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Variáveis Aleatórias Discretas
Prof. Danielle Peralta
9 de maio de 2013
Prof. Danielle Peralta Estatística
3.1 Variáveis Aleatórias Discretas
I Definição 1: Variável aleatória é a função que associa a todo
evento pertencente a uma partição do espaço amostral um único
número real. Ou seja, uma variável aleatória para ser discreta deve
assumir valores em um conjunto finito ou conjunto infinito de
valores, porém enumerável.
I Na prática, é muitas vezes, mais interessante associarmos um
número a um evento aleatório e calcularmos a probabilidade de
ocorrência desse número do que a probabilidade do evento.
I Introduziremos o conceito de variáveis aleatórias discretas como o
seguinte problema:
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I Lançam-se três moedas. Seja X: número de ocorrências da face
cara. Determinar a distribuição de probabilidade de X. Assim:
S = {(c, c, c), (c, c, k), (c, k, c), (c, k, k),
(k, c, c), (k, c, k), (k, k, c), (k, k, k)}
I Então X assume os valores 0, 1, 2 e 3. Podemos associar a esses
números eventos que correspondam à ocorrência de nenhuma,
uma, duas, três caras respectivamente, como segue:
X Evento correspondente P(X=x)
0 (k,k,k) 1/8
1 (c,k,k),(k,c,k),(k,k,c) 3/8
2 (c,c,k),(c,k,c)(k,c,c) 3/8
3 (c,c,c) 1/8
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3.2 Função de probabilidade
I Definição 2: Função de probabilidade é a função que associa a
cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade do
evento correspondente, isto é:
P(X = xi) = p(xi) = pi , i = 1, 2, ...n
Ou ainda,
X x1 x2 x3 · · ·
pi p1 p2 p3 · · ·
I É importante verificar que para que haja uma distribuição de
probabilidade de uma variável aleatória X é necessário que:∑n
i=1 pi = 1 e 0 ≤ pi ≤ 1.
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I Exemplo 1: Lançam-se dois dados. Seja X: a soma das faces.
Determinar a distribuição de probabilidades de X.
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3.3 Esperança, Variância e Desvio Padrão
de uma v.a
I Existem características numéricas que são muito importantes em
uma distribuição de probabilidades. São parâmetros das
distribuições, tais como a média, variância e desvio padrão.
I Definição: Dada uma v.a discreta, assumindo os valores x1, . . . xn
chamamos valor médio ou esperança matemática de X ao valor:
E (X ) =
n∑
i=1
xip(xi) (1)
I Por exemplo: Uma seguradora paga R$30.000, 00 em caso de
acidente de carro e cobra uma taxa de R$1.000, 00. Sabe-se que a
probabilidade de que o carro sofra acidente é de 3%. Quanto
espera a seguradora ganhar por carro segurado?
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I Uma outra medida a ser calculada que mede o grau de dispersão
(ou de concentração) de probabilidade em torno da média é a
Variância. Sua expressão é dada por:
Var(X ) = E (X 2)− [E (X )]2 (2)
I O desvio padrão de uma variável X é a raiz quadrada da variância
de X, isto é:
DP(X ) =
√
Var(X ) (3)
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Exemplo de aplicação
I Os empregados A, B, C e D ganham 1, 2, 2 e 4 salários mínimos,
respectivamente. Retiram-se amostras com reposição de 2
indivíduos e mede-se o salário médio da amostra retirada. Qual a
média e o desvio padrão do salário médio amostral?
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3.4 Função de distribuição discreta
A função de distribuição discreta ou função acumulada de probabilidade
de uma variável aleatória discreta X é definida, para qualquer número real
x , pela seguinte expressão:
F (x) = P(X ≤ x)
Exemplo: Uma população de 1000 crianças foi analisada num estudo
para determinar a efetividade de uma vacina contra um tipo de alergia.
No estudo, as crianças recebiam um dose da vacina e após um mês
passavam por um novo teste.
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Caso ainda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose da
vacina. Ao fim de 5 doses todas as crianças foram consideradas
imunizadas.
Doses 1 2 3 4 5
No de crianças 245 288 256 145 66
Sendo assim a probabilidade de uma criança sorteada ao acaso, ter
tomado 2 doses da vacina é de 288/1000 = 0, 288. A função de
probabilidade da variável aleatória X: número de doses recebidas, é dada
por:
X 1 2 3 4 5
p(xi) 0, 245 0, 288 0, 256 0, 145 0, 066
Qual a probabilidade de uma criança escolhida ao acaso ter tomado no
máximo 2 vacinas para ser considerada imunizada?
Descreva a função de distribuição e seu gráfico.
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Exercícios
I 1. Um banco pretende aumentar a eficiência de seus caixas.
Oferece um prêmio de R$150, 00 para cada cliente atendido além
de 42 clientes por dia. O banco tem um ganho operacional de
R$100, 00 para cada cliente atendido além de 41. As
probabilidades de atendimento são:
Núm. clientes até 41 42 43 44 45 46
Probabilidade 0, 88 0, 06 0, 04 0, 01 0, 006 0, 004
I Qual a esperança de ganho do banco se este novo sistema for
implantado?
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Exercícios
I 2. O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar
certa peça é uma v.a com a seguinte distribuição de probabilidade.
t 2 3 4 5 6 7
p(t) 0, 1 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1
I Calcule o tempo médio de processamento.
I Para cada peça processada, o operário ganha fixo de R$2, 00, mas
se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha R$0, 50
em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em
quatro minutos, recebe a quantia adicional de R$1, 00. Encontre a
distribuição, a média e a variância da v.a G: quantia em R$ ganha
por peça.
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Referências
I BUSSAB, W.O. e MORETIN, P.A., Estatística Básica, 4. ed., São
Paulo, Atual, 1987
I MAGALHÃES, M. N. e LIMA, A. C. P. Noções de Probabilidade e
Estatística. 6a Ed. EDUSP, 2008.
I MORETTIN, L.G., Estatística Básica, Volume 1 - Probabilidade,
7. ed, São Paulo, Pearson Education do Brasil, 1999.
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