MFA_Escoamento Compressivel

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Mecânica dos Fluidos 
Aplicada
Escoamento Compressível
Introdução
Fluido
Incompressível – massa específica (ρ) constante em todos 
os pontos do escoamento
Compressível – massa específica (ρ) vária de ponto a 
ponto do escoamento 
Escoamento compressível – duas variáveis principais
– pressão
– velocidade
Introdução
As equações da continuidade e da energia fornecem as duas 
relações independentes para equacionar essas variáveis.
�� = �. �. �
� = 	
 +
��
2� + �
Escoamento compressível
� = �(	, �)
Grandes variações de velocidade envolvem grandes variações de 
pressão.
Introdução
Efeitos térmicos → Termodinâmica
• energia interna
• entalpia
• entropia
• outros
Hipóteses Simplificadoras
a) Escoamento unidimensional ou uniforme nas seções
b) Regime permanente
c) O fluido que escoa é um gás perfeito
Para largas faixas de pressão e temperatura essa hipótese é 
válida para grande parte dos gases, simplificando o 
escoamento.
Revisão de Conceitos Termodinâmicos
Escoamento incompressível – equação da energia
→ unidades de peso
�������
���� → � �	!"�#$% 
Escoamento incompressível – melhor trabalhar com grandezas 
específicas (energia/massa)
�!&$'#�&
�&((& = �!&$'#�& #(	#�í�"�& =
�!&$'#�&
	#( × �
Revisão de Conceitos Termodinâmicos
Assim:
Energia cinética específica:
,-
�
Energia potencial específica: �. �
Energia de pressão:
�
. × � =
�
/
Unidades: 
0-
�-
1
2� =
0-
�-
Revisão de Conceitos Termodinâmicos
Energia interna (I)
Para a Mecânica dos Fluidos pode ser considerada equivalente à 
energia térmica e será função apenas da temperatura.
3 = 4�
Entalpia (H)
� = 4 + 	5
Por unidade de massa
�
� =
4
� +
	5
�
ℎ = 3 + 	�7
Revisão de Conceitos Termodinâmicos
Entropia (S)
'8 = '9:� ��,
9: – calor trocado pelo sistema
T – temperatura absoluta
rev – reversível
'( = '8� =
'9:/�
� ��,
= '<� ��,
Unidade:
1
2�.= =
0-
�-.=
Revisão de Conceitos Termodinâmicos
Gás Perfeito
a) Equação de Estado
	
� = >�
p – pressão (em escala absoluta)
ρ - massa específica
T – temperatura (em escala absoluta)
R – constante dos gases
Revisão de Conceitos Termodinâmicos
> = 	�� ≡
[ABCD�C�]
ABCF [G] = B��C�GCD
θ - grandeza fundamental temperatura
Unidade:
0-
�-.=
Ex.: >�� = 287 12�.= = 287
0-
�-.=
> = >JA0�K >J = 8.314,5
P
� Q
Revisão de Conceitos Termodinâmicos
b) Energia interna e entalpia são funções somente da temperatura
3 = �(�)
ℎ = �(�)
c) Os calores específicos a volume constante (cv) e a pressão 
constante (cp) são constantes do gás
�, = R3R� ,
Para 3 = �(�)
�� = 'ℎ'� �
Revisão de Conceitos Termodinâmicos
Rearranjando e integrando ao longo de um processo.
S '3
�
D
= S �,'�
�
D
∆3 = �,. ∆�
cv = cte → simplificação
- piora resultados quantitativos
- interpretação de resultados qualitativos
Revisão de Conceitos Termodinâmicos
�� = RℎR� �
Para ℎ = �(�) e �� = � $(%&$%#
�� = 'ℎ'� �
∆ℎ = ��. ∆�
Revisão de Conceitos Termodinâmicos
Se a origem da medida de u e h for T = 0, tem-se:
3 = �,�
ℎ = ���
ℎ = 3 + >�
'ℎ = '3 + >'�
��'� = �,'� + >'�
�� = �, + >
E a razão entre calores específicos é definida como
U = ���,
Revisão de Conceitos Termodinâmicos
Dividindo �� = �, + > por �,
��
�, = 1 +
>
�,
U = 1 + >�,
VW = XY + Z
�� − >U − 1 = >
V\ = YXY − Z
Equação da Continuidade
Para regime permanente
�� D = �� �
�D�D�D = ������
��� = � + '� � + '� � + '�
Equação da Continuidade
Efetuando o produto do termo da direita
���
= ��� + ��'� + ρ�'� + �'�'� + ��'� + �'�'� + �'�'�
+ '�'�'�
��'� + ��'� + ��'� = 0 ÷ ���
'�
� +
'�
� +
'�
� = 0
Equação da continuidade
� �, �, � = 0
Equação da Continuidade
Para um tubo com área constante:
'� = 0
e
'�
� +
'�
� = 0
Relação entre massa específica e velocidade.
Não é possível obter valores numéricos para essa relação.
Quando se lida com fluido incompressível �D = ��, o que faz com 
que seja possível obter v2 em função de v1 quando se conhece a 
geometria do duto.
Equação da Energia
Forma geral
`D�D�
2 +
	D
�D + 3D + ��D + ��a + < =
`����
2 +
	�
�� + 3� + ���
Escoamento unidimensional: `D = `� = 1
Gás: energia potencial (��) é desprezível
3 + 	� = ℎ
�D�
2 + ℎD + ��a + < =
���
2 + ℎ�
Equação da Energia
Assumindo que entre (1) e (2) não há máquinas e o escoamento é 
adiabático
�D�
2 + ℎD =
���
2 + ℎ�
Entre (1) e (2), se não houver fornecimento ou retirada de energia 
do fluido a soma da energia cinética com a entalpia deve ser 
CONSTANTE em todas as seções.
Equação da Energia
Na forma diferencial
��
2 + ℎ + '< =
� + '� �
2 + ℎ + 'ℎ
��
2 + ℎ + '< =
�� + 2�'� + '��
2 + ℎ + 'ℎ
Equação da Energia
'< = �'� + 'ℎ
Escoamento adiabático: '< = 0
�'� = −'ℎ
ou
�'� = −��'�
Relação entre v e T
- se v aumenta: h diminui 
T diminui
Variações de v e T são contrárias
Equação da Energia
h – engloba energias térmica e de pressão
Pela conservação de energia : Se v aumenta: p diminui
T diminui
A equação da energia relaciona
v e h: � �, ℎ = 0
ou
v e T: � �, � = 0
Junto com a equação da continuidade, forma um sistema de duas 
equações e três variáveis: �, �, �
Equação da Quantidade de Movimento
Para regime permanente
bcd =be�� �d
�
−be�� �d
�
1 2
cf
Equação da Quantidade de Movimento
Na direção x:
−cf = −	D�D + 	��� +�� (�� − �D)
ou
cf = 	D�D − 	��� +�� (�D − ��)
Para uma distância infinitesimal dx
'cf = 	� − 	 + '	 � + ���[� − � + '� ]
ou
'cf
� = −'	 − ��'�
Equação da Quantidade de Movimento
Supondo escoamento sem atrito (τ = 0)
'cf = 0
e
'	 = −��'�
Função: � 	, �, � = 0
Equação de Estado
Gás perfeito
	
� = >. �
Função: � 	, �, � = 0
Com essas quatro equações e quatro variáveis tem-se um sistema 
determinado.
Variação da Entropia
Quando a variação de entropia for importante pode-se empregar 
uma quinta equação que se origina na Termodinâmica.
'( = �, '�� − >
'�
� � (, �, � = 0
ou
'( = �� '�� − >
'	
	 � (, �, 	 = 0
Velocidade do Som
É a velocidade de propagação de uma perturbação da pressão 
causada em um fluido.
A velocidade de propagação é função do estado do fluido e, 
portanto, é uma propriedade que pode ser relacionada com outras
A partir do equilíbrio aplica-se uma 
força 'c, provocando no fluido um 
aumento de pressão '	
'	 = 'c�
Velocidade do Som
Fluido perfeitamente incompressível: aumento de pressão (dp) 
se transmitirá imediatamente para a seção seguinte, desta para a 
próxima e assim sucessivamente: fluido será derramado.
Fluido compressível: ao se deslocar o pistão, cria-se compressão 
na camada adjacente à sua face, que fica a pressão maior que a 
seguinte, expandindo-se contra a mesma. Esta ficará então mais 
comprimida que a próxima, expandindo-se contra a mesma 
comprimindo-a, e assim por diante.
Velocidade do Som
� = U>�
c – velocidade de propagação
velocidade do som
Número de Mach (Ma)
Relação entre a velocidade do fluido em uma seção e a velocidade 
do som na mesma seção.
A& = ��
Classificação dos escoamentos:
Ma < 0,2 – escoamento incompressível
0,2 < Ma < 1,0 – escoamento subsônico
Ma = 1,0 – escoamento sônico
Ma > 1,0 – escoamento supersônico
Estado de Estagnação
Equação Geral:
�D�
2 +
	D
�D + �,�D + <� + ��a =
���
2 +
	�
�� + �,��
A energia potencial é desprezível.
Rearranjando:
���
2 +�
�� + �,�� −
�D�
2 +
	D
�D + �,�D = <� + ��a
A variação de energia total do fluido só pode ocorrer se houver 
troca de calor ou trabalho com o meio.
Estado de Estagnação
Se não houver troca de calor nem trabalho, então:
�D�
2 +
	D
�D + �,�D =
���
2 +
	�
�� + �,��
Como
	
� + �,� = ℎ
Assim
�D�
2 + ℎD =
���
2 + ℎ�
Estado de Estagnação
Estado de estagnação de um fluido em uma seção de escoamento 
é o estado que se atinge (ou atingiria) ao se parar o fluido 
isoentropicamente, isto é, sem perdas de energia.
O estado de estagnação será atingido quando for obtida, em uma 
seção, a transformação da energia cinética em energia de pressão 
e térmica.
Pode-se reescrever a equação como
��
2 +
	
� + �,� =
	�
� + �,��
O subíndice 0 refere-se às propriedades do estado de estagnação.
Estado de Estagnação
A pressão e temperatura de estagnação serão a maior pressão e a 
maior temperatura que poderiam ser atingidas, em uma seção do 
escoamento, se toda a energia cinética fosse transformada em 
energia de pressão e térmica.
ou
A entalpia de estagnação representa a máxima energia disponível 
para a obtenção de energia cinética.
Estado de Estagnação
Fluido incompressível → T é desprezível
Estado de Estagnação
Equação de Bernoulli
�D�
2� +
	D
 + �D =
���
2� +
	�
 + ��
�D = ��
�� = 0
	D = 	�
�D�
2� +
	D
 =
	�
Estado de Estagnação
	� = ��
�
2 + 	
	� − 	 = ��
�
2
A variação da pressão registrada deve-se à energia cinética
	� − 	 = ��
�
2 = h 
0 − 
 ⇒ �� =
2ℎ
� 
0 − 
� = 2ℎ� 
0 − 
 = 2�ℎ
0
 − 1
Estado de Estagnação
Para fluidos incompressíveis vale o mesmo conceito, considerando 
os efeitos térmico
�D�
2 + ℎD =
���
2 + ℎ�
�� = 0
��
2 + ℎ = ℎ�
��
2 + ��� = ���� ÷ (���)
Estado de Estagnação
��
2��� + 1 =
��
�
�� = U>U − 1
��
� = 1 +
(U − 1)��
2U>�
� = U>� �#Q �"'&'# ' ( �
��
� = 1 +
(U − 1)��
2��
Estado de Estagnação
��
� = 1 +
(U − 1)��
2��
��
� = 1 +
(U − 1)
2 A&�
��
� = � U,A&
k é uma função apenas do fluido, uma vez escolhido o gás
��
� = � A&
Estado de Estagnação
Algumas correlações podem ser obtidas para processos 
isoentrópicos.
	�
��2 =
	
�2
ou
��
� =
	�
	
D
2
mas
	
� = >� # 
	�
�� = >���
Estado de Estagnação
Assim,
	
	�
��
� =
�
��
e
	�
	 = 1 +
U − 1
2 A&D
2
2CD
��
� = 1 +
U − 1
2 A&D
D
2CD
Aplicações da Teoria
1. Tubo de Pitot: medida da velocidade de um gás em 
escoamento subsônico
2. Tubo de Venturi: medida da velocidade de um gás em 
escoamento subsônico – coeficiente de 
compressibilidade
3. Descarga de um gás para a atmosfera por um orifício de um 
reservatório de grande dimensões
Escoamento Unidimensional em 
Regime Permanente Isoentrópico
'( = '<� ��,
Para escoamento isoentrópico são necessárias duas condições:
a) Processo reversível: - sem atrito
- sem expansões bruscas
b) Processo adiabático: < = 0
Escoamento Unidimensional em 
Regime Permanente Isoentrópico
Os escoamentos reais terão uma boa aproximação com o modelo 
se:
a) As paredes do conduto forem isoladas
b) A área das paredes for relativamente pequena
c) A viscosidade do fluido for relativamente pequena
(menores tensões de cisalhamento, menor atrito)
Efeito da Variação de Área em 
Propriedades no Escoamento Isoentrópico
'� < 0
Convergente
'� > 0
Divergente
Bocais
Pela equação da continuidade
'�
� = −
'�
� −
'�
�
Pela equação da entropia
'( = �� '�� − >
'	
	 × �
�'( = ��'� + >�	 '	
Efeito da Variação de Área em 
Propriedades no Escoamento Isoentrópico
��'� = 'ℎ
>�
	 =
1
�
Então
�'( = 'ℎ − '	�
Escoamento isoentrópico: '( = 0
'ℎ = '	�
'ℎ = −�'�
Efeito da Variação de Área em 
Propriedades no Escoamento Isoentrópico
Efeito da Variação de Área em 
Propriedades no Escoamento Isoentrópico
'	
� = −�'� ÷ ��
'	
��� = −
'�
�
Na equação da continuidade
'�
� =
'	
��� −
'�
�
'�
� =
'	
��� 1 − ��
'�
'	
Efeito da Variação de Área em 
Propriedades no Escoamento Isoentrópico
Como 
k�
k/ = ��
'�
� =
'	
��� 1 −
��
��
'�
� =
'	
��� 1 −A&�
Ma < 1 – dA e dp têm mesmo sinal: d� ↓ ⇒ '	 ↓
Ma > 1 – 1 −A&� < 0 – dA e dp têm sinais contrários
d� ↓ ⇒ '	 ↑
d� ↑ ⇒ '	 ↓
Efeito da Variação de Área em 
Propriedades no Escoamento Isoentrópico
A equação da quantidade de movimento para escoamento 
isoentrópico:
'	
� + '
��
2 = 0
ou
'	 = −��'� ÷ ���
'	
��� = −
'�
�
Que pode ser substituída na equação da variação de área em 
função do número de Mach:
Efeito da Variação de Área em 
Propriedades no Escoamento Isoentrópico
'�
� = −
'�
� (1 −A&�)
Ma < 1 → d� ↓ ⇒ '� ↑
Ma > 1 → d� ↓ ⇒ '� ↓
Significado:
Para escoamento subsônico em um bocal a área deve diminuir 
para provocar aumento de velocidade.
Para escoamento supersônico os efeitos são opostos no bocal.
Bocal A p v T ρ c Ma
Ma < 1
Conv ↓ ↓ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑
Div ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓
Ma > 1
Conv ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓
Div ↑ ↓ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑
Ma = 1 – ocorre na mínima seção de um bocal convergente
Efeito da Variação de Área em 
Propriedades no Escoamento Isoentrópico
Estado Crítico
Estado que corresponde a Ma = 1.
As propriedades do fluido correspondente ao estado crítico serão 
representadas por um asterisco 	∗, �∗ , �∗, �∗, … .
Se, aso longo do escoamento ocorrer o estado crítico, este 
corresponderá à seção mínima de escoamento.
Estado Crítico
Pressão de estagnação
Temperatura de estagnação
Massa específica de estagnação
	�
	 = 1 +
U − 1
2 A&�
2
2CD
��
� = 1 +
U − 1
2 A&�
��
� = 1 +
U − 1
2 A&�
D
2CD
Estado Crítico
Na condição crítica (Ma = 1)
	�
	∗ =
U + 1
2
2
2CD
��
�∗ =
U + 1
2
��
�∗ =
U + 1
2
D
2CD
Além disso, �∗ = �� = 2UU + 1>��
Estado Crítico
Para escoamento unidimensional, permanente, a equação da 
continuidade pode ser escrita como:
��� = �∗�∗�∗ = �%#
�
�∗ =
�∗
�
�∗
� =
1
A&
�∗
��
��
�
�∗ ��s� ��s
�
�∗ =
1
A&
1 + U − 12 A&�
1 + U − 12
2tD
�(2CD)