Aula 5 e 6 UFMS CALCULO

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Aula 5
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LIMITES
Definição 13
Um ponto x ∈ R é chamado de ponto de acumulação de um conjunto X ⊂ R se,
∀ϵ > 0, (X ∩ (x− ϵ, x+ ϵ)) \ {x} ≠ ∅.
Observação 17
• Um ponto de acumulação é um ponto onde outros pontos do conjunto X se “aglomeram” arbitrariamente
próximos a ele. Mesmo que x não pertença a X, ele pode ser um ponto de acumulação se houver pontos
de X infinitamente próximos a ele.
• Um ponto de acumulação não precisa necessariamente pertencer ao conjunto X.
• Se x ∈ X e não é ponto de acumulação, ele é chamado de ponto isolado.
Exemplo 49 Considere o conjunto
X =
{
1
n
| n ∈ N
}
.
Mostre que a = 0 é um ponto de acumulação de X.
Solução:
• O conjunto X é da forma
X =
{
1
n
: n ∈ N
}
=
{
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, . . .
}
.
• Seja ϵ > 0 arbitrário. Precisamos encontrar um ponto x ∈ X tal que x ̸= 0 e x ∈ (−ϵ, ϵ).
• Pela propriedade arquimediana dos números reais, para qualquer ϵ > 0, existe um número natural m
suficientemente grande tal que 1
m 0, logo x ̸= 0.
• Assim, , Para qualquer ϵ > 0, encontramos um ponto x = 1
m ∈ X tal que x ∈ (−ϵ, ϵ) e x ̸= 0.
Portanto, a = 0 é um ponto de acumulação de X. ■
Definição 14 Seja f : A ⊂ R → R uma função e a ∈ R um ponto de acumulação de A. Dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a a é L, e escrevemos
lim
x→a
f(x) = L,
se para todo ϵ > 0, existe δ > 0 tal que
0 0, existe um δ > 0 tal que:
0 0,
• Assim, para qualquer ϵ > 0, escolhendo em particular δ = ϵ > 0, garantimos que:
0 0, existe um δ > 0 tal que:
0 0, escolhendo δ = ϵ, garantimos que:
0 0, existe um δ > 0 tal que:
0 0, escolhendo δ = ϵ
2 , garantimos que:
0 0, existe um δ > 0 tal que:
0 0, escolhendo δ = ϵ
3 , garantimos que:
0 0, existe δ > 0 tal que:
a− δ 0, existe δ > 0 tal que:
a 0
−1, se x 0, existe um δ > 0 tal que:
Se 0 0, daí,
|
√
2x− 0| =
√
2x
• Para garantir que √
2x 0, escolhemos δ = ϵ2
2 , garantimos que:
Se 0x→4−
g(x)
Assim, lim
x→4
g(x)não existe.
Portanto, a = 4 satisfaz as condições do item (a).
(b) lim
x→a
g(x) existe, mas g(a) não está definida. Mas g(4) existe.
De fato, se a = 5, segue que
lim
x→5+
g(x) = lim
x→5+
g(x) ̸= lim
x→4−
g(x)
Assim,
lim
x→5+
g(x) = lim
x→5−
g(x) = lim
x→
g(x)
Além disso, temo que g(5) não existe.
Portanto, a = 4 satisfaz as condições do item (b).
(c) lim
x→a−
g(x) e lim
x→a+
g(x) ambos existem, mas limx→a g(x) não existe.
De fato, consideremos a = 2, então existem
lim
x→2+
g(x) e lim
x→2−
g(x)
Mas,
lim
x→2+
g(x) ̸= lim
x→ 2−
g(x)
Assim, não existe
lim
x→2
g(x)
(d) lim
x→a+
g(x) = g(a) mas lim
x→a−
g(x) ̸= g(a).
De fato, lim
x→4+
g(x) = g(4). Mas lim
x→4−
g(x) ̸= g(4)g(a).
Portanto, a = 4 satisfaz as condições do item [(d)].
■
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Aula 6
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Propriedades de Limites
A seguir apresentamos algumas propriedades de limites que serão frequentemente utilizadas.
Teorema 7 (Unicidade do limite) Se limx→a f(x) = L1 e limx→a f(x) = L2, então L1 = L2.
Observação 19 O Teorema acima garante que o limite de uma função é único.
Teorema 8 Se c é uma constante e os limites
lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x)
existem, então
1. Propriedade da Soma: O limite da soma de duas funções é a soma de seus limites, ou seja,
lim
x→a
[f(x) + g(x)] = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x).
2. Propriedade da Diferença: O limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites,
isto é,
lim
x→a
[f(x)− g(x)] = lim
x→a
f(x)− lim
x→a
g(x).
3. Propriedade da Multiplicação por Constante: O limite de uma constante multiplicada por uma
função é a constante multiplicada pelo limite da função, isto é,
lim
x→a
[cf(x)] = c lim
x→a
f(x).
4. Propriedade do Produto: O limite do produto de duas funções é o produto de seus limites, ou seja,
lim
x→a
[f(x) · g(x)] = lim
x→a
f(x) · lim
x→a
g(x).
5. Propriedade da Quociente: O limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites,
desde que o limite do denominador não seja zero, isto é,
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
limx→a g(x)
, desde que lim
x→a
g(x) ̸= 0.
6. Propriedade da potência:
lim
x→a
[f(x)n] =
[
lim
x→a
f(x)
]n
.
7. Propriedade da raiz:
lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a
f(x), onde n é um inteiro positivo.
Se n é par, supomos que limx→a f(x) > 0.
Teorema 9 Se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f , então:
lim
x→a
f(x) = f(a).
Teorema 10 Se f(x) = g(x) quando x ̸= a, então lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x), desde que o limita exista.
Observação 20 As propriedades também valem para os limites laterais quando x → a− ou x → a+.
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Exemplo 56 Calcular
lim
x→2
(2x− 5).
Solução: Sabemos que, em funções polinomiais, o limite quando x se aproxima de um valor a é simplesmente
o valor da função em a, ou seja:
lim
x→a
f(x) = f(a).
Como f(x) = 2x− 5 é uma função polinomial, então, substituímos x = 2 diretamente na função:
lim
x→2
f(x) = f(2) = 2(2)− 5 = −1.
■
Exemplo 57 Calcule o limite:
lim
x→2
x2 − 4
x− 2
.
Solução: Observe que, ao substituir diretamente x = 2 na expressão, obtemos:
22 − 4
2− 2
=
0
0
,
que é uma indeterminação. Portanto, precisamos simplificar a expressão antes de calcular o limite.
Fatorando o numerador
(
a2 − b2 = (a+ b)(a− b)
)
, temos:
x2 − 4
x− 2
=
(x− 2)(x+ 2)
x− 2
.
Para x ̸= 2, podemos cancelar o termo (x− 2), obtendo:
(x− 2)(x+ 2)
x− 2
= x+ 2.
Assim, o limite se reduz a:
lim
x→2
x2 − 4
x− 2
= lim
x→2
(x+ 2).
Agora, substituindo x = 2 na expressão simplificada:
lim
x→2
(x+ 2) = 2 + 2 = 4.
Portanto, o valor do limite é:
lim
x→2
x2 − 4
x− 2
= 4
■
Exemplo 58 Calcular
lim
x→2
−x3 + 5x2 − 7
x2 − 1
.
Solução: Note que, quando x = 2 o denominador é diferente de zero, então
lim
x→2
−x3 + 5x2 − 7
x2 − 1
=
−(2)3 + 5(2)2 − 7
(2)2 − 1
=
−8 + 20− 7
3
=
5
3
Portanto,
lim
x→2
−x3 + 5x2 − 7
x2 − 1
=
5
3
■
67
Exemplo 59 Encontre lim
x→1
f(x), onde:
f(x) =
{
x+ 4, se x ̸= 2
π, se x = 2
Solução: Note que, o valor de um limite, quando x tende a 2, não depende do valor da função em 2. Como
f(x) = x+ 4 para x ̸= 2, temos:
lim
x→2
f(x) = lim
x→2
(x+ 4) = 6.
■
Teorema 11 Se lim
x→a
f(x) > 0 então existe δ > 0 tal que, ∀x ∈ Dom(f),
a− δ 0
Teorema 12 Se f(x) ≤ g(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os limites de f e
g existem quando x tende a a, então
lim
x→a
f(x) ≤ lim
x→a
g(x)
Teorema 13 (Teorema do confronto) Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de a (exceto
possivelmente em a) e:
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
h(x) = L,
então:
lim
x→a
g(x) = L.
Corolário 1 Sejam f e g duas funções com mesmo domínio D tais que
lim
x→a
f(x) = 0 e |g(x)| ≤ M, ∀x ∈ D,
onde M > 0 é um número real fixo, então
lim
x→a
f(x) · g(x) = 0.
Exemplo 60 Mostre que
lim
x→0
x2 sin
(
1
x
)
= 0.
Solução: Observe que, para todo x ̸= 0, a função seno satisfaz:
−1 ≤ sin
(
1
x
)
≤ 1.
Como x2 ≥ 0, ∀x ∈ R, multiplicando a desigualdade acima por x2, obtemos:
−x2 ≤ x2 sin
(
1
x
)
≤ x2.
Sabemos que:
lim
x→0
x2 = 0 e lim
x→0
(−x2) = 0.
Portanto, pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), concluímos que:
lim
x→0
x2 sin
(
1
x
)
= 0.
■
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Exemplo 61 (Limite fundamental) Determine
lim
x→0
sinx
x
Solução:
(i) Se substituirmos x = 0 diretamente na expressão, obtemos:
sin 0
0
=
0
0
,
que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos usar outro método para calcular o limite.
(ii) Temos dois casos, se x > 0 ou x 0 ou outro casso é análogo
• Considere um círculo trigonométrico de raio = 1) e ângulo x pequeno, em radianos.
• Então, o comprimento do arco é x (pois, em radianos, arco = ângulo × raio).
sinx
tanx
cosx
arco x
• O cateto oposto (altura) é sinx e o Segmento da tangente é tanx. Para x próximo de 0, temos a
seguinte desigualdade geométrica:
sinx ≤ x ≤ tanx.
Dividindo todos os termos por sinx (sinx > 0, pois 0 ≤ x ≤ π
2 ):
1 ≤ x
sinx
≤ 1
cosx
.
Invertendo os termos (e as desigualdades):
cosx ≤ sinx
x
≤ 1.
69
• Sabemos que:
lim
x→0
cosx = 1 e lim
x→0
1 = 1.
como
cosx ≤ sinx
x
≤ 1.
Pelo Teorema do Confronto, temos
lim
x→0
sinx
x
= 1.
■
Observação 21 Os limites seguintes também são fundamentais
• lim
x→0
(
1 + 1
x
)
= e.
• Se a ∈ R, com a > 0 e a ̸=, 1 então lim
x→0
(
ax−1
x
)
= ln a.
• lim
x→0
(
ex−1
x
)
= 1.
Exercícios Resolvidos
Exercício 9 Calcular
lim
x→2
x4 − 16
x− 2
.
Solução: observe que,
(x4 − 16) =
(
(x2)2 − 42
)
= (x2 − 4)(x2 + 4) = (x− 2)(x+ 2)(x2 + 4)
Logo,
lim
x→2
x4 − 16
x− 2
= lim
x→2
[
(x+ 2)(x2 + 4)
]
= (2 + 2)(22 + 4) = 32
■
Exercício 10 Calcular
lim
x→0
√
x+ 1−
√
1− x
x
.
Solução: Multiplicando a expressão dada pelo conjugado do numerador, e eliminamos a indeterminação,
lim
x→0
√
x+ 1−
√
1− x
x
= lim
x→0
(
√
x+ 1−
√
1− x)(
√
x+ 1 +
√
1− x)
x(
√
x+ 1 +
√
1− x)
= lim
x→0
(x+ 1)− (1− x)
x(
√
x+ 1 +
√
1− x)
= lim
x→0
2x
x(
√
x+ 1 +
√
1− x)
= lim
x→0
2√
x+ 1 +
√
1− x
=
2√
0 + 1 +
√
1− 0
=
2
2
= 1.
■
70
Exercício 11 Sejam α, β ∈ R∗ constantes não nulas. Calcule:
lim
x→0
sin(αx)
sin(βx)
.
Solução: Reescrevemos a expressão multiplicando e dividindo pelos argumentos:
sin(αx)
sin(βx)
=
(
sin(αx)
αx
)
·
(
βx
sin(βx)
)
· α
β
.
Aplicando os limites fundamentais:
lim
x→0
sin(αx)
αx
= 1 e lim
x→0
βx
sin(βx)
= 1,
pois quando x → 0, tanto αx → 0 quanto βx → 0. Portanto, o limite original se reduz a:
lim
x→0
sin(αx)
sin(βx)
=
α
β
.
■
71
Exercícios
Calcular os seguintes limites
1. lim
x→a
√
x−
√
a
3
√
x− 3
√
a
Solução: Multiplicando o numerador e o denominador pelos conjugados adequados, temos:
lim
x→a
(
√
x−
√
a)(
√
x+
√
a)(
3
√
x2 + 3
√
xa+
3
√
a2)
( 3
√
x− 3
√
a)(
√
x+
√
a)(
3
√
x2 + 3
√
xa+
3
√
a2)
= lim
x→a
(x− a)(
3
√
x2 + 3
√
xa+
3
√
a2)
(x− a)(
√
x+
√
a)
=
3a2/3
2
√
a
=
3
3
√
a2
2
√
a
.
■
72