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Limites Trigonométricos Resolvidos Sete páginas e 34 limites resolvidos 1 Usar o limite fundamental e alguns artifícios : 1lim 0 = ® x senx x 1. x x x sen lim 0® = ? à x x x sen lim 0® = 0 0 , é uma indeterminação. x x x sen lim 0® = x xx sen 1lim 0® = x x x senlim 1 0® = 1 logo x x x sen lim 0® = 1 2. x x x 4senlim 0® = ? à x x x 4senlim 0® = 0 0 à x x x 4 4sen.4lim 0® = 4. y y y senlim 0® =4.1= 4 logo x x x 4senlim 0® =4 3. x x x 2 5senlim 0® = ? à = ® x x x 5 5sen. 2 5lim 0 = ® y y y sen . 2 5lim 0 2 5 logo x x x 2 5senlim 0® = 2 5 4. nx mx x senlim 0® = ? à nx mx x senlim 0® = mx mx n m x sen.lim 0® = n m . y y y senlim 0® = n m .1= n m logo nx mx x senlim 0® = n m 5. x x x 2sen 3senlim 0® = ? à x x x 2sen 3senlim 0® = = ® x x x x x 2sen 3sen lim 0 = ® x x x x x 2 2sen.2 3 3sen.3 lim 0 . 2 3 2 2senlim 3 3senlim 0 0 = ® ® x x x x x x . 1. 2 3 senlim senlim 0 0 = ® ® t t y y t y = 2 3 logo x x x 2sen 3senlim 0® = 2 3 6. sennx senmx x 0 lim ® = ? à nx mx x sen senlim 0® = x nx x mx x sen sen lim 0® = nx nxn mx mxm x sen. sen. lim 0® = nx nx mx mx n m x sen sen .lim 0® = n m Logo sennx senmx x 0 lim ® = n m 7. = ® x tgx x 0 lim ? à = ® x tgx x 0 lim 0 0 à = ® x tgx x 0 lim = ® x x x x cos sen lim 0 = ® xx x x 1. cos senlim 0 xx x x cos 1.senlim 0® = xx x xx cos 1lim.senlim 00 ®® = 1 Logo = ® x tgx x 0 lim 1 8. ( ) 1 1lim 2 2 1 - - ® a atg a = ? à ( ) 1 1lim 2 2 1 - - ® a atg a = 0 0 à Fazendo î í ì ® ® -= 0 1 ,12 t x at à ( ) t ttg t 0 lim ® =1 logo ( ) 1 1lim 2 2 1 - - ® a atg a =1 Limites Trigonométricos Resolvidos Sete páginas e 34 limites resolvidos 2 9. xx xx x 2sen 3senlim 0 + - ® = ? à xx xx x 2sen 3senlim 0 + - ® = 0 0 à ( ) xx xxxf 2sen 3sen + - = = ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ - x xx x xx 5sen1. 3sen1. = ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ - x xx x xx .5 5sen.51. .3 3sen.31. = x x x x .5 5sen.51 .3 3sen.31 + - à 0 lim ®x x x x x .5 5sen.51 .3 3sen.31 + - = 51 31 + - = 6 2- = 3 1 - logo xx xx x 2sen 3senlim 0 + - ® = 3 1 - 10. 30 senlim x xtgx x - ® = ? à 30 senlim x xtgx x - ® = xx x xx x x cos1 1.sen. cos 1.senlim 2 2 0 +® = 2 1 ( ) 3 sen x xtgx xf - = = 3 sen cos sen x x x x - = 3 cos cos.sensen x x xxx - = ( ) xx xx cos. cos1.sen 3 - = x x xx x cos cos1.1.sen 2 - = x x x x xx x cos1 cos1. cos cos1.1.sen 2 + +- = xx x xx x cos1 1.cos1. cos 1.sen 2 2 + - = xx x xx x cos1 1.sen. cos 1.sen 2 2 + Logo 30 senlim x xtgx x - ® = 2 1 11. 30 sen11 lim x xtgx x +-+ ® =? à xtgxx xtgx x sen11 1.senlim 30 +++ - ® = xtgxxx x xx x x sen11 1. cos1 1.sen. cos 1.senlim 2 2 0 ++++® = 2 1. 2 1. 1 1. 1 1.1 = 4 1 ( ) 3 11 x senxtgx xf +-+ = = xtgxx xtgx sen11 1.sen11 3 +++ --+ = xtgxx xtgx sen11 1.sen3 +++ - 30 sen11 lim x xtgx x +-+ ® = 4 1 12. ax ax ax - - ® sensenlim = ? à ax ax ax - - ® sensenlim = ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ - ® 2 .2 2 cos. 2 sen2 lim ax axax ax = 1 2 cos. . 2 .2 ) 2 sen(2 lim ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ - - ® ax ax ax ax = acos Logo ax ax ax - - ® sensenlim = cosa Limites Trigonométricos Resolvidos Sete páginas e 34 limites resolvidos 3 13. ( ) a xax a sensenlim 0 -+ ® = ? à ( ) a xax a sensenlim 0 -+ ® = 1 2 cos. . 2 .2 2 sen2 lim ÷ ø ö ç è æ ++ ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ -+ ® xax ax xax aa = 1 2 2cos. . 2 .2 2 sen2 lim ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ ® ax a a aa = xcos Logo ( ) a xax a sensenlim 0 -+ ® =cosx 14. ( ) a xax a coscoslim 0 -+ ® = ? à ( ) a xax a coscoslim 0 -+ ® = a xaxxax a ÷ ø ö ç è æ -- ÷ ø ö ç è æ ++- ® 2 sen. 2 sen2 lim 0 = ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ +- ® 2 .2 2 sen. 2 2sen.2 lim 0 a aax a = ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ +- ® 2 2 sen . 2 2senlim 0 a a ax a = xsen- Logo ( ) a xax a coscoslim 0 -+ ® =-senx 15. ax ax ax - - ® secseclim = ? à ax ax ax - - ® secseclim = ax ax ax - - ® cos 1 cos 1 lim = ax ax xa ax - - ® cos.cos coscos lim = ( ) axax xa ax cos.cos. coscoslim - - ® = ( ) axax xaxa ax cos.cos. 2 sen. 2 sen.2 lim - ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ +- ® = axxa xaxa ax cos.cos 1. 2 .2 2 sen . 1 2 sen.2 lim ÷ ø ö ç è æ -- ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ +- ® = axxa xaxa ax cos.cos 1. 2 2 sen . 1 2 sen lim ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ + ® = aa a cos.cos 1.1. 1 sen = aa a cos 1. cos sen = atga sec. Logo ax ax ax - - ® secseclim = atga sec. 16. x x x sec1 lim 2 0 -® = ? à x x x sec1 lim 2 0 -® = ( )xxx xx cos1 1. cos 1.sen 1lim 2 20 + - ® = 2- ( ) x xxf cos 11 2 - = = x x x cos 1cos 2 - = ( )x xx cos1.1 cos.2 -- = ( ) ( ) ( )x x xx x cos1 cos1. cos 1.cos1 1 2 + +- - = ( )xxx x cos1 1. cos 1.cos1 1 2 2 + - - = ( )xxx x cos1 1. cos 1.sen 1 2 2 + - Limites Trigonométricos Resolvidos Sete páginas e 34 limites resolvidos 4 17. tgx gx x - - ® 1 cot1 lim 4 p = ? à tgx gx x - - ® 1 cot1lim 4 p = tgx tgx x - - ® 1 11 lim 4 p = tgx tgx tgx x - - ® 1 1 lim 4 p = tgx tgx tgx x - -- ® 1 )1.(1 lim 4 p = tgxx 1lim 4 - ® p = 1- Logo tgx gx x - - ® 1 cot1 lim 4 p = -1 18. x x x 2 3 0 sen cos1lim - ® = ? à x x x 2 3 0 sen cos1lim - ® = ( )( ) x xxx x 2 2 0 cos1 coscos1.cos1lim - ++- ® = ( )( ) ( )( )xx xxx x cos1.cos1 coscos1.cos1lim 2 0 +- ++- ® = x xx x cos1 coscos1lim 2 0 + ++ ® = 2 3 Logo x x x 2 3 0 sen cos1lim - ® = 2 319. x x x cos.21 3senlim 3 -®p = ? à x x x cos.21 3senlim 3 -®p = ( ) 1 cos.21.senlim 3 xx x + - ® p = 3- ( ) x xxf cos.21 3sen - = = ( ) x xx cos.21 2sen - + = x xxxx cos.21 cos.2sen2cos.sen - + = ( ) x xxxxx cos.21 cos.cos.sen.21cos2.sen 2 - +- = ( )[ ] x xxx cos.21 cos21cos2.sen 22 - +- = [ ] x xx cos.21 1cos4.sen 2 - - = ( )( ) x coxcoxx cos.21 .21..21.sen - +- - = ( ) 1 cos.21.sen xx + - 20. tgx xx x - - ® 1 cossenlim 4 p = ? à tgx xx x - - ® 1 cossenlim 4 p = ( )x x coslim 4 - ®p = 2 2 - ( ) tgx xxxf - - = 1 cossen = x x xx cos sen1 cossen - - = x x xx cos sen1 cossen - - = x xx xx cos sencos cossen - - = ( ) x xx xx cos cossen.1 cossen -- - = xx xxx sencos cos. 1 cossen - - - = xcos- 21. ( ) )sec(cos.3lim 3 xx x p- ® = ? à ( ) )sec(cos.3lim 3 xx x p- ® = ¥.0 ( ) ( ) )sec(cos.3 xxxf p-= = ( ) ( )xx psen 1.3 - = ( )x x pp - - sen 3 = ( )x x pp - - 3sen 3 = ( ) ( )x x - - 3. 3sen. 1 p ppp = ( ) ( )x x pp ppp - - 3 3sen. 1 à ( ) )sec(cos.3lim 3 xx x p- ® = ( ) ( )x xx pp ppp - -® 3 3sen. 1lim 3 = p 1 22. )1sen(.lim x x x®µ = ? à )1sen(.lim x x x®µ = 0.¥ x x x 1 1sen lim ÷ ø ö ç è æ ®µ = 1senlim 0 = ® t t t à Fazendo î í ì ® +¥® = 0 1 t x x t Limites Trigonométricos Resolvidos Sete páginas e 34 limites resolvidos 5 23. 1sen.3sen.2 1sensen.2lim 2 2 6 +- -+ ® xx xx x p = ? à 1sen.3sen.2 1sensen.2lim 2 2 6 +- -+ ® xx xx x p = x x x sen1 sen1lim 6 +- + ®p = 6 sen1 6 sen1 p p +- + = 2 11 2 11 +- + = 3- à ( ) 1sen.3sen.2 1sensen.2 2 2 +- -+ = xx xxxf = ( ) ( )1sen. 2 1sen 1sen. 2 1sen -÷ ø ö ç è æ - +÷ ø ö ç è æ - xx xx = ( )( )1sen 1sen - + x x = x x sen1 sen1 +- + 24. ( ) ÷ ø ö ç è æ- ® 2 .1lim 1 xtgx x p = ? à ( ) ÷ ø ö ç è æ- ® 2 .1lim 1 xtgx x p = ¥.0 à ( ) ( ) ÷ ø ö ç è æ-= 2 .1 xtgxxf p = ( ) ÷ ø ö ç è æ -- 22 cot.1 xgx pp = ( ) ÷ ø ö ç è æ - - 22 1 xtg x pp = ( ) ÷ ø ö ç è æ - - 22 2.1. 2 xtg x pp p p = ( )x xtg - ÷ ø ö ç è æ - 1. 2 22 2 p pp p = ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ - 22 22 2 x xtg pp pp p à ( ) ÷ ø ö ç è æ- ® 2 .1lim 1 xtgx x p = ÷ ø ö ç è æ - ÷ ø ö ç è æ - ® 22 22 2 lim 1 x xtg x pp pp p = ( ) t ttg t 0 lim 2 ® p = p 2 Fazendo uma mudança de variável, temos : î í ì ® ® -= 0 1 2 t x x xt pp 25. ( )x x x psen 1lim 2 1 - ® = ? à ( )x x x psen 1lim 2 1 - ® = ( ) ( )x x x x pp ppp - - + ® sen. 1lim 1 = p 2 ( ) x xxf psen 1 2- = = ( )( )( )x xx pp - +- sen 1.1 = ( ) ( )x x x - - + 1 sen 1 pp = ( ) ( )x x x - - + 1. sen. 1 p ppp = ( ) ( )x x x pp ppp - - + sen. 1 26. ÷ ø ö ç è æ - ® xgxg x 2 cot.2cotlim 0 p = ? à ÷ ø ö ç è æ - ® xgxg x 2 cot.2cotlim 0 p = 0.¥ ( ) ÷ ø ö ç è æ -= xgxgxf 2 cot.2cot p = tgxxg .2cot = xtg tgx 2 = xtg tgx tgx 21 2 - = tgx xtgtgx .2 1. 2- = 2 1 2 xtg- ÷ ø ö ç è æ - ® xgxg x 2 cot.2cotlim 0 p = 2 1lim 2 0 xtg x - ® = 2 1 27. x xx x 2 3 0 sen coscoslim - ® = 11102 2 1 ...1 lim tttt t t +++++ - ® = 12 1 - ( ) x xxxf 2 3 sen coscos - = = 12 23 1 t tt - - = ( ) ( )( )11102 2 ...1.1 1. ttttt tt +++++- -- = 11102 2 ...1 tttt t +++++ - 63.2 coscos xxt == î í ì ® ® 1 0 t x xt cos6 = , xt 212 cos= , 122 1sen tx -= Limites Trigonométricos Resolvidos Sete páginas e 34 limites resolvidos 6 BriotxRuffini : 1 0 0 ... 0 -1 1 • 1 1 ... 1 1 1 1 1 ... 1 0 28. xx xx x sencos 12cos2senlim 4 - -- ®p = ? à xx xx x sencos 12cos2senlim 4 - -- ®p = ( )x x cos.2lim 4 - ®p = 4 cos.2 p- = 2 2.2- = 2- ( ) xx xxxf sencos 12cos2sen - -- = = ( ) xx xxx sencos 11cos2cossen.2 2 - --- = xx xxx sencos 11cos2cos.sen.2 2 - -+- = xx xxx sencos cos2cos.sen.2 2 - - = ( ) xx xxx sencos sencos.cos.2 - -- = xcos.2- 29. ( ) 112 1senlim 1 -- - ® x x x = ? à ( ) 112 1senlim 1 -- - ® x x x = ( )( ) 1 112. 1 1sen. 2 1lim 1 +- - - ® x x x x = 1 ( ) ( ) 112 1sen -- - = x xxf = ( ) 112 112. 112 1sen +- +- -- - x x x x = ( ) 1 112. 112 1sen +- -- - x x x = ( )( ) 1 112. 1.2 1sen +- - - x x x = ( ) ( ) 1 112. 1 1sen. 2 1 +- - - x x x 30. 3 cos.21lim 3 pp - - ® x x x = ? à 3 cos.21lim 3 pp - - ® x x x = ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ - ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ - ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ + ® 2 3 2 3sen . 2 3sen.2lim 3 x x x x p p p p = . 2 33sen.2 ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ + pp = . 2 3 2 sen.2 ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ p = . 3 sen.2 ÷ ø ö ç è æ p = 3 2 3.2 = ( ) 3 cos.21 p - - = x xxf = 3 cos 2 1.2 p - ÷ ø ö ç è æ - x x = 3 cos 3 cos.2 p p - ÷ ø ö ç è æ - x x = ( ) ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ - - ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ - ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ + - 2 3.2.1 2 3sen. 2 3sen2.2 x xx p pp = ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ - ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ - ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ + 2 3 2 3sen. 2 3sen.2 x xx p pp = ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ - ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ - ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ + 2 3 2 3sen . 2 3sen.2 x x x p p p 31. xx x x sen. 2cos1lim 0 - ® = ? à xx x x sen. 2cos1lim 0 - ® = x x x sen.2lim 3 p ® = 2 Limites Trigonométricos Resolvidos Sete páginas e 34 limites resolvidos 7 ( ) xx xxf sen. 2cos1 - = = ( ) xx x sen. sen211 2-- = xx x sen. sen211 2+- = xx x sen. sen.2 2 = x xsen.2 32. xx x x sen1sen1 lim 0 --+® = ? à xx x x sen1sen1 lim 0 --+® = x x xx x sen.2 sen1sen1lim 0 -++ ® = 1.2 11+ =1 ( ) xx xxf sen1sen1 --+ = = ( )( )xx xxx sen1sen1 sen1sen1. --+ -++ = ( ) xx xxx sen1sen1 sen1sen1. +-+ -++ = ( ) x xxx sen.2 sen1sen1. -++ = x x xx sen.2 sen1sen1 -++ = 1.2 11+ = 1 33. xx x x sencos 2coslim 0 -® = 1 sencoslim 0 xx x + ® = 2 2 2 2 + = 2 ( ) xx xxf sencos 2cos - = = ( )( )( )xxxx xxx sencos.sencos sencos.2cos+- + = ( ) xx xxx 22 sencos sencos.2cos - + = ( ) x xxx 2cos sencos.2cos + = ( ) x xxx 2cos sencos.2cos + = 1 sencos xx + = 2 2 2 2 + = 2 34. 3 sen.23lim 3 pp - - ® x x x = ? à 3 sen.23lim 3 pp - - ® x x x = 3 sen 2 3.2 lim 3 pp - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - ® x x x = 3 sen 3 sen.2 lim 3 p p p - ÷ ø ö ç è æ - ® x x x = 3 2 3cos. 2 3sen.2 lim 3 p pp p - ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ + ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ - ® x xx x = 3 3 2 3 3 cos. 2 3 3 sen.2 lim 3 p pp p - ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ + ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ - ® x xx x = ( ) 3 3.1 6 3cos. 6 3sen.2 lim 3 x xx x -- ÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ - ® p pp p 35. ?
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