e não 30 ou 40?
4
Probabilidades
Experimento ou Fenômeno
Aleatório - São aqueles
experimentos que, mesmo
repetidos várias vezes sob
condições semelhantes,
apresentam resultados
imprevisíveis.
5
Probabilidades
Termos e conceitos
Experiências
• Lançamento de uma moeda;
• Lançamento de um dado;
• Megasena;
• Estado do tempo para a semana;
•Tempo que uma lâmpada irá durar. 
• Furar um balão cheio;
• Deixar cair um prego 
num copo de água;
• Calcular a área de um 
quadrado de lado 9 cm.
À princípio não sabemos o 
resultado
À princípio já 
conhecemos o 
resultado
6
Exemplos:
1. Resultado no lançamento de um dado;
2. Hábito de fumar de um estudante sorteado em
sala de aula;
3. Condições climáticas do próximo domingo;
4. Taxa de inflação do próximo mês;
5. Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao
acaso.
7
Probabilidades
Termos e conceitos
Espaço Amostral
É o conjunto de possíveis resultados de um 
experimento ou fenômeno aleatório, representado por S.
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
EXPERIÊNCIA 2: Resultado de Jogo de futebol
Espaço Amostral = S = {Vitória, Empate, Derrota } 
EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola da Megasena
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, ... ,57, 58, 59, 60 } 
8
Tempo de duração de uma lâmpada.
S = {t: t  0}
Exame de sangue (tipo sangüíneo) .
S = {A, B, AB, O}
Hábito de fumar.
S = {Fumante, Não fumante}
Exemplos:
9
Exercícios de Probabilidade
Uma urna contém 3 bolas, uma vermelha, uma verde e uma azul.
a) Considere o seguinte experimento. Retire uma bola da urna, devolva-a e retire uma
segunda bola. Descreva o espaço amostral.
b) Repita o exercício no caso em que a primeira bola retirada não é devolvida.
a) A = {(Va, Va), (Va,Ve), (Va, A), (Ve, Va), (Ve, Ve), (Ve, A), (A, Va), (A, Ve), (A, A)}
b) B = {(Va,Ve), (Va, A), (Ve, Va), (Ve, A), (A, Va), (A, Ve)}
Ao denotarmos uma bola vermelha por Va, uma verde por Ve e uma azul por A teremos 
que o espaço amostral será dado por:
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Exercícios de Probabilidade
Proponha o espaço amostral para os seguintes experimentos:
a) Uma moeda é lançada duas vezes.
b) Um dado e uma moeda são lançados simultaneamente
c) Uma caneca cai de uma mesa.
d) Duas cartas são retiradas de um baralho de 52 cartas.
e) Um pacote de seis cartas numeradas é embaralhado e os números são revelados um a
um.
A) = {(CA, CA), (CA, CO), (CO, CA), (CO, CO)}, ONDE CO REPRESENTA COROA E CA REPRESENTA CARA.
B) = {(I, A) :{(1,CA), ... ,(6, CA); (1,CO), ... ,(6, CO)}, ONDE I REPRESENTA O LANÇAMENTO DO DADO E A O LANÇAMENTO DA MOEDA.
C) HÁ VÁRIAS OPÇÕES DEPENDENDO DE QUAL SEJA O INTERESSE DE QUEM ESTEJA OBSERVANDO O EXPERIMENTO.
I) = {S, N} ONDE S REPRESENTA QUE A CANECA QUEBROU E N REPRESENTA QUE A CANECA NÃO QUEBROU.
II) = {1, 2, . . .} SE O INTERESSE FOR EM REGISTRAR O NÚMERO DE PARTES DA CANECA ESPALHADOS NO CHÃO APÓS A QUEDA.
III) = {A, B, D, E} SE O INTERESSE FOR EM SABER SE APÓS A QUEDA A CANECA FICOU VIRADA PARA ACIMA OU PARA BAIXO; OU SE A 
ORELHA DA CANECA FICOU PARA DIREITA OU PARA ESQUERDA.
D) SE C DENOTA O CONJUNTO DE CARTAS, QUE CONSISTE DE TODOS OS SUBCONJUNTOS DE DUAS CARTAS DE UM BARALHO DE 52
CARTAS.
E) O ESPAÇO AMOSTRAL CONSISTE DE TODAS AS PERMUTAÇÕES DO CONJUNTO {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
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Probabilidades
Evento - É qualquer
subconjunto do espaço
amostral S de um
experimento aleatório.
12
Notação: A, B, C ...
 (conjunto vazio): evento impossível
S: evento certo
Alguns eventos:
A: sair face par A = {2, 4, 6}  S
B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6}  S
C: sair face 1 C = {1}  S
Eventos: subconjuntos do espaço amostral S.
Exemplo: Lançamento de um dado.
Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Probabilidades
Termos e conceitos
Acontecimento
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
ELEMENTAR COMPOSTO
A: “ Sair o nº 3 ”
A={ 3 }
Só tem um elemento
B: “ Sair o nº ímpar ”
B={ 1, 3, 5 }
Tem mais do que um 
elemento
14
Probabilidades
Termos e 
conceitos
AcontecimentoEvento
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa
Espaço Amostral = S = { R, T, D, P } 
IMPOSSÍVEL CERTO
“Saira letra X” “Sair uma consoante”
PROVÁVEL
“Sair a letra T”
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Eventos Mutuamente Exclusivos – Dizemos que dois ou mais
eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um
exclui a realização do(s) outro(s).
Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o
evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se
realizar um deles, o outro não se realiza.
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Eventos coletivamente exaustivos: A união dos eventos é o espaço
amostral (S).
Portanto, na extração de uma carta de um baralho, os eventos
“carta preta” e “carta vermelha” são coletivamente exaustivos. Ou
seja, contempla todos os resultados possíveis do experimentos
aleatório que é o Espaço Amostral “S”.
Seja o Experimento Aleatório: “Lançar um dado não viciado e observar
a face voltada para cima.”
O seu espaço amostral é: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Sejam os seguintes os eventos:
E1 = {Sair número par} = {2, 4, 6};
E2 = {Sair número ímpar} = {1, 3, 5};
E3 = {Sair número maior ou igual a três} = {3, 4, 5, 6};
E4 = {Sair os números 1 e 3} = {1, 3}.
17
Atividade
Por exemplo:
Sejam: E4 = {1, 3} e E1 = {2, 4, 6} 
E4  E1 =  => E4 e E1 são mutuamente exclusivos
E4  E1 = {1, 2, 3, 4, 6}  S => E4 e E1 não são coletivamente exaustivos
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
E1 = {Sair número par} = {2, 4, 6};
E2 = {Sair número ímpar} = {1, 3, 5};
E3 = {Sair número maior ou igual a três} = {3, 4, 5, 6};
E4 = {Sair os números 1 e 3} = {1, 3}.
18
Atividade
Sejam: E2 = {1, 3, 5} e E1 = {2, 4, 6} 
E2  E1 =  => E2 e E1 são mutuamente exclusivos
E2  E1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S => E4 e E1 são coletivamente exaustivos
Sejam: E3 = {3, 4, 5, 6} e E4 = {1, 3} 
E3  E4 = {3}   => E3 e E4 não são mutuamente exclusivos
E3  E4 = {1, 3, 4, 5, 6}  S => E3 e E4 não são coletivamente exaustivos
Eventos Complementares 
19
A união de um evento e seu
complementar formará o próprio
Espaço Amostral (S), e a intersecção
de um evento e seu complementar é
o conjunto vazio ().
Consiste de todos os outros
resultados do espaço amostral (S)
que não façam parte do evento.
Seja o Experimento Aleatório: “Lançar um dado não viciado e observar a face voltada para
cima.”
O seu espaço amostral é: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Sejam os seguintes os eventos:
E1 = {Sair número par} = {2, 4, 6};
E2 = {Sair número ímpar} = {1, 3, 5};
E3 = {Sair número maior ou igual a três} = {3, 4, 5, 6};
E4 = {Sair os números 1 e 3} = {1, 3}.
20
Atividade
Sejam: E2 = {1, 3, 5} e E1 = {2, 4, 6}
E2  E1 =  => E2 e E1 são mutuamente
exclusivos
E2  E1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S => E4 e E1 são
coletivamente exaustivos
Portanto, como E2  E1 =  e E2  E1 = {1, 2,
3, 4, 5, 6} = S, então E2 e E1 são
complementares.
S - E2 = E1 ou S – E1 = E2
O complementar de A é representado por A.
• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos
quando não têm elementos em comum, isto é,
A  B = 
• A e B são complementares se sua interseção é
vazia e sua união é o espaço amostral, isto é,
A  B =  e A  B = S
21
A  B: interseção dos eventos A e B.
Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e 
B.
Operações com eventos
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.
A  B: união dos eventos A e B.
Representa a ocorrência de pelo menos um dos
eventos, A ou B.
22
Diagrama de Venn
S
B
A
A B
A B
A
A B
A B A B= 
A B A B= 
ocorre A ou B
ocorrem A e B
simultaneamente
não ocorre A
ocorre somente A
não ocorre nem A
nem B
não ocorrem A e B
simultaneamente
23
24
Clássico
❑Permite determinar valores de
probabilidade antes da
observação do experimento, por
isso é chamada de abordagem à
priori.
❑É aplicado quando todos os
resultados são igualmente
prováveis ​​e não podem ocorrer
ao mesmo tempo.
25
Frequencial
❖Permite determinar a probabilidade com base
na proporção de vezes que ocorre um
resultado favorável em um determinado
número de experimentos.
❖Não implica em qualquer suposição anterior
de probabilidades iguais.
❖É também chamada de abordagem empírica
porque para determinar os valores de
probabilidade requer observação e coleta de
dados.
❖Também é denominado à posteriori, pois o
resultado é obtido após a realização do
experimento um certo número de vezes.
26
Subjetivo
➢Difere dos dois enfoques anteriores, porque tanto
o enfoque clássico quanto o enfoque frequencial
produzem valores de probabilidade objetivos.
➢Indica que a probabilidade de um evento é o grau
de confiança que uma pessoa tem de que o
evento ocorrerá, com base em todas as evidências
de que dispõe, com base na intuição, opiniões,
crenças pessoais e outras informações indiretas.
➢Não depende da repetibilidade de nenhum evento
e permite calcular a probabilidade de eventos
únicos e se ocorrer ou não naquela única vez.
➢Como o valor da probabilidade é um julgamento
pessoal, a abordagem subjetiva também é
chamada de abordagem personalística.
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1
2
3
4
5
6
Total
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1 1 1
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
Total 1 1
Valor sorteado = 1
# sorteios = 1
27
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1 1 1
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
Total 1 1
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1 1 0,5
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 1 0,5
Total 2 1
Valor sorteado = 6
# sorteios = 2
28
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1 15 0,15
2 19 0,19
3 16 0,16
4 14 0,14
5 19 0,19
6 17 0,17
Total 100 1
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
Após 100 sorteios...Valor sorteado = 6
# sorteios = 100
29
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1 158 0,158
2 168 0,168
3 166 0,166
4 146 0,146
5 178 0,178
6 184 0,184
Total 1000 1
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
Após 1000 sorteios...Valor sorteado = 1
# sorteios = 1000
30
Valor
Freqüência
Absoluta
Freqüência
Relativa
1 ?
2 ?
3 ?
4 ?
5 ?
6 ?
Total  1
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
(ver pasta exemplo1 em revisao_probabilidade.xls)
E se o experimento 
fosse repetido 
infinitamente?
31
Valor
Probabilidade
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
Total 1
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1
S
2
3 4
5 6
#
P
#
eventos favoráveis
eventos possíveis
=
0  P(evento qualquer)  1
32
33
◦ Axiomática 
 baseada em Axiomas e teoremas de Probabilidade.
34
◦ Axioma 1: 0  P (A)  1 
◦ Axioma 2: P (S) = 1 
◦ Axioma 3: Se A1, A2, A3,... An, formam uma sequência
finita de eventos mutuamente exclusivos (M.E.) então:
 P (A1 A2 A3 ... An ) = P (A1) +P(A2)+P( A3)+... +P(An )
◦ Teorema 1: P() = 0
◦ Teorema 2: P(A’) = 1 - P(A)
◦ Teorema 3: P (A B) = P(A) +P(B) -P(AB) 
◦ Teorema 4: Se A  B, então P (A)  P (B).
PROBABILIDADE
Dado um experimento
aleatório, sendo S o seu
espaço amostral, vamos
admitir que todos os
elementos de S tenham a
mesma chance de acontecer,
ou seja, que S é um conjunto
equiprovável.
35
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1
S
2
3 4
5 6 • Qual a probabilidade de obter um valor igual a 1?
P(valor igual a 1) =
6
1
• Qual a probabilidade de obter um valor múltiplo 3?
P(valor múltiplo 3) =
6
2
3
1
=
#
P
#
eventos favoráveis
eventos possíveis
=
36
Probabilidades
Probabilidade de um evento A
(A  S)
EXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda
S = { Ca, Co }
A moeda tem duas faces: Ca – cara; Co - coroa
Qual é a probabilidade de sair Cara no lançamento de
uma moeda?
( )
possíveis casos de Número
favoráveis casos deNúmero
=FP
Nº casos favoráveis = 1
Nº casos possíveis = 2
( ) %505,0
2
1
===FP
37
Probabilidades
Cálculo de Probabilidades
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado
( )
6
1
possíveis casos de nº
favoráveis casos denº
==AP
Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos:
A: “Sair o número 5 “1) Só há uma 
face “5”
Um dado 
tem 6 faces
2) B: “ Sair um número maior que 2 “
Nº casos favoráveis = 4
Nº casos possíveis = 6
( )
3
2
6
4
==BP
B = { 3, 4, 5, 6 }
38
Probabilidades
Cálculo de Probabilidades
EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Qual é o espaço amostral de resultados?
Qual é a 
probabilidade de 
sair dois números 
maiores que 4?
9
1
36
4
==P
39
Probabilidades
Cálculo de Probabilidades
EXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante
• Arroz de frango
• Bife grelhado
• Lagosta
Sobremesa:
• Fruta da época
• Pudim
Prato:
Entrada:
• Sopa
• Canja
Quantas refeições diferentes podemos 
escolher, tendo cada uma, uma entrada, um 
prato e uma sobremesa?
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,P )
( S,L,F )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
12 refeições 
diferentes!
40
Probabilidades
Cálculo de Probabilidades
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,P )
( S,L,F )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
Escolhida uma
refeição ao
acaso qual é a
probabilidade de
comer arroz ou
fruta?
3
2
12
8
==P
Qual é a probabilidade de não comer Lampreia nem Pudim?
3
1
12
4
==P
41
Eventos Independentes – Dizemos que dois eventos são
independentes quando a realização ou não realização de um
dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e
vice-versa.
Assim, sendo p1 a probabilidade de realização do
primeiro evento e p2 a probabilidade do segundo evento, a
probabilidade de que tais eventos se realizem
simultaneamente é dada por:
p = p1 x p2
42
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a
probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma
das probabilidades de cada um deles se realize:
p = p1 + p2
Eventos Complementares
Sabendo que um evento pode
ocorrer ou não, sendo “p” a
probabilidade de que ele ocorra
(sucesso) e “q” a probabilidade de
que ele não ocorra (insucesso),
para um mesmo evento existe
sempre a relação:
p + q = 1  q = 1 – p
43
Exercícios de Probabilidade
Exercícios de Probabilidade
3- Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça,
calcule:
a) A probabilidade de essa peça ser defeituosa;
b) A probabilidade de essa peça não ser defeituosa
45
4- De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma
carta do primeiro e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de sair
um rei no primeiro e no segundo ser o 5 de ouros?
46
5- No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter a
soma igual a 5?
6- Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; Uma urna B
contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verdes; Uma urna C contém: 2 bolas
brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a
probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira
urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
Exercícios de Probabilidade
Exercícios de Probabilidade
7- De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem
reposição. Qual a probabilidade de a primeira carta ser o ás de espada
e a segunda ser a damas de ouros?
8- Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando
retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
9- No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um
número não inferior a cinco?
10- São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo,
uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a
probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente
nessa ordem?
Exercícios de Probabilidade
Exercícios de Probabilidade
11- Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retiradas
aleatoriamente 2 peças, calcule:
a) A probabilidade de ambas serem defeituosas;
b) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.
50
Exercícios de Probabilidade
12 – Considere que uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a
probabilidade de sair "cara" 3 vezes?
51
1º passo: determinar o número de possibilidades.
Há duas possibilidades existentes ao lançar uma moeda: cara ou coroa. 
Sendo duas as possibilidades de resultado e a moeda é lançada 5 vezes, o espaço 
amostral é:
2º passo: Determinar o número de possibilidades de ocorrer o evento de interesse.
O evento coroa será chamado de O e o evento cara de C para facilitar a compreensão.
O evento de interesse é apenas cara (C) e em 5 lançamentos, as possibilidades de
combinações para que o evento ocorra são: A = {CCCOO; OOCCC; CCOOC; COOCC;
CCOCO; COCOC; OCCOC; OCOCC; OCCCO; COCCO}
Sendo assim, existem 10 possibilidades de resultados com 3 caras.
3º passo: determinar a probabilidade de ocorrência.
Substituindo os valores na fórmula, temos que:
Multiplicando o resultado por 100,
temos que a probabilidade de "sair"
cara 3 vezes é de 31,25%.
Exercícios de Probabilidade
13 - Um morador de uma região metropolitana tem 50% de probabilidade de atrasar-se para o
trabalho quando chove na região; caso não chova, sua probabilidade de atraso é de 25%.
Para um determinado dia, o serviço de meteorologia estima em 30% a probabilidade da
ocorrência de chuva nessa região. Qual é a probabilidade de esse morador se atrasar para o
serviço no dia para o qual foi dada a estimativa de chuva?
52
Como a probabilidade de chover na região é de 30% então indicamos que P(chover) =
0,3, consequentemente, a probabilidade de não chover é de 70% que indicamos por
P(Não chover) = P(chover) - 0,3 = 0,7.
Além disso, temos que: P(Chegar Atrasado/Chover) = 0,5 e P(Chegar Atrasado/Não
Chover) = 0,25
1º Caso (CHOVE NO DIA)
Neste caso, consideremos o evento desejado A, assim descrito — "A: atrasar-
se e chover“ é P (Caso 1) = P(Chover) x P(Chegar Atrasado/Chover) = 0,3×0,5=0,15
2º Caso (NÃO CHOVE NO DIA)
Neste caso, consideremos o evento desejado B, assim descrito — "B: atrasar-se e não
chover“ é P (Caso 2) = P(Não Chover) x P(Chegar Atrasado/Não Chover) = 0,7 x 0,25
= 0,175.
Como pode chover ou não no dia, temos P (Caso 1) + P 
(Caso 2) = 0,15 + 0,175 = 0,325.
53
VÍDEOS PARA AUXILIAR NOS 
SEUS ESTUDOS EM 
CONCEITOS BÁSICOS EM 
PROBABILIDADE...
APROVEITE!!!!!!
54
https://youtu.be/njtremvzu7E?list=RDCMUCkBKRTla-WORg2aKwLo-iZg
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
CONJUNTO, ESPAÇO AMOSTRAL E 
EVENTOS ...
4 min e 39s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
55
https://youtu.be/d8ag-yZf6AQ
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
EXPERIMENTOS DETERMINÍSTICOS 
E ALEATÓRIOS, ESPAÇO AMOSTRAL 
E EVENTO ...
2 min e 37s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
56
https://youtu.be/0ZvQRfqHD50
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
UNIÃO, INTERSECÇÃO, EVENTOS 
MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E 
EVENTOS COMPLEMENTARES ...
4 min e 39s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
57
https://youtu.be/6p57czeK0KI
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
PROBABILIDADE DE UM EVENTO...
6 min e 38s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
58
https://youtu.be/xTlWG49fFBo
https://youtu.be/pYDrdyLvkmQ
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE 
DOIS EVENTOS...
8 min e 43s
8 min 19s
https://youtu.be/xTlWG49fFBo
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
59
https://youtu.be/iHhCqdbf1_g
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
EVENTOS DEPENDENTES ...
5 min e 58s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
60
https://youtu.be/us6lYK304kc
https://youtu.be/cfwhyDuzpkQ
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
EVENTOS INDEPENDENTES ...
4 min e 40s
https://youtu.be/us6lYK304kc
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
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https://youtu.be/hIcfI9-cTEw
https://youtu.be/ZnhYu1MDS0U
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
EVENTOS COMPLEMENTARES...
3 min e 29s
2 min 49s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
62
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
TEOREMA DO PRODUTO...
7 min e 06s
https://youtu.be/6nhS2izk5Kg
https://youtu.be/6nhS2izk5Kg
Simples: sequência ordenada e formada pelos n elementos
de um conjunto em que não há elementos repetidos.
Exemplos: 
• A geração de anagramas com as letras de uma palavra
formada por letras distintas, duas a duas.
• As configurações de pessoas em filas ou mesas.
Para um conjunto de n elementos distintos, o número Pn de
permutações simples e possível de fazer com os n
elementos:
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Pn = n 
. (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) .... . 3 . 2 . 1  Pn = n!
P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 possibilidades.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
63
1) Quantos números de 3 algarismos 
distintos podemos formar utilizando os 
algarismos 3, 5 e 7? 
Note o uso da palavra “distintos”, ou 
seja, sem repetir o mesmo algarismo.
As possibilidades são:
357, 375, 537, 573, 735 e 753.
Podemos representar também em um 
“diagrama de árvore”:
5 7
3
7 5
3 7
5
7 3
3 5
7
5 3
Utilizando o princípio fundamental
da contagem, temos: 3  2  1 = 6
possibilidades
3 possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade
64
DISTINGUINDO PERMUTAÇÕES, ARRANJOS E COMBINAÇÕES 
SIMPLES
CRITÉRIO DE FORMAÇÃO TIPO DE AGRUPAMENTO NOME DO AGRUPAMENTO EXEMPLO
SÓ ORDENAR OS 
ELEMENTOS (TODOS)
ORDENADO (SÃO OS 
AGRUPAMENTOS QUE DIFEREM 
PELA ORDEM E PELA 
NATUREZA DE SEUS 
ELEMENTOS)
PERMUTAÇÃO
O NÚMERO DE FILAS QUE PODEM SER FORMADAS COM 25 
PESSOAS É 25!, POIS PARA O PRIMEIRO LUGAR DA FILA 
TEMOS 25 POSSIBILIDADES, PARA O SEGUNDO 24 E 
ASSIM POR DIANTE.
ESCOLHER E ORDENAR 
OS ELEMENTOS 
ESCOLHIDOS
ORDENADO (SÃO OS 
AGRUPAMENTOS QUE DIFEREM 
APENAS PELA ORDEM DE SEUS 
ELEMENTOS)
ARRANJO
EM UMA COMPETIÇÃO DE 20 JOGADORES, QUANTAS SÃO 
AS POSSIBILIDADES DE SE FORMAR UM PÓDIO COM OS 
TRÊS PRIMEIROS LUGARES? NOTE QUE, NESTE 
PROBLEMA, QUEREMOS DISPOR 20 JOGADORES EM 3 
LUGARES, ONDE A ORDEM IMPORTA, AFINAL O PÓDIO 
FORMADO POR JOÃO, POR MARCOS E POR PEDRO NÃO É 
O MESMO FORMADO POR PEDRO, POR MARCOS E POR 
JOÃO.
SÓ ESCOLHER OS 
ELEMENTOS
NÃO-ORDENADO (SÃO OS 
AGRUPAMENTOS QUE DIFEREM 
PELA NATUREZA DE SEUS 
ELEMENTOS)
COMBINAÇÃO
QUANDO QUEREMOS FORMAR UMA COMISSÃO DE 3 
PESSOAS ESCOLHIDAS ENTRE 10 PESSOAS. 
DIFERENTEMENTE DO PÓDIO DO EXEMPLO ANTERIOR, 
UMA COMISSÃO FORMADA POR JOÃO, POR PEDRO E POR 
MARIA É A MESMA COMISSÃO FORMADA POR MARIA, POR 
PEDRO E POR JOÃO.
65
São configurações ordenadas de alguns elementos
de um conjunto em que a quantidade de
elementos é menor que a quantidade de
elementos do conjunto original ou igual a ela.
Num conjunto com n elementos, se fizermos
arranjos de p elementos, estaremos arranjando n
elementos tomados p a p.
Número total de elementos:
Possibilidades de arranjos circulares com 
quatro elementos
66
Exemplo: Com as letras da palavra “república”, quantas palavras, 
com ou sem sentido, podemos formar utilizando 5 destas letras? 
1º modo de resolver:
a
9 8 7 6
a 1 casa como foi usado um dois termos foram usado
pode ter termo na primeira foram usados,
nove termos casa, sobraram oito restando sete 
para escolher na para escolher
segunda casa um para esta casa
  
5
15120
s quatro termos 
3 termos dos usados. Restaram 
nove, restando cinco nesta casa
seis para esta para selecionar
casa
 =
2º modo de resolver: 9,5
9! 9 8 7 6 5 4!
A 15120
(9 5)! 4!
    
= = =
−
67
No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia
esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque.
Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o
primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição.
Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que
dona Antônia consiga realizar o saque?
Primeiramente temos que identificar se este problema está relacionado a um
ARRANJO ou a uma COMBINAÇÃO.
Basicamente devemos saber se a ordem dos elementos a serem combinados é
importante ou não.
Em se tratando de senhas, a ordem de cada número é muito importante, pois a
senha 5123 é diferente da senha 5321.
Sendo assim, usaremos Arranjo.
O exercício nos informa que o primeiro dígito é o número 5, e o número 6 estará
em algum dos outros 3 dígitos.
Sendo assim, teremos a seguinte situação:
1º Caso (6 no segundo dígito): 5 6_ 8 possibilidades 7 possibilidades = A8,2
2º Caso (6 no terceiro dígito) : 5_ 8 possibilidades _6_ 7 possibilidades = A8,2
3º Caso (6 no quarto dígito): 5 8 possibilidades 7 possibilidades _6_ = A8,2
Teremos a resposta somando as possibilidades de cada caso, ou seja:
A8,2+A8,2+A8,2=3.A8,2
Esse número três é proveniente das possibilidades que existem para as posições do
número 6 nesta senha.
Com isso teremos que as tentativas deveriam ser:
São subconjuntos formados por elementos de um
conjunto em que a ordem dos elementos não importa.
Por isso devemos descontar do total aquelas
combinações que possuem os mesmos elementos, em
ordens diferentes.
Como nos arranjos, dos n elementos de um conjunto
fazemos combinações com p elementos; dizemos então
que fazemos combinações de n elementos, tomados p a
p:Número de combinações possíveis nessas condições:
71
Se Júlia leva o par de sapato preto e o por de sapato rosa, é a mesma coisa que
ela levar o por de sapato rosa e o por de sapato preto, logo, a sequência dos
elementos não importa, com isso usaremos Combinação, para eliminarmos os
arranjos repetidos.
Cada combinação é diferente da outra neste caso, existe diferenciação entre o
Candidato A ser presidente e o Candidato B ser vice-presidente, com a
possibilidade de B ser presidente e A ser vice. Por isso usaremos Arranjo.
Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos, sabendo que ela possui em seu
guarda-roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá
escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem?
Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12
candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De
quantos modos diferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste
grêmio?
72
COMBINAÇÕES SIMPLES
Em uma empresa com nove funcionários, cinco serão chamados para uma
reunião. De quantas formas diferentes poderá ser formado o grupo para a
reunião?
9,5
9 9! 9 8 7 6 5! 9 8 7 6
C 126
5 5!(9 5)! 5!4! 4 3 2 1
        
= = = = = 
−    
Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete
podem escolher:
• um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
• um dentre os tamanhos: pequeno e grande;
• de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha, atum,
queijo, presunto e salame.
Calcule:
a) quantos sanduíches distintos podem ser montados;
b) o número de sanduíches distintos que um cliente pode
montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches
pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
a p:
73
Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e
deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e
mais quatro pessoas. Além disso, a família Sousa quer ocupar um mesmo
banco; Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, qual o número de maneiras distintas de dispor os nove
passageiros no lotação?
74
Família Sousa
1) Eles serão os primeiros a entrarem na lotação.
2) Estes tem 3 opções de bancos.
3) E 3 * 2 * 1 = 3! = 6 maneiras de se disporem num mesmo banco, ou seja,
podem sentar (pai, mãe e filho, ou, pai, filho e mãe, ou, ..., ou filho, mãe e pai).
Logo serão 3 * 6 = 18 opções para a família Sousa.
75
Lúcia e Mauro
1) Eles serão os segundos a entrarem na lotação.
2) Estes tem 2 opções de bancos (a família Sousa já escolheu um banco).
3) Eles tem de escolher entre uma ponta ou outra do banco, para isso têm 2 
opções (casal e vazio ou vazio e casal) .
4) Eles tem que escolher agora, quem vai sentarprimeiro, para isso tem duas
opções (Lúcia e Mauro ou Mauro e Lúcia), ou seja, 2!.
Logo: 2 * 2 * 2! = 8 maneiras
Temos ainda 4 lugares e 4 pessoas para entrarem na lotação.
A primeira pessoa tem 4 opções.
A segunda pessoa tem 3 opções.
A terceira pessoa tem 2 opções.
A quarta pessoa tem 1 opção.
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 maneiras
76
Basta juntarmos tudo, ou seja:
18 * 8 * 24 = 3456 maneiras diferentes
Em um país existem 8 deputados e 5 senadores de um partido
político. Este partido precisa escolher uma equipe com 3 pessoas
dentre os senadores e deputados deste partido político para
representar o partido em um viagem internacional. O número de
maneiras de se formar essa equipe de modo que a mesma não
tenha mais do que dois senadores é igual a:
77
COMBINAÇÃO SIMPLES
Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de Estado.
Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Perguntou ao
porteiro o número de ministros presentes e ele disse: “Ao saírem, todos os
ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão”.
Com base nessa informação, qual foi o número de ministros que estiveram
presentes na reunião?
Trata-se de elementos de natureza diferente, pois o fato de o ministro A apertar a
mão do ministro B é o mesmo acontecimento do ministro B apertar a mão do
ministro A, portanto, trata-se de um problema envolvendo combinação.
Essa quantidade de ministros é o nosso fator de combinação, ou seja, quantos
ministros eu tenho que combinar, dois a dois, de modo que eu tenha um total de
15 apertos de mão. Transcrevendo isso na linguagem matemática:
78
COMBINAÇÃO SIMPLES
Deveremos desenvolver esta equação envolvendo fatorial para que possamos
encontrar o valor de m.
Ao desenvolvermos a equação do segundo grau na incógnita m, encontramos o 
seguinte conjunto solução. S = {m=6 ou m=-5}.
Como m é a quantidade de ministros, não é possível ter uma quantidade negativa, 
logo, teremos que o valor de m é 6.
Então, o número de ministros presentes na reunião foi de 6 ministros.
79
Com repetição
O número total de permutações é inferior àquele que se poderia fazer,
caso todos os elementos fossem diferentes.
Os elementos repetidos geram sequências idênticas, o que reduz o
número total de possibilidades distintas.
O número de permutações em um conjunto com n elementos, sendo n1 a
quantidade de elementos repetidos de um tipo 1, n2 a quantidade de
elementos repetidos de um tipo 2, ... e nk a quantidade de elementos
repetidos de um tipo k, é:
Permutações
80
Matemática, 2ª série do Ensino Médio, 
Permutações com elementos repetidosConsidere o exemplo:
Quantos são os anagramas da palavra BATATA?
Solução
Se os As fossem diferentes e os Ts também, o
total de anagramas seria P6 = 6!
Mas as permutações entre os 3 As não
produzirão novo anagrama. Então precisaremos
dividir P6 por P3 . O mesmo ocorre com os dois
Ts: precisamos dividir também por P2 .
81
Matemática, 2ª série do Ensino Médio, 
Permutações com elementos repetidos
Portanto, o número de anagramas da palavra 
BATATA é:
82
83
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num
restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições
diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a
mãe fiquem juntos?
Sabendo que pai e mãe devem ficar juntos, vamos
amarrar os dois e tratá-los como se fossem um único
elemento.
Ao tratar o pai e mãe como um único elemento, passamos a ter somente 5
elementos.
Portanto, utilizando a permutação circular de 5 elementos, calculamos o
número de possibilidades desta família sentar-se ao redor da mesa com pai e
mãe juntos sendo que o pai está à esquerda da mãe.
Permutação circular (Pc) de 5 elementos calcula-se:
PC5 = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24
84
Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num
restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições
diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a
mãe fiquem juntos?
Portanto, para o pai à esquerda da mãe, temos 24 posições diferentes. Mas o pai 
pode estar à direita da mãe, como na figura 2, 
e então teremos mais 24 posições diferentes para contar (novamente Pc5).
Portanto, o número total de disposições é 48.
85
De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma
mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre
duas mulheres e uma mulher entre dois homens?
Portanto, o número de maneiras de alocar estas seis pessoas é dado por, considerando fixo 
Homemi (i=1,2,3) : 3x (3x2x2x1x1) = 36 possibilidades.
Mas, se considerarmos fixo Mulheri (i=1,2,3), teremos, também : 3x (3x2x2x1x1) = 36 
possibilidades.
Assim, o total de maneiras é dado por 36 + 36 possibilidades 
= 72 possibilidades. 
86
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Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer
repetidos em cada grupo de p elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = m
p.
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com
repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos
onde aparecem elementos repetidos em cada grupo.
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 4
2=16.
Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
87
Quatro amigos dirigem-se a uma pastelaria para comprarem, cada um, um bolo.
Nessa pastelaria existem sete bolos diferentes à escolha. De quantas maneiras
diferentes pode ser feita a escolha dos bolos?
Cada amigo poderá escolher entre seis bolos, por isso, aplicaremos um arranjo
com repetição de sete, quatro a quatro.
Ar(m,p) = m
p.
Ar (7,4) = 7
4 = 2401
A escolha dos bolos pode ser feita de 2401 maneiras diferentes
Diferença entre arranjos simples e arranjos com repetição 
(completos)
Arranjos Completos (A') - Há repetição, a Ordem conta
Arranjos Simples (A) - Não há repetição, a Ordem conta
88
Quantos de nós têm de escolher um código para efetuar operações com o
multibanco. Um código é-nos dado, mas podemos alterá-lo quando quisermos. Mas
quantos códigos podemos escolher?
Temos quatro dígitos, onde em cada dígito podemos
escolher de entre dez números, do zero ao nove; o zero
também conta pois também podemos escolhê-lo.
Podemos repetir os algarismos o número de vezes que
quisermos, pois os códigos 1111 e 5544 são válidos, em
que no primeiro caso temos o 1 repetido e no segundo
caso repetimos o 5 e o 4. E a ordem conta, ou seja, o
código 1234 é diferente do 4321.
Então quando há repetição e a ordem conta estamos perante Arranjos Completos
No caso do multibanco temos arranjos de dez, quatro a quatro. A fórmula geral é
dada no seguimento
Ar(m,p) = m
p.
Ar(10,4) = 10
4 = 10000
Podemos escolher então de entre dez mil
códigos multibanco possíveis.
89
Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em
cada grupo até p vezes.
Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4
elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis
de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo
com a ordem trocada.
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam
um conjunto com 16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
90
91
(ENEM 2017) Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos
nela transportados, conformea figura.
No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os
carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente.
São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com
uma cor. O caminhão-cegonha tem um cor fixa.
A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de
cada uma das quatro corres disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha
não gera um novo modelo do brinquedo.
COM BASE NESSAS INFORMAÇÕES, QUANTOS SÃO OS MODELOS DISTINTOS DO
BRINQUEDO CAMINHÃO-CEGONHA QUE ESSA EMPRESA PODERÁ PRODUZIR?
Resolução
A questão informa que deve haver pelo
menos um carrinho de cada cor. Portanto,
consideraremos somente os 6 carrinhos que
sobram e estes devem ser pintados de
qualquer forma.
Temos 6 carrinhos e 4 cores de tintas, que
podem ser repetidas de qualquer forma.
Utilizaremos o conceito de combinação com
repetição, transformando-a em uma
combinação simples através da fórmula:
CRn,p = Cn+p-1;p
Onde:
n = 4
p = 6
CR4,6 = C4+6-1;6
CR4,6 = C9;6 = 84 modelos distintos
Você deseja comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que possui 3
sabores disponíveis: chocolate, baunilha e morango.
De quantos modos diferentes você pode fazer esta compra?
Note que nesta combinação, é possível
repetir a ordem de dois ou mais sabores,
assim tratando de uma combinação com
repetição.
Se temos 3 sabores disponíveis e queremos
uma combinação para 4 bolas, pela
fórmula obtemos:
CRn,p = Cn+p-1;p
Onde:
n = 3
p = 4
CR3,4 = C3+4-1;4
CR3,4 = C6;4 = 15 diferentes modos
93
VÍDEOS PARA AUXILIAR NOS 
SEUS ESTUDOS EM ANÁLISE 
COMBINATÓRIA...
APROVEITE!!!!!!
94
https://youtu.be/MAHwc1ohWn0
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O QUE É ANÁLISE COMBINATÓRIA...
2 min e 44s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
95
https://youtu.be/3RaTJOZL6MA
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
COMO SABER QUANDO UTILIZAR: 
PERMUTAÇÃO, ARRANJO E 
COMBINAÇÃO...
5 min e 14s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
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VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO COM 
UM EXEMPLO SOBRE PERMUTAÇÃO 
SIMPLES OU SEM REPETIÇÃO ...
2 min e 32s
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VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO COM 
UM EXEMPLO SOBRE ARRANJO 
SIMPLES...
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COM REPETIÇÃO...
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REPETIÇÃO...
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1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
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VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO COM 
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SOLUÇÃO DE VÁRIOS PROBLEMAS ...
1 hora 27 min e 22s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
Exercícios de Probabilidade
Numa classe existem 5 alunos do 4º ano, 4 do 2º e 3 do 3º ano. Qual a
probabilidade de serem sorteados 2 alunos do 2º ano, 3 do 4º e 2 do 3º
10
4
Exercícios de Probabilidade
Num evento científico temos 15 físicos e 11 matemáticos. Três deles serão
escolhidos aleatoriamente para participar de uma mesa redonda.
a) Qual a chance que sejam todos físicos?
10
5
Exercícios de Probabilidade
A probabilidade de um aluno X resolver um problema de Probabilidade é 3/5 e a do
aluno Y é 4/7. Qual é a probabilidade de que o problema seja resolvido
Exercícios de Probabilidade
Uma urna contém 5 bolas pretas, três vermelhas e duas brancas. Forram extraídas
3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma
vermelha?
S = {5 bolas pretas; 3 bolas vermelhas; 2 bolas brancas} → indica um total de 10 bolas.
𝑃 𝑃1 ∩ 𝑃2 ∩ 𝑉3 + 𝑃 𝑃1 ∩ 𝑉2 ∩ 𝑃3 + 𝑃 𝑉1 ∩ 𝑃2 ∩ 𝑃3
= 𝑃 𝑃1) ∗ 𝑃 𝑃2/𝑃1 ∗ 𝑃(𝑉3/𝑃1𝑃2 + 𝑃 𝑃1) ∗ 𝑃 𝑉2/𝑃1 ∗ 𝑃(𝑃3/𝑃1𝑉2
+ 𝑃 𝑉1) ∗ 𝑃 𝑃2/𝑉1 ∗ 𝑃(𝑃3/𝑉1𝑃2 =
5
10
∗
5
10
∗
3
10
+
5
10
∗
3
10
∗
5
10
+
3
10
∗
5
10
∗
5
10
=
75
720
+
75
720
+
75
720
=
225
1000
= 0,225 𝑜𝑢 22,5%
Exercícios de Probabilidade
S = {5 bolas pretas; 3 bolas vermelhas; 2 bolas brancas} → indica um total de 10 bolas.
𝑃 𝑃1 ∩ 𝑃2 ∩ 𝑉3 + 𝑃 𝑃1 ∩ 𝑉2 ∩ 𝑃3 + 𝑃 𝑉1 ∩ 𝑃2 ∩ 𝑃3
= 𝑃 𝑃1 ∗ 𝑃 Τ𝑃2 𝑃1 ∗ 𝑃 Τ𝑉3 𝑃1 𝑃2 + 𝑃 𝑃1 ∗ 𝑃 Τ𝑉2 𝑃1 ∗ 𝑃 Τ𝑃3 𝑃1 𝑉2
+ 𝑃 𝑉1 ∗ 𝑃 Τ𝑃2 𝑉1 ∗ 𝑃 Τ𝑃3 𝑉1 𝑃2
=
5
10
∗
4
9
∗
3
8
+
5
10
∗
3
9
∗
4
8
+
3
10
∗
5
9
∗
4
8
=
60
720
+
60
720
+
60
720
=
180
720
= 0,25 𝑜𝑢 25%
10
9
11
0
Seja o evento: E = circuito funcionar.
P(1  2) = P(1) * P(2) = p*p = p2
P(3  4) = P(3) * P(4) = p*p = p2
P(1  2 3 4) = P(1) * P(2) * P(3) * P(4) = p*p*p*p = p4
P(E) = P(1  2) + P(3  4) - P(1  2 3 4) = 
p2 + p2 – p4 = 2p2 – p4
11
1
Um sistema funciona a partir de uma combinação de relés. A probabilidade de 
cada relé funcionar é “p”. Qual a probabilidade do sistema funcionar ? 
P(E) = p2 + p + p2 – p3 – p4 – p3 + p5
P(E) = p + 2p2 – 2p3 – p4 + p5
11
2
Definição:
Probabilidade condicional de um evento é a
probabilidade obtida com a informação
adicional de que algum outro evento ocorreu.
P(B|A) representa a probabilidade condicional
da ocorrência do evento B, dado que o evento
A já ocorreu.
11
3
 A probabilidade de ocorrência simultânea de 
dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, 
é igual ao produto da probabilidade de um 
deles pela probabilidade condicional do outro, 
dado o primeiro.
P(A/B)=
P(AB)
P(B)
P(B/A)=
P(AB)
P(A)
P(B)P(A/B)B)P(A =
P(A)P(B/A)B)P(A =
11
4
Se A e B são independentes então:
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)
P(AB) = P(A) x P(B/A) = P(A) x P(B)
P(AB) = P(B) x P(A/B) = P(B) x P(A)
11
5
Dois ou mais eventos são independentes
quando a ocorrência de um dos eventos não
influencia a probabilidade de ocorrência dos
outros.
Caso dois eventos A e B sejam independentes
então a probabilidade de A ocorrer dado que B
ocorreu é igual à própria probabilidade de
ocorrência de A, e a probabilidade de B ocorrer
dado que B ocorreu é igual à própria
probabilidade de ocorrência de B. Se A e B são
independentes então:
11
6
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
117
 A = {(x1,x2) | x1 + x2 = 10}
 B = {(x1,x2) | x1 > x2} onde x1 é o resultado do
dado 1 e x2 é o resultado do dado 2.
 Calcular P(A), P(B), P(A/B) e P(B/A)
12
5
36
15)(
)( ===
NCT
BNCF
BP
12
1
36
3)(
)( ===
NCT
ANCF
AP
15
1
)(
)(
)/( =

=
BNCF
BANCF
BAP
118
P(A/B) = 
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐵 =
1
36
15
36
=
1
15
AB=(6,4} então P(AB) = 
1
36
ou
P(B/A) = 
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐴 =
1
36
3
36
=
1
3
ou
 Considere a situação promocional de 
oficiais dos Estados Unidos.
Homens Mulheres Total
Promovidos 288 36 324
Não Promovidos 672 204 876
Total 960 240 1200
Status de Promoção dos Oficiais de Polícia
11
9
H evento em que um oficial seja um homem
M evento em que um oficial seja uma mulher
P evento em que um oficial é promovido
N evento em que um oficial não é promovido
Tabela de Probabilidade Associada
P(HP)= 288/1200 =0,24
P(HN)= 672/1200 =0,56
P(MP)= 36/1200 =0,03
P(MN)= 204/1200 =0,17
12
0
Homens Mulheres Total
Promovidos 288 36 324
Não 
Promovidos
672 204 876
Total 960 240 1200
 Qual a probabilidade P(P/H) e P(M/N) ?
12
1
𝑃 Τ𝑃 𝐻 =
288
960
= 0,3 𝑜𝑢 30%
𝑃 Τ𝑀 𝑁 =
204
876
= 0,2329𝑜𝑢 23,29%
 Seja E: lançar um dado, e o evento A={sair o 
número 3}. Então P(A) = 1/6;
 Considere o evento B={sair um número impar}. 
Então P(A/B) é igual a 1/3;
 Formalmente: Dado dois eventos A e B, denota-se
NCF = número de casos favoráveis
NCT = número de casos total
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)/(
BNCF
BANCF
NTC
BNCF
NTC
BANCF
BP
BAP
BAP

=

=

=
12
2
123
𝑎) 𝑃 𝑃𝐴 ∩ 𝑃𝐵 + 𝑃 𝑉𝐴 ∩ 𝑉𝐵 = 𝑃 𝑃𝐴 ∗ 𝑃 𝑃𝐵 + 𝑃 𝑉𝐴 ∗ 𝑃 𝑉𝐵 =
1
2
∗
3
6
+
1
2
∗
4
6
=
3
12
+
4
12
=
7
12
= 0,5833 𝑜𝑢 58,33%
𝑏) 𝑃(𝑉𝐴/𝑃𝐵 =
𝑃 𝑉𝐴∩𝑉𝐵
𝑃(𝑉𝐵)
=
𝑃 𝑉𝐴∩𝑉𝐵
𝑃 𝑃𝐴∩𝑉𝐵 +𝑃 𝑉𝐴∩𝑉𝐵
=
1
2
∗
4
6
1
2
∗
3
6
+
1
2
∗
4
6
=
4
12
3
12
+
4
12
=
4
7
=
0,5714 𝑜𝑢 57,14%
12
4
12
5
 Em um lote de 12 peças, 4 são
defeituosas, 2 peças são retiradas um após
a outra sem reposição. Qual a
probabilidade de que ambas são sejam
boas?
 A={a primeira é boa}, B={a segunda é boa} 
33
14
11
7
12
8
P(A)P(B/A)B)A( ===P
12
6
 Sendo ={1,2,3,4} um espaço amostral equiprovável e A={1,2}; B={1,3}; C={1,4}
três eventos de S. Verificar se os eventos A, B e C são independentes.
PARTA DO PRINCÍPIO PARA VERIFICAR SE EVENTOS SÃO INDEPENDENTES, POR EXEMPLO, DADOS TRÊS EVENTOS F, G e H.
Considerando dois evento P(G ∩ H) = P(G)*P(H) são independentes ou considerando três eventos que: P(F∩GH) = P(F)*P(G)*P(H).
 Solução:
◦ P(A)=1/2; P(B)=1/2; P(AB)=1/4; logo, P(AB)=1/2  1/2 =1/4.
Como P(AB)=P(A)*P(B) =1/4, então A e B são independentes.
◦ P(A)=1/2; P(C)=1/2; P(AC)=1/4; logo, P(AC)=1/2  1/2 =1/4.
Como P(AC)=P(A)*P(C) =1/4, então A e C são independentes.
◦ P(B)=1/2; P(C)=1/2; P(BC)=1/4; logo, P(BC)=1/2  1/2 =1/4.
Como P(BC)=P(B)*P(C) =1/4, então B e C são independentes.
◦ No entanto,
◦ P(A)=1/2; P(B)=1/2; P(C)=1/2; P(ABC)=1/4. Como
P(ABC)=1/4  P(A)*P(B)*P(C)=1/8, logo A, B e C não são
independentes.
127
 Sejam A1,...,An um conjunto de eventos 
mutuamente disjuntos de um espaço 
amostral , isto é,  =A1A2 ..., An. Seja 
B um evento de , então para cada i
128
𝑃(𝐴𝑖/𝐵)=
𝑃(𝐴𝑖∩𝐵)
𝑃(𝐵)
=
𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵/𝐴𝑖)
𝑃 𝐴1 𝑃 𝐵/𝐴1 +⋯+𝑃(𝐴𝑛)𝑃(𝐵/𝐴𝑛)
12
9
13
0
13
1
13
2
13
3
P(Alunos do sexo masculino) = 0,6
P(Alunos do sexo feminino) = 1 - P(Alunos do sexo masculino) = 0,4
P (Alunos com mais de 1,80m /Sexo masculino) = 0,05
P (Alunos com mais de 1,80m /Sexo feminino) = 0,02
134
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
PROBABILIDADE CONDICIONAL...
10 min e 10s
https://youtu.be/Q5ARnioHBcw
VIDEOS DE ANÁLISE COMBNATÓRIA E DE PROBABILIDADE.pptx
135
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
PROBABILIDADE CONDICIONAL E 
TEOREMA DE BAYES...
13 min e 45s
https://youtu.be/7XbCB2p7w7Y
VIDEOS DE ANÁLISE COMBNATÓRIA E DE PROBABILIDADE.pptx