AULA-02-FÍSICA-CINEMÁTICA-E-DINÂMICA

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FÍSICA: CINEMÁTICA E DINÂMICA 
 
 
Prezado (a) aluno (a). 
 
Para que um corpo rígido execute um movimento de rotação, faz-se 
necessário analisar algumas características, como a localização e o estado do eixo 
de rotação, os quais são essenciais para o estudo desse movimento. Outra 
característica que se deve analisar é a distribuição de massa do corpo que entrará 
em rotação, pois ela tem grande influência no movimento. A grandeza que mede 
essa influência é chamada de momento de inércia. 
Nesta aula, você vai estudar o momento de inércia e as suas principais 
características. Além disso, verá exemplos do cálculo dessa grandeza para 
diferentes formas geométricas e determinados perfis. 
 
 
Bons estudos! 
AULA 2 – 
MOMENTO DE INÉRCIA 
2 O MOMENTO DE INÉRCIA 
Para demonstrar sua destreza no basquete, experimente girar uma bola na 
ponta do seu dedo indicador (Figura 1a), um movimento frequentemente observado 
em jogadores profissionais e amadores com relativa facilidade. Entretanto, a execução 
desse movimento provavelmente não será tão simples se você tentar fazê-lo com uma 
bola de futebol americano em vez de uma bola de basquete (Figura 1b). A 
discrepância fundamental entre essas duas bolas reside na maneira como sua massa 
está distribuída. 
Figura 1. Exemplos de diferentes distribuições de massa: (a) giro de bola de 
basquete em torno de eixo fixo; (b) jogador com bola de futebol americano. 
 
Fonte: br.freepik.com 
A disposição da massa de um objeto sólido é um dos elementos de maior 
relevância na promoção do movimento de rotação. Examinar a distribuição de massa 
de um objeto envolve avaliar a posição de cada partícula que o compõe em relação a 
um ponto de referência. Através dessa avaliação, torna-se viável determinar, por 
exemplo, o centro de massa do objeto. 
De maneira geral, a seleção da localização do eixo de rotação está intimamente 
ligada à disposição da massa, uma vez que posicionar o eixo no centro de massa do 
objeto torna o movimento de rotação mais eficiente. O impacto do arranjo de cada 
partícula do objeto na rotação, pode ser observado quantitativamente calculando a 
energia cinética rotacional. A energia cinética rotacional de um corpo rígido composto 
por 𝑛 partículas é determinada com a seguinte fórmula: 𝐾 =
1
2
∑ m𝑖
𝑛
𝑖=1 𝑟𝑖
2 ⋅ 𝜔𝑖
2
 
Na equação acima, 𝑚𝑖 representa a massa da partícula 𝑖; ωi é a velocidade 
angular da partícula 𝑖; e 𝑟𝑖 indica a distância radial da partícula 𝑖 em relação ao eixo 
de rotação fixo. É importante lembrar que no Sistema Internacional de Unidades (SI), 
a unidade padrão de medida de energia é o joule (J). 
Através da análise dessa equação, é evidente que o lado direito apresenta o 
seguinte termo multiplicativo:𝑚𝑖𝑟𝑖
2. Este produto evidencia a influência da posição de 
cada partícula em relação ao eixo de rotação na energia cinética do movimento. 
Devido à significativa contribuição deste arranjo na energia associada ao movimento 
de rotação, tal produto é definido como momento de inércia, simbolizado pela letra 𝐼: 
𝐼 = 𝑚𝑖𝑟𝑖
2 
Dentro do SI, a unidade de medida para o momento de inércia é o quilograma 
vezes metro ao quadrado (kg.m²), em que a massa é expressa em quilogramas e o 
raio em metros. Para um objeto composto por 𝑛 partículas, a expressão do momento 
de inércia é a seguinte: 𝐼 = ∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖
2𝑛
𝑖=1 
O conceito de momento de inércia, também conhecido como inércia rotacional, 
encapsula a resistência de um objeto em mudar seu estado de movimento de rotação. 
Segundo Hewitt (2015), um corpo que está em movimento de rotação tem uma 
propensão a manter esse movimento, a menos que seja influenciado por uma força 
externa. Podemos estabelecer uma analogia entre o comportamento do momento de 
inércia no movimento de rotação e o comportamento da massa no movimento linear. 
A seguir, apresentam-se as equações para a energia cinética em ambos os tipos de 
movimento: 𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 ; 𝐾 =
1
2
𝐼𝜔𝑖
2. 
A massa de um ponto material manifesta uma resistência à modificação de seu 
estado no movimento linear, de maneira semelhante ao momento de inércia de um 
corpo rígido e extenso, que opõe resistência à variação de seu estado no movimento 
de rotação. Portanto, quanto maior o momento de inércia, mais desafiador se torna 
alterar seu estado rotacional. Uma ilustração dessa resistência à mudança, é visível 
durante as performances de atletas praticantes de patinação artística (Figura 2). 
Nessa disciplina olímpica, diversos tipos de giros, também chamados de piruetas, são 
executados com frequência devido ao seu alto valor de pontuação. Ao realizar esses 
giros, o atleta ajusta sua postura, o que consequentemente modifica seu momento de 
inércia. 
Figura 2. Exemplo de movimento de rotação que atletas da patinação artística 
executam em uma apresentação com diferentes momentos de inércia 
 
Fonte: br.freepik.com/ 
Em determinados instantes, o atleta modifica o momento de inércia durante a 
rotação, buscando ajustar o movimento que está realizando. Durante uma pirueta 
esticada (em pé), o atleta inicia com os braços estendidos e, posteriormente, os retrai. 
Essa movimentação resulta na redução do momento de inércia, ou seja, na diminuição 
da distância radial, o que facilita a modificação do movimento e, por conseguinte, 
incrementa a velocidade angular. 
Em qualquer sistema envolvido em um movimento de rotação, o momento de 
inércia assume um papel crucial, uma vez que ele será determinante para decidir se 
o movimento acontecerá, além de influenciar a quantidade de força necessária para 
seu início ou cessação. 
O momento de inércia para um corpo extenso 
Conforme Nussenzveig (2013), um corpo que é amplo e rígido exibe uma 
distribuição de matéria contínua. Ao contemplar o considerável número de partículas 
presentes em um corpo, com a massa de cada partícula sendo infinitesimal (𝛥𝑚), é 
possível chegar ao caso limite de um sistema de partículas. Desse modo, ao lidar com 
um corpo extenso, o momento de inércia é estabelecido da seguinte maneira: 𝐼 =
∫ 𝑟2𝑑𝑚. 
Ao calcular o momento de inércia, é necessário examinar um elemento de 
massa 𝑑𝑚, localizado a uma distância radial 𝑟 do eixo de rotação. A variação de 𝑟 
dependerá das características específicas do corpo sob análise. Portanto, para 
conduzir esse cálculo, é essencial estabelecer uma relação entre 𝑑𝑚 e 𝑟. A grandeza 
empregada para estabelecer essa relação será a densidade, podendo ser linear, 
superficial ou volumétrica, dependendo da geometria do objeto em questão. 
O cálculo do momento de inércia está intimamente ligado à maneira como a 
massa do objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para objetos 
homogêneos com geometrias simples, em que o eixo atravessa o centro de massa do 
objeto, o cálculo se torna comparativamente descomplicado. 
2.1 Cálculo do momento de inércia 
O cálculo do momento de inércia de um corpo rígido é primordialmente 
influenciado pela distribuição da massa e pela posição do eixo de rotação. Vamos 
conhecer o processo de cálculo do momento de inércia aplicado a objetos 
homogêneos, ou seja, com densidade constante, nos quais o eixo de rotação é fixo e 
passa pelo centro de massa. As demonstrações serão conduzidas considerando 
formas geométricas elementares. 
O procedimento inicial consiste em isolar um elemento de massa 𝑑𝑚 e 
examinar o comportamento de 𝑟. A Figura 3 abaixo, ilustra um anel de pequena 
espessura executando rotação em torno de seu próprio centro de massa. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Cálculo do momento de inércia para um anel fino de massa 𝑚 e raio 
𝑅 girando em torno de um eixo fixo que passa pelo seu centro de massa 
 
Fonte: urx1.com/VFjEU 
O cálculo para esse anel é direto, já que a distância radial 𝑟 permanece 
constante. Na Figura 4 subsequente, é exibido um disco de fina espessura realizando 
rotação em torno de seu centrode massa. 
Figura 4. Cálculo do momento de inércia para um disco fino de massa 𝑚 e raio 𝑅 
girando em torno de um eixo fixo que passa pelo seu centro de massa. 
 
Fonte: urx1.com/VFjEU. 
Para calcular o momento de inércia do disco, é necessário estabelecer uma 
relação entre 𝑑𝑚 e a densidade superficial, uma vez que sua espessura é considerada 
infinitesimal. A Figura 5 abaixo ilustra um cilindro sólido com raio 𝑅 e altura ℎ 
executando rotação em torno de seu centro de massa. 
Figura 5. Um cilindro de massa 𝑚, altura ℎ e raio 𝑅 girando em torno de um eixo fixo 
que passa pelo seu centro de massa 
 
Fonte: l1nq.com/PSViM. 
O cálculo do momento de inércia para o cilindro exemplificado, será equivalente 
ao do disco apresentado na Figura 4. Note os elementos de massa 𝑑𝑚 evidenciados 
na Figura 5, a distância radial 𝑟 de cada partícula no cilindro sempre variará de 0 a 𝑅, 
independente da altura ℎ. Consequentemente, o momento de inércia de um cilindro 
sólido pode ser expresso como: 𝐼 =
1
2
𝑚 𝑅2 
Finalmente, procederemos ao cálculo para uma esfera sólida com raio 𝑅. Nesse 
contexto, podemos visualizar a esfera como uma composição de discos, cada um com 
um raio 𝑟 que varia em relação à sua distância ao centro da esfera (𝑥). A Figura 6 
abaixo, ilustra uma esfera sólida de raio 𝑅 e massa 𝑚 executando rotação em torno 
de seu centro de massa. É evidente que esse disco apresenta uma espessura 
infinitesimal 𝑑𝑥. Nesse cálculo, vamos considerar o disco com raio 𝑟 como o elemento 
de massa. Como é evidente na Figura 6, o raio r é condicionado por 𝑥 e 𝑅, que formam 
um triângulo retângulo. Portanto: 𝑟 = √𝑅2 − 𝑥2 
O volume do disco 𝑑𝑉 será expresso como: 
𝑑𝑉 = 𝜋𝑟2𝑑𝑥 = 𝜋(𝑅2 − 𝑥2)𝑑𝑥 
A densidade do disco equivale à densidade da esfera sólida, de forma que: 
𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑𝑉 = 𝜌𝜋(𝑅2 − 𝑥2)𝑑𝑥 
Figura 6. Uma esfera de massa 𝑚 e raio 𝑅 girando em torno de um eixo fixo que 
passa pelo seu centro de massa 
 
Fonte: shre.ink/aUzE 
Assim, o momento de inércia de um disco é expresso como 𝐼 =
1
2
𝑚𝑟2. Uma vez 
que o disco se torna o nosso elemento de massa 𝑑𝑚, podemos então escrever 𝑑𝐼 =
1
2
𝑟2𝑑𝑚. Ao substituir 𝑟 e 𝑑𝑚, obtemos: 
𝑑𝐼 =
1
2
(𝑅2 − 𝑥2)𝜌𝜋(𝑅2 − 𝑥2)𝑑𝑥 
e integrando: 
𝐼 =
1
2
∫(𝑅2 − 𝑥2)𝜌𝜋(𝑅2 − 𝑥2)𝑑𝑥 =
1
2
𝜌𝜋 ∫ (𝑅2 − 𝑥2)2𝑑𝑥 =
𝑅
0
1
2
𝜌𝜋 (
8𝑅5
15
) 
A integração fornece o valor do momento de inércia do disco considerando a 
variação de 𝑥 de 0 a 𝑅. Isso implica que somente metade da esfera foi considerada 
na avaliação. Portanto, para a esfera completa, o resultado é duplicado: 
𝐼 = (2)
1
2
𝜌𝜋 (
8𝑅5
15
) 
Para a densidade da esfera, é obtido o seguinte valor: 𝜌 =
𝑚
𝑉
=
3𝑚
4𝜋𝑅3
 
Assim sendo, o momento de inércia de uma esfera sólida é expresso como: 
𝐼 =
2
5
𝑚𝑅2 
Essa análise pode ser aplicada a diferentes configurações geométricas de 
distribuição homogênea de massa, envolvendo a avaliação do elemento de massa 𝑑𝑚 
e a variação da distância radial entre esse elemento e o eixo de rotação. O Quadro 1 
abaixo ilustra alguns exemplos de momentos de inércia para objetos com geometrias 
simples. 
Quadro 1. Momento de inércia para corpos de geometria simples 
 
 
Fonte: Adaptado de Hewitt (2015). 
As análises apresentadas sempre consideram o eixo de rotação posicionado 
no centro de massa do objeto, uma vez que, em corpos com formas regulares, essa 
disposição simplifica consideravelmente o estudo do movimento de rotação. A seguir, 
examinaremos como calcular o momento de inércia de um corpo em que o eixo de 
rotação é paralelo a um eixo que atravessa o seu centro de massa. 
Teorema dos eixos paralelos 
A determinação do momento de inércia está condicionada à posição do eixo de 
rotação. Foram fornecidos alguns exemplos em que o eixo está constantemente no 
centro de massa do objeto, entretanto, o eixo de rotação nem sempre coincidirá com 
o centro de massa do corpo. De maneira geral, as portas fornecem um excelente 
exemplo de eixos de rotação que se encontram fora do centro de massa. Um caso 
ilustrativo é a porta de um micro-ondas, onde o eixo de rotação está situado na borda 
lateral da porta, em vez de no centro de massa. 
Conforme Halliday, Resnick e Walker (2016) explicam, ao estarmos cientes do 
momento de inércia de um corpo cujo eixo de rotação está no centro de massa, torna-
se viável calcular o momento de inércia quando esse mesmo corpo gira em torno de 
um eixo que é paralelo ao eixo no centro de massa. Para realizar esse cálculo, é 
necessário apenas conhecer a distância entre esses dois eixos. Essa determinação é 
efetuada mediante o uso do teorema dos eixos paralelos, cuja formulação é a 
seguinte: 𝐼0 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑚ℎ2 , com I0 representando o momento de inércia em relação ao 
eixo paralelo, 𝐼𝐶𝑀 será o momento de inércia em relação ao eixo que atravessa o 
centro de massa, 𝑚 denota a massa do corpo e ℎ indica a distância entre os dois 
eixos. Esses componentes estão apresentados na Figura 7. 
Figura 7. Haste fina com um eixo que passa pelo centro de massa (𝐶𝑀) e outro eixo 
0 que passa pela extremidade da haste. 
 
Fonte: shre.ink/aDZL. 
Para determinar o momento de inércia de uma haste com massa 𝑚 e 
comprimento 𝐿, quando o eixo de rotação está em uma de suas extremidades, é 
possível aplicar o teorema dos eixos paralelos. Isso ocorre porque já possuímos o 
momento de inércia com o eixo no centro de massa (conforme indicado no Quadro 1) 
e conhecemos a distância entre os dois eixos (𝐿/2). 
Portanto, em relação ao eixo 0 posicionado na extremidade da haste, temos: 
𝐼0 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑚ℎ2 =
1
12
𝑚𝐿2 + 𝑚 (
𝐿
2
)
2
= 
1
12
𝑚𝐿2 +
1
4
𝑚𝐿2 
Assim, o momento de inércia de uma haste com comprimento 𝐿 e o eixo 
posicionado em uma das extremidades é: 𝐼0 =
1
3
𝑚𝐿2. 
Até o momento, os cálculos do momento de inércia foram aplicados a objetos 
homogêneos de geometrias regulares. Entretanto, em diversos sistemas, tais 
formatos não são comuns. Uma abordagem para analisar objetos com formas 
complexas consiste em subdividir o corpo em segmentos de formato regular. 
2.2 O momento de inércia para diferentes perfis 
Na engenharia, o momento de inércia é de extrema importância em projetos de 
sistemas que devem manter o equilíbrio estático, ou seja, a soma total das forças é 
igual a zero. Setores como a construção civil e projetos que envolvem a suspensão 
de corpos rígidos, empregam esses cálculos. Nesses contextos, o momento de inércia 
mensura a resistência que um objeto oferece à alteração de seu estado, contribuindo 
para a estabilidade estática do sistema. Essa é uma das informações que um 
engenheiro necessita para determinar, por exemplo, o tipo de conexão entre perfis ou 
a carga que o sistema pode suportar sem sofrer alterações. Tais perfis possuem 
formatos predefinidos no mercado, conforme exemplificado na Figura 8. 
Figura 8. Diferentes tipos de perfis utilizados na construção civil 
 
Fonte: Galvaminas (2020). 
Para calcular o momento de inércia de objetos com geometrias irregulares, uma 
abordagem eficaz é a combinação de perfis. Por exemplo, é viável decompor um perfil 
em diferentes formatos geométricos, cujo momento de inércia é conhecido, como 
hastes e discos. Dessa maneira, é possível transformar sistemas de configurações 
complexas em formas simples. 
Como exemplo, um perfil em configuração de T pode ser subdividido em duas 
hastes (Figura 9a), e um perfil em configuração de I pode ser dividido em três hastes 
(Figura 9b). 
Figura 9. (a) Perfil em formato T dividido em duas hastes; (b) perfil em forma de I 
dividido em 3 hastes 
 
Fonte: shre.ink/aj78. 
Dividindo-se um objeto em componentes menores a fim de calcular o momento 
de inércia, é necessário calcular o momento de inércia de cada segmento em relação 
ao eixo de rotação somando-se os momentos individuais. Logo, ao subdividir o objeto 
em quatro partes, omomento de inércia total será: 
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 + 𝐼4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
GALVAMINAS. Perfis estruturais. Belo Horizonte: Galvaminas, 2020. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1. 
HEWITT, P. G. Física conceitual. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015. 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica: mecânica. 5. ed. São Paulo: Edgard 
Blücher, 2013. v. 1.