4. Produtos de Vetores e Prod Escalar

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Produtos de Vetores
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Produtos entre Vetores
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Produtos de Vetores:
Produto Escalar
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Produto Escalar
Em 2-D: v = (v1, v2) e w = (w1, w2)
 v • w = v1 w1 + v2 w2 
Em 3-D: v = (v1, v2 , v3) e w = (w1, w2, w3)
 v • w = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 
Obs: |v| = v • v
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Propriedades do Produto Escalar
Comutatividade: 
 u ∙ v = v ∙ u 
 
Distributividade do produto escalar com relação à soma:
	u ∙ (v + w) = u ∙ v + u ∙ w
	(u + v) ∙ w = u ∙ w + v ∙ w
 
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Propriedades do Produto Escalar
Se β é um número real (um escalar), então:
 β (u ∙ v) = (βu) ∙ v = u ∙ (βv)
u ∙ u > 0 se u ≠ 0 
 e 
 u ∙ u = 0, se u = 0
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Propriedades do Produto Escalar
|u|2 = u ∙ u
|u - v|2 = |u|2 – 2 u ∙ v + |v|2 
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Ângulo entre Vetores
v
w
Θ
v
w
Θ
Θ = menor ângulo formado por 
v e w quando suas origens coincidem
Fórmula: cos Θ = v • w
 |v| |w| 
=> v • w = |v| |w| cos Θ 
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Interpretando o Sinal do Produto Escalar
v
w
Θ
v
w
Θ
Pois v • w = |v| |w| cos Θ 
v
w
90o
cos Θ > 0 
cos Θ < 0
cos 90o = 0
v • w < 0
v • w > 0
v • w = 0
e por isso
e por isso
e por isso
v e w são
ortogonais!
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Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor
Seja v = xi + yj + zk = (x,y,z) não nulo:
Ângulos diretores de v são os ângulos α, β e ξ que v forma com os vetores i, j e k, respectivamente
Cossenos diretores de v são os cossenos de seus ângulos diretores
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Projeção Ortogonal
O vetor projeção é “a sombra” do vetor v na direção do vetor w
 proj w v = v • w w 
 |w|2 
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