GUIA DE ESTUDOS - MÉTODOS E QUANTITATIVOS - AULA 4

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AULA 4 
INTERVALO DE 
CONFIANÇA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 
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INTERVALO DE CONFIANÇA (IC) 
 
Definição1: 
 É um intervalo (espaço) estimado de um parâmetro estatístico,o qual 
 possibilita o cálculo deste parâmetro estatístico desconhecido. 
 
Definição2: 
 É quando fazemos uma estimativa de um intervalo de valores 
 possíveis, no qual se admite esteja o parâmetro populacional. 
 
 Em outras palavras: 
“O intervalo de confiança é um intervalo matemático que 
mede a confiabilidade de uma amostra retirada de uma 
determinada população.” 
 Profº Alan Carter Kullack 
 Exemplo 1: 
 
 
UTILIZAÇÃO DO INTERVALO DE CONFIANÇA 
 
Utilizamos o intervalo de confiança para os seguintes parâmetros: 
 Média; 
 Diferença de Médias; 
 Proporção; 
 Diferença de Proporção; 
 Variância; 
 Tamanho de uma amostra. 
 
 
 
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO I.C. 
 
 O gráfico de intervalo de confiança, reproduz uma dimensão bem específica dos 
valores a serem considerados na amostra,deixando assim o grau de confiança na 
pesquisa mais elevado,isto é, com uma probabilidade de acerto maior. 
 
Fonte:<http://pt.slideshare.net/NathliaMendona1/intervalos-de-confiana> 
 
OBS: Utilizaremos a fórmula: 
 X – Z. Sx ≤ µ ≤ X + Z. Sx 
 Portanto,temos que: e = Z. Sx 
 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA DA MÉDIA POPULACIONAL(µ) 
 
Definição: 
 São os valores retirados da média populacional, os quais podemos 
 validar para toda população a ser pesquisada, isto é, assim um 
 intervalo de confiança da própria média. 
 
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OBS: 
Para efetuar a Estimativa de Médias de uma População utiliza-se desvio 
padrão da distribuição que constitui a amostra (distribuição amostral), deve-se 
levar em consideração se o desvio padrão da população é ou não conhecido. 
 
ERRO-PADRÃO AMOSTRAL PARA A MÉDIA 
 
Ao se obter uma amostra qualquer de tamanho n, calcula-se a média 
aritmética populacional. Provavelmente, se uma nova amostra aleatória for 
realizada, a média aritmética obtida será diferente daquela da primeira 
amostra. A variabilidade das médias é estimada pelo seu erro padrão. Assim, 
o erro padrão avalia a precisão do cálculo da média populacional. 
O erro padrão é dado pela fórmula: 
 
 Sx = S 
 √ n , onde: 
 Para uma população conhecida, usaremos a seguinte fórmula: 
 
 Sx + S . N - n 
 √ n N - 1 
OBS1: Quanto melhor a precisão no cálculo da média populacional, 
 menor será o erro padrão. 
OBS2: A amostra e o erro-padrão são grandezas inversamente 
 proporcionais. 
Exemplo: 
Numa população obteve-se desvio padrão de 2,64 com uma amostra aleatória 
de 60 elementos. Qual o provável erro padrão? 
Solução: 
 
 
Sx → Erro padrão 
S → Desvio padrão 
n → Tamanho da amostra 
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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA AMOSTRAS PEQUENAS(N<30) 
 
Em muitas situações da vida real, o desvio padrão populacional é desconhecido. 
Além disso, em função de fatores como tempo e custo, não é prático colher 
amostras de tamanho 30 ou mais. Nesse caso, devemos construir intervalos de 
confiança com uma distribuição para uma média populacional pequena,como isso 
utilizamos a distribuição t de Student. 
A DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT 
Definição: 
 Se a distribuição de uma variável aleatória x é aproximadamente 
 normal e , então a distribuição amostral de é 
 uma distribuição t de Student, onde: 
. 
Onde: 
 t = Distribuição t de student; 
X = Variável aleatória; 
µ = Média; 
S = Desvio Padrão amostral; 
n = Número da amostra 
 
Podemos representar a fórmula, da seguinte maneira: 
 
X - t. Sx ≤ µ ≤ X + t. Sx 
 
Portanto, temos: 
 
 
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Fonte: < http://slideplayer.com.br/slide/353636/> 
 
Os valores críticos de t são denotados por tc. Diversas propriedades da distribuição t 
estão relacionadas a seguir: 
 A distribuição t tem a forma de sino e é simétrica em torno da média. 
 A distribuição t é uma família de curvas, cada uma delas determinada por um 
parâmetro chamado grau de liberdade (g.l). Os graus de liberdade são os números 
de escolhas livre deixada após uma amostra estatística tal como ter sido 
calculada. Quando se usa uma distribuição t para estimar uma média populacional, o 
número de graus de liberdade é igual ao tamanho da amostra menos 1, ou seja, g.l 
= n – 1. 
 O risco é representado por α ( 1 – nível de confiança) 
 A área total sob uma curva t é 1 ou 100%. 
 A média, a moda e a mediana da distribuição t são iguais a zero. 
 Quando o número de graus de liberdade cresce, a distribuição tende para a 
distribuição normal. Após 30 graus de liberdade a distribuição t está muito próxima 
da distribuição normal padrão z. 
 
 
 
 
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TABELA DOS VALORES DA DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT 
 
 
Fonte: < http://slideplayer.com.br/slide/360340/> 
 
 
 
 
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ERRO-PADRÃO AMOSTRAL PARA A PROPORÇÃO: 
 
Refere-se ao erro de estimativa de uma proporção, sendo a diferença do resultado 
amostral em relação ao populacional para mais ou para menos, o qual aceitamos 
em nossa pesquisa, em função do nível de confiança desejado e representado pelo 
escore z. 
 
 
Fórmula: 
 Sp = p.q Onde: 
 n 
 
 
 
Ex: Um instituto de pesquisa revelou,por meio de um estudo que realizou com 300 
microempresas paranaenses, que 77% delas estão satisfeitas com os serviços 
prestados por seus contadores e as demais estão insatisfeitas. Estime, com 95% de 
confiança o intervalo da proporção populacional para aquelas empresas satisfeitas 
com seus contadores. 
 
Solução: 
 
Dados: 
p = 77% 
q = 23% 
n = 300 
Sp = ? 
 
 
 
 
p = Proporção favorável; 
q = Proporção desfavorável; 
n = Amostra; 
Sp = Erro-padrão proporcional 
 
 Sp = 77.23 = Sp = 1771 
 300 300 
 
Sp = 2,43 % 
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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL 
 
Definição: 
 Refere-se aos valores máximo e mínimo da proporção populacional. 
 
Fórmula: p – Z. Sp ≤ ¶ ≤ p + Z.Sp 
 
onde: Z = nível de confiança da tabela normal. 
 
Exemplo: 
 Numa pesquisa de mercado, 400 pessoas foram entrevistadas sobre 
sua preferência por determinado produto. Destas 400 pessoas, 240 disseram preferir 
o produto. Determinar um intervalo de confiança de 95% de probabilidade para o 
percentual de preferência dos consumidores em geral para este produto. 
 
Solução: 
 
Têm-se 1 - α = 95%, então α = 5% e α / 2 = 2,5%. O coeficiente de confiança que 
deve ser buscado na normal padrão é valor Zα/2 de Z tal que: 
 
P(Z > Zα/2) = 2,5%, ou então: (-Zα/2) = 2,5%. Este valor vale 1,96. 
 
A estimativa por ponto para a proporçãopopulacional será: p = f/n = 240/400 = 0,60 
= 60%. 
Logo,devemos calcular o erro-padrão amostral: 
 Sp = p.q 
 n 
 
Temos,então: Sp = 60.40 = Sp = 2400 = Sp = 2,45% 
 400 400 
Então o intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional será: 
 
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p – Z. Sp ≤ ¶ ≤ p + Z.Sp 
60 – 1,96.2,45 ≤ ¶ ≤ 60 + 1,96.2,45 
0,60 - 4,8 ≤ ¶ ≤ ,60 + 4,8 = [55,20%; 64,80%]. 
 
Portanto, pode-se afirmar com uma certeza de 95% de que este intervalo conterá a 
proporção populacional, isto é, a verdadeira percentagem dos consumidores que 
preferem o produto pesquisado. 
 
 
TESTE DE HIPÓTESE 
 
Definição: 
 Os testes de hipóteses tem a função de comparar as medidas 
 obtidas de uma amostra com os dados da população. 
 
OBS: Este teste determina se o valor amostral é correto ou incorreto ! 
 
HIPOTESE ESTATÍSTICA 
 
 Definição: 
 É um processo de decisão para avaliar as hipóteses feitas a 
 respeito de uma determinada população. 
Exemplo 1: 
Suponhamos que uma indústria compre de certo fabricante parafusos cuja a carga 
média de ruptura por tração é especificada em 50 Kg, o desvio-padrão das cargas 
de ruptura é suposto ser igual a 4 Kg. O comprador deseja verificar se um grande 
lote de parafusos recebidos deve ser considerado satisfatório, no entanto existe 
alguma razão para se temer que a carga média de ruptura seja eventualmente 
inferior à 50 Kg. Se for superior não preocupa o comprador pois neste caso os 
parafusos seriam de melhor qualidade que a especificada. Neste exemplo, a 
hipótese do comprador é que a carga média da ruptura é inferior a 50 Kg. O 
comprador pode ter o seguinte critério para decidir se compra ou não o lote: 
79 
 
Resolve tomar uma amostra aleatória simples de 25 parafusos e submetê-los ao 
ensaio de ruptura. Se a carga média de ruptura observada nesta amostra for maior 
que 48 Kg ele comprará o lote, caso contrário se recusará a comprar. 
 
 
CÁCULO DE TESTES DE HIPÓTESE: 
 
Temos 2 hipóteses a serem testadas: 
1º) H0 (Hipótese Nula) 
2º) H1 (Hipótese Alternativa) 
 
 HIPÓTESE NULA (H0): 
 
Definição: 
 É um valor suposto para um parâmetro.Se os resultados da amostra 
 não forem muito diferente de H0,ela não poderá ser rejeita. 
 No exemplo1, temos H0: µ = 50. 
 
HIPÓTESE ALTERNATIVA (H1) : 
 
Definição: 
 É uma hipótese que contraria a hipótese nula, complementar de H0. 
 Essa hipótese somente será aceita se os resultados forem muito 
 diferentes de H0. 
 No exemplo1, temos H1: µ < 50 
 
ERROS DE DECISÃO 
A decisão sobre uma hipótese estatística é um processo de inferência, de modo que 
a possibilidade de que erros sejam cometidos é inerente ao processo. Em termos da 
decisão sobre uma hipótese H0 existem dois tipos de erro: 
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1. Erro do tipo I: rejeitar a hipótese de nulidade quando ela não deveria 
 ser rejeitada. 
 
2. Erro do tipo II: falhar na rejeição da hipótese de nulidade quando ela 
 deveria ser rejeitada. 
 
Evidentemente, decisões corretas podem ser tomadas: não rejeitar quando H0 é a 
hipótese adequada e rejeitar quando H1 é a hipótese adequada. A tabela que segue 
resume as situações. 
 DECISÃO DE TOMADA 
HIPÓTESE Não Rejeitar Rejeitar 
HO Verdadeira Correta Erro Tipo I (α) 
HO Falsa Erro Tipo II (β) Correta 
OBS: Essa situação é totalmente análoga à decisão de um juiz sobre um réu após 
um julgamento, como se pode ver na tabela abaixo. A hipótese de nulidade é o réu é 
inocente e a decisão é no sentido de condenar ou não condenar o réu. Observe-se 
que o erro do tipo I é o mais importante. 
 DECISÃO DE TOMADA 
HIPÓTESE Não Condenar Condenar 
Réu inocente Correta Erro Tipo I (Alfa) 
Réu culpado Erro Tipo II ( Beta) Correta 
É interessante notar que muitas vezes não há condenação porque as evidências 
(provas) não são suficientes para condenação, ou seja, H0 não é rejeitada, mas não 
quer dizer necessariamente que a inocência está provada. 
Conclusão: Para aplicar um teste de significância, cria-se uma hipótese que, 
geralmente, é a de igualdade (hipótese nula). O teste é feito para tentar refutar esta 
hipótese. Mas, por erros amostrais (flutuações) pode-se incorrer em erros de tomada 
de decisão. 
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OBS1: A probabilidade máxima do erro do tipo I denotada por α, é denominada 
 nível de significância, tipicamente fixada como um valor pequeno, como 
 0,1; 0,05 ou 0,01. 
OBS2: A probabilidade de se rejeitar H0 quando ela é verdadeira, corresponde 
 ao nível de significância ( alfa ). 
Reforçando a Analogia: Não rejeitar H0 não quer dizer necessariamente que ela é 
verdadeira; apenas não há evidências na amostra para a sua rejeição. 
RESUMO: 
Probabilidade do erro do tipo I (α) 
É a probabilidade de que H0 verdadeira seja rejeitada. 
 
Probabilidade do erro do tipo II. (β) 
É a probabilidade de que H0 falsa não seja rejeitada. 
Observe a figura 1: Serve para demonstrar um teste de hipótese com a média de 
uma população.
 
Fonte: <http://www.portalaction.com.br/inferencia/511-erros-cometidos-nos- 
 testes-de-hipoteses> 
 
OBS: A Região Crítica(RC), é o conjunto de valores assumidos pela variável 
 aleatória(θ) ou estatística de testes, para o qual a hipótese nula é rejeita. 
 Esta região também é conhecida como região de rejeição. 
 
82 
 
Exemplo 1: 
Suponha que equipe técnica tenha decidido adotar a seguinte regra:rejeitar Ho se X 
for maior que 62.5 kgf e ou menor que 57.5 kgf. 
Temos: 
Rc  X  62, 5 ou X  57, 5  Região de rejeição de Ho 
Rc  Ra  57, 5  X  62,4  Região de aceitação de Ho. 
Solução: 
Procedimento do Teste: 
 Se x Є Rc Rejeita -se Ho 
 Se x Rc Aceita-se Ho 
Considerando as hipóteses : 
H0:  = 60 contra 
H1:  ≠ 60. 
  P[ X  62,5 ou X  57,5 / H0   60] ; Sendo X ~ N(60,25 /16). 
  P[ X  62,5 / H0   60] + P[X < 57,5 / H0   60] 
 
P X – 60 > 62,5 - 60 + P X - 60 < 57,5 - 60 
 25/16 25/16 25/16 25/16 
P [ Z > 2 ] + P [ Z < -2 ] = 0,02275 + 0,02275 = 0,0445 Temos, então: 
 
 
 Fonte: <http://www.ime.unicamp.br/~hlachos/Inferencia_Hipo1.pdf> 
 
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 PASSOS PARA A CONSTRUÇÃO DE UM TESTE DE HIPÓTESES 
 
Nos itens anteriores foram introduzidos os conceitos básicos e as terminologias que 
são aplicados em testes de hipóteses. Um sumário dos principais passos que podem 
ser usados sistematicamente para qualquer teste de hipóteses é apresentado aqui, 
ou seja: 
1º) Fixe a hipótese H0 a ser testada e a alternativa H1; 
 
2º) Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual 
 estatística (estimador) será usada para testar a hipótese H0, obtendo-se suas 
 propriedades (distribuição, estimativa, erro padrão); 
 
3º) Fixe a probabilidade  de cometer o erro tipo I e use este valor para construir 
 a RC (região crítica). Lembre-se que a RC é construída para a estatística 
 definida no 1º passo , usando os valores hipotetizados por H0; 
 
4º) Use as informaçõesda amostra para calcular o valor da estatística do teste; 
 
5º) Se o valor da estatística calculado com os dados da amostra não pertencer à 
 RC, não rejeite H0; caso contrário, rejeite H0. 
 
TIPOS DE TESTES DE HIPÓTESES 
Estudaremos testes de hipóteses com uma hipótese nula (Ho) e uma hipótese 
alternativa (H1). A partir da formulação de Ho e H1, podemos definir o tipo do teste a 
ser utilizado. Consideremos  o parâmetro estudado e o ,o valor Inicialmente 
suposto para . Se nas hipótese formuladas forem do tipo: 
 TESTE BILATERAL: 
 TESTE UNILATERAL À DIREITA 
 TESTE UNILATERAL À ESQUERDA 
 
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TESTE BILATERAL 
 H0 :  = 0 
 H1 :  = 1 
 
RC = {Z  zc  ou Z  - zc} 
 
 
 
 
TESTE UNILATERAL À DIREITA TESTE UNILATERAL À ESQUERDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RC = {Z  - zc } 
 
 
 

0 
x
c 
x
 x
x
 
0 
x c 
 
/2 
/2 1 -  
-zc zc Z 
H0 :  = 0 
H1 :  ≠ 1 (1 > 0) 
 
H0 :  =  
 H1 :  = 1 (1 < 0) 
 
 
 
 
 
-ZC z 
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TESTE DE HIPOTESE PARA A MÉDIA POPULACIONAL 
 
Neste caso há interesse em testar a hipótese de que o parâmetro média 
populacional () de uma certa variável Quantitativa seja maior, menor ou diferente 
de um certo valor. Para a realização deste teste é necessário que uma das duas 
condições seja satisfeita: 
 
 1º) Supor que a variável de interesse segue uma distribuição normal na população, 
isso significa que a distribuição amostral da média também será normal, permitindo 
realizar a inferência estatística paramétrica. 
 
 2º) A distribuição da variável na população é desconhecida, mas a amostra retirada 
desta população é considerada “suficientemente grande” o que, de acordo com o 
Teorema Central do Limite, permite concluir que a distribuição amostral da média é 
normal. Supõe-se também que a amostra é representativa da população e foi 
retirada de forma aleatória. 
 
Tal como na Estimação de Parâmetros por Intervalo existirão diferenças nos testes 
dependendo do conhecimento ou não da variância populacional da variável. 
A) Se a variância populacional (2) da variável (cuja média populacional queremos 
testar) for conhecida. Neste caso a variância amostral da média poderá ser 
calculada através da expressão: 
 
 V( x) = 2 e, por conseguinte, o “desvio padrão” será S =  
 N n 
A variável de teste será a variável Z da distribuição normal padrão, lembrando 
que: 
 Z = Valor – Média 
 Desvio - padrão 
 
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Podemos representar, esta Fórmula da seguinte maneira: 
 Z = X - 0 
 S 
 n 
 
 
 
 
Compara-se o valor da variável de teste com o valor crítico (Zcrítico que depende do 
Nível de Significância adotado) de acordo com o tipo de teste: 
 
Se H1:  > 0 Rejeitar H0 se Z > Zcrítico ( x > x crítico) 
Se H1:  < 0 Rejeitar H0 se Z < Zcrítico( x < x crítico) 
Se H1:   0 Rejeitar H0 se |Z| |Zcrítico| 
 
B) Se a variância populacional (2) da variável for desconhecida. Naturalmente 
este é o caso mais encontrado na prática. Como se deve proceder? Dependerá 
do tamanho da amostra. 
 
B1) Grandes amostras (mais de 30 elementos) Nestes casos procede-se como no 
 item anterior, apenas fazendo com que  = s, ou seja, considerando que o 
 desvio padrão da variável na população é igual ao desvio padrão da variável 
 na amostra (suposição razoável para grandes amostras). 
 
B2) Pequenas amostras (até 30 elementos) Nestes casos a aproximação do item 
 B1 não será viável. Terá que ser feita uma correção na distribuição normal 
 padrão (Z) através da distribuição t de Student. Trata-se de uma distribuição 
 de probabilidades que possui média zero (como a distribuição normal padrão, 
 variável Z), mas sua variância é igual a n/(n-2), ou seja, a variância depende 
 
 
Onde: 
X = Média Amostral; 
 0 = Média Populacional; 
S = Desvio Padrão; 
n = Amostra 
87 
 
do tamanho da amostra. Quanto maior for o tamanho da amostra mais o quociente 
acima se aproxima de 1 (a variância da distribuição normal padrão), e mais a 
distribuição t de Student aproxima-se da distribuição normal padrão. A partir de 
n=30, já é possível considerar a variância da distribuição t de Student 
aproximadamente igual a 1. A variável de teste será então t n-1 (t com n - 1 graus de 
liberdade). 
Portanto,temos a seguinte Fórmula para representar tal situação: 
 
 tcal = X - 0 
 S 
 n 
 
Compara-se o valor da variável de teste com o valor crítico (tn-1,crítico que depende 
do Nível de Significância adotado) de acordo com o tipo de teste. 
 
Se H1:  > 0 Rejeitar H0 se tn-1 > tn-1,crítico ( x > x crítico) 
Se H1:  < 0 Rejeitar H0 se tn-1 < tn-1,crítico ( x < x crítico) 
Se H1:   0 Rejeitar H0 se |tn-1| |tn-1,crítico| 
 
OBS: O Zcal ou tcal, deverá estar na área de aceitação,caso contrário, a hipótese é 
 rejeitada e assim, aceita-se H1. 
 
 
TESTE DE HIPOTESE PARA A IGUALDADE ENTRE DUAS 
MÉDIAS POPULACIONAIS 
 
Há situações em que é necessário verificar a hipótese de existência,com duas 
médias obtidas de populações diferentes. 
 
 
 
88 
 
As hipóteses são: 
H0: µX1 - µX2 = d contra 
H1: µX1 - µX2 ≠ d ou µX1 - µX2 > d 
 
ou ainda 
 
 µX1 - µX2 < d 
Se d = 0, então µX1 - µX2 = 0, isto é, µX1 = µX2. 
 
Como as variâncias são conhecidas, tem-se então que, para n1 e n2 ≥ 30 ou para 
amostras extraídas de populações normais, que a variável D = X1 – X2 ,terá uma 
distribuição aproximadamente normal com média E(D) = µX1 - µX2 e variância V(D) = 
S12 + S22 . A variável teste será, então: 
 n1 n2 
 
Z cal = (X1 – X2) – d e sendo: gl = n1 + n2 - 2 
 S12 + S22 
 n1 n2 
 
 Portanto,temos graficamente o teste de hipótese para duas médias: 
 
 
 
 
 
Assim fixando o nível de significância “α“, a hipótese nula será rejeitada se: 
 |z| > zα/2 no teste bilateral; 
 z > zα, no teste unilateral à direita; 
 z < zα no teste unilateral à esquerda. 
 
/2 
/2 1 -  
 
Área de rejeição da 
hipótese Ho. 
Área de aceitação da 
hipótese Ho. 
Área de rejeição da 
hipótese Ho. 
 
 tcal = X1 – X2 - d 
 S12 + S22 
 n1 n2 
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Exemplo: 
Um fabricante produz dois tipos de pneus. Para o pneu do tipo A o desvio padrão é 
de 2500 km e para o pneu do tipo B é de 3.000 km. Uma companhia de táxis testou 
50 pneus do tipo A e 40 do tipo B, obtendo 24.000 km de média para o “A” e 26.000 
para o tipo “B”. Adotando α = 4% testar a hipótese de que a duração média dos dois 
tipos é a mesma. 
 
Solução: 
 
As hipóteses são: 
H0: µA - µB = 0 ( µA = µB ) contra 
H1: µA - µB ≠ 0 ( µA≠ µB ) 
 Como α = 4%, então zα/2 = -2,05. 
 
O valor da variável teste será: 
 
z = 24.000 – 26.000 - 0 
 2.5002 + 3.0002 
 50 40 
 
Portanto, rejeita-se a hipótese de igualdade entre as durações médias dos dois tipos 
de pneus. Com base nestas amostras, pode-se afirmar, ao nível de 4% de 
significância, que os dois tipos de pneus diferem quanto a durabilidade média. 
 
 
TESTE DE HIPÓTESE PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL 
 
Considere uma população e uma hipótese sobre uma proporção p dessa população: 
 
H0 : p = p0 
 
 
= - 3,38 
 
90 
 
O problema fornece informações sobre H1, que pode ser: 
a) H1 : p = p1 p1 > p0 (teste unilateral à direita) 
b) H1 : p = p1 p1 < p0 (teste unilateral à esquerda) 
c) H1 : p > p0 (teste unilateral à direita) 
d) H1 : p < p0 (teste unilateral à esquerda) 
e) H1 : p  p0 (teste bilateral) 
Quando n (tamanho da amostra) é grande; 
Potanto, temos: 
 
Fórmula: 
n/)p1(p
ppˆ
Z



 ; sendo 
pˆ
 é a proporção da Amostra 
Onde: 
pˆ
 = Proporção Amostral; 
 po = Proporcional Populacional; 
 n = Amostra 
Exemplo: 
 Um laboratório de vacinas contra febre aftosa reivindicou que ela imuniza 90% dos 
animais. Em uma amostra de 200 animais, nos quais foram aplicados a vacina, 160 
foram imunizados. Verificar se a declaração do fabricante é verdadeira ao nível de 
5%. 
Solução: 
H0 : p = 0,90 (p0) 
H1 : p < 0,90 
n = 200 
200
160
pˆ 
 = 0,80  = 0,05 
n/)p1(p
ppˆ
z
00
0
obs



 = 
200/)10,0.90,0(
90,080,0  = - 4,72 
RC = {Z  -1,65} 
 
0 
91 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01) Fazendo o teste H0: µ = 1150 (σ = 150) contra H1: µ = 1200 (σ = 200) e com n 
= 100, estabeleceu-se a seguinte região crítica: RC = [1170, +∞). Determine: 
a) Qual a probabilidade α de rejeitar H0 quando verdadeira? 
b) Qual a probabilidade β de Aceitar H0 quando H1 é verdadeira? 
 
02) Dados os valores: 4, 6, 3, 6 e 6, de uma amostra aleatória de 5 (cinco) 
observações de uma variável X, estime a média e a variância de X e admitindo 
que X tenha uma distribuição normal, teste, a 5%, a hipótese de que a média da 
população é 1 (um), contra a hipótese alternativa de que é maior do que 1 (um). 
 
03) A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está preocupada 
com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos 
tempos, tem sido da ordem de 60 homens/hora por ano, com desvio padrão de 
20 homens/hora. Tentou-se um programa de prevenção de acidentes e, após o 
mesmo, tomou-se uma amostra aleatória de 16 indústrias e verificou-se que o 
tempo perdido baixou para 50 homens /hora ano. Você diria que, ao nível de 
5% de significância, o programa surtiu efeito? 
 
04) Está-se desconfiado de que a média das receitas municipais, per capita, das 
cidades pequenas (menos de 20 mil habitantes) é maior do que a média da 
receita estadual que é de 1229 unidades monetárias. Para testar a hipótese é 
realizada uma amostragem com 10 pequenas cidades que forneceram os 
seguintes resultados (em termos de receitas médias): 
1230, 582, 576, 2093, 2621, 1045, 1439, 717, 1838, 1359 
 Verifique que não é possível rejeitar a hipótese de que as receitas municipais 
são iguais as do estado, aos níveis usuais de significância. Como isto se 
justifica, já que a média da amostra obtida é bem maior do que a média do 
estado! 
 
 
92 
 
05) Um fabricante garante que 90% das peças que fornece a um cliente estão de 
acordo com as especificações exigidas. O exame de uma amostra aleatória de 
200 destas peças revelou 25 fora das especificações. Verifique se as níveis de 
5% e 1% de significância há exagero na afirmativa do fabricante. 
 
06) Suponha que a experiência tenha mostrado que dos alunos submetidos a 
determinado tipo de prova, 20% são reprovados. Se de uma determinada turma 
de 100 alunos, são reprovados apenas 13, pode-se concluir, ao nível de 
significância de 5%, que estes alunos, são melhores? 
 
07) O rótulo de uma caixa de sementes informa que a taxa de germinação é de 
90%. Entretanto, como a data de validade está vencida, acredita-se que a taxa 
de germinação seja inferior a este número. Faz-se um experimento e de 400 
sementes, tomadas ao acaso, 350 germinam. Qual a conclusão ao nível de 5% 
de significância? 
 
08) Diversas políticas, em relação às filiais de uma rede de supermercados, estão 
associadas ao gasto médio dos clientes em cada compra. Deseja-se comparar 
estes parâmetros de duas novas filiais, através de duas amostras de 50 
clientes, selecionados ao acaso, de cada uma das novas filiais. As médias 
obtidas foram 62 e 71 unidades monetárias. Supondo que os desvios padrões 
sejam idênticos e iguais a 20 um, teste a hipótese de que o gasto médio dos 
clientes não é o mesmo nas duas filiais. Utilize uma significância de 2,5%? 
 
09) Num ensaio para testar a proteção de dois tipos de tinta em superfícies 
metálicas, 55 painéis foram pintados com a tinta do tipo A e 75 com a tinta do 
tipo. Decorridos dois anos de exposição dos painéis ao ar livre, verificou-se que, 
dos painéis pintados com tinta A, 6 apresentaram problemas enquanto que dos 
75 painéis pintados com tinta B, 19 apresentaram problemas. Pode-se concluir, 
destes valores, com 5% de significância, que as duas marcas de tintas diferem 
quanto a capacidade de proteção? 
 
93 
 
10) Os salários dos funcionários de uma fábrica de tecidos têm uma distribuição 
aproximadamente normal. Para estimar o salário médio desta população, foram 
observados os salários de 20 funcionários, obtendo-se x = 850 reais e s = 120 
reais. Determine: 
a) Um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. 
b) Um intervalo de confiança de 95% para a variância. 
c) Um intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão populacional. 
 
11) Considerando que uma amostra de cem elementos extraída de uma população 
aproximadamente normal, cujo desvio padrão é igual a 2, forneceu média de 
35,6, construir intervalos de confiança de 90%, 95% e 99% para a média dessa 
população. 
 
12) O valor de face dos títulos depositados em um banco para cobrança simples 
tem distribuição normal com variância 400 (u.m.)2. Uma amostra de 10 títulos 
escolhidos ao acaso forneceu os seguintes valores : 80, 120, 71, 120, 140, 200, 
180, 70, 45, 87. 
 
a) Qual é o intervalo de confiança de 90% para o valor médio dos títulos da 
carteira? 
 
b) O responsável pela carteira afirma, com 80% de confiança, que o valor médio 
dos títulos é de 125. Ele pode estar correto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
94 
 
GABARITO: 
 
01- a) α = P(Rej. H0 / H0 é V) = P( X >1170 /µ = 1150) = P[Z >(1170 - 150)/ 15)] 
 = P(Z > 1,33) = 9,18% 
 b) β = P(Ac H0 / H1 é V) = P( X< 1170 / µ = 1200) =P[Z < (1170 - 1200) /20)]= 
 P(Z < -1,50) = 6,68% 
 
 02- x = 5; S2 = 2 ; t = 6,32 > t 5% = 2,132; Portanto rejeita H0 
 
03- Como α = 5%, zα = -1,645 e zc = -2. Rejeita-se H0, isto é, pode-se dizer que 
o programa surtiu efeito. 
 
04- Como tc = -0,566, não é possível rejeitar a hipótese aos níveis de 1%, 5% e 
mesmo 10%. Isto se justifica devido a grande variabilidade da amostra que 
apresenta um desvio padrão igual a 675,82. 
 
05- H0: π = 10% contra H1: π > 10%. Como zc = 1,18. 
 Logo não se poderejeitar H0. 
 
06- H0: π = 20% contra H1: π < 20%. Como zc = -1,75 e z5% = -1,645 . Logo 
 pode-se rejeitar H0. 
 
07- H0: π = 90% contra H1: π < 90%. Como zc = -1,667 e z5% = -1,645 . Logo 
pode-se rejeitar H0. 
 
08- H0: 1 µ = 2 µ contra H1: 1 µ ≠ 2 µ . Como α = 2,5%, tα = -2,24 e tc = -2,25. 
Rejeitar H0. 
 
09- H0 :π1 = π2 contra H1: :π1 ≠ π2 . Como Zc = 2,20 e z5% = 1,96. Pode-se 
afirmar que as duas tintas diferem. 
 
 
95 
 
 
10- a) A média populacional dos salários está entre R$ 793,84 e 
 R$ 906,16 reais. 
 b) A variância populacional está entre R$ 8.328,26 e R$ 30.717,41 reais. 
 c) O desvio-padrão populacional está entre R$ 91,26 e R$ 175,26 reais. 
 
11- 
99,0)116,35084,35(
95,0)992,35208,35(
90,0)928,35272,35(



XP
XP
XP
 
 
12- a) 
90,0)67,12193,100(  XP
 
b) Não. O valor máximo a esse nível de confiança é de 119,40.