er pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como aplicá-lo através de manipulações das expressões matemáticas pode salvar muito...

Analisando as afirmativas: I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero. Podemos aplicar a regra de L'Hôpital, derivando tanto o numerador quanto o denominador em relação a x. Temos: lim x→0 tg(x²)/x = lim x→0 (2x * 1/cos²(x²))/1 = lim x→0 2x/cos²(x²) = 0 Portanto, a afirmativa I está correta. II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x). Podemos utilizar a regra do produto para derivar a função. Temos: (sen(5x)cos(3x))' = (5cos(5x)cos(3x) - 3sen(5x)sen(3x)) Portanto, a afirmativa II está incorreta. III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n. Podemos aplicar a regra de L'Hôpital, derivando tanto o numerador quanto o denominador em relação a x. Temos: lim x→0 sen(mx)/nx = lim x→0 mcos(mx)/n = m/n Portanto, a afirmativa III está correta. IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x). Podemos utilizar a regra do produto para derivar a função. Temos: (cos(5x)sen(3x))' = (5cos(5x)sen(3x) - 3sen(5x)cos(3x)) Portanto, a afirmativa IV está incorreta. Assim, a única afirmativa correta é a I. A resposta correta é letra A.