Aula 5 - Derivadas de funções trigonométricas

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CÁLCULO: LIMITES 
DE FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL E 
DERIVADAS 
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Derivadas de funções 
trigonométricas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Calcular derivadas de funções trigonométricas.
 � Definir derivadas de funções trigonométricas inversas.
 � Resolver problemas aplicados envolvendo derivadas trigonométricas 
e trigonométricas inversas.
Introdução
Derivadas são muito úteis para a avaliação de problemas reais, principal-
mente os que envolvem taxa de variações. Dentre eles, muitos variam 
periodicamente, como as funções trigonométricas.
Neste capítulo, você verá como derivar as funções trigonométricas e 
as funções trigonométricas inversas, além de alguns problemas aplicados.
Derivadas das funções trigonométricas
Nesta seção, você verá sobre as derivadas das funções trigonométricas. Ini-
cialmente, será feita uma breve revisão sobre essas funções. 
Suponha que x seja um número real, ao qual se pode associar um ângulo 
no ciclo trigonométrico com medida em radianos. Assim, temos as funções 
(ADAMI; DORNELLES FILHO, LORANDI, 2015):
 � função seno: f (x)= sen (x);
 � função cosseno: f (x) = cos (x);
 � função tangente: f (x)= tg (x);
 � função cossecante: ;
 � função secante: ;
 � função cotangente: .
A Figura 1, a seguir, mostra os gráficos das funções trigonométricas de-
finidas acima dentro do intervalo [0,2π].
Figura 1. Gráficos das funções trigonométricas no intervalo [0,2π]. (a) f(x) = sen(x); 
(b) f(x) = cos(x); (c) f(x) = tg(x); (d) f(x) cossec(x); (e) g(x) = sec(x); (f) h(x) = cotg(x).
Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandi (2015).
f(x
)
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
x
g(
x)
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
h(
x)
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f )
Derivadas de funções trigonométricas2
Lembre-se de que podemos transformar radianos em graus, usando a relação 
π rad =180º. Os valores das funções trigonométricas para alguns ângulos estão 
mostrados na Figura 2.
Figura 2. Valores das funções trigonométricas de alguns ângulos.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, apêndice B6).
As funções trigonométricas também apresentam funções inversas. Para 
encontrar a função inversa das funções trigonométricas, você deve imaginar 
uma função que “desfaça” o efeito da função. Por exemplo, a função inversa 
da função seno seria aquela que resulta no ângulo referente ao valor do seno. 
Ou seja, e . A seguir, estão as definições das funções 
trigonométricas inversas (ADAMI; DORNELLES FILHO, LORANDI, 2015):
 � função arco-seno: f-1 (x) = arcsen(x) ou f-1 (x) = sen-1 (x), no intervalo 
;
 � função arco-cosseno: f-1 (x) = arccos(x) ou f-1 (x) = cos-1 (x), no intervalo 
[0, π]; 
 � função arco-tangente: f-1 (x) = arctg(x) ou f-1 (x) = tg-1 (x), no intervalo 
;
 � função arco-cotangente: f-1(x) = arccotg(x) ou f-1 (x) = cotg-1 (x), no 
intervalo [0, π];
 � função arco-secante: f-1 (x)= arcsec(x) ou f-1 (x) = sec-1 (x), no intervalo 
;
3Derivadas de funções trigonométricas
 � função arco-cossecante: f-1 (x)= arccossec(x) ou f-1 (x) = cossec-1 (x), no 
intervalo ;
 � f-1 (x) = arccossec(x) ou f-1 (x) = cossec-1 (x), no intervalo .
Agora, passaremos ao estudo das derivadas das funções trigonométricas.
Considere que x seja dado em radianos. Primeiramente, vamos relembrar 
dois teoremas:
1. ;
2. .
Suponha a função f(x) = sen(x). Você pode encontrar a derivada da função 
f '(x) usando a definição de derivada (ANTON; BIVENS, DAVIS, 2014). Assim, 
temos que:
Derivadas de funções trigonométricas4
Ou seja: 
Você pode usar a mesma metodologia aplicada para obter a derivada do 
seno para encontrar a derivada do cosseno (não mostrado aqui), que é dada por:
Encontre a derivada em relação a x da seguinte função y = x cos(x).
Para resolvermos essa questão, usaremos a regra do produto. Assim, a derivada de 
y é dada por: 
As derivadas das outras funções trigonométricas podem ser encontradas 
usando, também, a definição de derivada ou as derivadas já encontradas de 
seno e cosseno. Por exemplo, a derivada da tangente é:
5Derivadas de funções trigonométricas
Portanto:
A seguir, está o resumo das derivadas das funções trigonométricas:
 � ; 
 � ; 
 � ;
 � ;
 � ;
 � .
Derivadas de funções trigonométricas6
Derivadas das funções trigonométricas inversas
As funções inversas também apresentam derivadas. Para encontrá-las, podemos 
usar o seguinte teorema (STEWART, 2008): se f é uma função diferenciável, 
com inversa f-1 e f' ( f-1 (a))≠0, então a função inversa é diferenciável em a e 
Para mais detalhes e demonstrações, ver Stewart (2008). Como consequên-
cia desse teorema, podemos escrever:
Vamos ver um exemplo. Considere a função sen(y) = x e , 
com inversa y = sen-1 (x). Podemos escrever:
Temos, então, que x = sen(y). Derivando em relação a y, encontramos: 
Mas, sabemos que cos2 (y) + sen2 (y) = 1, assim, podemos escrever: 
Ou seja, 
7Derivadas de funções trigonométricas
Substituindo, encontramos: 
com – 1< x < 1.
Podemos encontrar as derivadas para as outras funções inversas trigo-
nométricas da mesma maneira que mostrado para a função inversa do seno. 
A Figura 3, a seguir, mostra as derivadas das funções trigonométricas inversas.
Figura 3. Derivadas das funções trigonométricas inversas.
Fonte: Adaptada de Stewart (2008).
Encontre a derivada da função arco-tangente.
Temos, então, a função inversa y = arctg(x), e x = tg(y). 
Primeiramente, vamos encontrar a derivada de x em relação a y. 
Derivadas de funções trigonométricas8
Usando a regra do quociente, ficamos com: 
Por outro lado, temos que:
Ou seja, 
Substituindo, encontramos:
Agora, a derivada do arco-tangente será: 
Ou seja, 
9Derivadas de funções trigonométricas
As derivadas das funções inversas podem ser generalizadas da seguinte maneira. Se 
u é uma função diferenciável de x, podemos escrever:
d
dx
d
dx
du
dx’
[ [sen-1 u
[ [tg-1 u
=
1– u2
1 du
dx1– u2
– 1
= [ [cotg-1 u =
d
dx
[ [sec-1 u = [ [cos sec-1 u =
1+ u2
1 du
dx’ 1+ u2
–1 du
dx
du
dx’
1
u u2 – 1
du
dx
–1
u u2 – 1
d
dx
d
dx
d
dx
[ [cos-1 u =
Fonte: Adaptada de Derivadas... (2019, documento on-line).
Problemas aplicados
Nesta seção, você verá alguns problemas aplicados sobre derivadas de funções 
trigonométricas e trigonométricas inversas. 
Problema 1
Encontre a derivada em relação a x da seguinte função:
y = x cos(x) + sen(x)
Para encontrarmos a derivada de y, usaremos a regra do produto no primeiro 
termo. Assim, temos que: 
Derivadas de funções trigonométricas10
Problema 2
Usando as derivadas das funções trigonométricas mostradas neste capítulo, 
encontre a derivada em relação a x da seguinte função:
Para encontrarmos a derivada de y, usaremos a regra do quociente. Assim, 
temos que: 
11Derivadas de funções trigonométricas
Portanto, temos que:
Problema 3
Suponha uma massa presa a uma mola, como mostrado na Figura 4, a seguir. 
Alguém puxa a massa para baixo, esticando-a 5 cm além de sua posição de 
repouso. Após esticada, a massa é solta, deixando o sistema livre.
A seguinte equação descreve a posição do topo da massa no tempo 
s(t) = 5 cos(t), com s em centímetros e t segundos. Sabendo que a velocidade 
é dada pela derivada da posição em relação ao tempo, encontre a função que 
descreve a velocidade.
Derivadas de funções trigonométricas12
Figura 4. Massa presa a uma mola. 
Fonte: Adaptada de Anton, Bivens e Davis (2014).
Para chegarmos à função que descreve a velocidade v(t), devemos encontrar 
a derivada da posição pelo tempo. Assim, temos que: 
Portanto: 
v(t) = –5 sen (t).
13Derivadas de funções trigonométricas
A Figura 5 mostra um gráfico de s(t) e v(t) pelo tempo t. Note que, nos 
pontos de máxima amplitude, a velocidade é nula. E os máximos valores de 
velocidade ocorrem quando a mola passa pelo ponto de repouso. 
Figura 5. Gráfico do deslocamento s e da ve-
locidade v.
Fonte: Adaptada de Stewart (2008).
2π t
5
-50
s
v
π
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo, Porto Alegre: 
Bookman, 2015. 208 p.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 2 v. 1352 p.
DERIVADAS das funções trigonométricas inversas. Só Matemática, Porto Alegre, 2019. 
Disponível em: https://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp11.php. 
Acesso em: 12 set. 2019.
STEWART, J. Single variable calculus: early transcendentals. 6. ed. Belmont: Thomson 
Brooks/Cole, 2008. 912 p.
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