Funções Trigonométricas Inversas

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(2o Esta´gio - Ca´lculo Diferencial e Integral I)
Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 1 / 33
Inversa do Seno
Figura: Gra´fico da func¸a˜o f (x) = sen x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 2 / 33
Inversa do Seno
Figura: Gra´fico da func¸a˜o f (x) = sen x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 2 / 33
Inversa do Seno
Figura: f (x) = sen x na˜o e´ injetiva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 3 / 33
Inversa do Seno
Figura: f (x) = sen x com D(f ) =
[−pi2 , pi2 ] e Im(f ) = [−1, 1] e´ injetiva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 4 / 33
Inversa do Seno
Figura: Gra´fico de f −1(x) = sen−1 x = arcsen x , reflexa˜o de f em torno de y = x .
D(f −1) = [−1, 1] e Im(f −1) = [−pi2 , pi2 ].
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 5 / 33
Inversa do Cosseno
Figura: Gra´fico da func¸a˜o f (x) = cos x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 6 / 33
Inversa do Cosseno
Figura: Gra´fico da func¸a˜o f (x) = cos x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 6 / 33
Inversa do Cosseno
Figura: f (x) = cos x na˜o e´ injetiva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 7 / 33
Inversa do Cosseno
Figura: f (x) = cos x com D(f ) = [0, pi] e Im(f ) = [−1, 1] e´ injetiva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 8 / 33
Inversa do Cosseno
Figura: Gra´fico de f −1(x) = cos−1 x = arccos x , reflexa˜o de f em torno de y = x .
D(f −1) = [−1, 1] e Im(f −1) = [0, pi].
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 9 / 33
Inversa da Tangente
Figura: Gra´fico da func¸a˜o f (x) = tan x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 10 / 33
Inversa da Tangente
Figura: Gra´fico da func¸a˜o f (x) = tan x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 10 / 33
Inversa da Tangente
Figura: f (x) = tan x na˜o e´ injetiva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 11 / 33
Inversa da Tangente
Figura: f (x) = tan x com D(f ) =
(−pi2 , pi2 ) e Im(f ) = R e´ injetiva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 12 / 33
Inversa da Tangente
Figura: Gra´fico de f −1(x) = tan−1 x = arctan x , reflexa˜o de f em torno de y = x .
D(f −1) = R e Im(f −1) =
(−pi2 , pi2 ).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 13 / 33
Inversa da Cossecante
Figura: Gra´fico da func¸a˜o f (x) = cosec x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 14 / 33
Inversa da Cossecante
Figura: Gra´fico da func¸a˜o f (x) = cosec x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 14 / 33
Inversa da Cossecante
Figura: f (x) = cosec x na˜o e´ injetiva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 15 / 33
Inversa da Cossecante
Figura: f (x) = cosec x com D(f ) =
[−pi2 , pi2 ]− 0 e Im(f ) = (−∞, 1] ∪ [1,∞) e´
injetiva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 16 / 33
Inversa da Cossecante
Figura: Gra´fico de f −1(x) = cosec−1 x = arccosec x , reflexa˜o de f em torno de
y = x . D(f −1) = (−∞, 1] ∪ [1,∞) e Im(f −1) = [−pi2 , pi2 ]− 0.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 17 / 33
Inversa da Secante
Figura: Gra´fico da func¸a˜o f (x) = sec x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 18 / 33
Inversa da Secante
Figura: Gra´fico da func¸a˜o f (x) = sec x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 18 / 33
Inversa da Secante
Figura: f (x) = sec x na˜o e´ injetiva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 19 / 33
Inversa da Secante
Figura: f (x) = sec x com D(f ) =
[−pi2 , pi2 ]− pi2 e Im(f ) = (−∞, 1] ∪ [1,∞) e´
injetiva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 20 / 33
Inversa da Secante
Figura: Gra´fico de f −1(x) = sec−1 x = arcsec x , reflexa˜o de f em torno de y = x .
D(f −1) = (−∞, 1] ∪ [1,∞) e Im(f −1) = [0, pi]− pi2 .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 21 / 33
Inversa da Cotangente
Figura: Gra´fico da func¸a˜o f (x) = cot x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 22 / 33
Inversa da Cotangente
Figura: Gra´fico da func¸a˜o f (x) = cot x .
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 22 / 33
Inversa da Cotangente
Figura: f (x) = cot x na˜o e´ injetiva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 23 / 33
Inversa da Cotangente
Figura: f (x) = cot x com D(f ) = (0, pi) e Im(f ) = R e´ injetiva.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 24 / 33
Inversa da Cotangente
Figura: Gra´fico de f −1(x) = cot−1 x = arccot x , reflexa˜o de f em torno de y = x .
D(f −1) = R e Im(f −1) = (0, pi).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 25 / 33
Derivada de y = sen−1 u
A func¸a˜o y = sen−1 x e´ deriva´vel no intervalo
−1 < x < 1.
Figura: y = sen−1 x na˜o e´ deriva´vel nos extremos de seu dom´ınio, pois possui
tangentes verticais em x = −1 e x = 1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 26 / 33
Derivada de y = sen−1 u
A func¸a˜o y = sen−1 x e´ deriva´vel no intervalo
−1 < x < 1.
Figura: y = sen−1 x na˜o e´ deriva´vel nos extremos de seu dom´ınio, pois possui
tangentes verticais em x = −1 e x = 1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 26 / 33
Derivada de y = sen−1 u
A func¸a˜o y = sen−1 x e´ deriva´vel no intervalo
−1 < x < 1.
Figura: y = sen−1 x na˜o e´ deriva´vel nos extremos de seu dom´ınio, pois possui
tangentes verticais em x = −1 e x = 1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 26 / 33
Derivada de y = sen−1 u
Mostre que
d
dx (sen
−1 u) =
1√
1− u2
du
dx
, |u| < 1.
Exemplo
Determine a derivada de y = sen−1 x2.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 27 / 33
Derivada de y = sen−1 u
Mostre que ddx (sen
−1 u) =
1√
1− u2
du
dx
, |u| < 1.
Exemplo
Determine a derivada de y = sen−1 x2.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 27 / 33
Derivada de y = sen−1 u
Mostre que ddx (sen
−1 u) =
1√
1− u2
du
dx
, |u| < 1.
Exemplo
Determine a derivada de y = sen−1 x2.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 27 / 33
Derivada de y = tan−1 u
Analogamente, mostra-se que
d
dx
(tan−1 u) =
1
1 + u2
du
dx
.
Exemplo
Uma part´ıcula se desloca ao longo do eixo x de modo
que, em qualquer instante t ≥ 0, sua posic¸a˜o seja dada
por x(t) = tan−1
√
t. Qual sera´ a velocidade da part´ıculaquando t = 16?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 28 / 33
Derivada de y = tan−1 u
Analogamente, mostra-se que
d
dx
(tan−1 u) =
1
1 + u2
du
dx
.
Exemplo
Uma part´ıcula se desloca ao longo do eixo x de modo
que, em qualquer instante t ≥ 0, sua posic¸a˜o seja dada
por x(t) = tan−1
√
t. Qual sera´ a velocidade da part´ıcula
quando t = 16?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 28 / 33
Derivada de y = tan−1 u
Analogamente, mostra-se que
d
dx
(tan−1 u) =
1
1 + u2
du
dx
.
Exemplo
Uma part´ıcula se desloca ao longo do eixo x de modo
que, em qualquer instante t ≥ 0, sua posic¸a˜o seja dada
por x(t) = tan−1
√
t. Qual sera´ a velocidade da part´ıcula
quando t = 16?
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 28 / 33
Derivada de y = sec−1 u
Mostre que
d
dx
(sec−1 u) =
1
|u|√u2 − 1
du
dx
, |u| > 1.
Figura: A inclinac¸a˜o das tangentes sa˜o positivas para x < −1 e x > 1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 29 / 33
Derivada de y = sec−1 u
Mostre que
d
dx
(sec−1 u) =
1
|u|√u2 − 1
du
dx
, |u| > 1.
Figura: A inclinac¸a˜o das tangentes sa˜o positivas para x < −1 e x > 1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 29 / 33
Derivada de y = sec−1 u
Mostre que
d
dx
(sec−1 u) =
1
|u|√u2 − 1
du
dx
, |u| > 1.
Figura: A inclinac¸a˜o das tangentes sa˜o positivas para x < −1 e x > 1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 29 / 33
Derivada de y = sec−1 u
Exemplo
Determine a derivada de sec−1(5x4).
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 30 / 33
Derivada das outras treˆs
Podemos utilizar as identidades
(Identidades da func¸a˜o inversa (co-func¸a˜o inversa))
cos−1 x = pi/2− sen−1 x
cot−1 x = pi/2− tan−1 x
csc−1 x = pi/2− sec−1 x
para provar as derivadas das demais func¸o˜es
trigonome´tricas inversas
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 31 / 33
Derivada das outras treˆs
Podemos utilizar as identidades
(Identidades da func¸a˜o inversa (co-func¸a˜o inversa))
cos−1 x = pi/2− sen−1 x
cot−1 x = pi/2− tan−1 x
csc−1 x = pi/2− sec−1 x
para provar as derivadas das demais func¸o˜es
trigonome´tricas inversas
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 31 / 33
Derivada das outras treˆs
Podemos utilizar as identidades
(Identidades da func¸a˜o inversa (co-func¸a˜o inversa))
cos−1 x = pi/2− sen−1 x
cot−1 x = pi/2− tan−1 x
csc−1 x = pi/2− sec−1 x
para provar as derivadas das demais func¸o˜es
trigonome´tricas inversas
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 31 / 33
Derivada das outras treˆs
Exemplo
Determine a derivada de y = cos−1 x.
Exemplo
Encontre uma equac¸a˜o para a reta tangente ao gra´fico de
y = cot−1 x em x = −1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 32 / 33
Derivada das outras treˆs
Exemplo
Determine a derivada de y = cos−1 x.
Exemplo
Encontre uma equac¸a˜o para a reta tangente ao gra´fico de
y = cot−1 x em x = −1.
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 32 / 33
Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas inversas
1
d(sen−1 x)
dx
=
1√
1− x2 , |x | < 1
2
d(cos−1 x)
dx
= − 1√
1− x2 , |x | < 1
3
d(tan−1 x)
dx
=
1
1 + x2
4
d(csc−1 x)
dx
= − 1|x |√x2 − 1 , |x | > 1
5
d(sec−1 x)
dx
=
1
|x |√x2 − 1 , |x | > 1
6
d(cot−1 x)
dx
= − 1
1 + x2
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 33 / 33
Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas inversas
1
d(sen−1 x)
dx
=
1√
1− x2 , |x | < 1
2
d(cos−1 x)
dx
= − 1√
1− x2 , |x | < 1
3
d(tan−1 x)
dx
=
1
1 + x2
4
d(csc−1 x)
dx
= − 1|x |√x2 − 1 , |x | > 1
5
d(sec−1 x)
dx
=
1
|x |√x2 − 1 , |x | > 1
6
d(cot−1 x)
dx
= − 1
1 + x2
Diogo Germano (UFCG-CCT-UAME) Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas 31 de julho de 2013 33 / 33