Escoamento Compressível

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciência e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Engenharia Mecânica
Departamento de Engenharia Mecânica
Agenda Semanal 06
Introdução ao Escoamento Compressível 
(Capítulo 12, Introdução à Mecânica dos Fluidos, Robert W. Fox, 7ª edição)
Escoamento Compressível 
(Capítulo 13, Introdução à Mecânica dos Fluidos, Robert W. Fox, 7ª edição)
Disciplina
Mecânica dos Fluidos II
Aluna
Joyce Ingrid Venceslau de Souto
Campina Grande - PB
Agosto de 2021
Sumário
PARTE I: Introdução ao Escoamento Compressível
1.	PROPAGAÇÃO DE ONDAS NO SOM 	 	 3
	1.1 Velocidade do Som 3
	1.2 Tipos de Escoamento – Cone de Mach 6
2. 	ESTADO DE REFERÊNCIA: PROPRIEDADES DE ESTAGNAÇÃO ISENTRÓPICA LOCAL 8
	2.1 Propriedades Locais para Escoamento de Gás Ideal 8
3.	CONDIÇÕES CRÍTICAS	 	 	 11
PARTE II: Escoamento Compressível
1. 	EQUAÇÕES BÁSICAS PARA ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL UNIDIMENSIONAL 11
2.	ESCOAMENTO ISENTRÓPICO DE UM GÁS IDEAL – VARIAÇÃO DE ÁREA 
 14
	2.1 Escoamento Subsônico 15
	2.2 Escoamento Supersônico 15
	2.3 Escoamento Sônico 16
	2.4 Condições Críticas e de Estagnação de Referência	 17
	2.5 Escoamento Isentrópico em Bocal Convergente	 18
	2.6 Escoamento Isentrópico em Bocal Convergente-Divergente 20
3.	ESCOAMENTO EM TUBO DE ÁREA CONSTANTE, COM ATRITO 21
	3.1 Equações Básicas Para Escoamento Adiabático 22
	3.2 Escoamento Adiabático: a Linha de Fanno 23
	3.3 Funções de Escoamento de Linha de Fanno para Escoamento Unidimensional de um Gás Ideal 	 24
PARTE I: Introdução ao Escoamento Compressível
1. PROPAGAÇÃO DE ONDAS NO SOM 
1.1 Velocidade do Som 
Ao introduzir o estudo acerca dos escoamentos compressíveis, é de primordial importância notar que a velocidade do som se torna um dos principais indicadores para classificação desses escoamentos, tomando-a como referência em relação a velocidade do escoamento: sendo esta superior a velocidade do som, o escoamento é denominado de supersônico; em caso oposto, subsônico. Para além de apenas uma classificação, o comportamento do escoamento em ambos os casos é totalmente distinto. Antes de qualquer coisa, define-se velocidade do som como a taxa de propagação de um pulso de pressão de intensidade infinitesimal através de um fluido em repouso. Além disso, outro importante indicador no estudo do escoamento compressível é o número de Mach, definido por
 Onde é a velocidade do fluido e é a velocidade do som. Sendo os escoamentos sub e supersônicos indicados, respectivamente, por e . Somado a isso, demonstrou-se que, para , pode-se considerar um escoamento como sendo incompressível. Exemplos de eventos nos quais se supera a velocidade do som bastante utilizados na literatura são o dos jatos supersônicos, como o próprio nome já sugere e, na Fig. 1, observa-se o primeiro veículo terrestre a superar a mesma marca, em 1997.
Figura 1 – Carro britânico Thrust Supersonic disparando pelo deserto de Nevada – EUA.
Fonte: https://www.1pilgrimstudio.com/artwork/prints/speed-record-breaking-prints/thrust-2/
Agora, parte-se para a dedução do método que objetiva determinar a velocidade do som em qualquer meio, atentando ao fato de que a velocidade de uma onda de pressão difere da velocidade do meio no qual a onda se desloca. Considerando a propagação de uma onda de som em um meio não-perturbado, como consta na Fig. 2a, procura-se relacionar a velocidade de propagação desta com a variação das propriedades através dela. Como a propagação acontece em meio estacionário, infere-se que e o sentido de propagação da onda foi posto como sendo para esquerda e, demonstrou-se que, fazendo a consideração em sentido contrário, obtém-se os mesmos resultados. Apesar do escoamento não parecer permanente, já que se considera, em primeiro lugar, um observador estacionário no solo, pode-se considerá-lo como tal se for estabelecido um observador sobre um VC inercial que se move junto com a onda, como pode ser visualizado na Fig. 2b. 
Figura 2 – Análise de volume de controle de uma onda de pressão de intensidade finita: (a) volume de controle fixo em relação ao fluido em repouso à esquerda; (b) volume de controle movendo-se para a esquerda à velocidade C da onda.
Fonte: WHITE [modificado]
 
Aplicando a equação da conservação da massa sobre o VC inercial da Figura 2b, ao considerar que o regime é permanente e uniforme em cada seção, obtém-se
(1)
Daí, ao aplicar a equação da quantidade de movimento, considerando as forças de campo sendo nulas, logo apenas forças de pressão atuam na direção x da superfície do VC, e elas têm atrito zero pois considera-se o escoamento sendo unidimensional. Logo,
(2)
Ao substituir na equação básica, e relacionar o seu resultado com a Eq. 1, tem-se
(3)
Finalmente, com a Eq. 3, consegue-se relacionar a velocidade do meio com propriedades termodinâmicas do fluido. Na prática, para obter esse resultado, pode-se aplicar uma pequena variação de pressão numa amostra e medir a variação correspondente na sua massa específica. Dessa forma, já se consegue prever que a velocidade do som será mais alta em sólidos e líquidos, do que em gases, em função da capacidade menor e maior, respectivamente, desses meios demonstrarem variação de massa específica. Para além disso, sabe-se que uma propriedade termodinâmica para substância simples depende de outras duas independentes e, no presente caso, entende-se que a variação infinitesimal não permite transferência de calor pelo tempo. Como o processo é reversível e adiabático, entende-se que as ondas se propagam de forma isentrópica e, dessa forma, pode-se escrever a pressão como função da massa específica e da entropia, assim
(4)
E a Eq. 3 se torna
(5)
Para sólidos e gases, utiliza-se o módulo de compressibilidade, , para expressar a Eq. 5, já que este é uma forma de relacionar a variação de pressão com a respectiva na massa específica, resultando em
 (6)
No caso de um gás ideal, tem-se que a pressão e a massa específica no escoamento isentrópico se relacionado por . Sendo este um resultado muito importante pois a velocidade do som para gás ideais é função apenas na temperatura,
(7)
1.2 Tipos de Escoamento – Cone de Mach 
Para além do que já foi definido em termos de classificação em escoamento supersônico e subsônico, existem outras classes para escoamento em termos do número de Mach que podem ser visualizadas, em resumo e em conjunto com suas principais características, no quadro da Fig. 3. Isso demonstra que, não apenas uma mera classificação, mas o número de Mach infere em diferenças qualitativas no comportamento dos escoamentos, como já havia sido mencionadoe isso pode ser demonstrado a partir das propriedades de uma fonte sonora simples em movimento.
Figura 3 – Classificação do escoamento de acordo com o número de Mach.
Fonte: WHITE 
Considerando uma fonte puntiforme que emite um pulso a cada intervalo finito de tempo, em segundos. Observa-se que cada pulso se expande para fora da sua origem a uma velocidade , logo pode-se analisar os eventos que acontecem com a movimentação da fonte. Existem 4 possibilidades, visualizadas na Fig. 4:
I. A fonte é estacionária e, logo, . Nota-se que os pulsos constituem um conjunto de esferas concêntricas em expansão, a partir da fonte e com intervalos de segundos.
II. A fonte se move para a esquerda com velocidade subsônica (). A partir da imagem, percebe-se que os pulsos também constituem um conjunto de esferas em expansão constante e não-concêntrico, de modo que a cada instante, o pulso emitido está centrado aonde a fonte se localiza de forma instantânea.
III. O ponto fonte se move para a esquerda com velocidade sônica (). Agora, pode-se observar que os pulsos constituem um conjunto de esferas em contínua expansão e não-concêntrico, além de todas as esferas tangenciarem umas às outras numa linha imaginária à esquerda.
IV. A fonte se move para a esquerda com velocidade supersônica (). Mais uma vez, é notório pontuar que os pulsos se fazem como um conjunto de esferas em expansão contínua, com o detalhe de que a fonte se move tão rápido que ela sempre está na frente do pulso que é gerado por ela. 
Figura 4 – Número de Mach e faixa de propagação de uma onda de som: (A) fonte estacionária; (B) escoamento subsônico (); (C) sônico (); (D) supersônico ().
Fonte: https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/mach-cone
Para movimentos supersônicos as esferas geram um chamado “cone de Mach” que é tangente a cada esfera. Ademais, denomina-se zona de ação a região no interior do cone e zona de silêncio naquela fora do cone, podendo ser observado na Fig. 5. Da geometria, a partir da Fig. 4D, tem-se que
(8)
Figura 5 – Hornet rompendo a barreira do som e formação do cone de Mach.
Fonte: https://www.monolitonimbus.com.br/voos-supersonicos/
2. ESTADO DE REFERÊNCIA: PROPRIEDADES DE ESTAGNAÇÃO ISENTRÓPICA LOCAL
A partir de agora, é necessário encontrar condições de referência para ser possível relacionar condições de um ponto para outro em um dado escoamento. Essa condição, também chamada de condição de estagnação, é obtida quando o fluido é levado ao repouso (). Um processo responsável por trazer essa condição ao escoamento é isentrópico, já que não se considera atrito, transferência de calor, ou outros eventos abruptos. Assim, serão obtidas as denominadas propriedades locais de estagnação isentrópica, sendo o termo “local” referido ao fato de que em um escoamento real o processo pode ser isentrópico ou não, de forma que cada ponto no escoamento terá suas propriedades próprias de estagnação isentrópica.
É possível obter informações sobre as condições de referência de estagnação isentrópica voltada aos escoamentos incompressíveis, utilizando a equação de Bernoulli uma vez que ela é válida para escoamentos em regime permanente, incompressível, sem atrito, e que ocorre ao longo de uma linha de corrente. A partir disso, sabe-se que ela também será válida para um processo isentrópico porque ele ocorre sem atrito (logo, reversível) e adiabático (logo, sem transferência de calor). Considerando ainda que o estado de referência está a mesma elevação que aquela do estado real, tem-se
(9)
Para escoamentos compressíveis, será analisado o comportamento dos gases ideais.
2.1 Propriedades Locais para Escoamento de Gás Ideal
Para o caso dos escoamentos compressíveis, serão deduzidas as relações de estagnação isentrópica a partir da aplicação das equações básicas a um volume de controle diferencial, visualizado na Fig. 6, que já foram utilizadas anteriormente, seguido de integração. Aplicando a equação da continuidade, ao considerar escoamento em regime permanente e uniforme em cada seção, obtém-se
(10)
Da mesma forma, utilizando a equação da quantidade de movimento, considerando as forças de campo na direção x sendo nulas e que o escoamento ocorre sem atrito, infere-se que apenas forças de superfície são atuantes na direção x do VC considerado, resultando em 
(11)
Sabendo que a força atua ao longo da fronteira da linha de corrente, na qual a pressão média é dada por e a componente na direção x da área é . Ao substituir o resultado desta força na Eq. 11 e simplificando-a a partir da Eq. 10, tem-se que
(12)
A Eq. 12 relaciona propriedades ao longo de um processo de desaceleração sem atrito. Para integrar, é necessário estabelecer uma relação entre a pressão e a massa específica no caminho desse processo. Sabendo que ele é isentrópico para um gás ideal, já foi previamente definido que . Daí, ao destacar que ao longo da linha de corrente desse processo, há apenas uma componente de velocidade, cujo módulo é , pode-se integrar a Eq. 12 com as devidas considerações entre o estado inicial () e o de estagnação (), resultando em
(13)
Como se busca uma relação para a pressão de estagnação, e sabendo que e para um gás ideal, pode-se reescrever a equação e obter
(14)
Assim, a Eq. 14 nos permite determinar a pressão local de estagnação isentrópica em qualquer ponto de um escoamento de gás ideal, sendo conhecidos pressão estática e o número de Mach pontual. A partir dela, pode-se encontrar as expressões para as outras propriedades locais de estagnação isentrópica para um gás ideal, partindo da relação , para resultar em 
(15a)
(15b)
(15c)
A partir das Eqs. 15, pode-se concluir que a razão entre cada propriedade local de estagnação isentrópica e a sua correspondente estática pode ser determinada a partir do número de Mach do ponto. Para além disso, destaca-se que, para obtê-las, foi necessária uma dedução utilizando as equações da continuidade e da quantidade de movimento, juntamente com a consideração de processo isentrópico aplicado ao escoamento de um gás ideal. 
Figura 6 – Esquema básico de um ressalto hidráulico.
Fonte: http://mecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/Grad_Eng1707/10-MecanicaFluidosII-IntroducaoCompressivel.pdf
3. CONDIÇÕES CRÍTICAS
As condições de estagnação são úteis para as propriedades termodinâmicas como condições de referência, mas isso não é válido para propriedades do escoamento, como a velocidade, já que por definição. Entretanto, pode-se utilizar a velocidade crítica como valor de referência útil, sendo definida como aquela obtida quando se acelera ou desacelera até o repouso um escoamento, de forma isentrópica até . Usa-se um sinal de * (asterisco) para denotar condições nas quais , tem-se (por definição) que
(16)
Nas condições críticas, as Eqs. 15 se tornam
(17a)
(17b)
(17c)
Além disso, a velocidade crítica pode ser escrita em função da temperatura crítica () ou da temperatura isentrópica (). Para um gás ideal, tem-se que
(18)
PARTE II: Escoamento Compressível
1. EQUAÇÕES BÁSICAS PARA ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL UNIDIMENSIONAL 
Após estabelecer as principais noções e deduções acerca do escoamento compressível na PARTE I, agora busca-se estabelecer equações gerais para um escoamento compressível unidimensional que expresse as leis básicas, de forma análoga ao que foi estabelecido em Mecânica dos Fluidos I para escoamentos incompressíveis. Primeiramente, tem-se o volume de controle visualizado na Fig. 7 e se considera todos os fenômenos que afetam um escoamento, como variação da área transversal, presença de atrito, transferência de calor e choques. Daí, as equações obtidas a partir dessa análise generalizada serão simplificadas considerando o efeito individual de cada fenômeno (para o presente objeto de estudo, foi considerado apenas a mudança de área e a presença de atrito). 
A partir da Fig. 7, tem-se as propriedades nas seções 1 e 2; é a componente na direção x da força superficial devido ao atrito; e tem-se forças superficiais de pressão sobre os lados das seções no canal. Já se consegue prever que as forças decampo, na direção x, são nulas. 
Figura 7 – Volume de controle para análise de um escoamento unidimensional geral.
Fonte: http://mecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/Grad_Eng1707/10-MecanicaFluidosII-IntroducaoCompressivel.pdf
Considerando o escoamento unidimensional em regime permanente, aplica-se a equação da continuidade ao VC, obtendo
(19a)
Daí, a partir da aplicação da equação da quantidade de movimento, considerando a componente x das forças de campo sendo nula e que a força de superfície é devida ao atrito, às forças de pressão distribuída nas paredes do tubo, na equação da continuidade, tem-se que 
(19b)
Além disso, ao avaliar a primeira lei da termodinâmica, considerando as taxas de trabalho de forças de superfície, causadas por eixos e outras fontes, além de desprezar os efeitos da gravidade e simplificar a equação utilizando a definição de entalpia, essa lei básica se reduz a
Escrevendo a equação de transferência de calor sobre a base mássica, 
(19c)
A Eq. 19c aponta que a transferência de calor altera a energia total do fluido escoando, destacando que o termo é denominado de entalpia de estagnação (), que é obtida quando o escoamento é trazido ao repouso adiabaticamente. Para além disso, a equação da segunda lei da termodinâmica, a partir das mesmas considerações aplicadas à continuidade, se reduz a 
(19d)
Finalmente, com relação às equações de estado, já se sabe que são relações entre propriedades termodinâmicas intensivas. Além disso, definiu-se anteriormente que, para uma substância simples, qualquer propriedade pode ser expressa em função de outras duas propriedades independentes. Então, serão tratados os gases ideais como sendo de calores específicos constantes e, para este caso, a entropia e demais propriedades podem ser calculadas a partir das relações seguintes:
(19e)
(19f)
(19g)
Portanto, todas as Eqs. 19 formam um conjunto de equações para analisar um escoamento compressível unidimensional e uniforme de um gás ideal com calores específicos constantes.
2. ESTADO DE REFERÊNCIA: PROPRIEDADES DE ESTAGNAÇÃO ISENTRÓPICA LOCAL
Primeiramente, considera-se que o escoamento é alterado apenas pela mudança de área, de modo que ele será isentrópico, já que a ausência de choques e atrito faz dele reversível e adiabático. Isso significa que a variação de entropia entre dois pontos desse escoamento é nula e, logo, a Eq. 19d é igualada a zero e que a Eq. 19g leva ao resultado obtido anteriormente: . Portanto, o conjunto de equações básicas se torna:
(20a)
(20b)
(20c)
(20d)
(20e)
(20f)
(20g)
Vale salientar que as Eqs. 20c, d e f demostram como esse processo é visualizado num diagrama hs e Ts. A partir da Eq. 20c, infere-se que a energia de estagnação, ou total, (), do fluido é constante, ou seja, a entalpia e energia cinética podem variar ao longo do processo, mas a soma será sempre a mesma; A Eq. 20d indica que a entalpia é mantida constante; A Eq. 20f indica que a entalpia e a temperatura estão relacionadas de forma linear. 
A partir disso, entende-se que as Eqs. 20 tem o potencial para serem utilizadas na análise de escoamentos isentrópicos, uma vez que as condições na seção 1 sejam conhecidas: tem-se um conjunto de 7 equações algébricas não-lineares e acopladas, com 7 incógnitas, o que torna o processo trabalhoso. Na prática, utiliza-se algumas delas, quando conveniente, e serão desenvolvidas outras relações apropriadas em função do número de Mach, e das condições de estagnação e críticas. Antes de tentar deduzi-las, é importante recapitular alguns resultados importantes obtidos no capítulo 12, principalmente porque, a partir da equação da quantidade de movimento, substitui-se os índices tendo em vista o VC diferencial, obtendo
(21)
Diferencia-se a Eq. 20a, e substituindo o resultado na Eq. 21, lembrando da relação para um processo isentrópico , tem-se que
(22)
Substituindo a Eq. 21 na Eq. 22, resultamos em
(23)
Assim, as Eqs. 22 e 23 confirmam a expectativa de que aja um aumento na pressão associada a uma redução na velocidade, e vice-versa.
2.1. Escoamento Subsônico 
Para , a partir das Eqs. 22 e 23, observa-se que um positivo leva a um positivo e negativo. Isso infere que em uma seção divergente, conhecido também como difusor subsônico, o escoamento deve experimentar um acréscimo na pressão devido ao aumento da área, levando a um decréscimo na velocidade. Já em uma seção convergente, denominada de bocal subsônico, o escoamento experimenta uma queda de pressão em função da redução de área, o que leva a um aumento na velocidade. Esses resultados não são inéditos, já que conclusões semelhantes foram obtidas para um aplicações da equação de Bernoulli, como medidor de Venturi. Ademais, ambos os dispositivos podem ser visualizados na Fig. 8.
 
2.2. Escoamento Supersônico 
Para , frente as mesmas Eqs, nota-se que um positivo leva a um negativo e positivo. Esses resultados mostram que, em uma seção divergente, cujo dispositivo é conhecido por bocal supersônico, o escoamento deve experimentar um decréscimo na pressão por conta do aumento da área, induzindo um acréscimo na velocidade. Já em uma seção convergente, cujo dispositivo é denominado de difusor supersônico, o escoamento experimenta um aumento de pressão dada a redução de área, levando a uma redução na velocidade. 
Apesar dos resultados serem contraintuitivos, eles são consistentes com as leis da física, posto que um aumento de pressão leva a uma desaceleração do escoamento porque apenas as forças de pressão estão atuando. Além disso, eles podem ser compreendidos quando se nota que a variação das propriedades, especialmente a massa específica do fluido, é função das condições do escoamento, o que é novidade nas análises feitas em Mecânica dos Fluidos até o momento. 
Figura 8 – Efeito no número de Mach sobre as variações de propriedade do escoamento em dutos com variação de área.
Fonte: WHITE
2.3. Escoamento Sônico 
À medida que o escoamento se aproxima de , tendo em vista as Eqs. 22 e 23, poder-se-ia concluir que as mudanças na pressão e velocidade estariam tendendo para valores infinitos, o que não é verdade. De forma a evitar essa singularidade na pressão e velocidade, faz-se a restrição de que quando , então, fica estabelecido que as condições sônicas só podem ocorrer quando a área for constante. Para os casos de dispositivos para acelerar ou desacelerar o escoamento, a condição para escoamento sônico sendo em locais de área constante não é suficiente, agora sendo limitadas ao local que tem área mínima (ou garganta). Isso é validado com o fato de que, para acelerar isentropicamente um fluido a partir do repouso até uma velocidade supersônica, é necessário ter um bocal subsônico seguido por um bocal supersônico, com na garganta. Além disso, para manter esse escoamento supersônico a jusante da garganta, é necessário também estabelecer e manter uma diferença de pressão entre entrada e saída.
2.4. Condições Críticas e de Estagnação de Referência
Como mencionado anteriormente, uma saída para a utilização das Eqs. 20 seria utilizar os resultados obtidos para as condições de estagnação e de referência crítica. Logo, ao invés de partir das propriedades do escoamento na seção 1 para a 2, pode-se usar o estado 1 para criar dois estados de referência (sendo eles o de estagnação e o crítico) e, daí então, utilizá-los para determinar as propriedades do escoamento na seção 2. Pode-se notar que as condições de estagnação são constantes através do escoamento isentrópico e as condições críticas (obtidas quando se considera ) foram relacionadas com àquelas em considerações anteriores,
(24a)
(24b)
(24c)
(24d)
Ainda que um dado escoamento são atinja as condições sônicas, pode-se determinar as condições críticas como condições de referência. Enquanto as Eqs. 15 relacionam as propriedades locais com as de estagnação através do número de Mach, as Eqs. 24 relacionam as propriedades críticas com as de estagnação, mas ainda é necessário estabelecer uma relação entre as áreas. Pensando nisso,parte-se da equação da continuidade na forma para obter
(15d)
Portanto, as Eqs. 15 formam um conjunto de equações para análise de escoamentos isentrópicos de um gás ideal com calores específicos constantes, utilizado normalmente ao invés das equações básicas. Essas equações fornecem relações das propriedades em função do número de Mach local e das condições de estagnação e críticas. A partir delas, observa-se que para cada número de Mach, obtém-se uma única razão de área, contudo, de acordo com a Fig. 9, sendo , cada razão de área apresenta dois possíveis números de Mach: sendo um para escoamento supersônico, e outro para o escoamento subsônico. 
Figura 9 – Variação de com o número de Mach, para escoamento de gás ideal com .
Fonte: FOX
2.5. Escoamento Isentrópico em Bocal Convergente
A partir das Eqs. 15, agora pode-se analisar a forma de como obter um escoamento em um bocal convergente partindo do repouso. Para produzi-lo, é necessário criar uma diferença de pressão entre a entrada e a saída, fornecendo gás a partir de um reservatório – a e - e, usado um conjunto bomba de vácuo e válvula, cria-se uma pressão baixa, ou contrapressão (). O objetivo é avaliar as propriedades do gás à medida que ele escoa ao longo do bocal e estabelecer relação entre o aumento da vazão mássica em função do decréscimo da contrapressão. Denominando a pressão de saída de , será demonstrado que ela, em grande parte, é igual a contrapressão. Os resultados, ao abrir progressivamente a válvula, estão postos na Fig. 10c.
Figura 10 – Operação de um bocal convergente: (a) geometria do bocal mostrando as pressões características; (b) distribuição de pressões causada por diversas contrapressões; (c) vazão em massa em função da contrapressão.
Fonte: WHITE [modificado]
Quando a válvula está completamente fechada, não existe escoamento no bocal, então a pressão é em todo o bocal. Se a válvula é minimamente aberta, de forma que a contrapressão seja minimamente inferior a , terá escoamento no bocal com uma diminuição na pressão no sentido de escoamento (condição ), sendo este subsônico na saída, cuja pressão será igual a contrapressão. A medida que a válvula vai sendo aberta, e a contrapressão sendo reduzida em consequência direta disto, a pressão na saída continuará a diminuir (condição ). Então, conforma a contrapressão é reduzida, a vazão aumenta e, assim, tanto o número de Mach quanto a velocidade no plano de saída também aumentam. O limite para a vazão mássica no escoamento é aquela para a qual , ou seja, quando o escoamento atinge as condições sônicas em algum local. Para ser consistente com as condições físicas previamente estabelecidas, define-se que a condição sônica será posta no plano de saída, quando e . Isso é mostrado na condição e é chamada de escoamento bloqueado. Da Eq.15a,
(25)
Para a vazão máxima, ou de bloqueio, temos a expressão geral e, a partir da equação de estado do gás ideal e da aplicação das Eqs. 15a e b com e , mostra-se que
(26)
Através das Eqs. 25 e 26, infere-se que a vazão máxima em um bocal convergente depende apenas do tamanho da seção de saída () e das condições no reservatório (,) para um dado gás (). Ademais, vale salientar que, caso a contrapressão seja reduzida para um valor abaixo do de referência, a vazão mássica não aumenta e a distribuição de pressão no bocal permanece invariável. Em conclusão a isso, é destacável que o escoamento isentrópico é uma boa aproximação para o escoamento real em bocais porque, como o gradiente de pressão é favorável, as camadas-limite tendem a se manterem delgadas, minimizando os efeitos de atrito. 
2.6. Escoamento Isentrópico em Bocal Convergente-Divergente 
Agora tratando de um bocal convergente-divergente, o escoamento é induzido novamente por uma bomba a vácuo a jusante, sendo controlado por uma válvula. Sendo as condições de estagnação a montante são constantes e o objetivo, semelhante ao caso do bocal convergente, é investigar a variação da vazão mássica com a diferença de pressão aplicada (), dentre outras coisas. 
Com a válvula inicialmente fechada, não há escoamento no bocal, então a pressão é constante . Uma leve abertura da válvula produz a distribuição de pressão condizente à curva A, da Fig. 11. Se a vazão for suficientemente baixa, o escoamento será subsônico e incompressível em todos os pontos sobre essa curva, comportando-se como um venturi. Conforme a válvula é aberta e a vazão mássica é aumentada, uma pressão mínima é mais proeminente (curva B), sendo que o escoamento continua sendo subsônico e desacelerado na seção divergente. Ao abrir ainda mais a válvula, tem-se a curva C, sendo que na seção de área mínima (garganta), o escoamento atinge as condições sônicas e o bocal é bloqueado, ou seja, tem-se vazão máxima paras as condições dadas. As curvas A-C representam escoamentos isentrópicos e, se cada uma delas faz referência um valor de vazão mássica, na curva C se atinge o seu máximo. Para calculá-lo, basta utilizar a Eq. 26, mas utilizando a área da garganta , obtendo
(27)
Figura 11 – Operação de um bocal convergente-divergente: (a) geometria do bocal mostrando possíveis configurações de escoamento; (b) distribuição de pressões causada por diversas contrapressões; (c) vazão em massa em função da contrapressão.
Fonte: WHITE [modificado]
Assim como no caso do bocal convergente, a possibilidade de aumentar esse valor de vazão mássica ao reduzir a contrapressão, abaixo da condição H para a condição I, por exemplo, não conduzirá a nenhum resultado diferente no escoamento. Ele é isentrópico do reservatório até a saída do bocal e, após isso, ele se submete a uma expansão tridimensional e irreversível até uma contrapressão mais baixa, cuja operação do bocal é denominado subexpandido. Agora, se a contrapressão for ajustada na condição H, o escoamento continuará endo isentrópico através do bocal, e supersônico na saída dele, logo, o bocal estará operando nas condições de projeto (). E, finalmente, bocais operando em são sobre-expandidos, já que a pressão em qualquer ponto no bocal é inferior a de contrapressão. 
 
3. ESCOAMENTO EM TUBO DE ÁREA CONSTANTE, COM ATRITO 
Após serem tratados os escoamentos nos quais a mudança de área era a responsável pela mudança nas propriedades do fluido, agora serão considerados aqueles nos quais o atrito na parede é responsável pelas alterações. O ponto inicial é dado a partir das Eqs. 19 que é o conjunto das equações básicas que descrevem, de maneira geral, um escoamento unidimensional afetado por todos os fatores citados no começo do presente estudo. O objetivo, inicialmente, é simplicá-las tendo em vista que o único fator modificador analisado agora é a presença do atrito na parede, isto é, para um escoamento em um duto de área constante com atrito. 
A partir da tese que o atrito irá gerar calor, pode-se pensar em dois casos: primeiro, admite-se que o escoamento é adiabático, assim o calor gerado permanece armazenado como energia interna; segundo, admite-se que o escoamento é isotérmico, dessa forma, o fluido recebe ou rejeita calor quando conveniente. Aplicações práticas para os casos previamente levantados podem ser que, por exemplo, um escoamento em um duto relativamente curto será considerado adiabático, e em um relativamente longo, o escoamento será aproximadamente isotérmico. 
 
3.1. Equações Básicas Para Escoamento Adiabático 
Dessa forma, as Eqs. 19 podem ser simplificadas ao considerar um escoamento adiabático, sem atrito ao longo de um duto com área constante para um gás ideal com calores específicos constantes, conforme Fig. 12. Tem-se que as áreas de ambas as seções serão iguais, não há transferência de calor, e a componente x da força superficial é devida tão somente ao atrito. Dessa forma, as Eqs. 19 se tornam 
(28a)
(28b)
(28c)
(28d)
(28e)
(28f)
(28g)
Figura 12 – Volume de controle para análiseintegral de um escoamento adiabático sem atrito.
Fonte: FOX 
As Eqs. 28 podem ser utilizadas para analisar um escoamento dadas as condições apresentadas anteriormente para uma seção 2, uma vez que sejam conhecidas as propriedades da seção 1, após o fluido ter experimentado uma força de atrito cujo efeito é o causador da mudança de propriedades. Para a investigação desse efeito, tem-se 6 equações algébricas não-lineares acopladas e 6 incógnitas para resolver. Portanto, um dos objetivos é desenvolver relações matemáticas aproximadas cujo método de cálculo seja menos trabalhoso. 
 
3.2. Escoamento Adiabático: a Linha de Fanno 
Conforme o escoamento avança no duto, a partir dos cálculos descritos previamente, seria desenvolvida uma relação entre T e s, como a mostrada na Fig. 13, para duas possibilidades: um escoamento inicialmente supersônico ou subsônico. Além disso, o lugar geométrico de todos os possíveis estados a jusante do escoamento é denominado de linha de Fanno, então para qualquer estado inicial sobre ela, cada ponto sobre a linha representa um estado possível a jusante no escoamento. A partir da análise da Fig. 13, infere-se que o ponto no qual se tem a máxima entropia, é o equivalente ao número de Mach 1. Do mesmo modo, a parte superior da curva se refere a números de Mach inferiores a unidade, enquanto o ramo inferior os números de Mach associados são maiores que a unidade.
Figura 13 – (a) Escoamento de Fanno subsônico, (b) Escoamento de Fanno supersônico.
Fonte: MUNSON
Além disso, através das Figs. 13, nota-se que as setas indicam o aumento da entropia para ambos os escoamentos, tendo em vista que as curvas foram obtidas a partir das Eqs. 28, aumento a força de atrito, ou seja, o atrito causa a irreversibilidade e o acréscimo da entropia no escoamento: no escoamento subsônico, o efeito do atrito é aumentar o número de Mach em direção a unidade, enquanto que no supersônico, o atrito reduz o número de Mach para o mesmo valor de referência. Já foi sinalizado anteriormente que a temperatura de estagnação, bem como a entalpia de estagnação, permanece constante. Já a pressão de estagnação isentrópica local sofre decréscimo por conta do atrito. Em suma, os efeitos do atrito sobre as propriedades do escoamento, para o escoamento na linha de Fanno se encontram na Fig. 14
Figura 14 – Resumo dos efeitos do atrito sobre as propriedades em escoamento sobre a linha de Fanno.
Fonte: MUNSON
3.3. Funções de Escoamento de Linha de Fanno para Escoamento Unidimensional de um Gás Ideal 
Após a seção anterior, sabe-se que a variável independente no escoamento de linha de Fanno é a força de atrito, cujo conhecimento possibilita prever as condições a jusante a partir das condições determinadas ou conhecidas a montante. Sabe-se que a força de atrito total é dada pela integral da tensão de cisalhamento na parede sobre a área de superfície do duto. O objetivo dessa seção é, a partir da tensão de cisalhamento variável, desenvolver uma equação diferencial, a partir do VC da Fig. 15, para ela e, em seguida, integrá-la para determinar a variação das propriedades. 
Figura 15 – Resumo dos efeitos do atrito sobre as propriedades em escoamento sobre a linha de Fanno.
Fonte: MUNSON
Comparando a Fig. 15 com a 12, observa-se que as equações podem ser utilizadas, substituindo os índices a jusante do escoamento e a relação apropriada para a componente x da força superficial de atrito. Fazendo isso, para a equação da continuidade, tem-se
(29a)
Aplicando, da mesma forma, a equação da quantidade de movimento e a reduzindo a partir da resultante para a equação da continuidade, obtém-se
(29b)
A primeira lei da termodinâmica resulta em 
(29c)
Agora, é necessário relacionar a força de atrito com outras propriedades do escoamento, notando que
(30)
E para obter uma expressão para a tensão de cisalhamento, admite-se que as mudanças nas variáveis, na direção x, são graduais. Parte-se da equação de tensão de cisalhamento em função das propriedades do escoamento do fator de atrito para um escoamento incompressível, já que há uma hipótese validada sobre a boa concordância entre este caso para o de escoamento subsônico. Após introduzir o conceito de diâmetro hidráulico e realizar uma manipulação algébrica, tem-se
(31)
Para relacionar M com x, usa-se a definição de número de Mach e, ao diferenciar e dividir por ela mesma a equação resultante, obtemos
(32)
 Das equações da continuidade e de estado para um gás ideal, resulta
 (33)
 Para conseguir relacionar M com x, ainda é necessário obter uma expressão para dT/T em função de M. Após manipulações algébricas e entre equações, consegue-se chegar no seguinte
(34)
Ao integrar a Eq. 34, entre os estados inicial, com um M qualquer, e final, utilizando as condições críticas, conduz a
 (35)
A Eq. 35 dá o máximo para o termo à direita da equação, para qualquer valor de Mach inicial. As condições críticas são condições de referência para se utilizar no desenvolvimento de equações de escoamento envolvendo razões de propriedades em termos do número de Mach local. Assumindo que To é constante, tem-se
(36a)
Da equação da continuidade, obtém-se
(36b)
Da equação de estado de gás ideal, resulta
(36c)
A razão entre a pressão de estagnação local e a de estagnação de referência é calculada por
(36d)
Finalmente, as Eqs. 36 formam um conjunto de equações para análise de escoamento de um gás ideal em um duto de seção constante com atrito.
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