Aula 4 A derivada parte II

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia I
Aula 4: A derivada – parte II
Apresentação
Na aula 3, começamos a trabalhar a ideia de derivada. Porém, a complementação da ideia de derivada é fundamental, a �m
de que possamos usá-la plenamente nas diferentes aplicações que serão vistas nas aulas 5 e 6.
Além disso, nesta aula, veremos a abordagem das relações entre quantidades físicas ou matemáticas, que podem ser
descritas por meio de grá�cos, fórmulas, dados numéricos ou palavras. Tais relações constituem um dos temas mais
importantes da Análise Matemática.
Desta forma, vamos continuar nossa jornada avaliando algumas funções particulares e algumas “mais complexas”.
Objetivos
Determinar a derivada de funções inversas;
Aplicar o conceito de derivada em funções logarítmicas;
Desenvolver o conceito de derivadas sucessivas de uma função.
Famílias de funções
As funções e as equações paramétricas são as principais ferramentas para descrever o mundo real em termos matemáticos.
É comum que as funções sejam agrupadas em famílias, de acordo com as fórmulas ou
características comuns pelas quais as funções são de�nidas.
O grá�co de uma função constante f(x) = c é o grá�co da equação y = c, que é a reta horizontal. Se você variar c, obterá um
conjunto ou uma família de retas horizontais como ilustra a Figura 1.
 Figura 1: Gráfico para uma família de curvas gerada pela função f(x) = c.
Denomina-se parâmetro a constante que pode ser variada para a produção de uma família de curvas.
Exemplo
Por exemplo, a função de que representa uma reta é dada por: y = mx + b, onde a inclinação é representada pelo parâmetro m,
enquanto b representa o ponto de corte com o eixo y.
Nas Figuras 2 e 3, veja o que ocorre quando mantemos um dos parâmetros �xo enquanto o outro varia.
 Figura 2: Família de curvas para a função f(x) = mx + b. O parâmetro b foi mantido fixo.
 Figura 3: Família de curvas para a função f(x) = mx + b. O parâmetro m foi mantido fixo.
Função potência
A função potência é uma função de forma f(x) = xp.
Primeiro caso: parâmetro p é um número inteiro e positivo
O primeiro caso a ser visto é quando o parâmetro p é um número inteiro e positivo, por exemplo, p = n.
Você encontra na Figura 4 o esboço de algumas curvas para a função potência y = xn.
Na Figura 4 podem ser observadas funções pares e funções ímpares quando n ≥ 2.
 Figura 4: Gráficos para as diferentes curvas geradas pela função f(x) = xn.
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Uma função é par se, para todo valor de x no domínio de f, f( - x) = f(x). Isso ocorre quando os valores do parâmetro n são
pares.
Veri�que ainda na Figura 4 que os grá�cos de f(x) = xn para n pares são simétricos em relação ao eixo y.
Função par 
Uma função f é denominada ímpar se, para todo valor de x no domínio de f, f( - x) = - f(x). Isso ocorre quando os valores do
parâmetro n são ímpares.
Veri�que na Figura 4 que os grá�cos de f(x) = xn para n ímpares são simétricos em relação à origem.
Função ímpar 
Segundo caso: parâmetro p é um número inteiro e negativo
O segundo caso a ser discutido é quando o parâmetro p é um número inteiro, porém, desta vez, negativo.
Neste caso, p = - n e a função potência assume a forma f(x) = x - n =
1
xn
.
O grá�co da função f(x) =
1
x é o grá�co da �gura geométrica conhecida como hipérbole equilátera, uma das cônicas.
Novamente, cabe a discussão sobre a simetria dos grá�cos das diferentes funções f(x) = x
1
n .
 Figura 5: Gráficos para as diferentes curvas geradas pela função f(x) = x 1n .
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Quando o parâmetro n é um número inteiro, negativo e par, as funções f x = 1 ⁄ xn são ditas funções pares, com grá�cos
simétricos em relação ao eixo y.
Função par 
( )
Quando o parâmetro n é um número inteiro, negativo e ímpar, as funções f(x) =
1
xn
 são ditas ímpares com grá�cos simétricos
em relação à origem.
Função ímpar 
Seja par ou seja ímpar, veri�que que os grá�cos das diferentes funções f(x) =
1
xn
 apresentam sempre uma descontinuidade, pois 
x ≠ 0 (não é permitido a divisão por zero).
Terceiro caso: parâmetro p assume o formato de 
1
n , onde n é um inteiro positivo
O último caso acontece quando o parâmetro p assume o formato de 1 ⁄ n, onde n é um inteiro positivo.
As funções potências f(x) = xp tomam, então, a forma f(x) = x
1
n =
n
√x.
Exemplo
f(x) = x1 / 2 = √x; f(x) = x
1
5 =
5
√x etc.
Também são possíveis outros expoentes fracionários, por exemplo, f(x) = x
2
7 =
7
√x2, f(x) = x
3
5 =
5
√x3 etc.
As funções do tipo f(x) = x
1
n gra�camente se estendem sobre todo o eixo x quando n é ímpar. Contudo, somente sobre o intervalo 
[0, + ∞) quando n assume valores pares.
Funções algébricas
Quando um número �nito de operações algébricas (adição, subtração, divisão e multiplicação) é aplicado aos polinômios, uma
nova família de funções são criadas: as funções algébricas.
Exemplos: f(x) = 3 · √x2 - 25, f(x) = 3√x · (1 - x) etc.
Funções trigonométricas
Em geometria, um ângulo é de�nido como a união de dois raios chamados de lados, tendo um extremo em comum denominado
vértice.
Esse breve conceito é o ponto de partida da trigonometria e das funções denominadas de funções trigonométricas.
Analisando apenas as funções seno e cosseno, poderíamos representá-las genericamente por:
f(x) = A · sin(Bx - C) e g(x) = A · cos(Bx - C)
Onde: A, B e C são parâmetros não nulos.
O papel do parâmetro A é determinar o fator através do qual os grá�cos y = sinx e y = cosx serão alongados, comprimidos,
transladados ou re�etidos.
Por sua vez, o parâmetro B também é capaz de fazer o mesmo com os grá�cos y = sinx e y = cosx, porém o faz de forma
horizontal.
Exemplo
Veja os grá�cos das funções y = cosx e y = 2 · cos4x na Figura 6.
O grá�co da função y = 2 · cos4x foi obtido através do alongamento vertical, por um fator 2, e da compressão horizontal, por um
fator 4, do grá�co de y = cosx .
 Figura 6: Gráfico da função y = cosx, em vermelho. Gráfico da função y = 2 · cos4x, em azul.
Uma característica importante das funções trigonométricas é que as mesmas são
periódicas.
Uma função f : A → B é periódica se existir um número p > 0 satisfazendo a condição:
f(x + p) = f(x), ∀x ∈ A
O menor valor de p que satisfaz a condição acima é chamado período de f.
A função seno, f(x) = sinx, exibe um período de 2π. Por sua vez, a imagem (amplitude) da função seno é o intervalo [ - 1 ,1 ],
isto é, -1 ≤ sinx ≤ 1, ∀x real.
A função cosseno, f(x) = cosx, também exibe amplitude no intervalo [ - 1 ,1 ] e período 2π.
A função pode ser escrita como: y = 3 · sin 2 · x - -
π
4
Onde: A = 3; B = 2; 
C
B = -
π
4
Note que o grá�co em verde foi transladado para em esquerda em π ⁄ 4 unidades.
 Figura 7: Gráfico das funções
y = sinx (em vermelho)
y = 3 · sin2x (em azul)
y = 3 · sin 2x +
π
2 (em verde)( )
[ ( ( ))]
Funções inversas
Uma função é uma regra que associa um único valor de sua imagem (Im) a cada ponto de seu domínio (D).
Algumas funções, porém, assumem o mesmo valor em mais de um ponto.
Exemplo: y = x2.
Neste tópico o objetivo é encontrar a inversa de uma função f(x).
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}, considere a função f de A em B de�nida por f(x) = x + 1.
Você pode veri�car que a função f é bijetora formadas pelos pares ordenados f = {(0 ,1 ), (1 ,2 ), (2 ,3 ), (3 ,4 )}, onde D(f) = A e 
Im(f) = B.
Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, para qualquer elemento y pertencente a B, existe um único elemento x
pertencente a A tal que f(x) = y.
A relação f - 1 = {(y, x)|(x, y) ∈ f}, inversa de f, é também um função, pois f é uma bijeção de A em B, isto é, para todo y ∈ B 
existe um único x ∈ A tal que (y, x) ∈ f - 1.
A função f - 1 é formada pelos pares ordenados f - 1 = {(1 ,0 ), (2 ,1 ), (3 ,2 ), (4 ,3 )}, onde D f - 1 = B e Im f - 1 = A.
Observe que a função f é de�nida pela sentença y = x + 1, enquanto f - 1 é de�nida pela sentença x=y-1, isto é:
f leva cada elemento x ∈ A atéo y ∈ B tal que x = y + 1;
f - 1 leva cada elemento y ∈ B até o x ∈ A tal que x = y - 1.
( ) ( )
Teorema:
“Seja f :A → B. A relação f - 1 é uma função de B em A se, e somente se, f é bijetora”.
Atenção
Assim, se f é uma função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma função de B em A que denominamos função inversa de 
f e indicamos por f - 1.
Um procedimento simples que permite a obtenção da função inversa é baseado em dois passos:
Na sentença y = f(x), faça uma mudança de variável, isto é, troque x por y e y por x, obtendo x = f(y);
Transforme algebricamente a expressão x = f(y), expressando y em função de x para obter y = f - 1 x .( )
Exemplo 1
Seja a função f(x) =
3
√x + 2, encontre a inversa de f(x):
Quais são as condições, então, que garantem a existência uma
função inversa?
1. Primeiramente, é necessário que a função f seja injetora. Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, quaisquer que
sejam x1 e x2 de A, se x1 ≠ x2 então f x1 ≠ f x2 .
2. Em segundo lugar, por meio da representação cartesiana da função f, é necessário analisar o número de pontos de
intersecção de retas paralelas ao eixo dos x (teste da reta horizontal).
Se cada uma dessas retas cortar o grá�co em um só ponto ou não cortar o grá�co, então, a função é injetora e, portanto, há f - 1.
( ) ( )
 Figura 9: Teste da reta horizontal para a determinação da existência da função inversa de f. (ANTON et al, 2007).
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A função f : A → B de�nida por y = f(x) é crescente no conjunto A1 ⊂ A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes
a A1, com x1 < x2, tivermos f x1 < f x2 .
Em uma linguagem prática, não matemática, a função f é crescente no conjunto A1 se, ao aumentarmos o valor atribuído a x,
o valor de y também aumentar.
Função crescente 
( ) ( )
A função f : A → B de�nida por y = f(x) é decrescente no conjunto A1 ⊂ A se, para dois valores quaisquer x1 e x2
pertencentes a A1, com x1 < x2, tivermos f x1 > f x2 .
Em uma linguagem prática, não matemática, a função f é decrescente no conjunto A1 se, ao aumentarmos o valor atribuído
a x, o valor de y diminuir.
Função decrescente 
( ) ( )
 Figura 10: Funções crescente e decrescente e o teste da reta horizontal. (ANTON et al., 2007).
A Figura 10 ilustra genericamente uma função f crescente e decrescente. Em ambos os casos, f passa no
teste da reta horizontal e, portanto, possui uma função inversa.
 Figura 11: Gráfico de algumas funções f com suas respectivas funções f - 1. Observe a reta y = x e como as funções f e f - 1 são imagens espelhadas. (ANTON et al.,
2007).
Uma propriedade interessante dos grá�cos cartesianos de f e f - 1 é que os mesmos são simétricos em
relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.
Observe a Figura 11.
 Figura 12: Gráfico das funções f1 x = x2, x ≥ 0 e f2(x) = x2, x ≤ 0. As funções são invertíveis e as respectivas funções f - 1 x são apresentadas. (ANTON et al., 2007).( ) ( )
Em algumas situações, por meio da imposição de restrições adequadas ao domínio de f, torna-se possível a
obtenção de f - 1.
Um exemplo pode ser visto na Figura 12.
Derivada de funções inversas
Teorema:
Suponha que o domínio de uma função f seja um intervalo aberto I e que f seja diferenciável e injetora nesse intervalo. Então, f - 1 é
diferenciável em qualquer ponto da imagem de f no qual f ' f ( - 1 x ≠ 0 e sua derivada é:
d
dx f
- 1 x =
1
f' f - 1 x
Outra maneira de se escrever é:
dy
dx =
1
dx
dy
( )( ))
[ ( ) ] ( ( ) )
Exemplo 2
Dada a função f(x) = x3 + 1, prove que a suposição de que 
d
dx f
- 1 x =
1
f' f - 1 x
 é verdadeira.[ ( )] ( ( ) )
Funções trigonométricas inversas
Quando se consideram as seis funções trigonométricas básicas, tais funções não apresentam inversas, pois seus grá�cos se
repetem periodicamente e, desta forma, violam o critério imposto pelo teste da reta horizontal.
A �m de de�nir as “funções trigonométricas inversas”, torna-se necessária a imposição de restrições aos domínios das funções
trigonométricas. Dessa forma, obtemos funções injetoras e, consequentemente, as inversas dessas funções restritas.
As funções inversas obtidas são:
arc sen (x) arc cos (x) arc tg (x) arc sec (x)
Também podemos representá-las por:
sin - 1x cos - 1x tan - 1x sec - 1x
 Figura 13: Funções sinx, cosx, tanx e secx com as restrições necessárias para a definição das funções inversas sin - 1x, cos - 1x, tan - 1x e sec - 1x. (ANTON et al., 2007).
Funções exponenciais e logarítmicas
Uma função exponencial de base b é uma função cuja forma é dada por f x = bx, em que b > 0.
Exemplos: f x = 2x, f x = 1 ⁄ 4)x, f(x) = πx.
As funções exponenciais são de particular importância nas aplicações da Ciência e da Engenharia.
( )
( ) ( ) (
Atenção
Um detalhe importante que você deve lembrar da de�nição da função exponencial é que uma função do tipo f(x) = x3, f(x) = x
3
5 e
similares não são classi�cadas como funções exponenciais. A razão disso é que em tais exemplos há uma base variável,
enquanto o expoente é uma constante.
Propriedades da função exponencial
Na função exponencial f(x) = bx, temos: 
x = 0 ⇒ f(0) = b0 = 1. Isto é, o par ordenado (0,1) pertence
à função para todo b ∈ N*+ - {1}. Isso signi�ca que o
grá�co cartesiano de toda função exponencial corta o eixo
y no ponto de ordenada 1.
A função exponencial f x = bx é crescente (decrescente)
se, e somente se, b > 1 (0 < b < 1). Portanto, dados os
reais x1 e x2, temos:
Quando b > 1: x1 < x2 f x1 < f x2
Quando 0 < b < 1: x1 < x2 f x1 > f x2
( )
( ) ( )
( ) ( )
A função exponencial f(x) = bx, com 0 < b ≠ 1 é injetora,
pois dados x1 e x2 tais que x1 ≠ x2 temos:
Quando b > 1: x1 < x2 ⇒ f x1 < f x2
Quando 0 < b < 1: x1 < x2 ⇒ f x1 > f x2
e, portanto, nos dois casos f x1 ≠ f x2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Função exponencial natural
 Figura 14: Gráficos de diversas funções do y = bx, b > 0. Quando b > 0, temos funções
crescentes. Por outro lado, quando 0 < b < 1, temos funções decrescentes. Em qualquer caso, a
imagem da função exponencial é Im = N*+
Embora tenhamos uma in�nidade de funções exponenciais, sem dúvida, a mais
importante em termos de aplicações práticas é a função exponencial de base de�nida
pela letra e.
O número e, denominado número de Euler, é um número irracional e seu valor, até a sexta casa decimal, é:
e = 2 ,718281
A função exponencial cuja base é o número e é denominada função exponencial natural.
A representação formal é f(x) = ex ou f(x) = exp(x).
Se a é um número qualquer positivo diferente de 1, a função exponencial f(x) = ax de base a é injetora e, portanto, possui uma
função inversa. Sua função inversa é denominada função logarítmica de base a.
logax
(que se lê: “o logaritmo de x na base a”) denota aquele expoente ao qual devemos elevar a para obter x.
Assim, por exemplo:
log10100 = 2 ou 10
2 = 100
O denominado logaritmo natural é o mais importante em aplicações da Engenharia e das Ciências. O logaritmo natural é a função
inversa da função exponencial ex. A notação mais comum é lnx.
 Figura 15: Gráfico da função y = ex (curva em vermelho). A reta em verde é tangente à curva da
função y = ex no ponto (0,1). Observe também que y = ex se encontra entre as curvas y = 2x (em
preto) e y = 3x (em laranja).
 Figura 16: Gráfico da função y = ex (em vermelho), y = lnx (em azul) e y = log10x (em preto). A
reta y = x foi desenhada para destacar a função y = ex e a sua inversa y = lnx.
Achando a derivada de funções trigonométricas
De forma resumida, veja as derivadas das seis funções trigonométricas:
d
dx sin(x) = cos(x)
d
dx cos(x) = - sin(x) d
dx tg(x) = sec
2 x
d
dx cosec(x) = - cosec(x)cotg(x)
d
dx sec(x) = sec(x)tg(x)
d
dx sec(x) = sec(x)tg(x)
( )
Exemplo 3
Encontre 
dy
dx se y =
sin ( x )
1 + cos ( x ) :
Exemplo 4
Encontre 
dy
dx se y = sin √1 + cosx :( )
Achando a derivada das funções exponenciais e logarítmicas
As derivadas das funções exponenciais e logarítmicas estão resumidas abaixo:d
dx [lnx] =
1
x para x > 0
d
dx logbx =
1
x · ln b para x > 0
Se u for uma função diferenciável de x e se u(x) > 0, então, a aplicação da regra da cadeia produz: 
d
dx [lnu] =
1
u ·
du
dx 
d
dx logbu =
1
u · ln b ·
du
dx 
d
dx [ln|x|] =
1
x se x ≠ 0
d
dx b
x = bx · lnb
d
dx e
x = ex
Se u for uma função diferenciável de x, então, tem-se: 
d
dx b
u = bu · lnb ·
du
dx 
d
dx e
u = eu ·
du
dx
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Exemplo 5
Encontre 
d
dx ln x
2 + 1 :[ ( ) ]
Diferenciação logarítmica
Você verá agora uma técnica chamada diferenciação (ou derivação) logarítmica, que será muito útil para derivar funções
compostas de produtos, quocientes e potências.
Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 6
Calcule a derivada de:
y =
x2 ·
3
√ ( 7x - 14 )
1 + x2 4( )
Exemplo 7
Use a derivação logarítmica para encontrar 
d
dx x
2 + 1 sin x :[( ) ]
Derivadas de potências irracionais de x
Você já sabe que
d
dx x
r = r · xr - 1
é válida para valores racionais de r.
A diferenciação logarítmica é útil para mostrar que essa fórmula é válida se r for qualquer número real (racional ou irracional).
Veja os exemplos:
d
dx x
π = π · xπ - 1; 
d
dx x
2e = 2e · x2e - 1
[ ]
[ ] [ ]
Derivadas das funções trigonométricas inversas
No início desta aula, veri�camos que o grá�co da inversa de uma função f pode ser obtido pela re�exão do grá�co de f na reta 
y = x.
Se combinarmos essa informação com o conceito daquilo que faz uma função ser derivável, é possível entender a derivação de
funções inversas de forma mais fácil.
Comentário
As derivadas das funções trigonométricas inversas são dadas abaixo:
Se u é uma função derivável de x, com |u| < 1: 
d
dx (arc sen u) =
1
√1 - u2
·
du
dx 
d
dx (arc cos u) = -
1
√1 - u2
·
du
dx 
d
dx (arc tg u) =
1
1 + u2
·
du
dx 
d
dx (arc cotgu) = -
1
1 + u2
·
du
dx 
d
dx (arc secu) =
1
| u |√u2 - 1
·
du
dx 
d
dx (arc cosec u) = -
1
| u |√u2 - 1
·
du
dx 
Exemplo 8
Encontre 
dy
dx se y = arc sen x
3( )
Derivadas de ordens superiores
1. A derivada f ' de uma função f é novamente uma função, que pode ter sua própria derivada.
2. Se f ' for derivável, então, sua derivada é denotada por f ' ' e é denominada derivada segunda de f.
Enquanto tivermos diferenciabilidade, podemos continuar o processo de derivação para obter as derivadas terceira, quarta, quinta,
e até derivadas superiores de f.
Essas derivadas são denotadas como:
f', f'' = f'
'
, f''' = f''
'
, f ( 4 ) = f'''
'
, f ( 5 ) = f ( 4 )
'
, …
Outras notações comuns:
y', y'', y''', y ( 4 ) , y ( 5 ) , …
y' =
dy
dx =
d
dx [f(x)]
y'' =
d2y
dx2
=
d2
dx2
[f(x)]
y''' =
d3y
dx3
=
d3
dx3
[f(x)]
yn =
dny
dxn
=
dn
dxn
[f(x)]
( ) ( ) ( ) ( )
Exemplo 9
Se f(x) = 3x5 - 10x4 + x3 - 6x2 + 15x - 2, encontre as derivadas de ordens superiores de f:
Comentário
A importância da derivada segunda e das derivadas superiores será discutida nas próximas aulas sobre derivadas.
Atividade
1. A derivada primeira da função f(x) = √x3 - 2x + 5 é corretamente escrita como:
a) 
x2 + 2
2√x3 - 2x + 5
b) 
3x2 - 2x
√x3 - 2x + 5
c) 
3x2 - 2
2√x3 - 2x + 5
d) 
3x2 + 2
3√x3 - 2x + 5
e) N.D.A.
2. A primeira derivada da função f(x) = x3 · sin2 5x é corretamente representada por:( )
a) x2 · sin2(5x) + x3 · cos5x
b) 3x2 · sin2(5x) - 10x3 · cos5x · sin5x
c) x2 · sin2(5x) + 5x3 · cos5x
d) 3x2 · sin2(5x) + 10x3 · cos5x · sin5x
e) N.D.A.
3. Encontre 
d
dx f(x) da função f(x) = cos
2 3√x :( )
a) 
- 3 · cos 3√x · sin 3√x
√x
( ) ( )
b) 
3 · cos 3√x · sin 3√x
√x
( ) ( )
c) 
3 · cos √x · sin √x
2√x
( ) ( )
d) 
- 3 · cos 3√x · sin 3√x
2√x
( ) ( )
e) 
- cos √x · sin 3√x
2√x
( ) ( )
4. Encontre 
d
dx f(x) da função f(x) = x
3 - 5
35
:( )
5. A derivada segunda da função y =
1 + x
1 - x é:
a) y'' =
4
x3 - 3x2 + 3x - 1
b) y'' = -
4
x3 - 3x2 + 3x - 1
c) y'' = -
4
x3 + 3x2 + 3x + 1
d) y'' =
4
x3 - 3x2 - 3x - 1
e) y'' = -
4
2x3 - 3x2 + x + 1
6. Seja f(x) =
3x + 1
x2
3
. Determine por diferenciação logarítmica a derivada primeira( )
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007.
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017.
Próxima aula
Noção de taxa de variação;
Máximos e mínimos;
Teorema de Rolle;
Teorema do Valor Médio.
Explore mais
Sugestões de ferramentas de Matemática:
O império dos números <https://pt.numberempire.com/> .
Sugestões de vídeos:
Derivada da função inversa <https://youtu.be/DkuwgStXSz0> ;
Derivada da função exponencial <https://youtu.be/nfARXFLUKMc> ;
Derivada da função logarítmica <https://youtu.be/ghdUmIqIImI> .
https://pt.numberempire.com/
https://youtu.be/DkuwgStXSz0
https://youtu.be/nfARXFLUKMc
https://youtu.be/ghdUmIqIImI