Exercícios de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROFESSOR: ÍTALO AUGUSTO OLIVEIRA DE ALBUQUERQUE
DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ALUNO:
1a Lista de Exercícios
1. Dado o paralelepípedo abaixo, encontrar o vetor −→x dado:
a. −→x = −→GH−−→HE+−→FE−−→AE+−→AB
b. −→x = −→AB+−→HG+−→AC+−→DF+−→CE+−→BD
c. −→x = −−→HD−−→CF+−−→DG+−→BC+−→AF−−→BE
2. Verdadeiro ou Falso? Justifique sua respota.
a. (−→u ,−→v ,−→w) é LD então (−→u ,−→v ) é LD.
b. (−→u ,−→v ) é LI então (−→u ,−→v ,−→w) é LI.
c. (−→u ,−→v ,−→w) é LI se, e só se, (−→u +−→v +−→w ,−→u −−→v , 3−→v ) é LI.
3. Determine m e n tais que −→u = (1,m,n+ 1) e −→v = (m,n, 10) sejam LD.
4. Calcule m de modo que −→u = (1, 2, 2) seja gerado por −→v = (m − 1, 1,m − 2) e−→w = (m+ 1,m− 1, 2). Em seguida determine m para que esses três vetores sejam LD.
5. Sabendo que (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) é base, e que −→f1 = −→e1 +−→e2 +−→e3 , −→f2 = −→e1 +−→e2 , −→f3 = −→e3 ,
prove que (
−→
f1 ,
−→
f2 ,
−→
f3 ) é uma base.
6. Sejam (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) uma base, −→f1 = −→e1 − −→e2 , −→f2 = m−→e1 + −→e3 , −→f3 = −−→e1 − −→e2 − −→e3 .
Encontre os valores de m para que (
−→
f1 ,
−→
f2 ,
−→
f3 ) seja uma base. Nessas condições encontre
a e b de modo que os vetores −→u = (1, 1, 1)E e −→v = (2,a,b)F sejam LD.
7. Sabendo que
−→
f1 = (−3, 1, 1)E,
−→
f2 = (1,−2, 1)E e
−→
f3 = (1, 2, 0)E encontre a matriz
2
mudança de base de E = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) para F = (−→f1 ,−→f2 ,−→f3 ) e exprima −→u = (−4, 1,−1)F na
base E.
8. Sejam E = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3), F = (−→f1 ,−→f2 ,−→f3 ) e G = (−→g1,−→g2,−→g3) bases tais que:
−→e1 = −→f1 + 2−→f2 −→g1 = −→e1 − 2−→e2−→e2 = −→f1 −−→f3 −→g2 = −→e1 +−→e3−→e3 = −→f2 +−→f3 −→g3 = −→e2 −−→e3 .
Obtenha as matrizes MFE,MEG,MFG,MEF,MGE e MGF.
9. Os lados de um triângulo equilátero tem medida 2. Calcule 〈−→AB,−→BC〉+ 〈−→BC,−→CA〉+
〈−→CA,−→AB〉
10. Calcule a medida angular entre os vetores −→u e −→v abaixo:
a. −→u = (−1, 1, 1);−→v = (1, 1, 1)
b. −→u = (300, 300, 0);−→v = (−2000,−1000, 2000)
c. −→u = (√3/2, 1/2, 0);−→v = (√3/2, 1/2,√3)
11. Obtenha −→u ortogonal a −→v = (4,−1, 5) e −→w = (1,−2, 3) tal que 〈−→u , (1, 1, 1)〉 = −1
12. Calcule ‖2−→u + 4−→v ‖2 sabendo que −→u é unitário, ‖−→v ‖ = 2 e a medida angular
entre −→u e −→v é 2pi
3
.
13. Sabendo que −→u + −→v + −→w = −→0 , ‖−→u ‖ = 3/2, ‖−→v ‖ = 1/2 e ‖−→w‖ = 2 calcule−→u · −→v +−→v · −→w +−→w · −→u .
14. Decomponha −→v = (1, 2,−1) como a soma de dois vetores −→p e −→q tais que o
primeiro seja paralelo e o segundo ortogonal ao vetor −→u = (2,−1, 0).
15. Verifique que proj−→v (proj−→u
−→v ) = (
−→u · −→v )2
‖−→u ‖2‖−→v ‖2
−→v .
16. Aplique o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para obter uma base
ortonormal (
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ) a partir da base (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) com −→e1 = (1, 2, 2),−→e2 = (1, 0, 1) e−→e3 = (1, 1, 1).
17. Sabendo que o triângulo ABC tem área 4, calcule ‖−→AB∧−→AC‖.
18. Sendo (
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ) uma base ortonormal positiva, calcule (−
−→
i + 5
−→
j + 2
−→
k ) ∧
(3
−→
i +
−→
j − 2
−→
k ).
19. Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo
−→
AB = (1, 1,−1) e
−−→
AD = (2, 1, 4).
20. Calcule a área do triângulo ABC, sendo
−→
AB = (−1, 1, 0) e
−→
AC = (0, 1, 3).
3
21. Resolva o sistema: { −→x ∧ (−→i +−→j ) = −−→i +−→j
−→x · (−→i +−→j ) = 2
22. Ortonormalize a base {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1,−1)}.
23. Sendo ABC um triângulo, e P e Q são pontos tais que 3
−→
AP =
−→
AC e 3
−→
BQ = 2
−→
BC.
Calcule a razão entre as áreas dos triângulos BPQ e ABC.
24. Sabendo que ‖−→u ‖ = 1, ‖−→v ‖ = 7 e ang(−→u ,−→v ) = 30◦, calculo −→u ∧−→v e −→4u∧−→9v.
25. Calcule a área do paralelogramo ABCD onde
−→
AB = (1, 1,−1) e
−−→
AD = (2, 1, 4).
26. Dados −→u = (−1,−3, 1),−→v = (1, 0, 1) e −→u = (2, 1, 1) calcule [−→u ,−→v ,−→w ].
27. Se [−→u ,−→v ,−→w ] = 6 calcule [−→2u−−→3v +−→w ,−−→u +−→v −−→w ,−→v −−→3w].
28. A área do tetraedro FABD é igual a sexta parte da área do paralelepípedo
ABCDEFGH (Ver figura da primeira questão). Dados
−→
AB = (1, 0, 1),
−→
DF = (1, 1, 1) e−−→
AD = (0, 3, 3) encontre a área do paralelepípedo ABCDEFGH e do tetraedro FABD.
29. Em relação a uma base ortonormal positiva, são dados os vetores−→u = (1, 2,−1),−→v =
(0, 3,−4),−→w = (1, 0,√3) e −→t = (0, 0, 2). Calcule o volume do tetraedro ABCD, sabendo
que
−→
AB = proj−→v
−→u , que −→AC é o versor oposto do versor de −→w e que −→BD = proj−→
t
(
−→
AB∧−→
AC).
São Luís - 2015