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Universidade Federal de Uberlândia - FECIV - Prof. Francisco A. R. Gesualdo ________________________________________________________________ 1 Verificar a terça com as seguintes características: vão livre igual a 350 cm, inclinada de 20o. Dicotiledônea C60. Ação permanente de grande variabilidade e kmod = 0,56. Terça em estrutura que abriga alta concentração de pessoas. Peso próprio : 0,7 kN/m Sobrecarga : 0,4 kN/m Vento sobrepressão: 0,06 kN/m Vento sucção : 0,50 kN/m θ 20 graus⋅= L 350 cm⋅= Seção retangular: kM 0.5= Solução: Características geométricas: b 5 cm⋅= h 15 cm⋅= Ix b h3⋅ 12 = Iy h b3⋅ 12 = Ix 1406 cm 4⋅= Iy 156.25 cm4⋅= Sx b h2 8 ⋅= Sx 140.62 cm3⋅= Sy h b2 8 ⋅= Sy 46.88 cm3⋅= Forças serão indicadas na direção x e y que correspondem às respectivas direções de atuação. Peso Próprio Sobrecarga: Vento: qpp 0.70 kN m ⋅= qsc 0.40 kN m ⋅= qvpres 0.06 kN m = qvsuc 0.50 kN m = Universidade Federal de Uberlândia - FECIV - Prof. Francisco A. R. Gesualdo ________________________________________________________________ 2 Resistência: fc0k 6 kN cm2 ⋅= fv0k 0.8 kN cm2 ⋅= kmod 0.56= γwc 1.4= γwv 1.8= Ec0m 2450 kN cm2 ⋅= Ec0ef kmod Ec0m⋅= Ec0ef 1372 kN cm2 ⋅= fc0d kmod fc0k γwc ⋅= fc0d 2.4 kN cm2 ⋅= fv0d kmod fv0k γwv ⋅= fv0d 0.25 kN cm2 ⋅= γg 1.4= γq 1.4= ψ0 0.5= Pressão dinâmica do ventoEstado limite último As solicitações na direção x provenientes da ação vertical serão decompostas por multiplicação pelo seno do ângulo de inclinação. Na direção x (não há componentes provenientes da ação do vento, pois estas atuam exclusivamente na direção y): qxd γg qpp⋅ γq qsc⋅+( ) sin θ( )⋅ 0.53 kNm⋅== Na direção y: a) Combinação para máximo valor positivo Vento como ação variável secundária: qy1da γg qpp⋅ γq qsc⋅+( ) cos θ( )⋅ γq ψ0⋅ qvpres⋅+ 1.49 kNm⋅== Vento como ação variável principal qy1db γg qpp⋅ γq 0.7⋅ qsc+( ) cos θ( )⋅ γq 0.75⋅ qvpres⋅+ 1.35 kNm⋅== (0,7 é coeficiente de combinação ψ0 para situação de grande concentração de pessoas) Portanto, o maior valor é: qy1d qy1da 1.49 kN m ⋅== b) Combinação para máximo valor negativo Neste caso a sobrecarga não será considerada e à parcela do peso próprio será aplicado o coeficiente γg igual a 0,9. Na ação do vento pode ser considerada redução pelo coeficiente 0,75. No entanto, como o objetivo é minorar a contribuição do vento esta redução não será aplicada (adotado). qy2d 0.9 qpp⋅ cos θ( )⋅ γq qvsuc−( )⋅+ 0.11− kNm⋅== Observação: sendo a seção transversal simétrica, então o valor mais crítico refere-se ao maior valor absoluto de, no caso, qy1d. Universidade Federal de Uberlândia - FECIV - Prof. Francisco A. R. Gesualdo ________________________________________________________________ 3 Esforços: Mxd qy1d L 2⋅ 8 228.02 kN cm⋅⋅== Myd qxd L 2⋅ 8 80.65 kN cm⋅⋅== Vxd qxd L⋅ 2 0.92 kN⋅== Vyd qy1d L⋅ 2 2.61 kN⋅== Verificação da resistência σ: σMxd Mxd Ix h 2 ⋅ 1.22 kN cm2 ⋅== σMyd Myd Iy b 2 ⋅ 1.29 kN cm2 ⋅== kM σMxd fc0d ⋅ σMyd fc0d + 0.79= < 1 (OK !) Verificação da resistência τ: fv0d 0.25 kN cm2 ⋅= τxd Vxd Sy⋅ h Iy⋅ 0.02 kN cm2 ⋅== τyd Vyd Sx⋅ b Ix⋅ 0.05 kN cm2 ⋅== ( OK ! ) Estabilidade lateral (somente em torno de x para instabilidade em y): L1 L= γf 1.4= βE 4= βM 4 π βE γf ⋅ h b ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ 1.5 h b 0.63− ⋅= βM 12.28= Primeira verificação: L1 b 70.00= Ec0ef βM fc0d⋅ 46.56= Como 70.00 > 46.56 (condição NÃO aceita) Segunda verificação: σc1dx Mxd Ix h 2 ⋅ 1.22 kN cm2 ⋅== σc2 Ec0ef L1 b ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ βM⋅ = σc2 1.6 kN cm2 ⋅= σc1dy Myd Iy b 2 ⋅ 1.29 kN cm2 ⋅== σc1d σc1dx σc1dy+ 2.51 kN cm2 ⋅== Como σc1d > σc2 (condição NÃO aceita) Como as duas condições não foram verificadas, então a estabilidade não está garantida. Solução: adotar contraventamento no ponto central da viga fazendo L1 = L/2. Neste caso: L1 L 2 = Portanto: L1 b 35.00= Ec0ef βM fc0d⋅ 46.56= Como 35.00 > 46.56 (OK) Universidade Federal de Uberlândia - FECIV - Prof. Francisco A. R. Gesualdo ________________________________________________________________ 4 Estado limite de utilização ulimite L 200 = ψ2 0.4= qxdu qpp ψ2 qsc⋅+( ) sin θ( )⋅ 0.29 kNm⋅== ; qydu qpp ψ2 qsc⋅+( ) cos θ( )⋅ 0.81 kNm⋅== Como foi usado o contraventamento no ponto central para resolver o problema da estabilidade, então, pode-se considerar que o vão para a direção X vale L/2. É também apropriado observar que na flexão oblíqua a ABNT NBR 7190:1997 indica que a verificação da flecha é feita isoladamente para cada direção, sem considerar o deslocamento resultante. Desta forma, a viga terá três apoios de sustentação na direção x, ficando como indicado na Figura 2. Então, a determinação da máxima flecha deve ser feita pela investigação dos deslocamentos em uma viga sobre três apoios (uma vez hiperestática), Figura 2a. Por exemplo, pode ser usado um programa computacional para mapear os deslocamentos. Para isto a viga deve ser dividida em várias partes, o suficiente para se ter deslocamentos em pontos ao longo da viga. Como se trata de caso relativamente simples, é possível encontrar uma expressão que forneça este valor de deslocamento, como indicado na Figura 3. a) Flexão em torno de y b) Flexão em torno de x Figura 2 - Apoios da terça em relação a x e y u x( ) q x⋅ Lt x−( )2⋅ Lt 2 x⋅+( )⋅ 48 E I⋅( )⋅= xumax Lt 4 q⋅ 55 33⋅ 39+( )⋅ 65536 E I⋅( )⋅= umax Lt 4 q⋅ 55 33⋅ 39+( )⋅ 65536 E⋅ I⋅= O valor de umax pode ser aproximado por: umax q L4⋅ 185 E⋅ I⋅= Figura 3 - Deslocamentos para viga sobre três apoios Em relação aos deslocamentos na direção y (vertical), o vão é o próprio L e a flecha provem de uma viga bi-apoiada. Universidade Federal de Uberlândia - FECIV - Prof. Francisco A. R. Gesualdo ________________________________________________________________ 5 Deslocamento na direção y: ulimite L 200 1.75 cm⋅== uy 5 384 qydu L 4⋅ Ec0ef Ix⋅ 0.82 cm⋅== Como uy < ulimite, então OK Deslocamento na direção x (simplificado para dois trechos bi-apoiados): ulimite L 2 200 0.88 cm⋅== ux 1 185 qxdu L 2 ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ 4 ⋅ Ec0ef Iy⋅ 0.07 cm⋅== Como ux < ulimite, então OK
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