Handbook de TI - Lógica Matemática - Questões Comentadas

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Questões comentadas
Lógica/Matemática
para concursos
Handbook de Questões de TI Comentadas para Concursos Volume questões de TI
Prefácio
Entre as principais atividades dos profissionais de tecnologia de informação está a resolução
de problemas de naturezas e complexidades diversas. Para formular soluções para tais proble-
mas, o profissional de tecnologia de informação muitas vezes necessita fazer uso de matemática,
álgebra, lógica, análise combinatória, entre outras ferramentas que estão intimamente ligadas à
computação.
É por este motivo que muitos concursos na área de TI tem cobrado noções de matemática
e lógica, como forma de averiguar o conhecimento e a capacidade dos candidatos em resolver
problemas de ordem geral. Este volume foi preparado pelo Grupo Handbook de TI justamente
para suprir esta lacuna, fornecendo uma série que questões de matemática e lógica comentadas
em detalhes para você.
Bons estudos,
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A série Handbook de Questões de TI Comentadas para Concursos � Além do Gabarito é uma
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1. Assuntos relacionados: Lógica,
Banca: CESGRANRIO
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas - Eng. de Software
Ano: 2008
Questão: 39
((p ∨ q)→ (r ∧ s))↔ (¬t)
Para que valores de p, q, r, s e t, respectivamente, a proposição acima é verdadeira?
(a). V, V, V, V, V
(b). V, F, V, F, F
(c). F, F, V, F, F
(d). F, V, F, V, F
(e). F, F, V, V, V
Solução:
As Tabelas 1, 2, 3, 4 e 5 são as tabelas verdade para as operações utilizadas na proposição
da questão.
A ¬ A
V F
F V
Tabela 1: Negação (¬).
A B A → B
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabela 2: Se - Então (→).
P Q P ∨ Q
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabela 3: Ou (∨).
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A B A ∧ B
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabela 4: E (∧).
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabela 5: Se e Somente Se (↔).
Vamos analisar cada alternativa.
(A)
((V ∨ V )→ (V ∧ V ))↔ (¬V )
((V )→ (V ))↔ (F )
(V )↔ (F )
F
(B)
((V ∨ F )→ (V ∧ F ))↔ (¬F )
((V )→ (F ))↔ (V )
(F )↔ (V )
F
(C)
((F ∨ F )→ (V ∧ F ))↔ (¬F )
((F )→ (F ))↔ (V )
(V )↔ (V )
V
(D)
((F ∨ V )→ (F ∧ V ))↔ (¬F )
((V )→ (F ))↔ (V )
(F )↔ (V )
F
(E)
((F ∨ F )→ (V ∧ V ))↔ (¬V )
((F )→ (V ))↔ (F )
(V )↔ (F )
F
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Como podemos notar, os valores para p, q, r, s e t da alternativa (C) tornam a expressão
verdadeira e, por isso, é a alternativa a ser marcada.
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2. Assuntos relacionados: Lógica,
Banca: CESGRANRIO
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas - Eng. de Software
Ano: 2008
Questão: 40
Se Ana sabe que Beatriz tem acesso ao sistema de almoxarifado, então Ana não fez um
pedido. Ou Ana fez um pedido ou a senha de Beatriz foi descoberta. Se Carlos conversou
com Ana, então Ana sabe que Beatriz tem acesso ao sistema de almoxarifado. Ora, nem a
senha de Beatriz foi descoberta nem Beatriz conhece Carlos. Logo:
I - Ana fez um pedido.
II - Ana sabe que Beatriz tem acesso ao sistema de almoxarifado.
III - Carlos não conversou com Ana.
IV - Beatriz conhece Carlos.
São verdadeiras APENAS as conclusões:
(a). I e II
(b). I e III
(c). II e III
(d). II e IV
(e). III e IV
Solução:
Para facilitar, vamos representar as assertivas por letras:
X Ana sabe que Beatriz tem acesso ao sistema de almoxarifado;
Y Ana fez um pedido;
Z A senha de Beatriz foi descoberta;
W Carlos conversou com Ana;
U Beatriz conhece Carlos.
Agora, vamos representar as assertivas em um conjunto de proposições de acordo com o
texto:
i X → ¬Y ;
ii Y ∨ Z;
iii W → X;
iv ¬Z;
v ¬U .
Agora vamos começar a analisar as proposições e tentar achar soluções que respondam a
validade das assertivas I, II, III e IV.
Na Proposição iv, sabemos que a senha de Beatriz não foi descoberta. Já na Proposição
ii, podemos concluir que Ana fez um pedido, pois um dos valores Y e Z deveriam assumir
valor verdadeiro e como temos certeza que Z é falso, concluímos que Y assume verdadeiro.
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Já podemos concluir que a assertiva I é verdadeira.
Analisando a Proposição i, temos que X deve implicar um valor falso (¬Y ). Da tabela
verdade da operação lógica se então, podemos concluir que a única maneira de tornar a
proposição válida é que X assuma valor falso (F → F ). Concluímos, então, ¬X, ou seja,
Ana não sabe que Beatriz tem acesso ao sistema de almoxarifado. A assertiva II é falsa.
Analisando a Proposição iii, temos que o valor de W deve ser falso para tornar a pro-
posição válida, já que X é falso como vimos anteriormente. Logo, Carlos não conversou com
Ana. A assertiva III é verdadeira.
A assertiva IV é claramente falsa de acordo com a Proposição v.
A alternava a ser marcada é a letra (B), já que as únicas assertivas verdadeiras são: I e
III.
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3. Assuntos relacionados: Lógica,
Banca: CESGRANRIO
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas - Eng. de Software
Ano: 2008
Questão: 41
�O projeto será bem-sucedido se ou o processo de desenvolvimento é o Processo Unificado
ou a linguagem utilizada é Java.�. Uma possível tradução da sentença acima para a lógica
de predicados de primeira ordem é
(a). (Sp→ JI)↔ (Sp→ Ud)
(b). Sp↔ (Ud ∨ JI)
(c). Sp↔ (JI ∨ Ud)
(d). (Ud ∨ JI)↔ Sp
(e). (JI ∨ Ud)→ Sp
Solução:
O enunciado pode ser modificado para que tenha o mesmo significado da seguinte maneira:
�Para que o projeto seja bem-sucedido é necessário que pelo menos uma das seguintes as-
sertivas se torne verdadeira: o processo de desenvolvimento é o Processo Unificado ou a
linguagem utilizada é Java.�.
Quando utilizamos a palavra necessário, estamos dizendo que para que o projeto seja bem-
sucedido,obrigatoriamente a condição necessária deve ser atendida. Entretanto, não estamos
dizendo que, caso a condição seja atendida (Processo Unificado ou Java), é suficiente para
que o projeto seja bem-sucedido. Para representar isso, devemos utilizar o se-então.
No caso do uso do OU, devemos estar bem atentos. Pois, em muitos casos, em nossa
linguagem natural, o uso do OU pode representar um Ou-Exclusivo da Lógica de Primeira
Ordem. Um exemplo: hoje à noite, eu vou para casa ou para o trabalho. Claramente, no
exemplo, somente uma das assertivas pode ser verdadeira: Eu vou para casa hoje à noite
ou vou para o trabalho hoje à noite. Já no caso do enunciado da questão, encontramos o
uso do OU menos corriqueiro, sendo utilizado duas vezes, reforçando o entendimento de que
pelo menos uma das assertivas envolvidas deva ser verdadeira.
Dado o exposto acima, podemos concluir que a alternativa (E) é alternativa que corres-
ponde ao significado da frase. Entretanto, a ordem é um pouco diferente e Sp representa
que o projeto será bem-sucedido. Isso ocorre porque a condição necessária é o segundo
operador da operação se-então e a consequência é o primeiro.
Um bom exemplo para fixar os conceitos de suficiência e necessidade é a seguinte pro-
posição: CARIOCA → BRASILEIRO. Ser CARIOCA é suficiente para ser BRASILEIRO,
mas não necessário. Ser BRASILEIRO é necessário para ser CARIOCA.
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4. Assuntos relacionados: Raciocínio Lógico, Álgebra Booleana,
Banca: FCC
Instituição: TRT 16a Região
Cargo: Analista Judiciário - Tecnologia da Informação
Ano: 2009
Questão: 39
Considere p = FALSE e q = TRUE. Os resultados booleanos de p AND q, p OR q e NOT
p serão, respectivamente,
(a). FALSE, TRUE e FALSE.
(b). TRUE, FALSE e FALSE.
(c). TRUE, TRUE e TRUE.
(d). FALSE, TRUE e TRUE.
(e). FALSE, FALSE e TRUE.
Solução:
A operação AND resulta em um valor verdadeiro se e apenas se os valores de ambas as
variáveis p e q assumirem valor verdadeiro. Como p é falso (FALE), o resultado da operação
p AND q é falso (FALSE).
A operação OR resulta em um valor verdadeiro se o valor de qualquer uma das variá-
veis p ou q assumir valor verdadeiro; caso contrário, o resultado da operação é falso. Como
p é falso (FALSE) e q é verdadeiro (TRUE), o resultado da operação p OR q é verdadeiro
(TRUE).
A operação NOT inverte o valor da variável p, isto é, o resultado desta operação é ver-
dadeiro se p é falso, e falso se p é verdadeiro. Como p é falso (FALSE), o resultado da
operação NOT p é verdadeiro (TRUE).
O resultado das três operações são FALSE, TRUE, TRUE. Logo, a alternativa correta é
a (D).
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5. Assuntos relacionados: Lógica,
Banca: Cesgranrio
Instituição: BNDES
Cargo: Analista de Sistemas - Desenvolvimento
Ano: 2008
Questão: 52
A expressão
(NOT A AND B) OR ((B AND NOT A) OR B)
equivale a
(a). B
(b). A
(c). NOT A
(d). tautologia
(e). contradição
Solução:
Antes de partirmos para a resolução desta questão, faremos uma breve revisão sobre algu-
mas das propriedades de equivalência lógica. Para tanto, utilizaremos 3 (três) proposições
simples: p, q e r. As propriedades são expressas pelas seguintes Leis:
• Leis da Idempotência:
� p AND p ⇔ p
� p OR p ⇔ p
• Leis da Comutatividade:
� p AND q ⇔ q AND p
� p OR q ⇔ q OR p
• Leis da Absorção:
� p AND (p OR q)⇔ p
� p OR (p AND q)⇔ p
• Leis da Associatividade:
� (p AND q) AND r ⇔ p AND (q AND r)
� (p OR q) OR r ⇔ p OR (q OR r)
Pronto, agora estamos aptos a resolver a presente questão. Na expressão do nosso problema,
identificamos facilmente 2 (duas) proposições simples (A e B) e 3 operadores lógicos (NOT,
AND e OR). Assim, podemos aplicar os seguintes passos:
1. Aplicando as leis da associatividade na expressão, teremos:
((NOT A AND B) OR (B AND NOT A)) OR B
2. Aplicando as leis da comutatividade na proposição composta (B AND NOT A), teremos:
((NOT A AND B) OR (NOT A AND B)) OR B
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3. Aplicando as leis da idempotência na proposição composta ((NOT A AND B) OR (NOT A
AND B)), teremos:
(NOT A AND B) OR B
4. Por fim, aplicando as leis da absorção, teremos:
B
Portanto, a alternativa A é a correta.
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6. Assuntos relacionados: Raciocínio Lógico,
Banca: Cesgranrio
Instituição: BR Distribuidora
Cargo: Analista de Sistemas - Desenvolvimento
Ano: 2008
Questão: 23
Seja L a expressão lógica a seguir.
∼ ((∼ P∨ ∼ Q) ∨Q)
Considerando-se que os símbolos ∼ e ¬ têm o mesmo significado, o que é obtido após uma
simplificação de L?
(a). P
(b). Q
(c). P v Q
(d). Contradição
(e). Tautologia
Solução:
Para resolver esta questão, podemos montar uma tabela verdade combinando os possíveis
valores, TRUE (T) ou FALSE (F), para P e Q. Lembrando que o símbolo ∨ define uma
operação de OU e ∼ representa uma operação de NOT (negação).
1 2 3 4 5 6 7
P Q ∼ P ∼ Q (∼ P∨ ∼ Q) (∼ P∨ ∼ Q) ∨Q ∼ ((∼ P∨ ∼ Q) ∨Q)
T T F F F T F
T F F T T T F
F T T F T T F
F F T T T T F
Tabela 6: tabela verdade.
Primeiramente realizamos a operação de NOT em P (coluna 3) e Q (coluna 4). Em seguida,
realizamos a operação de OR em (∼ P∨ ∼ Q) , obtendo os valores conforme (coluna 5).
Diante desse resultado, realizamos novamente uma operação de OR em ((∼ P∨ ∼ Q) ∨Q)
(coluna 6).
Para chegarmos ao resultado desejado, realizamos uma operação de NOT no resultado an-
terior. O resultado final são valores FALSE conforme a coluna 7. Como obtemos todos os
valores com FALSE para os possíveis valores de P e Q, concluímos que isso representa uma
contradição, ou seja, qualquer valor que afirmamos para P e Q sempre chegamos a um valor
FALSE de acordo com a expressão lógica L.
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7. Assuntos relacionados: Raciocínio Lógico, Lógica,
Banca: Cesgranrio
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas Pleno - Processos
Ano: 2006
Questão: 34
Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que as proposições r e s são falsas,
assinale a opção que apresenta valor lógico falso nas proposições abaixo.
(a). ¬r ⇒ p ∧ q
(b). (r ⇒ s) ∧ (p ∧ q)
(c). (r ⇔ s)⇔ (p⇔ q)
(d). ¬((r ⇒ p) ∨ (s⇒ q))
(e). r ⇒ q ⇔ (¬p⇔ r)
Solução:
O operador ¬ representa a negação de uma proposição, isto é, se p é verdadeira, ¬p é falso
ou se p é falso, ¬p é verdadeiro.
O operador ∧ indica uma conjunção entre duas proposições, isto é, p ∧ q, que também
é indicado por p e q. O resultado desse operador lógico é mostrado na Tabela 7.
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabela 7: tabela-verdade do operador ∧.
O operador ∨ indica uma disjunção entre duas proposições, isto é, p∨q, que também indicado
por p ou q. O resultado desse operador lógico é mostrado na Tabela 8.
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabela 8: tabela-verdade do operador ∨.
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O operador ⇒ representa uma implicação entre duas proposições, isto é, se p então q. O
resultado desse operador lógico é mostrado na Tabela 9.
p q p⇒ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabela 9: tabela-verdade do operador ⇒.
O operador ⇔ representa uma equivalência entre duas proposições, isto é, p se somente
se q ou p equivalente a q. O resultadodesse operador lógico é mostrado na Tabela 10.
p q p⇔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabela 10: tabela-verdade do operador ⇔.
A análise de cada proposição das alternativas é apresentada na Tabela 11.
Alternativa Proposição
(A) p q r s ¬r p ∧ q ¬r ⇒ p ∧ q
V V F F V V V
(B) p q r s (r ⇒ s) (p ∧ q) (r ⇒ s) ∧ (p ∧ q)
V V F F V V V
(C) p q r s (r ⇔ s) (p⇔ q) (r ⇔ s)⇔ (p⇔ q)
V V F F V V V
(D) p q r s (r ⇒ p) (s⇒ q) ((r ⇒ p) ∨ (s⇒ q)) ¬((r ⇒ p) ∨ (s⇒ q))
V V F F V V V F
(E) p q r s ¬p (¬p⇔ r) q ⇔ (¬p⇔ r) r ⇒ q ⇔ (¬p⇔ r)
V V F F F V V V
Tabela 11: análise das proposições das alternativas.
Conforme os resultados apresentados na Tabela 11, a alternativa que apresenta valor lógico
falso, é a alternativa (D). Portanto, a alternativa correta é a (D).
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8. Assuntos relacionados: Lógica,
Banca: Cespe
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas Júnior - Infraestrutura
Ano: 2007
Questão: 53�55
Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F),
mas não como ambas. As proposições são simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto,
como A, B, C etc., que podem ser conectadas por símbolos lógicos. A expressão A → B é
uma proposição lida como �A implica B�, ou �A somente se B�, ou �A é condição suficiente
para B�, ou �B é condição necessária para A�, entre outras. A valoração de A → B é F
quando A é V e B é F, e nos demais casos é V. A expressão ¬A é uma proposição lida como
�não A� e tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V.
Uma seqüência de 3 proposições da forma A, A → B, B constitui um argumento válido
porque sempre que A e A → B, chamadas premissas, tiverem valorações V, então a valora-
ção de B, chamada conclusão, será obrigatoriamente V.
A partir das informações do texto acima, julgue os itens a seguir.
53 A proposição �O piloto vencerá a corrida somente se o carro estiver bem preparado�
pode ser corretamente lida como �O carro estar bem preparado é condição necessária
para que o piloto vença a corrida�.
54 Uma proposição da forma (¬B → ¬A) → (A → B) é F exatamente para uma das
possíveis valorações V ou F, de A e de B.
55 Simbolizando-se adequadamente, é correto concluir que a seqüência formada pelas três
proposições abaixo constitui um argumento válido.
Premissas:
1. A PETROBRAS patrocinar o Comitê Olímpico Brasileiro (COB) é condição sufi-
ciente para que o COB promova maior número de eventos esportivos.
2. O COB promove maior número de eventos esportivos.
Conclusão:
3. A PETROBRAS patrocina o COB.
Solução:
Os dois primeiros parágrafos contêm somente afirmações e serve até como base para resolução
das três questões.
53 CERTO
O primeiro passo para resolver esta questão é simbolizar as partes da primeira pro-
posição da seguinte forma:
A: o piloto vence a corrida;
B: o carro está bem preparado.
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Agora podemos reescrever a primeira proposição: A somente se B.
Como o próprio enunciado da questão revela, �A somente se B� também pode ser
lido como �B é condição necessária para A�. Substituindo os valores de A e B obtemos:
o carro estar bem preparado é condição necessária para que o piloto vença a corrida.
54 ERRADO
Uma forma bem direta e metódica de resolver esse tipo de questão é por meio de
tabela verdade. De acordo com a teoria da lógica proposicional, a tabela verdade da
sentença A → B é:
- A B A → B
1 F F V
2 F V V
3 V F F
4 V V V
Tabela 12: tabela verdade A → B.
Portanto, podemos utilizar essa tabela verdade para compormos, passo a posso, a tabela
verdade da proposição (¬B → ¬A) → (A → B). Vejamos:
- A B ¬B ¬A (¬B → ¬A) (A → B) (¬B → ¬A) → (A → B)
1 F F V V V V V
2 F V F V V V V
3 V F V F F F V
4 V V F F V V V
Tabela 13: tabela verdade (¬ → ¬A) → (A → B).
Podemos notar facilmente que indiferentemente dos valores de A e B, sempre a propo-
sição (¬B → ¬A) → (A → B) é verdadeira.
55 ERRADO
Similarmente à primeira questão desta série, o primeiro passo para resolver esta questão
é simbolizar as partes da primeira proposição da seguinte forma:
A: a PETROBRAS patrocina o Comitê Olímpico Brasileiro (COB);
B: o COB promove maior número de eventos esportivos.
Agora podemos reescrever as premissas e a conclusão para visualizarmos melhor a ló-
gica envolvida.
Premissas:
1. A → B
2. B
Conclusão:
3. A
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Como o próprio enunciado da questão revela, A → B pode ser lido como �B é con-
dição necessária para A�. Ou seja, não NECESSARIAMENTE se B for verdadeiro A
também será verdadeiro. Contudo, para que A seja verdade, B tem que ser verdadeiro
NECESSARIAMENTE. Enfim, a conclusão de que A é verdade é equivocada.
Uma forma mais direta e metódica de resolver esse tipo de questão é por meio de
tabela verdade. De acordo com a teoria da lógica proposicional, a tabela verdade da
sentença A → B é:
- A B A → B
1 F F V
2 F V V
3 V F F
4 V V V
Tabela 14: tabela verdade A → B.
Eliminamos as linhas da tabela que divergem das premissas (afinal de contas premissa
é premissa) e obtemos as seguintes regras válidas:
- A B A → B
2 F V V
4 V V V
Tabela 15: regras válidas.
Uma rápida analise nessas regras obtidas verificamos que A pode assumir tanto o valor
F quanto V. Portanto, não se pode concluir que A é verdadeira. Ou seja, não se pode
concluir que �o COB promove maior número de eventos esportivos�.
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9. Assuntos relacionados: Probabilidade e Estatística,
Banca: CESGRANRIO
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas - Eng. de Software
Ano: 2008
Questão: 36
Um sistema legado utiliza uma senha alfanumérica de 4 posições, onde só são permitidos
dígitos de 0 a 9 e caracteres alfabéticos maiúsculos de A a Z (incluindo as letras K, W
e Y). Uma senha válida deve ter exatamente 4 caracteres, conter pelo menos um caracter
alfabético, e não pode conter ou ser igual ao login do usuário.
Assumindo que o sistema permite um número ilimitado de tentativas de acesso com se-
nhas erradas, em quantas tentativas, no mínimo, é garantido que um software, capaz de
gerar todas as senhas válidas para um determinado login e tentar se autenticar no sistema,
determine a senha do usuário cujo login é CID?
(a). 1.669.214
(b). 1.669.544
(c). 1.669.616
(d). 1.679.616
(e). 1.680.916
Solução:
Uma das melhores formas de se resolver esse tipo de questão é partir de um determinado
conjunto de elementos e seguir restringindo-o, passo a passo, até obter o subconjunto pedido
na questão. A solução proposta para esta questão segue justamente essa metodologia.
De acordo com o enunciado, cada caractere pode assumir 36 valores distintos. Portanto,
o conjunto formado por sequências distintas de 4 caracteres tem 1.679.616 (36*36*36*36)
elementos. Perceba que nem todos esses elementos são senhas válidas. Temos que descobrir
justamente quantos elementos são senhas válidas.
O primeiro passo é subtrair desse conjunto o subconjunto formado pelas sequências for-
madas por apenas dígitos (0 a 9), afinal de contas uma senha válida tem que ter pelo menos
1 caractere alfabético. Fazendo a primeira subtração temos o subconjunto formado pelas
sequências de 4 caracteres onde pelo menos 1 desses é alfabético (1.679.616 - 10*10*10*10
= 1.669.616). Esse subconjunto ainda não representa todas as senhas válidas.
O segundo passo é subtrair desse últimosubconjunto as sequências de 4 caracteres que
contêm ou são iguais ao login CID. Para que uma sequência de 4 caracteres contenha o login
CID, ela tem que ser do tipo *CID (36 sequências) ou CID* (36 sequências). Ou seja, há 72
sequências de 4 caracteres, onde pelo menos 1 é alfabético, que contém o login CID. Fazendo
a segunda subtração temos o subconjunto formado por todas as senhas válidas (1.669.616 -
72 = 1.669.544).
Para que se garanta que um software determine a senha do usuário CID, esse deve tentar
no mínimo todas as possibilidades de senhas válidas, ou seja, 1.669.544 sequências. Logo, a
alternativa B é a correta.
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10. Assuntos relacionados: Probabilidade e Estatística,
Banca: CESGRANRIO
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas - Eng. de Software
Ano: 2008
Questão: 37
Um sistema legado utiliza uma senha alfanumérica de 4 posições, onde só são permitidos
dígitos de 0 a 9 e caracteres alfabéticos maiúsculos de A a Z (incluindo as letras K, W
e Y). Uma senha válida deve ter exatamente 4 caracteres, conter pelo menos um caracter
alfabético, e não pode conter ou ser igual ao login do usuário.
Acrescentando ao sistema a restrição de que a senha não deve conter caracteres repetidos,
quantas senhas válidas diferentes são possíveis para o usuário cujo login é NINA?
(a). 1.021.020
(b). 1.215.440
(c). 1.217.440
(d). 1.408.680
(e). 1.413.720
Solução:
Uma das melhores formas de se resolver esse tipo de questão é partir de um determinado
conjunto de elementos e seguir restringindo-o, passo a passo, até obter o subconjunto pedido
na questão. A solução proposta para esta questão segue justamente essa metodologia.
De acordo com o enunciado, cada caractere pode assumir 36 valores distintos. Portanto, o
conjunto formado por sequências distintas de 4 caracteres diferentes tem 1.413.720 (36*35*34*33)
elementos. Perceba que nem todos esses elementos são senhas válidas. Temos que descobrir
justamente quantos elementos são senhas válidas.
O primeiro passo é entender que a única sequência de 4 caracteres que contém o login
NINA é a própria sequência NINA. Como há 2 Ns nessa sequência, ela não pertence ao
conjunto de 4 caracteres diferentes. Enfim, essa restrição já está sendo considerada.
O segundo passo é subtrair desse conjunto o subconjunto formado por sequências distin-
tas formadas por apenas dígitos (0 a 9). É importante perceber que esses dígitos tem que
ser diferentes, já que estão no conjunto de sequências de 4 caracteres diferentes. Fazendo essa
subtração temos o subconjunto formado por todas as senhas válidas (1.413.720 - 10*9*8*7
= 1.408.680). Logo, a alternativa D é a correta.
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11. Assuntos relacionados: Análise Combinatória, Permutação Circular, Permutação Sim-
ples, Permutação com Repetição, Arranjo Simples, Arranjo com Repetição, Combinação
Simples, Combinação com Repetição,
Banca: Cesgranrio
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas Pleno - Processos
Ano: 2006
Questão: 31
Uma mesa redonda apresenta lugares para 7 computadores. De quantos modos podemos
arrumar os 7 computadores na mesa de modo que dois deles, previamente determinados,
não fiquem juntos, considerando equivalentes disposições que possam coincidir por rotação?
(a). 120
(b). 240
(c). 480
(d). 720
(e). 840
Solução:
Esta é uma questão clássica de Análise Combinatória. Esse tipo de questão sempre pode ser
resolvida �à mão�. Ou seja, você, um brasileiro que não desiste nunca, toma coragem e lista
todas as possibilidades, elimina as exceções, uma a uma, e então chega ao resultado. Essa
é até uma abordagem válida, mas é arriscada. Em algumas questões, onde o universo de
possibilidades é relativamente grande, geralmente é necessário muito tempo para se chegar
ao resultado. Tempo esse que poderia ficar curto no final da prova. Além disso, as chances
de se equivocar na contagem tem que ser levada em consideração.
Uma abordagem alternativa bastante interessante para resolver questões de Análise Com-
binatória é pelas fórmulas. É muito importante destacar que não basta ter as fórmulas
decoradas. O mais importante, sem dúvida, é saber em que cenário cada fórmula deve ser
usada. A Tabela 16 apresenta de forma consolidada os cenários clássicos e as respectivas
fórmulas que devem ser utilizadas. Nessa Tabela, N é o número de elementos do universo
em questão e P é o número de elementos dentro de um grupo trabalhado. Esses parâmetros
ficarão mais claros nos exemplos de questões a seguir.
Permutação Simples
Questão: quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1, 2, 3, 4
e 8?
Resolução: veja que: (1) N = P, pois o grupo (o número) tem a mesma quantidade de
algarismos; (2) a ordem influencia, pois 12348 é diferente de 84321; e (3) não há repetição
alguma entre os elementos do universo (1, 2, 3, 4 e 8). Portanto, a quantidade procurada é
P5 = 5! = 120.
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N = P? A ordem Tem repetição? Fórmula
influencia?
sim não não 1
sim não sim 1
sim sim não Permutação Simples
PN = N !
sim sim sim Permutação com Repetição
PRa,b,c,...N =
N !
a!b!c!...
não sim não Arranjo Simples
AN,P = N !(N−P !)
não sim sim Arranjo com Repetição
ARN,P = NP
não não não Combinação Simples
CN,P = N !P !(N−P )!
não não sim Combinação com Repetição
CRN,P = C(N+P−1),P
Tabela 16: cenários clássicos de Análise Combinatória.
Permutação com Repetição
Questão: quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT?
Resolução: veja que: (1) N = P, pois temos que utilizar no anagrama as mesmas 6 le-
tras da palavra fornecida; (2) a ordem influencia, pois ARATAR é diferente de TARARA; e
(3) há repetições entre os elementos R e A do universo. Portanto, a quantidade procurada
é PR3,26 =
6!
3!2! = 60.
Arranjo Simples
Questão: com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos dis-
tintos. Dentre eles, quantos são divisíveis por 5?
Resolução: veja que: (1) N != P, pois dos 6 números fornecidos, utilizaremos apenas 4;
(2) a ordem influencia, pois 1234 é diferente de 4321; e (3) não há repetição alguma entre os
elementos que formarão o número de 4 algarismos. Perceba que em Arranjos, deve-se olhar
se há repetições no grupo (número) a ser formado, e não no universo em si. Portanto, a
quantidade procurada pode ser calculada mais facilmente com a fórmula de Arranjo Simples.
Contudo, há nesta questão uma restrição adicional que deve ser considerada: os números
devem ser divisíveis por 5. Vamos resolver a questão por partes, do aspecto mais restritivo
para o menos restritivo. Para que o número seja divisível por 5, o seu algarismo menos
significativo deve ser 0 ou 5. Como o 0 não faz parte do universo, nos resta o 5. Uma parte
da resolução já está pronta: o algarismo menos significativa do número é 5. Agora nos resta
saber quantas são as possibilidades de formação dos outros 3 algarismos utilizando-se os
elementos restantes do universo (1, 2, 3, 4 e 6). Isso pode ser obtido com A5,3 = 5!(5−3)! = 60.
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Arranjo com Repetição
Questão: quantos números de 4 algarismos podem ser formados?
Resolução: veja que: (1) N != P, pois N = 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) e P = 4; (2) a ordem
influencia, pois 1234 é diferente de 4321; e (3) pode haver repetições entre os 4 algarismos.
Portanto, a quantidadeprocurada pode ser calculada mais facilmente com a fórmula de Ar-
ranjo com Repetição. Um equivoco comum seria calcular AR10,4. Isso porque o algarismo
mais significativo, diferente dos demais, pode ser formado por apenas 9 diferentes possibi-
lidades (o 0 fica de fora!). Dessa forma, temos que calcular AR9,1 ∗AR10,3 = 91 ∗103 = 9000.
Combinação Simples
Questão: quantos tipos de salada com 3 tipos de frutas podem ser feitas se temos a dispo-
sição 6 tipos de fruta?
Resolução: veja que: (1) N != P; (2) a ordem não influencia, pois uma salada com ma-
mão, maça e banana é igual a uma salada com banana, maça e mamão; e (3) não faz sentido
repetições de tipos de frutas dentro de uma salada. Portanto, a quantidade procurada é
C6,3 = 6!3!(6−3)! = 20.
Combinação com Repetição
Questão: há a venda 5 marcas de pó de café. Quantas formas diferentes de comprar 7
pacotes de café existem?
Resolução: veja que: (1) N != P; (2) a ordem entre as marcas dentro do pacote não influ-
encia; e (3) pode ter (na verdade sempre haverá) repetições entre marcas dentro do pacote.
Portanto, a quantidade procurada é CR5,7 = C(5+7−1,7) = C11,7 = 11!7!(11−7)! = 330.
Até este ponto 8 cenários clássicos forma expostos, mas nenhum deles é adequado para
resolver o nosso problema. Há um outro cenário clássico que nos serve: Permutação Circu-
lar (ou Cíclica). Como qualquer outra permutação, N = P e a ordem entre os elementos
influencia no resultado. A diferença é que sequências circulares são consideradas como uma
única sequência distinta. Por exemplo, com 3 elementos distintos (A, B e C) teremos que
as sequências ABC, CAB e BCA são consideradas iguais. Portanto, 2 delas devem ser sub-
traídas do cálculo. A fórmula para esse cenário é a seguinte:
PCN = N !N = (N − 1)! (Permutação Circular)
Vejamos um exemplo típico.
Questão: de quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianças?
Resolução: PC5 = 5!5 = (5− 1)! = 24.
Agora sim vamos à resolução de fato do nosso problema. Vamos por partes. Inicialmente,
não consideraremos a restrição de que dois dos computadores, previamente determinados,
não fiquem juntos. Perceba que é um cenário de Permutação Circular. Portanto, o número
de modos em que podemos arrumar os 7 computadores na mesa é PC7 = 7!7 = (7−1)! = 720.
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Contudo, em alguns desses modos dois computadores previamente determinados ficam jun-
tos. Temos que descontar essa quantidade de 720.
Para resolver a segunda parte do problema, imagine que os dois computadores pré-determinados
é na verdade um único computador. Afinal eles estão juntos. Ao fazermos essa consideração,
temos que multiplicar o resultado por 2, pois cada computador desse par pode estar ou na
�primeira� posição ou na �segunda� posição. Nesse subproblema, temos 6 computadores e
queremos saber quantos são os modos distintos de organizá-los de forma circular. Novamente
utilizamos a fórmula: PC6 = 6!6 = (6− 1)! = 120.
Para obtermos o resultado final, subtraímos os 2 ∗ 120 = 240 modos em que podemos
organizar 7 computadores de forma circular com dois deles, pré-definidos, sempre juntos,
dos 720 modos em que podemos organizar 7 computadores de forma circular sem outras
restrições. Enfim, 720− 240 = 480 é o valor que procuramos.
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12. Assuntos relacionados: Raciocínio Lógico, Análise Combinatória, Permutação com Re-
petição,
Banca: Cesgranrio
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas Pleno - Processos
Ano: 2006
Questão: 32
Sabendo que cada anagrama da palavra PIRACICABA é uma ordenação das letras P,I,R,A,C,I,C,A,B,A,
quantos são os anagramas da palavra PIRACICABA que não possuem duas letras A juntas?
(a). 1260
(b). 5040
(c). 30240
(d). 68040
(e). 70560
Solução:
Antes de resolvermos esta questão, primeiro, apresentamos o conceito de anagrama e de
permutação.
Anagrama é uma palavra ou frase formada de outra por meio de uma transposição de letras.
No nosso caso, a palavra PIRACICABA e APIRACICAB são dois anagramas possíveis com
as letras P, I, R, A, C, I, C, A, B e A.
Note que as letras (P, I, R, A, C, I, C, A, B e A) utilizadas para formar os anagramas
possuem repetições, isto é, a letra A ocorre 3 vezes, as letras C e I ocorrem 2 vezes, e o
restante das letras ocorrem 1 vez. Para obter o número de anagramas que não possuem duas
letras A juntas, utilizaremos a fórmula de permutação com repetição. Dado n elementos
com p e q repetições, o número possível de combinações é:
P p,qn = n!/(p! ∗ q!)
Então, o número total de anagramas com essas letras, chamamos de NT , é:
NT 3,2,210 = 10!/(3! ∗ 2! ∗ 2!) = 151.200
Para determinar o número de anagramas que não possuem duas letras A juntas, preci-
samos determinar o número de anagramas com duas letras A juntas, chamamos de NTDAJ .
O nosso anagrama contém 10 posições, sendo que duas letras A juntas podem ocorrer 9
vezes e três letras A juntas podem ocorrer 8 vezes. A Figura 1 mostra possíveis posições de
duas letras A e três letras A juntas.
Quando consideramos duas letras A juntas nas posições 1 e 2, temos 8 possibilidades (P, I,
R, C, I, C, B e A) para colocarmos uma letra, inclusive outra letra A, para a posição 3 (vide
Figura 1). Para posição 4, temos 7 possibilidades, e assim por diante até a posição 10, onde
temos uma possibilidade. Isso caracteriza uma permutação, mas como temos letras repetidas
(C e I ocorrem 2 vezes), temos uma permutação com repetição, isto é, P 2,28 . Note que nesta
permutação, apenas as letras C e I estão repetidas, pois duas letras A estão nas posições 1 e 2.
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Figura 1: possibilidades de anagramas com duas e três letras A juntas.
Para calcularmos o número total de anagramas com duas letras A juntas temos que multi-
plicar o número de vezes que duas letras A juntas ocorrem em 10 posições (isto é, 9 vezes)
por P 2,28 . Então, NTDAJ é:
NTDAJ = 9 ∗ P 2,28 = 9 ∗ (10.080) = 90.720
Note que NTDAJ leva em consideração o caso de anagramas com três letras A juntas,
pois não excluímos a letra A no cálculo de P 2,28 . Para encontrarmos de fato o número total
de anagramas com duas letras A juntas, precisamos encontrar o número total de anagramas
com três letras A juntas, chamamos NTTAJ , e descontar este valor de NTDAJ .
Com bases no cálculo de NTDAJ , encontrar NTTAJ temos que multiplicar o número
de vezes que três letras A juntas ocorrem em 10 posições (isto é, 8 vezes) por P 2,27 . O
cálculo de P 2,27 considera que das 10 letras possíveis para formar o anagrama, temos apenas
7 letras para preencher as posições de 4 a 10 (vide Figura 1), considerando que temos três
letras nas posições 1, 2 e 3. As repetições em P 2,27 são referentes às letras C e I. Então,
NTTAJ é:
NTTAJ = 8 ∗ P 2,27 = 8 ∗ (1.260) = 10.080
Na verdade, o número total de anagramas com duas letras A juntas, chamados NTDAJV , é
NTDAJV = NTDAJ −NTTAJ = 90.720− 10.080 = 80.640
O número total de anagramas que não possuem duas letras A juntas, chamados de NTNAJ ,
é
NTNAJ = NT −NTDAJV = NT − (NTDAJ −NTTAJ) = 151.200− 80.640 = 70.560
Portanto, a alternativa correta é a (E).
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13. Assuntos relacionados: Probabilidade e Estatística,
Banca: Cespe
Instituição: Petrobras
Cargo: Analista de Sistemas Júnior - Infraestrutura
Ano: 2007
Questão: 51�52
A PETROBRAS patrocina eventos esportivos como a Stock Car, a Fórmula Truck, o Team
Scud PETROBRAS de Motovelocidade,o Rally dos Sertões, a equipe PETROBRAS Lubrax
e também o Clube de Regatas do Flamengo. De acordo com essas informações, julgue os
itens a seguir.
51 Se a PETROBRAS decidisse cortar aleatoriamente dois dos seis patrocínios acima
citados, então, a quantidade de possibilidades de cortes seria superior a 350.
52 Considere que cada atleta do Clube de Regatas do Flamengo possua, para momentos
oficiais do clube, 8 uniformes completos � conjunto de elementos de vestuário �, cujos
elementos não podem ser trocados de um uniforme para outro, e, para momentos não-
oficiais do clube, 5 calças e 3 agasalhos distintos, que podem ser combinados. Nessa
situação, cada atleta possui um total de 23 maneiras distintas de se vestir para os
momentos oficiais e não-oficiais do clube.
Solução:
51 ERRADO
Não é complicado concluir que se a PETROBRAS decidisse cortar aleatoriamente 2
dos seis patrocínios, haveria apenas 15 possibilidades de cortes, que é menor que 350.
A forma mais simples de resolver esse tipo de questão é utilizando-se do princípio
fundamental da contagem. Ele é um princípio combinatório que indica de quantas
formas se pode escolher um elemento de cada um de n conjuntos finitos. Se o primeiro
conjunto tem k1 elementos, o segundo tem k2 elementos, e assim sucessivamente, então
o número total T de escolhas é dado por: T = k1 * k2 * k3 * ... * kn.
Especificamente com relação a esta questão, para se escolher aleatoriamente o pri-
meiro patrocínio a ser cortado, há 6 possibilidades (número de elementos do conjunto).
Depois dessa escolha, haverá um novo conjunto com 5 elementos (conjunto original,
menos o elemento escolhido). Portanto, para se escolher aleatoriamente o segundo pa-
trocínio a ser cortado, há 5 possibilidades (número de elementos do novo conjunto).
Pelo princípio fundamental da contagem, obtemos o número 30 (6 * 5). Neste ponto,
é fundamental perceber que as possibilidades de cortes estão duplicadas dentro desse
conjunto de 30. Por exemplo, as possibilidades P1P2 e P2P1, na verdade, cortam os
mesmos patrocínios (P1 e P2). Portanto, para se obter o número de possibilidades de
cortar 2 dos seis patrocínios, é necessário dividir o número obtido com o princípio de
contagem por dois, resultando no valor 15.
Uma outra forma (mais segura) de se resolver esta questão é por meio de fórmula.
O mais importante neste caso é saber identificar qual é o tipo de problema que se pre-
tende resolver: combinação (com ou sem repetições), arranjo (com ou sem repetições),
permutação (com ou sem repetições), etc. Como estamos interessados em descobrir o
número de escolhas de 2 elementos, sem repetições, entre 6 elementos, onde a ordem
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entres as escolhas não faz diferença, temos que utilizar a fórmula de combinação
sem repetições: C62 =
6!
2!∗(6−2)! = 15.
52 CERTO
Uma forma simples de resolver esta questão é dividir os uniformes completos em dois
cenários: momentos oficiais e momentos não-oficiais. Para os momentos oficiais, o texto
é claro, são 8 uniformes completos. Já para os momentos não-oficiais, são 15 uniformes
completos. Obter esse último número não é complicado. Cada uniforme completo é
composto por 1 calça e 1 agasalho. Para cada calça escolhida (dentre 5) é possível
escolher 3 agasalhos distintos. Exemplo: o atleta escolhe a calça 1, então, ele poderá
formar 3 diferentes uniformes completos para momentos não-oficiais, pois ele poderá
escolher qualquer um dos 3 agasalhos. Enfim, o número de uniformes completos para
momentos não-oficiais é uma simples multiplicação (5 x 3 = 15).
Perceba que a afirmação é de que cada atleta possui um total de 23 maneiras dis-
tintas de se vestir para os momentos oficiais �E� não-oficiais do clube. Destaquei o �E�,
pois ele deve ser visto como uma operação de soma de possibilidades. Ou seja, se há
8 formas distintas de um atleta se vestir em momentos oficiais e 15 formas distintas
de um atleta se vestir em momentos não-oficiais, então, há 23 formas distintas de um
atleta se vestir nos dois tipos de momentos considerados.
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Questão Resposta
1 C
2 B
3 E
4 D
5 A
6 D
7 D
8 53 CERTO 54 ERRADO 55 ERRADO
9 B
10 D
11 C
12 E
13 51 ERRADO 52 CERTO
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Índice Remissivo
Álgebra Booleana, 10
Análise Combinatória, 21, 25
Arranjo com Repetição, 21
Arranjo Simples, 21
Combinação com Repetição, 21
Combinação Simples, 21
Lógica, 4, 7, 9, 11, 14, 16
Permutação Circular, 21
Permutação com Repetição, 21, 25
Permutação Simples, 21
Probabilidade e Estatística, 19, 20, 27
Raciocínio Lógico, 10, 13, 14, 25
30