Nota 6: VPL para projetos com durações distintas e TIR

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Notas de aula para o curso de Engenharia Econômica 
Nota 6: VPL para projetos com durações distintas e TIR 
(versão preliminar) 
Thiago Fonseca Morello 
fonseca.morello@ufabc.edu.br 
sala 301, Bloco Delta, SBC 
1 Análise de projetos 2, critério do VPL para projetos com durações distintas 
1.1 Teoria 
No tópico anterior, o critério do VPL foi aplicado como base para decidir entre projetos 
com horizontes ou durações de tempo equivalentes. Porém, o problema de comparar, 
por exemplo, o investimento em duas máquinas que realizam a mesma função 
produtiva, mas, porém, possuem vidas úteis distintas, também se coloca na prática. 
Esta sutileza requer a incorporação de um passo adicional ao procedimento de aplicação 
do critério do VPL. Trata-se de especificar um horizonte de tempo comum a todos os 
projetos avaliados. E então aplica-se o critério do VPL para as séries de fluxos 
monetários de cada projeto tomando-se como referência o horizonte comum. 
Para definir o horizonte de tempo comum, dois critérios são utilizados, como segue: 
1. Mínimo múltiplo comum: o horizonte comum é definido como o mínimo múltiplo 
comum (MMC) das durações dos projetos. Por exemplo, assumamos que estão 
sendo comparados três projetos, com durações de dois, quatro e seis anos. O MMC 
das durações é de 12 anos e está é a duração comum segundo o presente critério; 
2. Período de estudo: define-se o horizonte comum de acordo com uma referência de 
tempo que se mostra adequada para o investidor, desconsiderando a vida útil 
(duração) dos projetos. Geralmente o período de estudo é curto e não superior à 
duração do projeto com menor duração. 
O primeiro critério exige que os projetos com duração inferior ao horizonte comum 
tenham seus fluxos de caixa replicados no tempo um número de vezes necessário para 
preencher completamente o horizonte comum. O exemplo fornecido ao tratar do critério 
daria origem aos três fluxos de caixa no diagrama da próxima página. Nele, a escala de 
tempo comum aos projetos está acima dos três projetos com número em vermelho. 
Abaixo dela se tem os três projetos, replicados sequencialmente para preencher 12 
períodos. Os fluxos de caixa líquidos originais dos projetos estão destacados por 
retângulos pontilhados. 
 
 
2 
 
 
 
 
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Diagrama: projetos com duração de 2, 3 e 4 anos replicados em um horizonte de tempo comum definido pelo MMC das durações 
 
 
Escala comum 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Projeto 1 RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL
VPL? ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
P P P P P P
Projeto 2 RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL
VPL? ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
↓ ↓ ↓ ↓
P P P P
Projeto 3 RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL RL
VPL? ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
↓ ↓
P P
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3.2 Exercícios 
1 (Blank e Tarquin, 2011, ex. 5.24) Uma empresa do setor químico deve decidir 
entre três métodos de deposição de resíduos químicos não-perigosos. São eles: (1) 
aplicação na terra, (2) incineração em reatores de leito fluidizado e (3) deposição em 
uma área privada mediante pagamento do serviço. As estimativas de custo para cada 
método estão na tabela. Determine qual é o método de menor custo considerando para 
isso uma taxa de juro de 10%. 
 Método 1 Método 2 Método 3 
Taxa de juro a.a [comum] 0,10 0,10 0,10 
Custo inicial 130.000,00 900.000,00 - 
Custo operacional anual 95.000,00 60.000,00 120.000,00 
Receita anual Não se aplica Não se aplica Não se aplica 
Valor residual 25.000,00 300.000,00 - 
Vida útil (anos) 3 6 2 
 
R: O passo zero não é necessário pois o enunciado provê a tabela de dados. 
Passo 1, definição do horizonte comum 
Optando-se pelo critério do MMC, o horizonte comum é de seis anos. 
Passo 2, elaboração dos fluxos de caixa líquidos ao longo do horizonte comum 
Os métodos 1 e 3 terão de ter seus fluxos de caixa replicados um número de vezes 
equivalente à divisão da duração comum pela duração de cada um. É recomendável a 
elaboração dos diagramas de fluxo de caixa para a comparação de projetos com 
durações distintas. 
 
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Há alguns detalhes que requerem cautela. 
1. O custos inicial dos métodos 1 ocorre mais de uma vezes sempre ao final do período 
anterior àquele em que se inicia uma nova replicação. O custo inicial é pago não 
apenas em t = 0, mas também ao final do terceiro período ou, o que é equivalente, 
no início do quarto período. Neste último período, o custo inicial deve ser somado 
às despesas que ocorrem ao final do terceiro período; 
2. Deve-se proceder analogamente para o caso dos valores residuais; 
3. O valor residual do método 2 é superior à despesa operacional, e, portanto, no 
último período deste projeto deve ocorrer um fluxo líquido positivo; 
4. Já, para o método 1, o valor residual é inferior à despesa operacional e, portanto, 
haverá um fluxo negativo no último período. 
Assim fazendo, acaba-se com os fluxos de caixa líquidos a seguir. 
Ano Método 1 Método 2 Método 3 
0 - 130.000,00 - 900.000,00 0 
1 - 95.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 
2 - 95.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 
3 - 200.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 
4 - 95.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 
5 - 95.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 
6 - 70.000,00 240.000,00 - 120.000,00 
 
Passo 3, cálculo dos VPLs 
VPL(método 1) = 
 −130.000− ଽହ.଴଴଴
ଵା௜
−⋯−
ଽହ.଴଴଴(ଵା௜)ల − ଵଷ଴.଴଴଴(ଵା௜)య + ଶହ.଴଴଴(ଵା௜)య + ଶହ.଴଴଴(ଵା௜)ల = −130.000 −95.000 ቀ(ଵା଴,ଵ)లିଵ
୧(ଵା଴,ଵ)ల ቁ+ ଶହ.଴଴଴(ଵା௜)య + ଶହ.଴଴଴(ଵା௜)ల = −ܴ$	608.525,97. 
VPL(método 2) = 
 −900.000− ଺଴.଴଴଴
ଵା௜
−⋯−
଺଴.଴଴଴(ଵା௜)ల + ଷ଴଴.଴଴଴(ଵା௜)ల = −900.000 − 60.000 ቀ(ଵା଴,ଵ)లିଵ୧(ଵା଴,ଵ)ల ቁ +
ଷ଴଴.଴଴଴(ଵା௜)ల = −ܴ$	991.973,46 
VPL(método 3) = 
−
120.0001 + ݅ − ⋯− 120.000(1 + ݅)଺ = −120.000ቆ(1 + 0,05)଺ − 1i(1 + 0,05)଺ ቇ = ܴ$	522.631,28. 
 
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2 Análise de projetos 3, taxa interna de retorno 
2.1 Teoria básica 
2.1.1 Definição 
Um critério de escolha dentre projetos de investimento alternativos é o da taxa interna 
de retorno (TIR). Trata-se da taxa de juro que faz com que o valor presente da série de 
fluxos de receitas se iguale ao valor presente da série de fluxos de despesas. De maneira 
equivalente, a taxa interna de retorno é a taxa de juro que torna nulo o valor presente 
líquido do fluxo de caixa. 
Formalmente, a TIR é dada por i* tal que: 
ܸܲܮ(݅∗) = 0 ⟷෍ ܴܮ௧(1 + ݅∗)௧ே
௜ୀଵ
− ܲ = 0 
Uma interpretação mais intuitiva da TIR é proposta por Newnan et al (2004, cap.7). 
Trata-se da taxa de retorno que torna o valor presente dos benefícios proporcionado pelo 
investimento igual ao valor presente dos custos. É claro que os benefícios correspondem 
às receitas, {ܴ௧}௧ୀଵ் e os custos às despesas, {ܦ௧}௧ୀ଴் , com D0 representando o 
investimento inicial (D0 = P). Deste modo: 
ܸ ௕ܲ௘௡௘௙í௖௜௢௦(݅∗) = 		 ܴଵ(1 + ݅∗)ଵ + ܴଶ(1 + ݅∗)ଶ + ⋯+ ்ܴ(1 + ݅∗)் 
ܸ ௖ܲ௨௦௧௢௦(݅∗) = 		ܦ଴ + ܦଵ(1 + ݅∗)ଵ + ܦଶ(1 + ݅∗)ଶ + ⋯+ ܦ்(1 + ݅∗)் 
A TIR, de acordo com a interpretação de Newnan et al (2004), pode ser definida de uma 
maneira alternativa, mas equivalente à definição já apresentada. 
ܸ ௕ܲ௘௡௘௙í௖௜௢௦(݅∗) = ܸ ௖ܲ௨௦௧௢௦(݅∗) ⟷෍ ܴ௧(1 + ݅∗)௧ே
௜ୀଵ
= ෍ ܦ௧(1 + ݅∗)௧ே
௜ୀ଴
 
Uma vez definida a TIR, cabe apresentar o critério de decisãode investimento nela 
embasado. Caso haja apenas um projeto de investimento sob consideração, este deve ser 
colocado em prática se sua TIR for igual ou superior à taxa de juro (ou taxa mínima de 
atrativa de retorno). A justificativa é simples. Uma vez que a TIR é a taxa efetivamente 
paga pelo projeto de investimento, sempre que esta taxa for igual ou superior à taxa pela 
qual se pode aplicar financeiramente o capital, pode-se afirmar que o projeto tem maior 
rentabilidade. 
Caso haja mais de um projeto sob consideração, não se deve utilizar a TIR para decidir, 
pois ela pode levar a um ranqueamento equivocado das alternativas. Neste caso, a 
análise de VPL se mostra mais adequada. 
 
7 
 
2.1.2 Dificuldades práticas na aplicação do critério da TIR e a TIR modificada 
(TIRM) 
Apesar de ser logicamente consistente e intuitiva a definição de TIR, ela impõe algumas 
dificuldades operacionais. Tais dificuldades decorrem da impossibilidade de utilizar a 
fórmula que define a TIR para calcula-la. É impossível isolar i* na primeira definição 
apresentada na seção anterior. A razão disso está em que i* é a raiz de um polinômio 
cuja ordem é equivalente à duração total do projeto, T. Para compreender, pode-se 
considerar a maneira mais geral de definir a TIR, como segue. 
݅∗: ܴܮଵ(1 + ݅∗)ଵ + ܴܮଶ(1 + ݅∗)ଶ + ⋯+ ܴܮ்(1 + ݅∗)் − ܲ = 0 ⟷ 
݅∗:ܴܮଵ ൬ 11 + ݅∗൰ଵ + ܴܮଶ ൬ 11 + ݅∗൰ଶ + ⋯+ ܴܮ் ൬ 11 + ݅∗൰் − ܲ = 0 ⟷ 
݅∗:ܴܮଵݍଵ + ܴܮଶݍଶ + ⋯+ ܴܮ்ݍ் − ܲ = 0,ݍ = ൬ 11 + ݅∗൰	 
Fica claro, pois, que a TIR é a raiz de um polinômio de grau T. Disso decorrem duas 
dificuldades operacionais. A primeira está em que, para T > 3, este geralmente o caso, 
não há uma fórmula sintética que permita obter i*, sendo necessário recorrer a métodos 
numéricos, i.e., a algoritmos computacionais que permitam calcular o valor aproximado 
de i*. Um dos métodos mais eficientes (rápido) é o método de Newton-Raphson (vide 
Bueno et al., 2011, seção 6.2.4). 
A segunda dificuldade operacional se desdobra em três. Não há, a priori, razões pelas 
quais exista apenas um valor para a TIR e nem mesmo é possível eliminar as 
possibilidades de que a TIR seja negativa ou seja um número complexo (i.e., seja um 
número não-real). 
De fato, o número de valores para a TIR é equivalente ao número de vezes em que o 
sinal do fluxo de caixa líquido muda ao longo da duração do projeto. Este princípio foi 
pioneiramente demonstrado por Descartes e é referido como “regra dos sinais” (Blank e 
Tarquin, 2005, p.181)1. 
É possível redefinir a TIR de modo a evitar todas as espécies de resultados indesejáveis. 
Para isso, é preciso repensar a maneira como o fluxo de caixa de um projeto de 
investimento é retratado pela TIR. 
Seja considerado o fluxo de caixa genérico a seguir, em que há uma série de receitas de 
valor R e uma série de despesas de valor D. 
 
1 Se, pois, há apenas uma mudança de sinal, então há apenas uma raiz e a segunda dificuldade operacional 
é parcialmente eliminada. Parcialmente pois não necessariamente a raiz será real e positiva. 
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É rigoroso com o princípio de custo de oportunidade do dinheiro assumir que as 
receitas, assim que recebidas pelo investidor, são aplicadas à taxa de juro de mercado. 
Com isso seria possível gerar, em t = T, um montante total equivalente ao valor futuro 
das receitas, VF(R,i,T), em que i é a taxa de juro de mercado2. 
O mesmo raciocínio não pode ser feito quanto às despesas, pois estas são efluxos 
monetários, i.e., desembolsos que o investidor deve honrar e não influxos ou 
recebimentos como as receitas. Uma vez que o investidor não recebe a série de valores 
D, não há sentido em assumir que ele possa aplicar D. Neste caso, a coerência com o 
princípio de custo de oportunidade do dinheiro se expressa em assumir que o investidor 
pode aplicar o capital possuído em t = 0 de maneira a gerar uma série de fluxos 
compatível com as obrigações de pagamento que enfrenta em cada um dos períodos de t 
= 1,..., t = T. Trata-se, pois, de calcular o valor presente do fluxo de despesas. Mas há 
mais uma diferença em relação à série de receitas. Assume-se que a taxa utilizada para 
calcular o valor presente da série de despesas é diferente daquela utilizada para calcular 
o valor futuro da série de receitas. A primeira, pois, não é a taxa de mercado, mas sim a 
taxa à qual é possível tomar crédito, ic. 
Uma vez calculados o VF da série de receitas e o VP da série de despesas, pode-se 
calcular a taxa de retorno gerada ao longo de toda a duração do projeto, a qual é 
equivalente a VF/VP – 1. Trata-se da taxa de retorno referente a toda a duração do 
projeto. Porém, é mais comum que se tenha interesse em conhecer a taxa equivalente 
com capitalização periódica. Basta, portanto, calcular TIRM = [(VF/VP – 1)+1]1/T – 1 
ou, de maneira mais sintética, TIRM = (VF/VP)1/T – 1, em que “TIRM” representa a 
TIR modificada. 
Para o fluxo de caixa genérico anterior, composto por séries uniformes de receita e de 
despesa, a TIRM pode ser calculada como: 
݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ቆ ܸܨ(ܴ, ݅, ܶ)
ܸܲ(ܦ, ݅௖, ܶ)ቇଵ/் − 1 ⟷ 
 
2 Este raciocínio assume que os recursos gerados pelo projeto não são utilizados em outros projetos 
paralelamente em execução, algo que não necessariamente é correto para alguns casos práticos (p.ex., o 
de uma empresa que desenvolve múltiplos projetos produtivos). Mas, de qualquer maneira, trata-se 
apenas de um raciocínio abstrato que procura estabelecer um critério para o cálculo da rentabilidade de 
um projeto de investimento. 
R R R R R
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
...
0 1 2 3 4 T
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
D D D D D D
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݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ൦ ܴ (1 + ݅)் − 1݅
ܦ + ܦ (1 + ݅௖)் − 1݅௖(1 + ݅௖)் ൪
ଵ/்
− 1 
Há uma maneira de definir a TIRM que se aplica a um maior número de possibilidades 
de fluxos de caixa. Tal maneira toma por base (i) o valor presente de fluxos negativos {ܨ௧ି}௧ୀ଴் , calculado a partir de ic, e (ii) o valor futuro de fluxos positivos, {ܨ௧ା}௧ୀଵ் , 
calculado a partir da taxa de mercado, i. I.e.: 
݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ቆ ܸܨ(ܨ௧ା, ݅,ܶ)
ܸܲ(ܨ௧ି, ݅௖ ,ܶ)ቇଵ/் − 1 ⟷ 
݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ൮∑ ܨ௧ା(1 + ݅)்ି௧்௧ୀଵ
∑
ܨ௧
ି(1 + ݅௖)௧்௧ୀ଴ ൲
ଵ/்
− 1 
Esta definição, pois, se aplica a qualquer fluxo de caixa líquido. 
Em alguns livros-texto a TIRM é definida de maneira alternativa, a qual corresponde a 
uma manipulação algébrica das definições aqui apresentadas, como segue. 
݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ቆ ܸܨ(ܨ௧ା, ݅,ܶ)
ܸܲ(ܨ௧ି, ݅௖ ,ܶ)ቇଵ/் − 1 ⟷ (ܶܫܴܯ + 1)் = ܸܨ(ܨ௧ା , ݅,ܶ)ܸܲ(ܨ௧ି, ݅௖ , ܶ) ⟷ 
ܸܲ(ܨ௧ି, ݅௖ ,ܶ)(ܶܫܴܯ + 1)் = ܸܨ(ܨ௧ା, ݅,ܶ) 
Esta última fórmula é mais comum nos livros-texto. 
Deve-se afirmar que a TIRM pode ser calculada mesmo que ic = i, i.e., a hipótese de que 
a taxa a qual o investidor toma recursos difere da taxa de mercado não é condição 
necessária para que a TIRM esteja definida (seja calculável). Porém, é uma convenção 
adotada nos livros-texto a de que ambas as taxas difiram e, mais do que isso, que a taxa 
pela qual se toma recursos seja inferior à taxa de retorno de aplicações financeiras, ic < 
i. Esta última convenção pode ser compreendida de maneira mais fácil considerando um 
investidor específico, um banco, cuja atividade consiste em emprestar recursos. Neste 
caso, ic representa a taxa paga pelo banco para obter recursos de seus clientes, por 
exemplo, o rendimento da caderneta de poupança, enquanto i é a taxa a qual o banco 
repassa tais recursos para tomadores. Então i – ic seria o spread bancário. É esclarecedor 
recordar do exercício 4 da nota 5 em que foi calculada exatamente a TIRM do 
empréstimo realizado pelo banco. 
O essencial é que a TIRM é exatamente a taxa de retorno periódica gerada pelo projeto 
de investimento. Enquanto a TIR é a taxa de retorno que torna o VPL nulo. Duas 
definições fundamentalmente distintas. De fato,a TIRM está apoiada em um critério 
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mais intuitivo e me parece que é exatamente por isso que ela está livre de dificuldades 
operacionais. 
O critério de decisão acerca de um único projeto com base na TIRM é equivalente ao 
que prevalece para a TIR ordinária. Um projeto com TIRM superior à taxa de mercado, 
i, deve ser realizado. Assim como para o caso da TIR, deve-se evitar o uso da TIRM 
para decidir acerca de dois ou mais projetos. 
2.2 Exercícios 
1 (Blank e Tarquin, 7.41) A companhia Swagelok de Solon, Ohio (EUA), produz 
fluxómetros de área variável para medir fluxos líquidos e gasosos. Se os custos de 
ferramental e início da produção foram de $400.000,00 em t = 0 e de $190.000,00 em t 
= 3, determine a taxa externa de retorno utilizando a TIRM. Considere que uma receita 
de 160.000,00 por ano de t=1 a t = 10, uma TMAR de 20% a.a. e uma taxa de tomada 
de recursos de 9% a.a. 
R: 
A tabela com o fluxo de caixa segue abaixo. 
Ano Fluxo 
0 - 400.000,00 
1 160.000,00 
2 160.000,00 
3 - 30.000,00 
4 160.000,00 
5 160.000,00 
6 160.000,00 
7 160.000,00 
8 160.000,00 
9 160.000,00 
10 160.000,00 
 
Passo 1, cálculo do VP das despesas 
ܸܲ(ܦ) = 400.000 + 190.000(1 + 0,09)ଷ = ܴ$	546.714,86 
Passo 2, cálculo do VF das receitas 
ܸܨ(ܴ) = ෍160.000(1 + 0,2)ଵ଴ି௧ଵ଴
௧ୀଵ
= 160.000 (1 + 0,2)ଶ଴ − 10,2 = 	4.153.389,14	 
Passo 3, cálculo da TIRM 
TIRM = (VF/VP)1/T – 1 = (4.153.389,14 /546.714,86)1/10 – 1 = 0,22479717. 
11 
 
Passo 4, decisão 
Como a TIRM se mostra superior a TMAR, o investimento deve ser realizado. 
2 (Newnan et al, 2004, 7A-2) A group of businessmen formed a partnership to buy 
and race an Indianapolis-type racing car. They agreed to pay an individual $50,000 for 
the car and associated equipment. The payment was to be in a lump sum at the end of 
the year. In what must have been "beginner's luck," the group won a major race the first 
week and $80,000. The rest of the first year, however, was not as good: at the end of the 
first year, the group had to payout $35,000 for expenses plus the $50,000 for the car and 
equipment. The second year was a poor one: the group had to pay $70,000 just to clear 
up the racing debts at the end of the year. During the third and fourth years, racing 
income just equaled costs. When the group was approached by a prospective buyer for 
the car, they readily accepted $80,000 cash, which was paid at the end of the fourth 
year. What rate of return did the businessmen obtain from their racing venture? 
(Answer: 9.6% MIRR).