CONSELHO-REGIONAL-DO-SENAE-Resistencia-dos-Materiais

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RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
Conselho Regional do SENAI - CE
Roberto Proença de Macedo
Presidente 
Ivan Rodrigues Bezerra
Vice-Presidente 
Alexandre Pereira Silva
Álvaro de Castro Correia Neto
Francisco de Assis Alves de Almeida
Delegados das Atividades Industriais – Efetivos
Cláudio Ricardo Gomes de Lima
Representante do Ministério da Educação
José Nunes Passos
Representante do Ministério do Trabalho
Maria José Gonçalves Marinho
Delegado da Categoria Econômica da Pesca
Affonzo Taboza Pereira
José Fernando Castelo Branco Ponte
Francisco José Fernandes Fontenelle
Suplentes dos Delegados das Atividades Industriais 
Samuel Brasileiro Filho
Suplente do Representante do Ministério da Educação
Francisco José Pontes Ibiapina
Suplente do Representante do Ministério do Trabalho
Eduardo Camarço Filho
Suplente do Delegado da Categoria Econômica da Pesca
Cláudio Ricardo Gomes de Lima (Presidente)
Alexandre Pereira Silva
Álvaro de Castro Correia Neto
Membros da Comissão de Contas
Departamento Regional do SENAI - CE
Francisco das Chagas Magalhães
Diretor Regional
Tarcísio José Cavalcante Bastos 
Gerente do Centro de Educação e Tecnologia Alexandre Figueira Rodrigues 
Departamento Regional do Ceará
Centro de Educação e Tecnologia Alexandre Figueira Rodrigues 
Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial
Fortaleza – Ceará
2006
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
©2006. SENAI. Departamento Regional do Ceará
Qualquer parte desta obra poderá ser reproduzida, desde que citada a fonte.
SENAI/CE
Centro de Educação e Tecnologia Alexandre Figueira Rodrigues – CET/AFR
Este projeto foi elaborado por colaboradores deste Centro de Tecnologia 
cujos nomes estão relacionados na folha de créditos.
Ficha Catalográfica
S492r Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Regional do Ceará. Centro 
de Educação e Tecnologia Alexandre Figueira Rodrigues.
 Resistência dos Materiais. Maracanaú: SENAI/CE/CET AFR. 2006. 60 p. il
 1 Resistência dos Materiais. I. Título
 CDU: 531: 539.4 
SENAI
Serviço Nacional
de Aprendizagem
Industrial
Departamento
Regional do Ceará
Av. de Contorno, 1395 – Distrito Industrial - 
Maracanaú - CE
CEP: 61939-160 
Fone/Fax: (85) 3215-3026
e-mail: senai-ce-cetafr@sfiec.org.br
Objetivo da resistência dos materiais; ∙
Esforços externos, solicitantes e resistentes; ∙
Tensões e deformações; ∙
Diagramas de esforços solicitantes; ∙
Treliças planas; ∙
Lei de Hooke; ∙
Tração e compressão simples; ∙
Flexão nomal; ∙
Torção; ∙
Seções circulares e anulares. ∙
Ementa da Disciplina
Disciplina: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Carga Horária: 40 horas/aula
Sumário
1 INTRODuçãO ..................................................................................................................... 9
2 DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO ...................................................................................... 10
3 GRANDEZAS ESCALARES VETORIAIS ............................................................................... 10
3.1 Vetores ........................................................................................................................ 10
3.2 Adição de Vetores ....................................................................................................... 11
3.3 Método do Paralelogramo ............................................................................................ 12
3.4 Método Analítico .......................................................................................................... 13
3.5 Lei dos Senos .............................................................................................................. 13
3.6 Lei dos Coossenos ...................................................................................................... 13
3.7 Subtração de Vetores: Vetor Oposto (Simétrico) ......................................................... 13
3.8 Método de Subtração .................................................................................................. 14
3.9 Decomposição de Vetores ........................................................................................... 14
4 IDEALIZAçÕES SIMPLIFICADORAS ................................................................................... 15
4.1 Componentes de Modelos ........................................................................................... 15
4.2 As Três Leis do Movimento de Newton ........................................................................ 16
4.2.1 Primeira lei ................................................................................................................. 16
4.2.2 Segunda lei................................................................................................................. 17
4.2.3 Terceira lei .................................................................................................................. 17
5 uNIDADES DE MEDIDA .................................................................................................... 17
5.1 unidades do SI (Sistema Internacional) ...................................................................... 17
5.2 unidades do Sistema FPS ........................................................................................... 19
5.3 Conversão de unidades ............................................................................................... 19
5.4 Prefixos ....................................................................................................................... 19
5.5 Regras de utilização .................................................................................................... 20
6 TENSãO ........................................................................................................................... 21
6.1 Força normal ................................................................................................................ 21
6.2 Tensão de tração e compressão ................................................................................. 21
6.3 Tensão normal (∑) ....................................................................................................... 22
6.4 Tensão de cisalhamento (t) ......................................................................................... 22
6.5 Tensão admissível (σadm)............................................................................................ 23
7 COEFICIENTE DE SEGuRANçA (K) ................................................................................... 24
7.1 Pressão de Contato ..................................................................................................... 25
7.2 Tensão de Esmagamento (ΣD) ..................................................................................... 25
8 FADIGA ............................................................................................................................ 26
9 FLEXãO............................................................................................................................ 27
9.1 Momento de uma Força (M) ......................................................................................... 27
9.2 Reações de Apoio ........................................................................................................ 28
9.3 Condições de Equilíbrio ............................................................................................... 29
9.4 Momento Fletor (MF) ................................................................................................... 29
9.5 Módulo de Resistência à Flexão (WF) .......................................................................... 31
9.6 Tensão na Flexão (ΣF) ................................................................................................. 31
10 TRELIçAS ...................................................................................................................... 32
10.1 Método dos Nós ........................................................................................................32
11 MOMENTO TORçOR Ou TORQuE(T) ............................................................................... 33
11.1 Tensão de Cisalhamento na Torção (TMAX.) ............................................................. 34
11.2 Ângulo de Torção(Ø) .................................................................................................. 35
11.3 Flambagem ................................................................................................................ 35
12 DIAGRAMA TENSãO X DEFORMAçãO PARA MATERIAIS FRÁGEIS .................................. 37
12.1 Lei de Hooke ............................................................................................................. 37
12.2 Diagrama Tensão X Deformação para Materiais Dúcteis........................................... 38
12.3 Deformação Longitudinal (E) ..................................................................................... 39
12.4 Módulo de Elasticidade (E) ........................................................................................ 39
12.5 Razão ou Coeficiente de Poisson .............................................................................. 40
13 SOLICITAçãO COMPOSTA.............................................................................................. 40
14 LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................................................... 42 
15 REFERÊNCIA.................................................................................................................. 58
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1 INTRODuçãO
A resistência dos materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre as cargas 
externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas atuantes no corpo. 
Este assunto envolve também o cálculo das deformações do corpo e propicia um estudo de sua 
estabilidade quando submetido a forças externas. 
No projeto de qualquer estrutura ou máquina, é necessário inicialmente utilizarmos os 
princípios da estática para determinarmos tanto as forças atuantes quanto as forças internas so-
bre seus vários elementos. As dimensões de um elemento, seus deslocamentos e sua estabilidade 
dependem não apenas das cargas internas, mas também do tipo de material com que o elemento é 
fabricado. Conseqüentemente, serão de vital importância para o desenvolvimento das equações da 
mecânica dos materiais o entendimento e a determinação precisa do comportamento do material. 
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2 DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO
A origem da resistência dos materiais data do início do século XVII, quando Galileu realizou 
experimentos para estudar o efeito de forças aplicadas a barras e vigas fabricadas de vários ma-
teriais. Entretanto, para um entendimento apropriado do fenômeno, foi necessário estabelecer um 
procedimento experimental preciso das propriedades mecânicas dos materiais. Estes procedimen-
tos foram bem definidos no início do século XVIII. Naquele tempo, tanto estudos experimentais 
quanto teóricos sobre o assunto foram realizados inicialmente na França, por estudiosos como 
Saint-Venant, Poiston, Lamé e Navier. Tendo sido seus esforços baseados nas aplicações da mecâ-
nica a corpos materiais, eles denominaram este estudo de Resistência dos Materiais. Atualmente, 
este estudo é conhecido como mecânica dos corpos deformáveis ou, simplesmente, Mecânica dos 
Materiais. 
Ao longo dos anos, depois que muitos problemas fundamentais da resistência dos materiais 
foram resolvidos, tornou-se necessário utilizar o cálculo avançado e técnicas computacionais na 
solução dos problemas mais complexos. Como resultado, este assunto expandiu-se para outros 
temas da mecânica avançada, como a teoria da elasticidade e a teoria da plasticidade. Muitas pes-
quisas nestes campos estão em andamento, não apenas para atender à demanda na solução de 
problemas avançados de projetos, mas também para justificar as utilizações e limitações nas quais 
a teoria fundamental da resistência dos materiais é baseada. 
3 GRANDEZAS ESCALARES VETORIAIS
Uma grandeza física é tudo aquilo que pode ser medido. Se a grandeza ficar bem entendida 
somente com o conhecimento de seu valor numérico (módulo) e da sua unidade (se houver), chama-
remos esta grandeza de escalar. O tempo, a massa de um corpo, a energia e o espaço percorrido 
por um móvel são grandezas escalares. 
Por outro lado, se além do módulo e da unidade, uma grandeza física necessitar de uma dire-
ção e de um sentido para ser bem compreendida, será chamada de grandeza vetorial. A velocidade, 
a aceleração e o deslocamento são exemplos de grandezas vetoriais. 
3.1 Vetores
Para que possamos representar geometricamente uma grandeza vetorial, vamos utilizar uma 
convenção matemática chamada vetor. O vetor é um segmento de reta orientado como mostrado 
na figura a seguir. 
 
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A inclinação do vetor (ângulo θ) determina a direção da grandeza que ele representa; a seta 
representa o sentido, e seu tamanho é proporcional ao módulo da grandeza. Utilizamos uma letra 
do alfabeto sobrescrita por uma seta para representarmos um vetor. 
 
Para representarmos o módulo de um vetor, utilizamos a seguinte notação: ou a. 
OBSERVAÇÃO:
a) É um erro de representação escrever → = 5. O correto seria = 5 ou a = 5; 
b) Um vetor tem uma origem e uma extremidade; 
 
c) Somente podemos dizer que dois vetores são iguais quando eles possuírem mesmo módu-
lo, mesma direção e mesmo sentido.
3.2 Adição de vetores
Imagine que queiramos somar os três vetores abaixo: 
 
Pelo método do polígono, vamos enfileirando os vetores, tomados ao acaso, fazendo coincidir 
a origem de um vetor com a extremidade do anterior. Veja como fazer: 
 
O vetor soma (ou resultante) terá origem na origem do primeiro e extremidade na extremi-
dade do último vetor. 
 
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Apesar deste método ser gráfico, podemos identificar perfeitamente o módulo do vetor resultante.
 
3.3 Método do paralelogramo
Este método somente pode ser empregado para somarmos vetores de dois a dois. Vamos 
somar os dois vetores da figura seguinte: 
 
Inicialmente devemos fazer coincidir as origens dos dois vetores. Note que os dois vetores 
formam entre si um ângulo θ. 
 
A partir da extremidade de um dos vetores, traçamos uma reta paralela ao outro. 
 
O vetor soma (ou resultante) terá origem na origem comum dos dois vetores e extremidade 
no encontro das paralelas traçadas. 
 
O módulo do vetor resultante é dado pela expressão: 
R a b a b= + +2 2 2. . .cosθ
OBSERVAÇÃO:
a) Quando θ = 0º, temos vetores com a mesma direção e mesmo sentido. R = a + b (esta é 
a maior resultante entre dois vetores); 
b) Quando θ = 180º, temos vetores com a mesma direção e sentidos opostos. R = a - b (se 
a > b). Esta é a menor resultante entre dois vetores; 
c) Quando θ = 90º, os vetores são perpendiculares entre si: 
 R a b= +
2 2
 
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3.4 Método analítico
Outra maneira de obtermos o vetor resultante de uma composição vetorial, é a utilização do 
procedimento algébrico. Através deste procedimento, podemos aplicar a lei dos senos e a lei dos 
cossenos, seguindo o roteiro abaixo: 
a) Redesenhe uma metade do paralelogramo para ilustrar o triângulo de vetores, mostrando 
a adição das componentes pelo método do paralelogramo; 
b) O módulo e a força resultante podem ser determinados a partir da lei dos cossenos. A 
direção pode ser determinada utilizando a lei dos senos; 
c) Os módulos das componentes de uma força podem ser determinados a partir da lei dos 
senos. 
3.5 Lei dos senos
 
3.6 Lei dos coossenos
 C A B A B c= + −
2 2 2. . .cos
3.7 Subtração de vetores: vetor oposto (simétrico)
Na figura abaixo, representamos um vetor qualquer. 
 
Definiremos como sendo um vetor oposto (representação: - ) de , um vetor que tenha 
mesmo módulo de , mesma direção de e sentido oposto ao de a. A figura nos mostra o vetor 
original e o seu oposto. 
 
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3.8 Método de subtração
A partir de dois vetores, e , devemos determinar = - . Note que = + 
(- ), ou seja, a subtração entre dois vetores é, na verdade, a soma do primeiro vetor com o oposto do 
segundo. 
Em termos práticos, podemos dizer que, para subtrairmos os vetores e (nesta ordem), 
devemos inverter o sentido do vetor e efetuar uma adição utilizando, para isto, um dos métodos 
estudados. 
3.9 Decomposição de vetores
Anteriormente, através da soma ou composição, obtínhamos um único vetor a partir de dois 
outros. Agora, pela decomposição, a partir de um vetor, podemos obter outros dois. Estudaremos 
a decomposição de um vetor em componentes ortogonais. 
Seja um vetor inclinado de um ângulo αα em relação à horizontal, como mostrado na figura: 
 
Para efetuarmos a decomposição do vetor , devemos inicialmente traçar um sistema de 
eixos cartesianos de tal forma que a sua origem coincida com a do vetor. 
 
Da extremidade do vetor desenhamos duas retas, uma paralela ao eixo x e outra paralela 
ao eixo y. As interseções entre as retas desenhadas e os eixos cartesianos determinam as compo-
nentes ortogonais do vetor . 
 
Podemos entender estas projeções como sendo pedaços do vetor desenhados nos eixos 
cartesianos. Os módulos destas componentes são: 
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4 IDEALIZAçÕES SIMPLIFICADORAS
Existem hipóteses importantes em Resistência dos Materiais e que devem ser conhecidas 
para aplicação das equações a serem apresentadas posteriormente. São elas:
1) o corpo analisado é isotrópico, ou seja, possui propriedades idênticas em todas as dire-
ções e orientações. Contra-exemplo: madeira (um pedaço de madeira é mais resistente na direção 
de suas fibras do que em outras direções);
2) o corpo analisado é contínuo, ou seja, o corpo em análise não possui cavidades ou espa-
ços vazios de qualquer espécie em sua estrutura (ocorre uma distribuição uniforme da matéria);
3) o corpo asalisado é homogêneo, ou seja, apresenta propriedades idênticas em todos os 
pontos de sua estrutura. Contra-exemplo: cimento (sendo o cimento uma mistura de diversos ma-
teirais, existem pontos mais resistentes do que outros). Enquanto materiais comuns na engenharia 
como aço, ferro fundido e alumínio satisfazem aparentemente estas condições se observados ma-
croscopicamente, não apresentam qualquer homogeneidade ou características isotrópicas quando 
vistos através de um microscópio. Isto ocorre em função dos seguintes fatores:
a maioria dos metais é constituído de mais de uma fase, com propriedades mecânicas ∙
variadas;
os metais, mesmo que monofásicos, possuem segregações químicas, de modo que as ∙
propriedades não são idênticas a cada ponto;
os metais são constituídos de grãos cristalinos, possuindo propriedades variadas em dire- ∙
ções cristalográficas diferentes;
descontinuidades estruturais podem ser encontradas em peças fundidas ou peças obtidas ∙
por metalurgia do pó, caracterizando defeitos como vazios e discordâncias, etc.
Deve-se ressaltar finalmente que, apesar dos fatores acima listados, a Resistência dos Ma-
teriais utiliza equações que supõem as hipóteses simplificadoras, ou seja, equações simplificadas 
que desprezam os fatores acima, entre outros. 
Isto se deve ao fato das análises serem feitas no nível macroscópico e à utilização dos cha-
mados “coeficientes de segurança”.
4.1 Componentes de modelos
São modelos utilizados na mecânica de modo a facilitar a aplicação da teoria. Algumas das 
idealizações mais importantes serão definidas a seguir: 
— Partícula: uma partícula tem uma massa, porém suas dimensões são desprezíveis. Por 
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exemplo, o tamanho da terra é insignificante quando comparado às dimensões de sua órbita, e por-
tanto a terra pode ser modelada como uma partícula no estudo de seu movimento orbital. Quando 
um corpo é idealizado como uma partícula, os princípios da mecânica são reduzidos a formas sim-
plificadas, uma vez que a geometria do corpo não será envolvida na análise do problema. 
— Corpo rígido: um corpo rígido pode ser considerado como a combinação de um grande 
número de partículas que permaneçam a distâncias fixas entre si antes e depois da aplicação de 
uma carga. Como resultado, as propriedades materiais de qualquer corpo admitido como rígido não 
devem ser consideradas na análise das forças que atuam sobre esse corpo. Em vários problemas, 
as deformações reais ocorrentes em estruturas, máquinas, mecanismos e similares são relativa-
mente pequenas, tornando válida para análise a hipótese de corpo rígido. 
— Força concentrada: uma força concentrada representa o efeito de uma carga considerada 
atuante em um ponto de um corpo. Podemos representar uma carga por força concentrada, uma vez 
que a área sobre a qual ela atua é muito pequena se comparada ao tamanho do corpo. Um exemplo 
de força concentrada poderia ser a força de contato entre uma roda de uma bicicleta e o solo.
— Peso: quaisquer duas partículas ou corpos apresentam forças de atração mútuas (gravita-
cionais) atuantes entre si. Entretanto, no caso de uma partícula localizada na superfície da terra, ou 
próxima a ela, existe uma única força gravitacional de módulo significativo que age entre a terra e a 
partícula. A esta força damos o nome de peso. Podemos desenvolver uma expressão aproximada 
para encontrarmos o peso de uma partícula. Se admitirmos a terra como uma esfera que não gira, 
tendo uma densidade e massa de partícula constantes, temos: 
O termo g é denominado aceleração devido à gravidade. Para muitas análises, g é determina-
do ao nível do mar e a uma latitude de 45º, posição considerada como padrão (ou local padrão).
4.2 As três leis do movimento de Newton
Todos os preceitos da mecânica de corpos rígidos são formalizados com base nas três leis 
de movimento de Newton, cuja validade é assegurada por observações experimentais. Estas leis se 
aplicam aos movimentos de partículas medidos a partir de um sistema de referência sem aceleração. 
Relativamente elas podem ser estabelecidas, em poucas palavras conforme descrito a seguir: 
4.2.1 Primeira lei
Uma partícula originalmente em repouso, ou movendo-se 
em uma linha reta com velocidade constante, permanecerá nes-
te estado de movimento desde que não seja submetida a ação 
de uma força desbalanceadora. 
 
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4.2.2 Segunda lei
Uma partícula sob a ação de uma força desbalanceadora F fica sujeita a uma aceleração a na 
mesma direção e sentido da força, e módulo diretamente proporcional à força. A força desbalance-
adora que atua sobre uma partícula é proporcional à taxa de mudança com o tempo da quantidade 
de movimento linear da partícula. Se a força F é aplicada a uma partícula de massa m, esta lei pode 
ser expressa matematicamente como: 
 
4.2.3 Terceira lei
As forças mútuas de ação e reação entre duas partículas são iguais em módulo, sentidos 
opostos e colineares. 
 
5 uNIDADES DE MEDIDA
As quatro unidades básicas (comprimento, tempo, massa e força) não são totalmente in-
dependentes entre si. Na verdade, elas estão relacionadas pela segunda lei de Newton do movi-
mento. Graças a esta relação, as unidades utilizadas para definir estas quantidades não podem 
ser escolhidas arbitrariamente. A igualdade somente será mantida se três das quatro 
unidades (denominadas unidades básicas) forem definidas a partir de uma quarta unidade, obtida 
pela equação básica. 
5.1 unidades do SI (Sistema Internacional)
O Sistema Internacional de unidades, abreviado por SI, é uma versão moderna do sistema 
métricoque recebeu reconhecimento internacional. O SI estabelece o comprimento em metros (m), 
o tempo em segundos (s) e a massa em quilogramas (kg). A unidade de força, chamada Newton (N), 
é derivada de . Assim, 1 Newton é igual à força necessária para impor a 1 quilograma 
de massa uma aceleração de 1 m/s² (N = kg.m/s²). Se o peso de um corpo, no local padrão, deve 
ser determinado em Newtons, para efeito de cálculos, podemos dizer que o valor de vale 9,81 
m/s2². Portanto, um corpo com massa de 1 kg tem um peso de 9,81 N; um corpo de 2 kg pesa 
19,62 N e assim por diante. 
As seguintes grandezas merecem destaque, pois são utilizadas para os estudos básicos de 
Resistência dos Materiais:
— Comprimento: o comprimento é necessário para localizar a posição de um ponto no es-
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paço, descrevendo assim a dimensão do sistema físico. Uma vez definida uma unidade padrão de 
comprimento, podemos definir quantitativamente as distâncias e as propriedades geométricas de 
um corpo como múltiplos dessa unidade de comprimento. 
— Tempo: o tempo é definido como uma sucessão de eventos. Embora os princípios da está-
tica sejam independentes do tempo, esta quantidade tem uma função muito importante no estudo 
da dinâmica. 
— Massa: a massa é uma propriedade da matéria pela qual podemos comparar a ação de 
um corpo com a de outro. Esta propriedade se manifesta como uma atração gravitacional entre dois 
corpos e fornece uma medida quantitativa da resistência da matéria a mudanças de velocidade. 
— Força: em geral, a força é considerada como sendo um empurrão ou um puxão de um cor-
po sobre o outro. Esta interação pode ocorrer quando existe contato direto entre os corpos, como o 
caso de uma pessoa empurrando um carrinho, ou quando existe uma distância de separação entre 
os corpos. Neste último caso, podemos citar como exemplo as forças gravitacionais, as forças elé-
tricas ou as forças magnéticas. Em quaisquer dos exemplos, a força é completamente caracterizada 
pelo seu módulo, direção, sentido e ponto de aplicação. 
A tabela abaixo mostra as principais unidades utilizadas na mecânica:
Grandeza unidade Símbolo Fórmula
Aceleração Metro por segundo, por segundo ... m / s2
Ângulo plano Radiano rad *
Aceleração angular Radiano por segundo, por seg. ... rad/s2
Área Metro quadrado ... m2
Comprimento Metro m **
Energia Joule J N.m
Força Newton N kg.m/s2
Frequência Hertz Hz s-1
Impulso Newton - segundo ... N.s
Momento de inércia Quilograma-metro quadrado ... Kg.m2
Momento linear*** Quilograma-metro por segundo ... Kg.m/s
Momento angular Quilograma-metro quadrado por segundo ... Kg.m2/s
Massa Quilograma kg **
Massa específica Quilograma por metro cúbico ... Kg.m3
Momento de uma força, Torque Newton-metro ... N.m
Potência, fluxo de energia Watt W J/s
Pressão Pascal Pa
Tensão Pascal Pa N/m2
Tempo Segudo s **
Trabalho Joule J N.m
Velocidade Metro por segundo ... m/s
Velocidade angular Radiano por segundo ... rad/s
Volume , sólidos Metro cúbico ... m3
Volume, líquidos Litro l 10-3m3
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5.2 unidades do sistema FPS
Nos Estados Unidos, um sistema de unidades ainda bastante usado é o FPS, em que o com-
primento é expresso em pés (ft), a força em libras (Lb) e o tempo em segundos (s). A unidade de 
massa, denominada slug, também é derivada de F = m . a. Assim, 1 slug é igual à quantidade de 
matéria acelerada em 1 ft/s² quando sobre ela age uma força de 1 Lb (slug=Lb.s/ft²). 
Sistema Comprimento Tempo Massa Força 
SI Metro (m) segundos (s) quilograma (kg) Newton (N) 
FPS Pé (ft) segundos (s) slug libra (Lb) 
Para determinarmos a massa de um corpo com um peso medido em libras no FPS, devemos 
considerar o valor de g como sendo 32,2 ft/s2. Assim, um corpo pesando 32,2 Lb tem uma massa 
de 1 slug, um corpo de 64,4 Lb tem uma massa de 2 slugs e assim por diante. 
5.3 Conversão de unidades
A tabela seguinte fornece um conjunto de fatores de conversão diretos entre as unidades do 
sistema FPS e do SI para as quantidades básicas. Devemos lembrar também que, para o sistema 
FPS, 1 ft=12 in (polegadas), 5280 ft=1 mi (milha), 1000 Lb=1 Kip (quilolibras) e 2000 Lb=1 ton 
(tonelada). Veja o quadro comparativo: 
Quantidade unidade de medida do 
FPS 
Equivalência unidade de medida no 
SI 
Força 1 Lb igual a 4,4482 N 
Massa 1 slug igual a 14,5938 kg 
Comprimento 1 ft igual a 0,3048 m 
O sistema SI de unidades será utilizado extensivamente nos nossos estudos, tendo em vista 
sua tendência de uso como sistema padrão de medidas. Conseqüentemente, suas regras de utili-
zação e algumas de suas terminologias importantes serão apresentadas a seguir. 
5.4 Prefixos
Quando um valor numérico é muito grande ou muito pequeno, as unidades utilizadas para de-
fini-lo podem ser modificadas pelo uso de prefixos. Alguns dos prefixos utilizados no SI são mostra-
dos na tabela a seguir. Cada um representa um múltiplo ou submúltiplo da unidade que, se aplicado 
sucessivamente, move a vírgula de um valor numérico de três em três casas (o quilograma é a única 
unidade básica definida com o prefixo). Por exemplo, 4.000.000 N = 4.000 KN (quilonewtons) = 4 
MN (meganewtons); 0,005 m = 5 mm (milímetros). Note que o SI não inclui o múltiplo deca (10) ou 
o submúltiplo centi (0,01), que fazem parte do sistema métrico. Exceto para algumas medidas de 
volume e área, a utilização destes prefixos deve ser evitada sempre que possível. 
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Nome Símbolo Fator de multiplicação
hexa E 1018=1 000 000 000 000 000 000
peta P 1015=1 000 000 000 000 000
tera T 1012=1 000 000 000 000
giga G 109=1 000 000 000
mega M 106=1 000 000
quilo k 103=1 000
hecto h 102=100
deca da 10
deci d 10-1=0,1
centil c 10-2=0,01
mili m 10-3=0,001
micro µ 10-6=0,000 001
nano n 10-9=0,000 000 001
pico p 10-12=0,000 000 000 001
femto f 10-15=0,000 000 000 000 001
atto a 10-18=000 000 000 000 000 000 1
 
5.5 Regras de utilização
As regras a seguir são fornecidas para a utilização apropriada dos vários símbolos do SI. 
1. Um símbolo nunca é escrito no plural s, pois ele pode ser confundido com a unidade de 
segundos (s). 
2. Os símbolos são sempre escritos em letras maiúsculas, com as seguintes exceções: sím-
bolos para os maiores prefixos e símbolos representando nomes de pessoas. Exemplo: (N) Newton, 
(G) Giga. 
3. Quantidades definidas por várias unidades que são múltiplas umas das outras são separa-
das por um ponto para evitar conflitos com a notação de prefixos, conforme indicado em N = kg.m/
s2² = kg.g.s-2. Outro exemplo é m.s (metro por segundo), que é diferente de ms (milissegundo). 
4. O expoente representado em uma unidade com prefixo refere-se tanto à unidade quanto ao 
seu prefixo. Por exemplo, µµN2²=(µN)2²= µµN.µN. Da mesma forma, mm2² representa:
 (mm)2²= mm.mm. 
5. Constantes físicas ou números com vários dígitos, de ambos os lados da vírgula, serão repre-
sentados com um ponto entre cada três dígitos em vez de vírgula, por exemplo: 773.569.223.427. 
No caso de quatro dígitos em cada lado da vírgula, o ponto é opcional, isto é, 8537 ou 8.537. De 
qualquer forma, procure utilizar décimos e evitar frações, isto é, sempre escreva 15,25 em vez de 
15 ¼ . 
6. Ao efetuar os cálculos, represente os valores em termos de suas unidades básicas ou 
suas derivadas, convertendo todas em potência de 10. O resultado final poderá, assim, ser expres-
so utilizando um único prefixo. Após a realização dos cálculos, também é mais apropriado manter-
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21
mos valores numéricos entre 0,1 e 1000; para valores fora deste intervalo, um prefixo apropriado 
deve ser utilizado. Por exemplo: 
(50KN).(60nm)=[50.(103)N].[60.(10-9)m]=3000.(10-6)N.m=3.(10-3)N.m=3mN.m 
7. Prefixos compostos não devem ser utilizados, por exemplo: Ks (quilomicrossegundo). Nes-
te caso,poderíamos expressar o resultado em ms (milissegundos), uma vez que: 
1 Kµs=1.(103).(10-6)s=1.(10-3)s=1 ms. 
8. Com exceção da unidade básica quilograma, em geral, evite o uso de um prefixo no deno-
minador de uma unidade composta. Por exemplo, não escreva N/mm, mas sim KN/m. Evite m/mg, 
substitua por Mm/kg. 
9. Embora não sejam expressos em múltiplos de 10, o minuto, a hora, etc são mantidos, 
para efeito prático, como múltiplos do segundo. Além disto, uma medida angular plana é feita utili-
zando o radiano (rad). Nesta apostila, entretanto, utilizaremos o grau freqüentemente. Saiba que: 
180º=Π rad ; 360º=2Ππ rad.
6 TENSãO
6.1 Força normal
Define-se como força normal ou axial aquela força que atua perpendicularmente (ou normal) 
sobre a área de uma seção transversal de uma peça. 
 
6.2 Tensão de tração e compressão
Podemos afirmar que uma peça está submetida a esforço de tração ou compressão quando 
uma carga normal F atuar sobre a área de seção transversal da peça, na direção do eixo longitu-
dinal. Quando a carga atuar com o sentido dirigido para o exterior da peça (puxando), a mesma 
estará tracionada. Quando o sentido de carga estiver dirigido para o interior da peça (apertando), 
a mesma estará comprimida. 
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22
 
6.3 Tensão normal (Σ)
A carga normal F, que atua na peça, provoca na mesma uma tensão perpendicular (normal) 
que é determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada e a área de seção 
transversal da peça. A expressão matemática que define o valor da tensão normal é: 
 
 
σ =
F
A
Onde:
σ = tensão normal. Sua unidade padrão é o Pa (Pascal).
F = força normal ou axial. Sua unidade padrão é o N (Newton).
A = área da seção transversal da peça. Sua unidade padrão é o m2.
6.4 Tensão de cisalhamento (T)
Definimos tensão de cisalhamento como sendo a intensidade média da força por unidade de 
área atuante na direção tangente a área de seção transversal de uma peça. A expressão matemá-
tica que define o valor da tensão cisalhante é: 
 
 
τ =
V
A 
τ = tensão cisalhante. Sua unidade padrão é o Pa (Pascal). 
V = força cortante. Sua unidade padrão é o N (Newton). 
A = área da seção transversal da peça. Sua unidade padrão é o m2. 
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OBSERVAÇÃO:
a) Cisalhamento simples: ocorre quando temos duas juntas sobrepostas e apenas uma 
área sujeita ao corte. As espessuras dos componentes são consideradas finas e o atrito entre as 
partes pode ser desprezado; 
b) Cisalhamento duplo: ocorre quando temos duas ou mais juntas sobrepostas e mais de 
uma área sujeita ao corte. A força cortante atua em cada área presente na conexão dos compo-
nentes.
 
6.5 Tensão admissível (σadm)
É a tensão ideal de trabalho para o material nas circunstâncias de aplicação. Geralmente esta 
tensão deve ser mantida na região de deformação elástica do material. Porém, existem situações 
em que a tensão admissível deverá estar na região de deformação plástica do material, visando 
à redução do peso da estrutura, como acontece nos aviões, foguetes, etc. Trataremos apenas o 
primeiro caso, pois ocorre com maior freqüência na prática. 
A tensão admissível é determinada através da relação entre tensão de escoamento (e), coe-
ficiente de segurança (K) e tensão de ruptura (σr). Matematicamente, podemos expressar a tensão 
admissível pelas seguintes fórmulas: 
a) Para materiais dúcteis: 
 
 
σ
σ
adm
e
K
=
b) Para materiais frágeis: 
 
 
σ
σ
adm
r
K
=
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24
OBSERVAÇÃO:
a) Material dúctil é aquele que, ao ser submetido a um ensaio de tração, apresenta defor-
mação plástica (irreversível) precedida por um deformação elástica (reversível) antes de romper-se. 
São exemplos de materiais dúcteis: aço, alumínio, cobre, bronze, latão, níquel; 
b) Material frágil é aquele que, ao ser submetido a um ensaio de tração, não apresenta 
deformação plástica, passando da deformação elástica para o rompimento. São exemplos de ma-
teriais frágeis: concreto, vidro, cerâmica, gesso, cristal, acrílico.
 
7 COEFICIENTE DE SEGuRANçA (K)
O coeficiente de segurança é sempre representado por um número maior do que 1, que 
pode ser obtido através de uma tabela técnica de engenharia ou fornecido pela norma de projeto 
do componente em fabricação. Sua utilização é baseada no dimensionamento dos elementos de 
construção, visando a assegurar o equilíbrio entre qualidade e custo. Podemos também determinar 
o coeficiente de segurança em função dos três tipos de cargas abaixo: 
a) Carga estática: é aquela carga aplicada na peça e que permanece constante. Exemplo: 
um parafuso de fixação de uma luminária. 
b) Carga intermitente: é aquela carga aplicada gradativamente na peça, fazendo com que 
seu esforço atinja os valores máximos, após transcorrido determinado tempo. Ao atingir o ponto 
máximo, a carga é retirada gradativamente no mesmo intervalo de tempo gasto para atingir os valo-
res máximos, fazendo com que a tensão retorne a zero. Esta aplicação de carga ocorre de maneira 
sucessiva. Exemplo: o dente de uma engrenagem durante seu trabalho; 
c) Carga alternada: neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia do ponto má-
ximo positivo para o ponto máximo negativo ou vice-versa, constituindo a pior situação para um 
material. Exemplo: eixos, molas, amortecedores. 
Para determinar o coeficiente de segurança em função das situações apresentadas, devemos 
utilizar a seguinte expressão: 
K = x . y . z . w; onde: 
Valores para x (fator do tipo de material):
x = 2 para materiais comuns.
x = 1,5 para aços de qualidade superior e aço liga.
Valores para y (fator do tipo de solicitação):
y = 1 para carga constante.
y = 2 para carga intermitente.
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25
y = 3 para carga alternada.
Valores para z (fator do tipo de carga):
z = 1 para carga gradual.
z = 1,5 para choques leves.
z = 2 para choques bruscos.
Valores para w (fator para falhas de fabricação):
w = 1 a 1,5 para aços.
w = 1,5 a 2 para ferro fundido.
7.1 Pressão de contato
No dimensionamento de juntas rebitadas, parafusadas, de pinos, chavetas, etc torna-se ne-
cessária a verificação da pressão de contato entre o elemento e a parede dos furos nas chapas 
ou nas juntas. Quando a força cortante V atua na junta, esta tende a cisalhar a seção de área A-A, 
conforme a figura abaixo: 
 
Ao mesmo tempo, cria um esforço de compressão entre o elemento (parafuso ou rebite) e a 
parede do furo (região AB ou AC). A pressão de contato, que pode acarretar esmagamento do ele-
mento e da parede do furo, é definida através da relação entre a carga de compressão atuante e a 
área de seção longitudinal do elemento, que é projetada na parede do furo. 
7.2 Tensão de esmagamento (ΣD)
É determinada pela seguinte expressão: 
 
 
σd
V
n A
=
.
σd = tensão de esmagamento. Sua unidade padrão é o Pascal (Pa)
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26
V = força cortante (tangencial). Sua unidade padrão é o Newton (N).
n = número de áreas sujeitas ao corte.
A = área projetada. Sua unidade é o m2.
OBSERVAÇÃO:
a) Tenha atenção especial ao analisar a área projetada. Seu valor é determinado conforme o 
sentido da força cortante; 
b) Em geral, a tensão admissível de cisalhamento recomendável está entre 0,6 e 0,8 da ten-
são admissível normal. 
8 FADIGA
Quando um material está sujeito a ciclos repetidos de tensões ou deformações, podemos es-
peraruma quebra em sua estrutura, o que conduz à sua fratura. Este comportamento é denominado 
fadiga e é usualmente responsável por um grande percentual de falhas, por exemplo, nas bielas e 
manivelas de um motor, nas pás de turbinas a gás ou a vapor, nas conexões ou suportes de pontes, 
eixos e outras partes sujeitas a carregamentos cíclicos. Em todos estes casos, a fratura ocorrerá 
em um nível de tensão abaixo da tensão de escoamento do material.
Aparentemente esta falha ocorre devido ao fato de que existem regiões microscópicas, geral-
mente na superfície do elemento, onde a tensão localizada torna-se muito maior do que a tensão 
média atuante ao longo da seção transversal do elemento. Sendo esta tensão cíclica, ela provoca 
o aparecimento de micro-trincas. A ocorrência dessas trincas causa um aumento na tensão em seu 
contorno, fazendo com que se estendam para o interior do material enquanto a tensão continua a 
ser ciclicamente aplicada. Eventualmente, a área de seção transversal do elemento é reduzida ao 
ponto de não mais resistir à carga, resultando na fratura súbita do elemento. Assim, um material 
reconhecido originalmente como dúctil, comporta-se como se fosse frágil. 
Para especificarmos uma resistência segura para um material metálico sujeito a um carrega-
mento repetido, é necessário determinarmos um limite abaixo do qual não seja detectada qualquer 
evidência de falha após a aplicação do carregamento por um número definido de ciclos. Esta tensão 
limite é denominada limite de fadiga. Utilizando uma máquina de testes específica, uma série de 
corpos de prova é submetida a uma tensão específica cíclica até sua falha. Os valores são, então, 
colocados num gráfico, onde o eixo x representa o número de ciclos até a falha e o eixo y representa 
as tensões aplicadas ao material. 
Os valores típicos do limite de resistência à fadiga para vários materiais empregados em 
construções mecânicas são normalmente listados em manuais e em normas técnicas. Uma vez ob-
tido um valor particular do limite de fadiga, admite-se que, geralmente, para qualquer tensão abaixo 
deste valor, a vida do material será infinita e, portanto, o número de ciclos para o material falhar 
não será levado em consideração. 
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9 FLEXãO 
9.1 Momento de uma força (M)
Uma força aplicada a um corpo pode produzir nele uma rotação quando possui uma compo-
nente perpendicular ao seu eixo de aplicação. Esta característica pode ser encontrada no nosso dia 
a dia. Por exemplo, ao fecharmos uma porta, estamos empurrando-a (aplicando uma força) numa 
direção praticamente perpendicular a sua área. Podemos verificar que, quanto mais distante da 
dobradiça aplicarmos a força, mais facilmente a porta efetuará o movimento de rotação. 
No exemplo citado acima, dizemos que a força aplicada na porta criou um momento (M), que é 
responsável pelo movimento de rotação da porta. A figura seguinte mostra uma barra que está presa 
a uma parede por meio de uma articulação. Como o peso da barra é vertical e para baixo, podemos 
dizer que sua tendência é girar no sentido horário em relação ao ponto O. Em outras palavras, o 
peso gera um momento no sentido horário, fazendo a barra adquirir um movimento rotacional
 
Se quisermos manter a barra em repouso na posição horizontal, devemos aplicar uma força 
→que tenha uma componente perpendicular à barra para gerar um momento no sentido anti- ho-
rário de igual intensidade ao momento criado pelo peso da barra. É fácil notarmos que o esforço 
para sustentar a barra será menor se a força for aplicada à direita de seu peso. 
 
A próxima figura servirá de exemplo para que possamos definir matematicamente o momento 
de uma força. Observe que uma força está sendo aplicada na barra que está presa na parede. Esta 
força comprime a barra contra a parede (por causa de sua componente .cos θ), e ao mesmo tem-
po tende a girar a barra no sentido anti-horário (pela ação da componente .sen θ). A distância L 
é a medida do ponto de aplicação da força até o ponto de rotação da barra. 
 
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28
A definição do momento de uma força leva em consideração a decomposição do vetor força 
em x e y, conforme antes mencionado. De maneira simplificada, podemos calcular o módulo desta 
grandeza aplicando a equação: 
Mo = ( .sen θ).L
onde: 
Mo = momento em relação ao ponto.
( .sen θ) = componente normal da força no eixo y.
L = distância da aplicação da força.
Note bem que, para calcularmos o momento, a força aplicada deve ser perpendicular à barra. 
Nos casos em que a força estiver sendo aplicada com determinada inclinação, é preciso decompor 
a força. A unidade padrão do momento é N.m (Newton x metro). 
Quando várias forças são aplicadas em um mesmo corpo, podemos calcular o momento re-
sultante conforme os seguintes procedimentos: 
a) Escolher um ponto arbitrário de rotação, em relação ao qual serão calculados os momen-
tos; 
b) Calcular isoladamente o momento de cada força aplicada em relação ao ponto escolhido, 
mostrando qual a tendência de rotação; 
c) Executar o somatório de todos os momentos gerados no sentido horário; 
d) Executar o somatório de todos os momentos gerados no sentido anti-horário;
e) Efetuar a subtração do momento total no sentido horário pelo momento total no sentido 
anti-horário (ou vice-versa, dependendo de qual for o maior). O momento resultante terá o valor 
encontrado desta subtração, e seu sentido de giro (horário ou anti-horário) será igual ao sentido do 
momento total maior.
9.2 Reações de apoio 
As forças de superfície desenvolvidas nos apoios ou pontos de contato entre os corpos são 
chamadas de reações. Nos problemas onde os corpos estão sujeitos a forças bidimensionais, os 
apoios mais encontrados na prática são mostrados na tabela seguinte. Observe cuidadosamente 
o símbolo utilizado para representar cada apoio e os tipos de reações que ele exerce sobre os ele-
mentos em contato com ele. Em geral, podemos sempre determinar o tipo de reação de um apoio 
imaginando o elemento a ele conectado e girando em uma determinada direção. Por exemplo, um 
apoio com roletes restringe apenas a rotação na direção de contato, isto é, perpendicularmente à 
superfície. Logo, o rolete exerce uma forca normal F sobre o elemento no ponto de contato. Uma 
vez que o elemento pode girar livremente em relação ao rolete, não será desenvolvido um momento 
sobre ele. 
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29
 
9.3 Condições de equilíbrio
Um corpo extenso que possui um momento resultante diferente de zero apresentará um 
movimento de rotação em que o módulo da velocidade varia. Já vimos que a intensidade deste mo-
mento resultante é o módulo da diferença entre o momento total no sentido horário e o momento 
total no sentido anti-horário. 
Para que um corpo extenso qualquer fique em equilíbrio estático, é necessário que ele não 
possua movimento de translação e nem movimento de rotação. As duas condições de equilíbrio 
podem, então, ser expressas da seguinte forma: 
Σ Σ F = 0
Σ Σ Mo = 0 
9.4 Momento fletor (Mf)
Observe o que acontece com a seguinte estrutura ao receber um determinado carregamento. 
As fibras superiores do material estão sendo comprimidas, enquanto que as fibras inferiores estão 
sendo tracionadas. 
 
Podemos definir momento fletor (Mf) da seção x como a soma algébrica dos momentos em 
relação a x de todas as forças Fx que precedam ou que sigam a seção. Observe o seguinte exem-
plo: 
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30
 
Neste carregamento, o momento fletor em relação a x é dado por: 
Mf = (F1 . a) - (F3 . b) + (F2 . c) 
O procedimento de análise utilizado consiste basicamente em determinar como varia o mo-
mento fletor ao longo de uma estrutura, obtendo seu valor máximo através das condições básicas 
de equilíbrio. Partindo deste princípio,fazemos o mesmo com a força cortante, encontrando tam-
bém seu valor máximo. Deste método terão origem dois diagramas, um para momento fletor e outro 
para força cortante. Primeiramente, algumas regras devem ser observadas: 
1) Consideramos uma estrutura sujeita a flexão pura somente se o valor do momento for di-
ferente de zero e o valor da força cortante for igual a zero (M ≠≠ 0 e V = 0); 
2) Consideramos uma estrutura sujeita a flexão simples somente se o valor do momento e da 
força cortante forem diferentes de zero (M ≠ 0 e V ≠ 0); 
3) Por convenção, a parte esquerda da estrutura é tomada como a origem do plano de coor-
denadas, gerando valores de x positivos para a direita. Observamos tais valores para determinar 
as equações matemáticas que expressam a variação do momento e da força cortante; 
 
4) Se tomarmos o lado esquerdo da estrutura, a força cortante será direcionada para baixo 
(↓) e o momento fletor terá sinal positivo (sentido anti-horário); 
 
5) Se tomarmos o lado direito da estrutura, a força cortante será direcionada para cima (↑) 
e o momento fletor terá sinal negativo (sentido horário); 
 
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31
6) Em estruturas sujeitas a cargas concentradas, o momento fletor varia linearmente ao longo 
dos trechos descarregados. Para traçarmos um diagrama basta calcular os momentos fletores nas 
seções em que são aplicadas as forças e unir os valores por meio de retas. 
7) A seção mais solicitada é aquela em que o momento fletor é máximo. 
 
9.5 Módulo de resistência à flexão (Wf)
Como já vimos, a flexão é a solicitação que tende a modificar o eixo geométrico de uma peça, 
tanto em compressão quanto em tração. Dependendo do tipo de seção e de sua posição relativa, 
podemos ter maior ou menor facilidade em alterar tal eixo. Observe a seguinte figura: 
 
Note que, dependendo do modo como posicionamos a chapa, podemos empregar maior ou 
menor resistência em alterar a linha de centro geométrica x. Definimos então o módulo de resistên-
cia à flexão como: 
Wf = (b . h2²) / 6 (para figuras planas). 
Wf = (Π . d3³) / 32 (para figuras cilíndricas). 
A unidade padrão para o módulo de resistência à flexão é o m3³. 
OBSERVAÇÃO:
Quanto maior for o módulo de resistência a flexão, maior será a resistência da peça em flexionar-se. 
9.6 Tensão na flexão (ΣF)
No dimensionamento de peças sujeitas à flexão, como o caso de vigas estruturais e eixos 
de máquinas, consideramos que as deformações estão sempre compreendidas dentro do regime 
elástico do material. Aplicamos a fórmula de tensão nas seções críticas, sujeitas ao rompimento 
por fadiga. Matematicamente, a tensão na flexão pode ser determinada por: 
σ
f
 = M
f
 / W
f
onde: 
σ
f
 = tensão na flexão 
M
f 
 = momento fletor 
W
f 
 = módulo de resistência à flexão 
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32
10 TRELIçAS
Uma treliça é uma estrutura composta de elementos esbeltos unidos uns aos outros por meio 
de rótulas em suas extremidades. As ligações entre os elementos são geralmente formadas pelo 
aparafusamento ou soldagem de suas extremidades em uma chapa de reforço, ou simplesmente 
atravessando cada um dos elementos com um parafuso ou pino. Estes pontos onde ocorre a união 
dos elementos recebem o nome de nós. Para compreendermos uma treliça, é necessário inicial-
mente que conheçamos a força desenvolvida em cada um de seus elementos quando a mesma es-
tiver submetida a um carregamento conhecido. Para isso, devemos conhecer duas regras básicas: 
1) Todas as cargas devem ser aplicadas nos nós; 
2) Os elementos são unidos nos nós através de pinos considerados lisos. Assim, cada ele-
mento estará, por convenção, recebendo apenas uma força de tração ou a força de compressão. 
10.1 Método dos nós
Pelo fato dos elementos de uma treliça serem todos retilíneos e apoiarem-se num mesmo 
plano, as forças atuantes em cada nó são coplanares e concorrentes. Conseqüentemente, o equi-
líbrio dos momentos deverá ser atendido em cada nó, devendo satisfazer às seguintes condições 
para haver equilíbrio: 
Σ ΣFx=0 
Σ ΣFy=0 
Ao utilizar o método dos nós, é necessário primeiro construir o diagrama de corpo livre (DCL) 
dos nós, antes de aplicar as condições de equilíbrio. Para isto, lembre-se que a linha de ação da 
força de cada elemento atuante sobre o nó é definida a partir da geometria da treliça, pois a força 
em um elemento tem a direção de seu eixo geométrico. 
Método de Análise:
1) Determinar as forças atuantes em cada elemento; 
2) Aplicar o diagrama de corpo livre (DCL) para cada nó, supondo que estão em equilíbrio. Esta 
condição de equilíbrio é satisfeita obtendo-se Σ ΣFx=0 e ΣFy=0. 
3) A linha de ação da força sempre segue sua forma ou linha geométrica; 
4) Devemos sempre admitir que as forças desconhecidas estão puxando o nó. Se ao final 
dos cálculos encontrarmos valores positivos, a força será de tração. Se encontrarmos valores 
negativos, a força será de compressão.
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33
11 MOMENTO TORçOR Ou TORQuE (T)
Uma peça submete-se a um esforço de torção quando nela atua um torque numa de suas 
extremidades, e um contratorque na extremidade oposta. Em outras palavras, se um eixo é sub-
metido a um torque externo, pela condição de equilíbrio, um torque interno também deverá ser 
desenvolvido. O torque é definido através do produto entre a carga F e a distância entre o ponto de 
aplicação da mesma, e o centro da seção transversal da peça. No caso de eixos, temos: 
Mt = 2 . F . L
onde: 
Mt = momento torçor em N.m. 
F = carga aplicada em Newton. 
L = distância entre o ponto de aplicação da carga e o núcleo da seção transversal, em me-
tros. 
Quando temos mecanismos acionados por motores, polias, rodas de atrito ou engrenamen-
tos, a expressão matemática que determina o torque pode ser assim escrita: 
T = P / (2 . Π . f)
onde: 
T = torque. Sua unidade pode ser N.m; KN.m; Lb.in. 
P = potência. Sua unidade é o watt (W). 
f = freqüência. Sua unidade é o hertz (Hz). 
OBSERVAÇÃO:
a) Para converter rotações por minuto (rpm) em hertz (Hz), basta dividir por 60. 
Assim: 
f = n / 60; 
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34
onde: 
f = frequência em hertz
n = rotações por minuto
b) Quando a potência não for fornecida em watt (W), veja algumas equivalências de unida-
des: 
1 hp = 745,7 W 
1 cv = 735,5 W 
1 hp = 550 ft.Lb/s 
1 hp = 6600 in.Lb/s 
 
11.1 Tensão de cisalhamento na torção (Tmax.)
Pode ser determinada através da equação: 
τ Tmax. = (T . R) / J
onde: 
σ
max
 = tensão máxima devido à torção. Sua unidade pode ser N.m; KN.m; Lb.in 
R = raio externo da peça. 
J = momento de inércia da área de seção transversal. 
OBSERVAÇÃO:
a) Para calcularmos J, devemos conhecer a forma geométrica do elemento utilizado no proje-
to. Como exemplo prático, descrevemos a fórmula de J para os seguintes casos: 
-Eixo maciço: J = (Π . R4) / 2; onde: 
R = raio externo. 
-Eixo oco (tubo): J = (Π / 2) . (R4 - r4); onde: 
R = raio externo. 
r = raio interno. 
A unidade de J pode ser o mm, cm, m4, in4. 
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35
11.2 Ângulo de torção (Ø) 
Ocasionalmente o projeto de uma máquina pode depender da limitação do ângulo de torção 
que pode ocorrer quando um eixo estiver submetido a um torque. A expressão matemática que 
determina tal ângulo é: 
Ø = (T . L) / (J . G)
onde: 
Ø = ângulo de torção de uma das extremidades do eixo em relação a outra, medido em radia-
nos. Pode variar de acordo com a forma geométrica da estrutura.
T = torque interno. Sua unidade é o N.m
J = momento de inércia da área de seção transversal. Pode variar de acordo com a forma 
geométrica da estrutura.
G = módulo de elasticidade transversal do material (tabelado).
 
 
11.3 Flambagem 
Uma barra submetida a uma carga axial P pode sofrer um encurvamento lateral, conhecidocomo flambagem. A carga na qual se inicia este fenômeno é determinada como P(fL), e a tensão 
correspondente é determinada como σ(fL). 
 
Devido ao formato, certas barras flambam com mais facilidade do que outras. Este fato pode 
ser expresso através de um número λ (lâmbida), chamado de índice de esbeltez. Assim, uma 
barra mais esbelta (λ de maior valor) flamba com menor tensão, enquanto que uma barra menos 
esbelta (λ de menor valor) flamba com uma tensão maior. Experimentalmente verificou-se que os 
valores da tensão de flambagem σσ(fL) variam conforme o gráfico da página seginte. 
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36
 
OBSERVAÇÃO:
a) σσ(cp) é a tensão de proporcionalidade à compressão; 
b) λ(o) é o índice de esbeltez correspondente à σσ(cp). 
Através deste gráfico, podemos notar que: 
1) Uma barra com λ > λo (muito esbelta) flamba com uma tensão σσ(fL) abaixo da tensão de 
proporcionalidade σσ(cp). 
2) Uma outra barra com λ < λo (pouco esbelta) flamba somente com uma tensão σσ(fL) aci-
ma de σσ(cp). Neste caso pode ocorrer, inclusive, a ruptura do material antes da barra flambar. 
No caso em que λ > λo, o cálculo de σσ(fL) ou P(fL) é feito com a seguinte expressão: 
P(fL) = (�2 . E . J) / Lo2 
σσ (fL) = (�2 . E . J) / (Lo2 . S)
onde: 
E = módulo de elasticidade. 
J = momento de inércia (depende da forma geométrica do material). 
S = área da seção. 
Lo = comprimento de flambagem. 
O valor de Lo depende do comprimento real da barra e de seus vínculos externos. Veja a figura 
a seguir: 
 
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37
O índice de esbeltez pode ser determinado pela expressão: λ = Lo / J. 
12 DIAGRAMA TENSãO X DEFORMAçãO PARA MATE-
RIAIS FRÁGEIS 
 
 
Ponto O = início do ensaio (carga nula).
Ponto A = limite máximo de resistência (ponto de ruptura do material).
 
12.1 Lei de Hooke
Os corpos sólidos, quando submetidos à tração ou compressão, deformam-se inicialmente 
dentro de um limite, no qual a deformação ocorrerá somente enquanto a força responsável pela tra-
ção ou compressão estiver atuando. Quando esta força deixar de atuar, a forma do corpo será res-
tabelecida. Além deste limite, o corpo sofrerá uma deformação permanente, não retornando mais 
à sua forma original. Este limite é chamado limite elástico, e a lei que rege este comportamento é 
chamada lei de Hooke. Matematicamente, a lei de Hooke é determinada por: 
F = -K . X
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38
onde: 
F = força responsável pela deformação dentro do limite elástico. 
X = comprimento da deformação dentro do limite elástico. 
K = constante elástica em função do corpo analisado. 
O sinal negativo na expressão da lei de Hooke representa a convenção na qual o sentido da 
força é oposto ao do deslocamento. A força da equação é, portanto, uma força restauradora. 
Para melhor compreendermos o comportamento de um corpo submetido a uma força dentro 
do limite elástico, vamos imaginar uma mola de aço presa verticalmente conforme a figura: 
 
Nas suas extremidades, colocamos pesos, fazendo com que a mesma adquira os respectivos 
deslocamentos. Aplicando a primeira lei de Newton ao sistema em equilíbrio, no instante em que 
apenas o peso P1 de massa M1 atua na mola, temos: 
a) X1 = (M1 . g) / K 
b) (X2 - X1) = (M2 . g) / K 
A expressão b) mostra que o deslocamento de uma mola (X2 - X1) é linearmente proporcional 
ao acréscimo de peso (M2 . g), produzindo o respectivo deslocamento. 
12.2 Diagrama tensão x deformação para materiais dúcteis
 
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Ponto O = início do ensaio (carga nula).
Ponto A = limite de proporcionalidade.
Ponto B = limite superior de escoamento.
Ponto C = limite inferior de escoamento.
Ponto D = final do escoamento e início da recuperação do material.
Ponto E = limite máximo de resistência.
Ponto F = limite de ruptura do material.
 
12.3 Deformação longitudinal (ε)
Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento de uma peça submeti-
da à ação de carga axial. Pode ser determinada a partir da seguinte relação matemática: 
ε ε= ∆∆ L / L
onde: 
ε = deformação longitudinal. 
∆∆L = comprimento final - comprimento inicial. 
L = comprimento inicial. 
OBSERVAÇÃO:
A deformação ε não possui unidade. Ela normalmente é expressa em valores percentuais.
12.4 Módulo de elasticidade (E) 
Definimos como módulo de elasticidade a capacidade que um material possui em suportar 
uma deformação relativa. Quando um material recebe excesso de tensão que ele pode suportar, 
ocorre um deslocamento irreversível de sua estrutura interna. Ao cessarmos a tensão, se o valor do 
módulo de elasticidade não tiver sido ultrapassado, o material retorna ao seu comprimento original. 
Seu valor pode ser obtido pela expressão: 
E = σσ / εε
onde: 
E = módulo de elasticidade. Sua unidade padrão é o Pascal (Pa). 
σ = tensão normal. Sua unidade padrão é o Pascal (Pa). 
ε = deformação longitudinal.
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12.5 Razão ou coeficiente de Poisson
Pela experiência, sabe-se que, além da deformação dos materiais na direção da tensão nor-
mal aplicada, outra propriedade marcante pode ser observada em todos os materiais sólidos, a 
saber, a expansão ou contração lateral (transversal) que ocorre perpendicularmente à direção da 
tensão aplicada. Esse fenômeno está ilustrado nas figuras (a) e (b), onde as deformações apa-
recem exageradas. Para clareza, pode-se redescrever assim o fenômeno: se um corpo sólido for 
submetido à tensão axial, ele se contrai lateralmente; por outro lado, se ele for comprimido, o ma-
terial se expande para os lados. Com isso em mente, as direções das deformações laterais são 
facilmente determinadas, dependendo do sentido da tensão normal aplicada.
 (a) (b)
Contração e expanção lateral de corpos maciços submetidos a forças axiais efeito de Pois-
son. A relação entre o valor absoluto da deformação na direção lateral e a deformação na direção 
axial é a razão ou coeficiente de Poisson, isto é,
Pela experiência, sabe-se que o valor flutua, para diferentes materiais, numa faixa relativa-
mente estreita. Geralmente está na vizinhança de 0,25 a 0,35. Em casos extremos ocorrem valo-
res baixos como 0,1 (alguns concretos) e elevados como 0,5 (borracha). O último valor é o maior 
possível para materiais isotrópicos, e é normalmente alcançado durante o escoamento plástico 
significando constância de volume.
13 SOLICITAçãO COMPOSTA
Um elemento de construção mecânica pode, com freqüência, estar sendo submetido às mais 
diversas solicitações no mesmo tempo.
As solicitações podem ser divididas de acordo com as tensões às quais estão submetidas. 
São elas: tensão normal e tangencial.
Tensão Normal: tração, compressão, flexão.
Tensão Tangencial: cisalhamento e torção.
Tensão Ideal: Normal + Tangencial
ν ε
ε
ε
ε
= − − =
y
x
z
x
deformaçãolateral
deformaçãoaxial
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 Tensão Normal: Tração + Flexão
 Tensão Tangencial: Cisalhamento + Torção
 Tensão Ideal: Tração + Torção
 Tensão Ideal: Flexão + Torção
 Tensão Ideal: Tração + Cisalhamento
 Tensão Tangencial: Flexão + Cisalhamento
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14 LISTA DE EXERCÍCIOS
Potência de 10
1 - Complete as seguintes igualdades, conforme o modelo: cem = 100 = 102
a) mil =
b) cem mil =
c) um milhão =
d) um centésimo =
e) um décimo de milésimo =
f) um milionésimo =
2- Complete as seguintes igualdades, conforme o modelo: 3,4 x 105 = 340.000
a) 2 x 103³ =
b) 1,2 x 106 =
c) 7,5 x 10-2 =
d) 8 x 10-5 =
3- Usando a regra prática, escreva os seguintes números em potência de 10:
a) 382 =
b) 21.200 =
c) 62.000.000 =
d) 0,042 =
e) 0,75 =
f) 0,000069 =
4- Efetue as operações indicadas:
a) 102² x 105 =
b)1015 x 10-11 =
c) (2 x 10-6) x (4 x 10-2) =
d) 1010 / 104 =
e) 1015 / 10-11 =
f) (4,8 x 10-3) / (1,2 x 104) =
g) (10²)³ =
h) (2 x 10-5)² =
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unidades de medida. 
5- Faça as seguintes conversões:
a) 2,78 m para ft =
b) 0,0214 mm para ft =
c) 78,65 ft para in =
d) 157,81 in para mm =
e) 5896,2 Lb para N =
f) 8,544 slug para kg =
g) 0,00887 N para Lb =
h) 0,996 KN para MPa =
i) 9,77 GPa para N =
j) 3,14 MPa para KN =
6- Converta 2 km/h para m/s. Quanto seria este valor expresso em ft/s? (RESP. 0,556 m/s ; 1,82 ft/s)
7- Converta as quantidades 300 Lb.s e 52 slugs/ft3 para as unidades apropriadas do SI. (RESP. 
1,33 KN.s ; 26,8 Mg/m3)
Vetores. 
8- Os vetores 1 e 2 mostrados na figura a seguir representam deslocamentos cujos módulos 
são d1=5 cm e d2=2 cm.
a) Na figura (a) desenhe a resultante destes vetores e determine seu módulo. (RESP. 7 cm)
b) Faça o mesmo para figura (b). (RESP. 3 cm)
c) Na figura (c) desenhe a resultante e use a fórmula adequada para determinar o valor de seu 
módulo. (RESP. 3,9 cm)
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9- Dois deslocamentos e , perpendiculares entre si, tem módulo a=8 cm e b=6 cm, conforme 
a figura. Desenhe na figura a resultante destes dois vetores e determine seu módulo usando 
a fórmula adequada. (RESP. 10 cm)
10- Em cada um dos casos mostrados na figura desenhe a resultante das forças e , utilizando 
a regra do paralelogramo.
11- O vetor mostrado na figura representa um deslocamento cujo módulo é V=20 m.
a) Desenhe na figura as componentes cartesianas x e y do vetor .
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b) Sabendo que θ=25º, calcule Vx e Vy. (RESP. Vx=18 m ; Vy=8,4 m)
12- O parafuso na forma de gancho da figura esta sujeito a duas forças, F1 e F2. Determine o mó-
dulo e a direção da força resultante. (RESP. Fr=213 N ; 54,8º)
13- Decomponha a força de 200 Lb indicada na figura, em componentes nas direções:
a) x e y. (RESP. Fx=153 Lb ; Fy=129 Lb)
b) x’ e y. (RESP. Fx’=177 Lb ; Fy’=217 Lb)
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14- A força F atuante na estrutura mostrada tem um módulo de 500 N e deve ser decomposta nas 
duas componentes atuantes ao longo das barras AB e AC. Determine o ângulo α, medido abaixo 
da linha horizontal e no sentido horário, de forma que a componente Fac seja direcionada de A 
para C e tenha um módulo de 400 N. (RESP. 76,1º)
15- Determine o módulo da força resultante e sua direção medida no sentido anti¬horário a partir do 
eixo x positivo. (RESP. 72,1 Lb ; 73,9º)
16- Determine as componentes das forças de 250 N atuantes ao longo dos eixos u e v. (RESP. 
Fu=320 N ; Fv=332 N)
17- Uma força vertical resultante de 350 Lb é necessária para manter o balão na posição mostra-
da. Decomponha esta força em componentes atuantes ao longo das linhas de apoio AB e BC e 
calcule o módulo de cada uma das componentes. (RESP. Fab=186 Lb ; Fac=239 Lb)
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18- Decomponha a força F1 em componentes atuantes ao longo dos eixos u e v e determine os 
módulos destas componentes. (RESP. Fv=129 N ; Fu=183 N)
19- Um bloco de concreto com massa de 57 kg está preso a um sistema constituído por um cabo e 
uma haste, conforme mostrado na figura. O ângulo entre o cabo e a parede vale 48º. Considerando 
o sistema em equilíbrio, determine o valor da força que atua na haste e no cabo, indicando quais ele-
mentos estão tracionados e quais estão comprimidos. (RESP. Fab=835,57 N (T) ; Fac=621 N (C))
20- Uma esfera de aço cuja massa vale 7 slug está sustentada por um cabo, preso no alto de um 
poste, conforme a figura. Uma pessoa, exercendo na esfera uma força F na horizontal, desloca-a 
lateralmente até a posição indicada. Nestas condições, determine o valor da força F e da força 
no cabo AB para manter o sistema em equilíbrio. (RESP. F=4541,95 Lb ; Fab=5144,1 Lb)
Tensão normal e cisalhante. 
21- A barra mostrada na figura tem uma largura constante de 35 mm e uma espessura de 10 mm. 
Determine a tensão normal média atuante na barra quando ela estiver sujeita ao carregamento 
indicado. (RESP. σσ = 85,7 MPa) 
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22- A barra mostrada na figura tem uma seção quadrada e reta com espessura de 40 mm. Se uma 
força axial de 800 N é aplicada ao longo do eixo central da barra, determine a tensão normal 
média e a tensão cisalhante média atuantes no material ao longo do plano de corte A-A. (RESP. 
T = 500 KPa ; τ T (média)=0) 
23- A peça de acrílico mostrada na figura é suspensa por um pino de aço com diâmetro de 10 mm, 
que é fixado a uma parede. Se a peça suporta uma carga vertical de 5 KN, calcule a tensão 
cisalhante média exercida pela parede ao pino. (RESP. τT(média) = 63,7 MPa)
24- A coluna mostrada na figura está sujeita a uma força axial de 8 KN em seu topo. Se sua área de 
seção transversal possui as dimensões indicadas na figura, determine a tensão normal média 
atuante na seção A-A. (RESP. 1,82 MPa)
25- O elo do tirante mostrado na figura suporta uma força de 600 Lb aplicada pelo cabo. Se o pino 
tem um diâmetro de 0,25 in, determine a tensão cisalhante média no pino. (RESP. 6,11 Ksi)
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26- A alavanca mostrada na figura é mantida fixa ao eixo através de um pino localizado em AB, cujo 
diâmetro é de 6 mm. Se um homem aplica as forças mostradas na figura ao girar a alavanca, de-
termine a tensão cisalhante média no pino na seção entre este e a alavanca. (RESP. 29,5 MPa)
27- A luminária mostrada na figura é suportada pelo pino A cujo diâmetro é de 1/8” in. Se a lumi-
nária pesa 4 Lb e o braço AB do suporte pesa 0,5 Lb/ft, determine a tensão cisalhante média 
no pino necessária para suportar a luminária. (RESP. 11,1 Ksi)
Tensão admissível. 
28- A junta mostrada na figura utiliza dois parafusos para unir as placas. Determine o diâmetro 
necessário aos parafusos, considerando que a tensão cisalhante admissível τT(adm)=110 MPa. 
Admita que a carga seja igualmente distribuída entre os parafusos. (RESP. 15,2 mm) 
29- A alavanca mostrada na figura é fixada ao eixo A por uma chaveta de largura d e comprimento 
de 25 mm. Se o eixo está fixo e uma força de 200 N é aplicada perpendicularmente a alavanca, 
determine a dimensão d considerando que a tensão cisalhante admissível para o material da 
chaveta é τ(adm)=35 MPa. (RESP. 5,71 mm)
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Coeficiente de segurança. 
30- Determine o diâmetro da barra de aço 1 indicada na figura. A barra está presa ao solo no pon-
to C e sujeita as forças mostradas. Admita que o material possui as seguintes características: 
σ(adm)=220 Mpa; fator falha de fabricação = 1 ; material comum ; carga constante e gradual. 
31- A barra rígida AB mostrada na figura é suportada pela barra de alumínio AC, que está aco-
plada por meio de pinos. Determine o diâmetro da barra de alumínio e dos pinos, sujeitos a 
cisalhamento duplo, sabendo que σ(adm) alumínio = 10,6 x 103³ Ksi e σσ (adm) aço = 29 x 103³ 
Ksi. Utilize um fator de segurança K = 2 para o alumínio e um fator K = 2,5 para o aço. (RESP. 
Ø(alumínio)=0,554 in; Ø(pinos)=0,265 in)
Momento de forças. 
32- Para cada situação ilustrada, determine o momento da força aplicada em relação ao ponto θ. (RESP. 
a) Mo=200 N.m ↓ ; b) Mo=37,5 N.m ↓ ; c) Mo=229 Lb.ft ↓ ; d) Mo=42,4 Lb.ft ↑ ; e) Mo=21 KN.m ↑) 
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33- Determine o momento da força de 800 N atuante sobre a estrutura mostrada na figura em relação 
aos pontos A, B, C e D. (RESP. Ma=2000 N.m ↓ ; Mb=1200 N.m ↓ ; Mc=0 ; Md=400 N.m ↑)
34- Uma força de 200 N atua sobre o suporte mostrado na figura. Determine o momento desta 
força em relação ao ponto A. (RESP. 14,1 N.m ↑)
35- Determine o módulo, a direção eo sentido do momento resultante das forças aplicadas em A e 
B em relação ao ponto P. (RESP. 4,47 KN.m ↑)
36- Determine o momento de cada uma das três forças atuantes sobre a viga, relativamente ao 
ponto B. (RESP. M(b1)=4800 Lb.ft ↑ ; M(b2)=600 Lb.ft ↓ ; M(b3)= 1000 Lb.ft ↓)
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37- Determine o momento resultante gerado pelos pesos dos cabos em relação a base do poste de 
uma linha de transmissão. Cada cabo tem um peso de 560 Lb. (RESP. 43,1 Kip.ft ↓)
38- Para a viga engastada sujeita a duas forças, determine o momento de cada uma das forças em 
relação ao ponto θ. (RESP. M(f1)=13 KN.m ↑ ; M(f2)=6,1 KN.m ↓)
39- Duas forças atuam sobre os dentes de uma engrenagem, conforme mostrado na figura. Qual a 
força equivalente que atua nos pontos A e B? (RESP. F=120 N)
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Treliças. 
40- Determine a força atuante em cada elemento da treliça mostrada na figura e indique se os ele-
mentos estão sob tração ou compressão. (RESP. Ax=500 N ; Cy=500 N ; Ay=500 N ; Fbc=-707,1 
N ; Fba=500 N ; Fac=500 N) 
41- Determine as forças em cada um dos elementos da treliça mostrada na figura. Indique se os 
elementos estão tracionados ou comprimidos. (RESP. Cx=600 N ; Ay=600 N ; Cy=200 N ; Fab=-
750 N ; Fad=450 N ; Fdb=250 N ; Fdc=-200 N ; Fcb=-600 N)
42- Determine as forças em cada elemento da treliça mostrada e identifique os elementos subme-
tidos a tração e a compressão. (RESP. Fba=214 Lb ; Fbc=-525 Lb ; Fca=371 Lb)
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43- Determine a força atuante em cada elemento da treliça mostrada na figura e indique se os elementos 
estão sob tração ou compressão. (RESP. Fab=-21,9 KN ; Fag=13,1 KN ; Fbc=-13,1 KN ; Fbg=17,5 
KN ; Fcg=3,12 KN ; Ffg=11,2 KN ; Fcf=-3,12 KN ; Fcd=-9,38 KN ; Fde=-15,6 KN ; Fdf=12,5 KN ; 
Fef=9,38 KN)
44- Determine a força atuante em cada elemento da treliça mostrada na figura e indique se os 
elementos estão sob tração ou compressão. (RESP. Fab=-43,8 KN ; Fag=26,2 KN ; Fbc=-26,2 
KN ; Fbg=35,0 KN ; Fgc=6,25 KN ; Fgf=22,5 KN ; Fed=-31,2 KN ; Fef=18,8 KN ; Fdc=-18,8 KN ; 
Fdf=25,0 KN ; Ffc=-6,25 KN)
45- A treliça de uma ponte esta sujeita ao carregamento mostrado na figura. Determine os forças 
nos elementos DE, EH e HG e indique se estes estão sob tração ou compressão. (RESP. Fde=-
45 KN ; Feh=5 KN ; Fhg=45 KN)
Momento torçor
46- Determine o momento atuante na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A car-
ga de aperto é de 100 N e o comprimento L=200 mm. (RESP. M=20 N.m) 
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47- Qual o momento atuante na chave de roda da figura? A carga aplicada na extremidade do braço 
é de 120 N e o braço mede 400 mm. (RESP. 48 N.m)
48- O eixo motriz de um automóvel deve ser projetado com um tubo de parede fina. O motor trans-
mite 150 hp ao eixo quando este gira a 1500 rpm. Determine a menor espessura da parede do 
eixo considerando que seu diâmetro externo seja de 2,5 in. O material utilizado tem uma tensão 
cisalhante admissível τ adm = 7 Ksi. (RESP. 0,104 in)
49- Um motor transmite 500 hp a um eixo de aço, que é tubular e tem um diâmetro externo de 2 in e 
um diâmetro interno de 1,84 in. Determine a menor velocidade angular na qual o eixo pode girar se a 
tensão cisalhante admissível para o material é T adm = 25 Ksi. (RESP. 296 rad/s) 50- O eixo maciço 
de um motor elétrico tem um diâmetro de 0,75 in e transmite 0,5 hp a um giro de 1740 rpm. Deter-
mine o torque gerado e calcule a tensão cisalhante máxima no eixo. (RESP. 1,51 Lb ; 219 Psi)
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51- O eixo maciço de aço AC tem um diâmetro de 25 mm e é suportado por mancais lisos em D e 
E. Ele é acoplado a um motor em C, que transmite 3 KW de potência a um giro de 50 Hz. Se as 
engrenagens A e B absorvem 1 KW e 2 KW, respectivamente, determine as tensões cisalhan-
tes máximas desenvolvidas no eixo nas regiões AB e BC. O eixo gira livremente em relação aos 
mancais de apoio em D e E. (RESP. T ab = 1,04 MPa ; τT bc = 3,11 MPa)
Lei de Hooke e módulo de elasticidade. 
52- O corpo de prova de alumínio mostrado na figura tem um diâmetro do=25 mm e um comprimen-
to nominal Lo=250 mm. Se uma força de 165 KN alonga o comprimento em 1,2 mm, determine 
o módulo de elasticidade do material. (RESP. 70 GPa) 
53- Uma barra de plástico reforçado tem um comprimento inicial de 8 in e um diâmetro de 3/4” de 
in. Se uma carga axial de 1500 Lb for aplicada em suas extremidades, tracionando-a, determine 
a variação ocorrida no seu comprimento devido a carga aplicada. Para efeitos de cálculo, consi-
dere o módulo de elasticidade do plástico como 19 x 103³ Ksi. (RESP. 1,43 in)
Momento fletor
54- Para a estrutura indicada na figura, desenhe os diagramas de força cortante e de momento fletor. 
[RESP. V(ab)=-10 KN; V(bc)=12 KN; V(cd)=-8 KN; Mf(a)=0; Mf(b)=-20 KN.m ; Mf(c)=16 KN.m; Mf(d)=0]
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55- Determine as reações de apoio referentes aos carregamentos mostrados na figura. Obtenha 
as equações do momento fletor e da força cortante e trace os diagramas de força cortante e 
de momento fletor. (RESP. Ax=0; Ay=6,66 KN; By=3,33 KN) (trecho AC: V=6,66 KN; M=6,66.x) 
[trecho CB: V=-3,33 KN; M=(-3,33.x)+20]
56- Para a viga mostrada na figura, trace os diagramas de força cortante e de momento fletor. 
(RESP. Mf(a)=-40 KN.m; Mf(b)=0)
57- Construa o diagrama de esforços cisalhantes e de momentos fletores para o eixo mostrado na 
figura. Os mancais em A e B exercem apenas reações verticais sobre o eixo. O carregamento é 
aplicado às rodas em B, C e D. [RESP. V(max)=-108 Lb ; M(max)=1196 Lb.in)]
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15 REFERÊNCIA
[ 1 ]. SOUZA, Hiran Rodrigues. Resistência dos Materiais. São Paulo: Editora F. Provenza, 
1991. 
[ 2 ]. HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Terceira Edição. 
[ 3 ]. CALLISTER, Willian D; Ciência e Engenharia dos Materiais – Uma Introdução, Editora LTC, 
5ª edição (tradução para português), Rio de Janeiro / RJ, 2002; 
[ 4 ]. SENAI/SP, Telecurso 2000 Profissionalizante, Editora Globo, São Paulo/SP, 1995.
EQuIPE TÉCNICA
COORDENAÇÃO: Mónica Quaresma de Matos
ELABORAÇÃO E COMPILAÇÃO: Alysson Andrade Amorim
FORMATAÇÃO E DIGITAÇÃO: Gráfica LCR
NORMALIZAÇÃO BIBLIOGRÁFICA: Centro de Formação Profissional Waldyr Diogo de Siqueira – CFP/WDS 
 Núcleo de Informação e Serviços Técnicos e Tecnológicos – NISTT
Anotações