Sistemas de Numeração

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111
Sistemas de Numeração
Professora: Priscila Doria, M.Sc.
pdoria@area1.edu.br
22
Roteiro
• O Sistema Binário de Numeração
• O Sistema Octal de Numeração
• O Sistema Hexadecimal de Numeração
• Operações Aritméticas no Sistema Binário
33
Introdução
• O homem, através dos tempos, sentiu a 
necessidade de utilização de sistemas 
numéricos
• Existem vários sistemas de numeração
– Exemplo:
• Decimal – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Binário – 0 e 1
• Octal – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
• Hexadecimal – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F
44
O Sistema Binário de Numeração
• Possui apenas 2 algoritmos:
– 0 e 1
• Sim ou não
• Ligado ou desligado
• Verdadeiro ou falso
• 1010 ≠ 102
• Termos importantes
– Bit: cada dígito binário
– Nibble: conjunto de 4 bits
– Byte: conjunto de 8 bits
55
O Sistema Binário de Numeração
Decimal Binário
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
66
Formação de um Número Decimal
• Exemplo: 59410
5 x 100 + 9 x 10 + 4 x 1
centena dezena unidade
5 x 102 + 9 x 101 + 4 x 100
• Esquematicamente:
102 101 100
5 9 4
77
Conversão do Sistema Binário para o 
Sistema Decimal
• Exemplo: 1012 = ?10
1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 510
∴ 1012 = 510
22 21 20
1 0 1
88
Conversão do Sistema Binário para o 
Sistema Decimal
• Exercícios:
1. Converta para o sistema decimal
a. 10012 =
b. 11102 =
c. 10102 =
d. 11001100012 =
910
1410
1010
81710
99
Conversão do Sistema Decimal para o 
Sistema Binário
• Dois métodos:
– Divisão sucessiva
– Conceito básico de formação de um número
1010
Conversão do Sistema Decimal para o 
Sistema Binário
• Método: Divisão sucessiva
– Exemplo: 4710 = ?2
∴ 4710 = 1011112
LSB = Bit Menos Significativo
MSB = Bit Mais Significativo
1111
Conversão do Sistema Decimal para o 
Sistema Binário
• Método: Conceito básico de formação de um 
número
– Exemplo: 4710 = ?2
1 x 32 + 0 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 =
32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 472
∴ 4710 = 1011112
25 24 23 22 21 20
1 0 1 1 1 1
1212
Conversão do Sistema Decimal para o 
Sistema Binário
• Exercícios:
2. Converta para o sistema binário
a. 2110 =
b. 40010 = 
c. 55210 =
d. 71510 =
101012
1100100002
10001010002
10110010112
1313
Formação de um Número Decimal 
Fracionário
• Exemplo: 10,510
1 x 101 + 0 x 100 + 5 x 10-1 =
10 + 0 + 5 x =
10 + 0,5 =
10,5
10
1
101 100 10-1
1 0 5
1414
Conversão de Números Binários 
Fracionários em Decimal
• Método: Conceito básico de formação de um 
número
– Exemplo: 101,1012 = ?10
1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 20 + 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 =
4 + 1 + ½ + ⅛ = 5,62510
∴ 101,1012 = 5,62510
22 21 20 2-1 2-2 2-3
1 0 1 1 0 1
1515
Conversão de Números Binários 
Fracionários em Decimal
• Exercícios:
3. Converta para o sistema decimal
a. 1010,11012 =
b. 111,0012 = 
c. 100,110012 =
10,812510
7,12510
4,7812510
1616
Conversão de Números Decimais 
Fracionários em Binários
• Formação de um número decimal fracionário
– Exemplo: 8,375
8,375 = 8 + 0,375
• Conversão para binário:
– Parte inteira: Divisão sucessiva
– Parte fracionária: Multiplicação sucessiva
1717
Conversão de Números Decimais 
Fracionários em Binários
• Exemplo: 8,37510 = ?2
∴ 8,37510 = 1000,0112
1818
Conversão de Números Decimais 
Fracionários em Binários
• Exercícios:
4. Converta para o sistema binário
a. 4,810 =
b. 3,38010 = 
c. 57,310 =
100,110011001100...2
11,011000012 (aproximação)
111001,0100110011001...2
19
Estudo Independente
• Leitura:
– Capítulo 1 (Idoeta e Capuano)
• Seções: 1.1 e 1.2
• Atividade:
– Lista de Exercícios Nº 1
• Questões: 1, 2, 3, 4 e 5
2020
Roteiro
• Introdução
• O Sistema Binário de Numeração
• O Sistema Octal de Numeração
• O Sistema Hexadecimal de Numeração
• Operações Aritméticas no Sistema Binário
2121
O Sistema Octal de Numeração
• Possui 8 algarismos:
– 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
• É pouco utilizado no campo da Eletrônica 
Digital
• É usado apenas como um sistema numérico 
intermediário dos sistemas binário e 
hexadecimal
2222
O Sistema Octal de Numeração
Decimal Octal
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 10
Decimal Octal
9 11
10 12
11 13
12 14
13 15
14 16
15 17
16 20
... ...
2323
Conversão do Sistema Octal para 
Sistema Decimal
• Método: Conceito básico de formação de um 
número
– Exemplo: 1448 = ?10
1 x 8² + 4 x 8¹ + 4 x 80 =
64 + 32 + 4 = 10010
∴ 1448 = 10010
82 81 80
1 4 4
2424
Conversão do Sistema Octal para 
Sistema Decimal
• Exercícios:
5. Converta para o sistema decimal
a. 778 =
b. 1008 = 
c. 4768 =
6310
6410
31810
2525
Conversão do Sistema Decimal para o 
Sistema Octal
• Método: Divisão sucessiva
– Exemplo: 9210 = ?8
∴ 9210 = 1348
2626
Conversão do Sistema Decimal para o 
Sistema Octal
• Exercícios:
6. Converta para o sistema octal
a. 7410 =
b. 51210 = 
c. 71910 =
1128
10008
13178
2727
Conversão de Sistema Octal para o 
Sistema Binário
• Método: Conversão de cada algoritmo 
diretamente no correspondente em binário
– Exemplo: 278 = ?2
2 7
010 111
∴ 278 = 101112
2828
Conversão de Sistema Octal para o 
Sistema Binário
• Exercícios:
7. Converta para o sistema binário
a. 348 =
b. 5368 = 
c. 446758 =
111002
1010111102
1001001101111012
2929
Conversão do Sistema Binário para o 
Sistema Octal
• Método: Conversão de cada grupo de 3 bits 
diretamente para o sistema octal
– Exemplo: 1100102 = ?8
110 010
6 2
∴ 1100102 = 628
3030
Conversão do Sistema Binário para o 
Sistema Octal
• Exercícios:
8. Converta para o sistema octal
a. 10102 =
b. 101112 = 
c. 110101012 =
d. 10001100112 =
128
278
3258
10638
3131
Roteiro
• Introdução
• O Sistema Binário de Numeração
• O Sistema Octal de Numeração
• O Sistema Hexadecimal de Numeração
• Operações Aritméticas no Sistema Binário
3232
O Sistema Hexadecimal de Numeração
• Possui 16 algarismos:
– 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F
• É utilizado:
– na área dos microprocessadores
– no mapeamento de memória em sistemas digitais
3333
O Sistema Hexadecimal de Numeração
Decimal Hexadecimal
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 A
Decimal Hexadecimal
11 B
12 C
13 D
14 E
15 F
16 10
17 11
18 12
19 13
20 14
… …
34
Conversão do Sistema Hexadecimal 
para o Sistema Decimal
• Método: Conceito básico de formação de um 
número
– Exemplo: 3F16 = ?10
3 x 16¹ + F x 160 =
3 x 16 + 15
∴ 3F16 = 6310
162 161
3 F
3535
Conversão do Sistema Hexadecimal 
para o Sistema Decimal
• Exercícios:
9. Converta os números em hexadecimal para 
decimal
a. 1C316 =
b. 23816 = 
c. 1FC916 =
45110
56810
813710
3636
Conversão do Sistema Decimal para o 
Sistema Hexadecimal
• Método: Divisão sucessiva
– Exemplo: 100010 = ?16
∴ 100010 = 3E816
3737
Conversão do Sistema Decimal para o 
Sistema Hexadecimal
• Exercícios:
10. Converta para o sistema hexadecimal
a. 13410 =
b. 38410 = 
c. 388210 =
8616
18016
F2A16
3838
Conversão de Sistema Hexadecimal 
para o Sistema Binário
• Método: Conversão de cada algoritmo 
diretamente no correspondente em binário
– Exemplo: C1316 = ?2
C 1 3
1100 0001 0011
∴ C1316 = 1100000100112
3939
Conversão de Sistema Hexadecimal 
para o Sistema Binário
• Exercícios:
11. Converta para o sistema binário
a. 1ED16 =
b. 6CF916 = 
12. Converta o número 3A716 para o sistema octal
0001111011012
01101100111110012
16478
4040
Conversão do Sistema Binário para o 
Sistema Hexadecimal
• Método: Conversão de cada grupo de 4 bits 
diretamente para o sistema hexadecimal
– Exemplo: 100110002 = ?16
1001 1000
9 8
∴ 100110002 = 9816
4141
Conversão do Sistema Binário para o 
Sistema Hexadecimal
• Exercícios:
13. Converta para o sistema hexadecimal
a. 11000112=
b. 110001111000111002 = 
6316
18F1C16
42
Estudo Independente
• Leitura:
– Capítulo 1 (Idoeta e Capuano)
• Seções: 1.3 e 1.4
• Atividade:
– Lista de Exercícios Nº 1
• Questões: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 e 16
4343
Roteiro
• Introdução
• O Sistema Binário de Numeração
• O Sistema Octal de Numeração
• O Sistema Hexadecimal de Numeração
• Operações Aritméticas no Sistema Binário
4444
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Adição no sistema binário
• Exemplo: 1102 + 1112 = ?2
110
+ 111 
1101
∴ 1102 + 1112 = 11012
0 0 1 1
+0 +1 +0 +1
0 1 1 10
1
“vai um”
1 1
4545
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Exercícios:
14. Efetue as operações no Sistema Binário
a. 110012 + 10112 =
b. 1011012 + 111000112 = 
c. 111112 + 1111112 =
d. 1001112 + 11102 + 10112 =
1001002
1000100002
10111102
10000002
4646
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Subtração no sistema binário
• Exemplo: 10002 - 1112 = ?2
1000
- 111 
0001
∴ 10002 - 1112 = 00012
0 0 1 1
- 0 - 1 - 0 - 1
0 1 1 0
1
1 1 1
4747
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Exercícios:
15. Efetue as operações no Sistema Binário
a. 10102 - 10002 =
b. 100102 - 100012 = 
c. 110002 - 1112 =
102
12
100012
4848
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Multiplicação no sistema binário
• Exemplo: 110102 x 102 = ?2
11010
x 10
00000
11010
110100
∴ 110102 x 102 = 1101002
0 0 1 1
x 0 x 1 x 0 x 1
0 0 0 1
4949
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Exercícios:
16. Efetue as operações no Sistema Binário
a. 11002 x 0112 =
b. 110102 x 1012 = 
c. 1001012 x 10012 =
1001002
100000102
1010011012
50
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Divisão no sistema binário
– Exemplo: 10012 ÷ 112 = ?2
∴ 10012 ÷ 112 = 112
1001 11
- 011 11
0011
- 11
0
51
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Divisão no sistema binário
– Exemplo: 10102 ÷ 1002 = ?2
∴ 10102 ÷ 1002 = 10,12
1010 100
- 100 10,1
0010,0
- 100
0
5252
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Exercícios:
17. Efetue as operações no Sistema Binário
a. 11002 ÷ 1002 =
b. 1111112 ÷ 10012 = 
c. 101112 ÷ 1002 =
112
1112
101,112
5353
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Representação de números binários positivos 
e negativos
– Sinal: “+” e “-”
• Exemplos: + 3510 , -7310
• Na prática, estes sinais não podem ser utilizados
– Tudo deve ser 0 ou 1
– Sinal-módulo: acrescenta um bit de sinal à
esquerda
• 0 (número positivo) e 1 (número negativo)
• Exemplos:
– + 3510 : 01000112
– -7310 : 110010012
5454
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Representação de números binários negativos
– Notação do complemento de 2
• Converter o número na notação do complemento de 1
• Somar 1 ao complemento de 1 do número binário
– Notação do complemento de 1
• Troca cada bit do número binário pelo seu inverso
5555
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Representação de números binários negativos (cont.)
– Exemplo: - 110011012
Número binário: 11001101
Complemento de 1: 00110010
+ 1
Complemento de 2: 00110011
∴A representação na notação do complemento de 2 
do número -110011012 é 001100112.
5656
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Representação de números binários negativos (cont.)
Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Binário 0000 +0001 +0010 +0011 +0100 +0101 +0110 +0111 +1000 +1001
Compl. de 2 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
Decimal -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Binário -1001 -1000 -0111 -0110 -0101 -0100 -0011 -0010 -0001
Compl. de 2 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Nota: os números positivos na notação do complemento de 2 são 
idênticos aos números na notação normal.
5757
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Representação de números binários negativos (cont.)
– Exemplo: 10112 (notação compl. de 2) = ?2 (notação normal)
1011
Complemento de 1: 0100
+ 1
Complemento de 2: 0101
∴ 10112 = - 0101 (notação normal)
• Importante: As representações com o complemento de 2 
possuem um número predefinido de bits, não devendo ser 
desconsiderado nenhum bit na resposta.
5858
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Exercícios:
18. Represente os seguintes números utilizando a 
notação sinal-módulo.
a. -2710 =
b. +4910 = 
19. Determine o complemento de 1 do número 
1010102.
20. Determine o complemento de 2 do número 
-100101102.
21. Qual o equivalente positivo do número 01102, 
aqui representado em complemento de 2?
1110112
01100012
0101012
011010102
10102
5959
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Utilização do complemento de 2 em operações aritméticas
– Exemplo: 110101112 – 1001012
N1 – N2
N1 + (-N2)
11010111 + (- 100101)
00100101
Complemento de 1: 11011010
+ 1
Complemento de 2: 11011011
∴ 110101112 – 1001012 = 10110010
11010111
+11011011
110110010
Estouro do número de bits 
(desconsiderado)
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Observação:
– Se estouro = 1 então
• Resultado positivo
– Ex: 100002 – 10002 = 010002
– Se estouro = 0 então
• Resultado negativo
– Ex: 10002 – 100002 = - 010002
60
10000 + (- 01000)
10000 + 11000
10000
+11000
1 01000
Estouro. Resultado positivo.
X
01000 + (- 10000)
01000 + 10000
01000
+10000
0 11000
Sem Estouro. Resultado negativo.
X
11000
C1: 00111
+ 1
01000
6161
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Utilização do complemento de 2 em operações 
aritméticas (cont.)
– Vantagens:
• Pode-se utilizar o mesmo circuito somador para efetuar as 
operações que envolvam:
– Números negativos
– Subtrações
• Simplifica a complexidade e o número de componentes no sistema
– Exemplo de aplicação:
• ULA (Unidade Lógica Aritmética) dos microprocessadores e 
microcontroladores
6262
Operações Aritméticas no Sistema 
Binário
• Exercícios:
22. Efetue as subtrações, utilizando o complemento 
de 2.
a. 101010112 - 10001002 =
b. 100112 - 1001012 = 
23. Efetue em binário, utilizando a aritmética do 
complemento de 2, a operação CA16 – 7D16.
11001112
-100102
4D16
63
Estudo Independente
• Leitura:
– Capítulo 1 (Idoeta e Capuano)
• Seção: 1.5
• Atividade:
– Lista de Exercícios Nº 1
• Questões: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 e 27