DTE_AULA 6 - Noções de Geometria Descritiva

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS 
 
DESENHO TÉCNICO / ICA 221 
 
1. GEOMETRIA DESCRITIVA - DEFINIÇÃO 
 
Utiliza de projeções ortogonais para representar objetos tridimensionais por meio de 
desenhos bidimensionais. A visão para adotar o método construtivo na geometria descritiva 
precisa ser espacial. A Geometria Descritiva e importante na formação de profissionais que 
trabalham com espaço e forma. 
 
Gaspar Monge (1746 a 1818), figura política do final do século XVIII e início do século XIX, 
um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa, criador da Geometria Descritiva e grande 
teórico da Geometria Analítica, pode ser considerado o pai da Geometria Diferencial de curvas e 
superfícies do espaço. 
A Geometria Descritiva surgiu no século XVII. É uma ciência que estuda os métodos de 
representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano. Resolve problemas em que são 
consideradas até 3 dimensões, por meio de traçados, que permitem a real utilização nas artes e 
nas indústrias dos princípios geométricos, como: construção de vistas, obtenção das verdadeiras 
grandezas de cada face do objeto através de métodos descritivos e também a construção de 
protótipos do objeto representado. 
 
2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO 
 
Esses traçados obtêm-se projetando sobre um plano dado, os diversos pontos de uma 
figura ou pelo menos, os necessários à sua determinação no espaço. 
A projeção de um ponto sobre um plano é a interseção com esse plano de uma reta que 
passa pelo ponto. Essa reta é a projetante do ponto no plano e pode ser traçada paralelamente 
a uma direção determinada ou sujeita a passar por um ponto fixo. 
 
Essas duas condições dividem as projeções em 2 grandes sistemas: 
 
a. Projeções cilíndricas 
b. Projeções cônicas 
 
a. Projeções cilíndricas ou paralelas 
 
Obtém-se a projeção cilíndrica ou paralela, quando o observador se encontra no infinito. 
Assim os raios visuais que passam do observador aos pontos de uma figura, se tornam paralelas 
tendo como projeção o mesmo tamanho da figura. 
Poderá a projeção cilíndrica ser ortogonal ou oblíqua conforme a posição do observador 
quanto à perpendicularidade. 
 
3. 4. 
1. 2. 
 
 
 
b. Projeções cônicas ou perspectivas 
 
Quando o centro de projeção encontra-se próximo ao plano de projeção. O ponto de 
concorrência ou centro de projeção (O), pode estar situado em 4 posições diferentes. 
 
1. Na zona oposta à da figura. Caso em que a projeção é reduzida 
2. Situado entre a figura e o plano . Caso em que a projeção pode ser reduzida ou 
ampliada, dependendo da distância do ponto O ao plano; 
3. Situado na mesma zona da figura e mais distante do plano do que a figura. Caso em 
que a projeção é ampliada. 
4. Situado no plano . Caso em que a projeção da figura fica reduzida a um ponto. 
 
 
 
3.ESTUDO DO PONTO 
 
Consiste em determinar duas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares um 
horizontal e um vertical (H / V). Considere os dois planos, limitados, perpendiculares entre si, 
cuja intersecção forma um eixo chamado LINHA DE TERRA (LT) conforme Figura 1. Os dois 
planos, formam quatro semi-planos, formando quatro regiões denominadas Diedros, 
numerados em sentido anti-horário. 
 
FIGURA 1. Planos Horizontal e Vertical, cuja intersecção forma 
eixo chamado LINHA DE TERRA (LT), e assim quatro semi-planos 
denominados DIEDROS. 
 
Os planos, horizontal e vertical são 
divididos em semi-planos: 
 
 PHA: Semi-plano horizontal anterior 
 PHP: Semi-plano horizontal posterior 
 PVS: Semi-plano vertical superior 
 PVI: Semi-plano vertical inferior 
 
 
LT 
 
 
 
A representação bidimensional do objeto é obtida pela Épura. Para que se possam 
representar no plano as figuras do espaço, faz-se o rebatimento (Figura 2) do plano vertical 
sobre o plano horizontal (no sentido anti-horário) que consiste em fazê-lo girar em torno da 
Linha de Terra, de modo que PVS venha ficar em coincidência com PHP e PVI com o PHA. Assim 
após o rebatimento, obtemos a representação da épura (Figura 3). 
 
FIGURA 2. Rebatimento do plano vertical sobre o plano 
horizontal 
 
FIGURA 3. ÉPURA. A linha que liga a até a’ é a linha de 
chamada. Por convenção esta linha deve ser pontilhada. 
 
 
Um objeto pode estar localizado em qualquer um dos quatro diedros, assim sendo terá 
suas projeções horizontais e verticais, nos respectivos planos, horizontal e vertical. Conforme 
Figura 4, observe o posicionamento de um objeto em diferentes diedros. 
 
FIGURA 4. Posicionamento de um objeto qualquer no 1 , 2 , 3 e 4 DIEDRO. 
 
 
3.2 CONCEITOS PRINCIPAIS – método projetivo: 
 
Diante de uma noção espacial, contamos com um sistema de coordenadas (X, Y, Z) onde, 
 X (abcissa) diz respeito à distância ao longo da Linha de Terra, 
 Y (afastamento) é o afastamento a partir do Plano Vertical e, 
 Z (cota) é a altura em relação ao Plano Horizontal. 
 
 Cota de um ponto é a distância desse ponto ao plano horizontal de projeção (eixo y) 
 Afastamento é a distância do ponto ao plano vertical de projeção (eixo x) 
 Linha de projeção (ou de chamada) é toda linha perpendicular à Linha de Terra, que une 
as projeções de um mesmo ponto. (Conforme Figura 5) 
 
 
FIGURA 5. Representação de um ponto no espaço por 
meio das coordenadas abcissas, afastamento e cota. 
 
Sendo: 
A – o ponto do espaço 
a’ – projeção vertical 
a – projeção horizontal 
 
Na prática então: 
Aa é cota 
Aa’ é o afastamento 
 
 Um ponto é representado em um diedro a partir das suas coordenadas (X, Y, Z). A partir 
dos pontos são definidas as retas, a partir das retas os planos e por fim os elementos sólidos. A 
 
visualização correta das projeções no diedro é de grande importância. Imagine que cada diedro 
seja um apartamento, portanto só quem está em seu devido apartamento consegue ver a 
projeção do objeto na “parede” e no “chão”, ou no “teto”, se o observador estiver nos 
apartamentos do andar de baixo. 
 
 
Projeções a e a’ do ponto A no 1º Diedro. 
 
Projeções a e a’ do ponto A no 3º Diedro. 
 
Os Diedros podem ser representados ora 
individualmente, como ilustrado ao lado, ora 
conjugados, simulando a idéia “quatro apartamentos” 
dispostos em “dois andares”, um andar inferior e outro 
superior. 
 
 
 
3.3 POSIÇÕES DO PONTO NO ESPAÇO 
 
Em relação aos planos de projeção, o ponto pode ocupar nove posições diferentes: 
 
1ª POSIÇÃO – NO 1º DIEDRO 
 
 
ÉPURA 
 
2ª POSIÇÃO – NO 2º DIEDRO 
 
 
 
ÉPURA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª POSIÇÃO – NO 3º DIEDRO 
 
 
ÉPURA 
 
 
 
4ª POSIÇÃO – NO 4º DIEDRO 
 
ÉPURA 
 
 
5ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA VS 
 
 
 
 
ÉPURA 
 
 
 
6ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA VI 
 
 
 
 
ÉPURA 
 
 
 
7ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA HA 
 
 
 
ÉPURA 
 
 
 
8ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA HP 
 
 
ÉPURA 
 
9ª POSIÇÃO – O PONTO ESTÁ NA LINHA DE TERRA 
 
 
 
 
ÉPURA 
 
 
 
COORDENADAS POSITIVAS E NEGATIVAS 
 
a) Cota positiva (+) – acima do plano 
horizontal de projeção (1º e 2º diedros) 
 
 
b) Afastamento positivo (+) – à direita do 
plano vertical de projeção (1º e 4º 
diedros) 
 
 
c) Cota negativa (-) – abaixo do plano 
horizontal de projeção (3º e 4º diedros) 
 
 
d) Afastamento negativo (-) – à esquerda do 
plano vertical de projeção (3º E 2º diedros) 
 
 
 
Na prática, o ponto é dado por suas coordenadas (ABCISSA, AFASTAMENTO E COTA) 
nessa ordem (X, Y, Z), por exemplo (Figura 6), Ponto A (2; 3; 1): 
 
 
 
ÉPURA 
 
FIGURA 6. Posicionamento de um ponto por meio da coordenadas (Abcissa; Afastamento ; Cota).
 
 
 
 
4.ESTUDO DA RETA 
 
4.1. INTRODUÇÃO 
 
A projeção de uma reta sobre o plano, é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre esse 
plano (Figura 7.). 
 
FIGURA 7. Projeção de uma reta sobre o plano. 
 
4.2 CASOS PARTICULARES 
 
I. A projeção de uma reta sobre um plano, só 
deixa de ser uma reta, quando lhe for 
perpendicular, pois nesse caso a projeção 
será um ponto. 
 
 
 
II. Quando uma reta forparalela a um plano, 
a sua projeção sobre esse plano é igual e 
paralela à própria reta. 
 
 
 
III. Comprimento da projeção de uma reta 
sobre um plano varia com a inclinação dela 
sobre o plano. Quando a reta é 
perpendicular, temos 1 ponto, e quando é 
paralela temos o limite máximo, igual ao 
comprimento da reta. 
 
 
 
 
4.3 DETERMINAÇÃO DE UMA RETA 
 
De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada, quando são conhecidas as 
projeções dessa reta sobre 2 planos ortogonais. Ao ser feito o rebatimento do plano vertical sobre o plano 
horizontal, temos a representação da Épura, ou seja, a representação bidimensional da reta AB 
 
(tridimensional) através das suas projeções nos planos vertical e horizontal. Abaixo, os pontos A e B definem 
a reta AB localizada no 1º Diedro. Assim: 
 
 A tem suas projeções a e a’, nos respectivos, plano horizontal e plano vertical. 
 B tem suas projeções b e b’, nos respectivos, plano horizontal e plano vertical. 
 A reta AB tem suas projeções ab e a’ b’, nos respectivos, plano horizontal e plano vertical. 
 
 
ÉPURA 
 
 
4.3.1 POSIÇÕES DA RETA 
 
Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, as quais recebem nomes 
particulares: 
 
a) RETA QUALQUER 
De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada, quando são conhecidas as 
projeções dessa reta sobre 2 planos ortogonais. 
 
Épura 
 
 
 
b) RETA HORIZONTAL 
Reta paralela ao PH e oblíqua ao PV. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical 
paralela à LT e a horizontal oblíqua à essa mesma linha. 
 
Épura 
 
 
 
c) RETA FRONTAL OU DE FRENTE 
Reta paralela ao PV e oblíqua ao PH. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal 
paralela à LT e a vertical, oblíqua à LT. 
 
 
 
Épura 
 
 
 
d) RETA FRONTO HORIZONTAL 
Reta paralela aos 2 planos de projeção. Essa reta é também paralela à LT e sua épura é caracterizada 
por possuir ambas as projeções paralelas a LT. 
 
Épura 
 
 
 
e) RETA VERTICAL 
Reta perpendicular ao PH. Neste caso, ela será obrigatoriamente, paralela ao plano vertical. Sua 
épura é caracterizada por ter a projeção horizontal reduzida a 1 ponto e a vertical perpendicular a LT. 
 
Épura 
 
 
 
 
f) RETA DE TOPO 
Reta perpendicular ao PV. Sua épura é caracterizada por ter a projeção vertical reduzida a um ponto e 
a horizontal, perpendicular a LT. 
 
Épura 
 
 
 
 
 
 
 
g) RETA DE PERFIL 
 1. Reta perpendicular à linha de terra (LT). A reta 
pode estar situada em um dos semi planos: 
VERTICAL SUPERIOR... 
 
 Épura 
2. Reta perpendicular à linha de terra (LT). A reta 
pode estar situada em um dos semi planos: 
VERTICAL INFERIOR... Épura: será invisível para o 
observador, colocado no primeiro diedro 
 
 Épura 
3. Reta perpendicular à linha de terra (LT). A reta 
pode estar situada em um dos semi planos: 
HORIZONTAL POSTERIOR... Épura: será invisível 
para o observador, colocado no primeiro diedro. 
 
 Épura 
4. Reta perpendicular à linha de terra (LT). A reta 
pode estar situada em um dos semi planos: 
HORIZONTAL ANTERIOR... 
 
 
 Épura 
 
ESTUDO DO PLANO 
 
Chama-se traço de um plano, a intersecção desse plano com o plano de projeção. Um plano é 
geralmente designado por seus traços que são representados por letras maiúsculas do alfabeto e na linha de 
terra uma grega ou . Assim por exemplo o plano P P’, entende-se que: 
 P – traço horizontal 
 P’ – traço vertical 
E por convenção o traço horizontal é pronunciado em 1: lugar. 
 
 
1.1 POSIÇÕES DO PLANO 
 
a) PLANO QUALQUER 
O plano é oblíquo em relação aos 2 planos de projeção. OBS: o que caracteriza o plano qualquer é 
que seus traços sejam oblíquos a XY. O ângulo pode chegar ao máximo a 89: (não pode chegar a 90:), e no 
mínimo a 1: (não pode chegar a 0:). 
 
 
ÉPURA 
 
 
b) PLANO HORIZONTAL 
O plano é paralelo ao plano horizontal de projeção. Sua épura é caracterizada por só possuir um 
traço, que é horizontal e paralelo a LT. 
 
 
 
ÉPURA 
 
c) PLANO FRONTAL 
O plano é paralelo ao plano vertical de projeção. Sua épura é caracterizada por só possuir um traço, 
que é horizontal e paralelo a LT. 
 
 
ÉPURA 
 
d) PLANO VERTICAL 
O plano é perpendicular ao plano horizontal de projeção e oblíquo ao vertical. Sua épura é 
caracterizada por possuir o traço vertical perpendicular à linha de terra e o horizontal, oblíquo à mesma 
linha. 
 
 
ÉPURA 
 
 
e) PLANO DE TOPO 
O plano é perpendicular ao plano vertical e oblíquo ao horizontal. Sua épura é caracterizada por 
possuir o traço horizontal perpendicular à linha de terra e o vertical, oblíquo à essa mesma linha. 
 
ÉPURA 
 
 
f) PLANO DE PERFIL 
O plano é perpendicular aos 2 planos de projeção. Sua épura é caracterizada por possuir os 2 traços 
numa mesma perpendicular à linha de terra. 
 
ÉPURA 
 
 
 
 
g) PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA 
Esse plano também é oblíquo aos 2 planos de projeção, porém paralelo a LT. Sua épura é 
caracterizada por possuir os 2 traços, paralelos a LT. 
 
ÉPURA 
 
 
h) PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA 
Neste caso, os seus traços confundem com a LT. Sua épura é caracterizada por coincidir com a LT. 
 
 
ÉPURA