Derivação Implícita e Tangentes

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(2o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
Derivac¸a˜o impl´ıcita
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 1 / 8
Derivac¸a˜o impl´ıcita
Pode ocorrer de equac¸o˜es definirem uma relac¸a˜o
impl´ıcita entre as varia´veis x e y , como por exemplo,
x2 + y 2− 25 = 0, y 2− x = 0 ou x3 + y 3− 9xy = 0.
Quando na˜o podemos colocar uma equac¸a˜o
F (x , y) = 0 na forma y = f (x) para deriva´-la,
podemos ainda determinar dy/dx atrave´s da derivac¸a˜o
ı´mplicita.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 2 / 8
Derivac¸a˜o impl´ıcita
Pode ocorrer de equac¸o˜es definirem uma relac¸a˜o
impl´ıcita entre as varia´veis x e y , como por exemplo,
x2 + y 2− 25 = 0, y 2− x = 0 ou x3 + y 3− 9xy = 0.
Quando na˜o podemos colocar uma equac¸a˜o
F (x , y) = 0 na forma y = f (x) para deriva´-la,
podemos ainda determinar dy/dx atrave´s da derivac¸a˜o
ı´mplicita.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 2 / 8
Derivac¸a˜o impl´ıcita
Pode ocorrer de equac¸o˜es definirem uma relac¸a˜o
impl´ıcita entre as varia´veis x e y , como por exemplo,
x2 + y 2− 25 = 0, y 2− x = 0 ou x3 + y 3− 9xy = 0.
Quando na˜o podemos colocar uma equac¸a˜o
F (x , y) = 0 na forma y = f (x) para deriva´-la,
podemos ainda determinar dy/dx atrave´s da derivac¸a˜o
ı´mplicita.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 2 / 8
Derivac¸a˜o impl´ıcita
Pode ocorrer de equac¸o˜es definirem uma relac¸a˜o
impl´ıcita entre as varia´veis x e y , como por exemplo,
x2 + y 2− 25 = 0, y 2− x = 0 ou x3 + y 3− 9xy = 0.
Quando na˜o podemos colocar uma equac¸a˜o
F (x , y) = 0 na forma y = f (x) para deriva´-la,
podemos ainda determinar dy/dx atrave´s da derivac¸a˜o
ı´mplicita.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 2 / 8
Processo de Derivac¸a˜o impl´ıcita
1 Derive ambos os lados da equac¸a˜o em relac¸a˜o a x ,
considerando y como func¸a˜o deriva´vel de x ;
2 Reu´na os termos que conteˆm dy/dx em um lado da
equac¸a˜o;
3 Encontre dy/dx .
Exemplo
Determine dy/dx se y 2 = x.
Exemplo
Determine o coeficiente angular do c´ırculo x2 + y 2 = 25
no ponto (3,−4).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 3 / 8
Processo de Derivac¸a˜o impl´ıcita
1 Derive ambos os lados da equac¸a˜o em relac¸a˜o a x ,
considerando y como func¸a˜o deriva´vel de x ;
2 Reu´na os termos que conteˆm dy/dx em um lado da
equac¸a˜o;
3 Encontre dy/dx .
Exemplo
Determine dy/dx se y 2 = x.
Exemplo
Determine o coeficiente angular do c´ırculo x2 + y 2 = 25
no ponto (3,−4).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 3 / 8
Processo de Derivac¸a˜o impl´ıcita
1 Derive ambos os lados da equac¸a˜o em relac¸a˜o a x ,
considerando y como func¸a˜o deriva´vel de x ;
2 Reu´na os termos que conteˆm dy/dx em um lado da
equac¸a˜o;
3 Encontre dy/dx .
Exemplo
Determine dy/dx se y 2 = x.
Exemplo
Determine o coeficiente angular do c´ırculo x2 + y 2 = 25
no ponto (3,−4).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 3 / 8
Processo de Derivac¸a˜o impl´ıcita
1 Derive ambos os lados da equac¸a˜o em relac¸a˜o a x ,
considerando y como func¸a˜o deriva´vel de x ;
2 Reu´na os termos que conteˆm dy/dx em um lado da
equac¸a˜o;
3 Encontre dy/dx .
Exemplo
Determine dy/dx se y 2 = x.
Exemplo
Determine o coeficiente angular do c´ırculo x2 + y 2 = 25
no ponto (3,−4).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 3 / 8
Derivac¸a˜o impl´ıcita
Exemplo
Determine dy/dx se y 2 = x2 + sen xy .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 4 / 8
Tangentes e normais
Uma reta e´ chamada normal quando for perpendicular
a`quela que tangencia uma curva num determinado ponto.
Exemplo
Mostre que o ponto (2, 4) esta´ na curva
x3 + y 3 − 9xy = 0. Em seguida, encontre a tangente e a
normal a` curva nesse ponto.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 5 / 8
Tangentes e normais
Uma reta e´ chamada normal quando for perpendicular
a`quela que tangencia uma curva num determinado ponto.
Exemplo
Mostre que o ponto (2, 4) esta´ na curva
x3 + y 3 − 9xy = 0. Em seguida, encontre a tangente e a
normal a` curva nesse ponto.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 5 / 8
Tangentes e normais
Uma reta e´ chamada normal quando for perpendicular
a`quela que tangencia uma curva num determinado ponto.
Exemplo
Mostre que o ponto (2, 4) esta´ na curva
x3 + y 3 − 9xy = 0. Em seguida, encontre a tangente e a
normal a` curva nesse ponto.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 5 / 8
Tangentes e normais
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 6 / 8
Poteˆncias racionais de func¸o˜es deriva´veis
Exemplo
Determine d2y/dx2 se 2x3 − 3y 2 = 8.
A derivac¸a˜o ı´mplicita nos permite demonstrar o seguinte
teorema:
Teorema
Se p/q e´ um nu´mero racional, enta˜o xp/q e´ deriva´vel em
qualquer ponto interior do dom´ınio e
d
dx
xp/q =
p
q
xp/q−1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 7 / 8
Poteˆncias racionais de func¸o˜es deriva´veis
Exemplo
Determine d2y/dx2 se 2x3 − 3y 2 = 8.
A derivac¸a˜o ı´mplicita nos permite demonstrar o seguinte
teorema:
Teorema
Se p/q e´ um nu´mero racional, enta˜o xp/q e´ deriva´vel em
qualquer ponto interior do dom´ınio e
d
dx
xp/q =
p
q
xp/q−1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 7 / 8
Poteˆncias racionais de func¸o˜es deriva´veis
Exemplo
Determine d2y/dx2 se 2x3 − 3y 2 = 8.
A derivac¸a˜o ı´mplicita nos permite demonstrar o seguinte
teorema:
Teorema
Se p/q e´ um nu´mero racional, enta˜o xp/q e´ deriva´vel em
qualquer ponto interior do dom´ınio e
d
dx
xp/q =
p
q
xp/q−1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 7 / 8
Poteˆncias racionais de func¸o˜es deriva´veis
Exemplo
Determine d2y/dx2 se 2x3 − 3y 2 = 8.
A derivac¸a˜o ı´mplicita nos permite demonstrar o seguinte
teorema:
Teorema
Se p/q e´ um nu´mero racional, enta˜o xp/q e´ deriva´vel em
qualquer ponto interior do dom´ınio e
d
dx
xp/q =
p
q
xp/q−1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 7 / 8
Poteˆncias racionais de func¸o˜es deriva´veis
Exemplo
Determine as derivadas de x1/2, x2/3 e x−4/3.
Exemplo
Determine as derivadas de (1− x2)1/4 e (cos x)−1/5.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 8 / 8
Poteˆncias racionais de func¸o˜es deriva´veis
Exemplo
Determine as derivadas de x1/2, x2/3 e x−4/3.
Exemplo
Determine as derivadas de (1− x2)1/4 e (cos x)−1/5.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Derivac¸a˜o impl´ıcita 23 de julho de 2013 8 / 8