1. Vetores - Tratamto Geometrico - Intro

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Espaços Uni, Bi e Tridimensional;
Vetores
*
0
+
-
Espaço 1-D ou espaço unidimensional
*
0
+
-
Distância entre Dois Pontos
1-D
x1
x2
d = | x2 - x1 | 
*
Espaço 2-D ou espaço bidimensional
a = coordenada x de P = abscissa de P
b = coordenada y de P = ordenada de P
a
b
O
P
P(a,b)
x
y
Sistema de coordenadas
retangulares 
(ou cartesianas)
*
Distância entre dois Pontos
O
x
d
A (x1,y1)
B(x2,y2)
 
x2
y1
x1
y2
y
2-D
*
Espaço 3-D ou espaço tridimensional
x
z
y
a
b
c
P
P(a,b,c)
Sistema de coordenadas
retangulares 
(ou cartesianas)
a = coordenada x de P = abscissa de P
b = coordenada y de P = ordenada de P
c = coordenada z de P = cota de P
*
Distância entre Dois Pontos
x
y
z
d
A (x1,y1,z1)
B(x2,y2,z2)
z2
y1
x1
x2
z1
y2
3-D
*
Grandezas
Escalares: são determinadas por um número
Ex: comprimento, área, volume, massa, temperatura, altura, densidade
Vetoriais: são determinadas por
 comprimento (módulo);
direção;
sentido.
Ex: força, velocidade, aceleração
*
Vetores
Todo vetor é determinado por:
 comprimento (módulo);
direção;
sentido.
v
comprimento
direção
sentido
*
Vetores
Representação geométrica para vetores: segmento de reta orientado
Representação algébrica para o vetor que tem origem no ponto A e extremidade no ponto B: 
v
A
B
ou v = B - A
*
Vetores: Módulo
Notação para o módulo (comprimento) de um vetor: 
*
Casos Particulares de Vetores
Vetores paralelos: quando possuem a mesma direção (não importa o sentido!)
Por exemplo, u, v e w ao lado são paralelos 
entre si, mas o vetor s
não é paralelo 
a nenhum deles
w
v
u
s
*
Casos Particulares de Vetores
Obs: para vetores, não importa a posição em que eles se encontram. 
Por exemplo, v e w ao lado são duas representações 
para o mesmo vetor, pois
ambos possuem o 
mesmo comprimento,
a mesma direção
e o mesmo sentido.
Ou seja: v e w são vetores iguais.
v
w
*
Casos Particulares de Vetores
Resumindo...
Vetores iguais: quando possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido
No exemplo, v = w
v
w
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Vetores Iguais
A
B
O
P
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Casos Particulares de Vetores
Vetor zero ou vetor nulo: é um vetor em que a origem coincide com a extremidade. 
Portanto, o vetor nulo não possui comprimento, nem direção, nem sentido definidos. 
Qualquer ponto no espaço pode representar o vetor nulo.
Pelo fato desse vetor não possuir direção e sentido definidos, considera-se o vetor nulo paralelo a qualquer vetor.
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Casos Particulares de Vetores
Vetores opostos: são vetores que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção, porém sentidos opostos
v
u e v são opostos
Neste caso, dizemos que 
 u = -v
u
*
Casos Particulares de Vetores
Vetores unitários: são vetores cujo comprimento é igual a 1
Qualquer vetor não nulo pode ser normalizado, isto é, pode ser transformado em um vetor unitário:
u = v
 |v|
v
u e w são vetores 
unitários
*
Casos Particulares de Vetores
Vetores unitários: 
v
Suponha que u é o vetor unitário 
de mesma direção e sentido de v
u é chamado versor de v
-u também é um vetor unitário 
na mesma direção de v, porém
em sentido oposto
-u
u = v
 |v|
*
Casos Particulares de Vetores
Vetores ortogonais: 
u e v são ortogonais se algum 
representante de u formar ângulo
reto com algum representante de v
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Casos Particulares de Vetores
Vetores coplanares: 
Quaisquer dois vetores são coplanares!
Basta escolher representantes que estejam no mesmo
plano
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