Material de treliças

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Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 21 3 TRELIÇAS 3.1 Definição Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados unicamente nos nós. Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um mesmo plano. Para se calcular uma treliça deve-se: a) determinar as reações de apoio; b) determinar as forças nas barras. A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é: onde: b= número de barras número de nós número de reações de apoio Adota-se como convenção de sinais: barras tracionadas: positivo setas saindo do nó barras comprimidas: negativo setas entrando no nó Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e analíticos. Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós, abaixo exemplificado.Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 22 3.2 Método do equilíbrio dos nós Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio. No caso da treliça da figura, no 50 kN 100 kN nó A tem-se um apoio móvel e no nó B C D B, um apoio fixo. Como os apoios móveis restringem somente deslocamentos os perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical a HE Como os apoios fixos A F E restringem deslocamentos paralelos e 2 m 2 m perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical RB e uma reação horizontal RA RE Verificar se a treliça é uma estrutura isostática barras b=9 Conclusão: nós n=6 a treliça é uma estrutura isostática reações v=3 Cálculo do ângulo de inclinação das barras a = arctg cateto oposto 2 cateto adjacente 2 a) Cálculo das reações de apoio Equação de equilíbrio das forças na horizontal: conclusão: Equação de equilíbrio das forças na vertical: = kN (1) Equação de equilíbrio de momentos: Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o nó A como referência, tem-se 400 RE = 100 kN Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se: RA + 100 200 kN logo = 100 kN b) Cálculo das forças nas barras Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori se as forças nas barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valorMecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 23 determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta deve ser mudado. Nó A N1 N2 = 0 N2 A =0 100 + N1 = 0 N1 = -100 kN RA Nó B = 0 50 N3 + N4 cos 45° = 0 N3 = -50 kN N3 B 45° = 0 100 - 50 - N4sen45° = 0 N4 N4 = 70,7 kN 100 Nó C 100 50 + N5 = 0 N5 = -50 kN 50 N5 C = 0 100 + N6 = 0 N6 = -100 kN N6 Nó D =0 50 50 - N7 cos 45° = 0 N7 = 70,7 kN 50 D 45° = 0 50 + N8 + 70,7sen45° =0-> N8 = 100 kN N7 N8 Nó E 100 N9 =0 N9 = 0 E 100 Nó F Verificação = 0 100 70,7 70,7 - 70,7 cos 45° +70,7 cos 45° = 0 0=0 ok = 0 0,0 0,0 F - 100 + = 0 okMecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 24 Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças que agem nos nós D e E são iguais às dos nós B e A, respectivamente. Portanto, não há necessidade de se calcular as forças nos nós D e E. Resultados 50 kN 100 kN 50 kN NAB -100 kN compressão B C D NAF 0 NBC -50 kN compressão NBF +70,7 kN tração NCF -100 kN compressão a HE NCD -50 kN compressão A F E NDF +70,7 kN tração 2 m 2 m -100 kN compressão 0 kN RA RE 2. Calcular as forças em cada barra da treliça "mão francesa" da figura. RB HB B C 40 kN 20 kN a 0 HA A E D 2.0 m 2.0 m Cálculo dos ângulos de inclinação das barras a = = 2 = a) Cálculo das reações de apoio kN kN kNMecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 25 b) Cálculo das forças nas barras Nó B 20 kN = 0 - = 0 N2 = 22,4 kN 20 kN B N2 = 0 20 + N1 N2cosa = 0 N1 = 10 kN N1 Nó A =0 10 N3 6 + N4 + N3sen0 = 0 60 A N4 - 22,4sen0 = 0 N4 = 40 kN N4 =0 100 10 + N3cos = 0 N3 = -22,4 kN Nó E N5 N6 = 40 kN 40 N6 N5 = 0 kN E Nó D 20 = 0 - 20 + = 0 N7 = 44,7 kN N7 26.6° D = 0 40 - 40 + 44,7 = 0 ok Nó C = 0 22,4 C 22,4cos - - + 44,7 cos = 0=0 kN 40 26.6° = 0 22,4 44,7 22,4sen0 -22,4sen0-44,7sen0 - - = 0 0,0 10+10-20 =0 okMecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 26 Resultados RB NAB +10 kN tração HB B -22,4 kN compressão NBC +40 kN tração C 40 kN 20 kN NBC +22,4 kN tração a 0 0 NCD +44,7 kN tração HA A E D 2.0 m 2.0 m +40 kN tração Exercícios 1. Determine a força em cada barras das treliças ilustradas. Indique se cada barra está tracionada ou comprimida. 1. A B C FAC = 10 kN T C FBC = 8,545 kN T 1.2m 2.4m 9000 N 1200 N A 2. N T FAC = N C B C FBC = 3600 N C 400mm 500mm 3. 400 N 400 N 400 N 400 N 400 N = = 0; A B C D E FAF = FCH = FEJ = 400 N C; 800 N C; a FBF = = = F G H J a a a = 600 NT aMecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 27 9000 N A B 4. FAB = FAC = 0; 9000 N FBC = C C D FBD = 6,75 kN T; FCD = 18 kN T E F FCE = 6,75 kN C; FDE = 22,50 kN C 3,6m FDF = 20,25 kN T 5. C FAB = C FAF = FFG = FHE = 6,93 kN T B D FBC = FCD = FBG = FDE = kN C A 30° E FBF = = T F G H a a a a 4 kN 4 kN 6. C FAB T 1,5 m FAD = 100 kN T B FAE = 130 kN C 1,5 m FBC = 173,5 kN T A FBE = 50 kN T FBF = 52,05 kN C 1,5 m FCF = 33,35 kN T D E F FDE = 0 3,6 m 3,6 m C 100 kN