Avaliação de Álgebra Linear e Geometria Analítica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
Escola de Cieˆncias e Tecnologia
A´LGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALI´TICA
Segunda Avaliac¸a˜o
Durac¸a˜o: 1h50m
2014/S3 Data: 15-Jul-2014
Docentes: Fe´lix Ber-
nardo e Gabriel Ferraz
Q1. Usando a regra de Cramer resolva o sistema

− y + z = 0
x + z = −1
2x − 2y = 2
Q2. Considere a matriz A =

0 −1 1 0
−1 0 1 −1
2 −2 0 2
−1 −1 2 −1

(a) Determine o espac¸o-nulo de A.
(b) Indique uma base para o espac¸o-nulo de A e determine a nulidade de A.
(c) A partir da resposta a` parte anterior indique o posto de A.
Q3. Considere os vetores ~v1 = (1, 2, 0), ~v2 = (3, 1, 0) e ~v3 = (1, 1, 1)
(a) Verifique que {~v1, ~v2, ~v3} sa˜o uma base de R3 .
(b) Aplique o processo ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt a` base {~v1, ~v2, ~v3} para obter uma
base ortonormada para R3.
Q4. Considere a matriz
C =
 1 −2 32 −4 6
0 0 4

(a) Determine equac¸a˜o carater´ıstica de C.
(b) Determine os autovalores e autovetores de C
(c) Determine a matriz P que diagonaliza C. Sem inverter P calcule P−1C5P .
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Pontuac¸a˜o:
Q1- 2,5 valores Q2- 2,5 valores Q3- 2,5 valores Q4- 2,5 valores
Formula´rio:
Gram-Schmidt
~v1 = ~u1
~v2 = ~u2 − 〈~u2,~v1〉‖~v1‖2 ~v1
~v3 = ~u3 − 〈~u3,~v1〉‖~v1‖2 ~v1 −
〈~u3,~v2〉
‖~v2‖2 ~v2
. . .
~vn = ~un − 〈~un,~v1〉‖~v1‖2 ~v1 −
〈~un,~v2〉
‖~v2‖2 ~v2 − . . .−
〈~un,~vn−1〉
‖~vn−1‖2 ~vn−1
Notas:
N1- Na˜o e´ permitido qualquer tipo de consulta.
N2- O celular deve estar em modo offline e na˜o pode ser usado.
N3- A mesa deve conter apenas a prova, o caderno de respostas e a caneta.
N4- Aplicam-se todas as demais regras das provas oficias da ECT da UFRN.
N5- So´ pode falar falar com o fiscal da prova. Na˜o fale ou tenha gestos para com os outros
alunos que possam ser mal interpretados pois a sua prova sera´ anulada de imediato. Na˜o
se prejudique a si nem aos seus colegas.
N6- As questo˜es assinaladas com (*) sa˜o de dificuldade acima da me´dia.
N7- Identifique a sua prova na folha de respostas (Prova A1, A2, . . . , B1, B2, . . . ).
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