Lista 9 - C2

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Ca´lculo II - Lista 9
1. Calcule a derivada direcional das seguintes func¸o˜es, no ponto P na
direc¸a˜o do vetor v:
(a) f(x, y) =
√
x2 + y2, P = (3, 4) e v = 3i− 4j;
(b) f(x, y) = e−(x
2+y2), P = (0, 0) e v = i + j;
(c) f(x, y) = cos(x2 + y2), P = (1, 1) e v = i;
(d) f(x, y) = ln(x2 − y), P = (2, 3) e v = j.
2. Considere a func¸a˜o f(x, y) = 9− x2 − y2.
(a) Calcule Duf(x, y) com u = cos(θ) i + sen(θ) j para θ =
pi
3
;
(b) Calcule ∇f(1, 2) e ||∇f(1, 2)||;
(c) Ache um vetor unita´rio u ortogonal a ∇f(1, 2) e calcule Duf(1, 2);
(d) Discuta o significado geome´trico do resultado do item (c).
3. Uma equipe de oceono´grafos esta´ mapeando o fundo do oceano para
ajudar no resgate de um navio afundado. Usando um sonar, eles desenvol-
veram o modelo
D(x, y) = 250 + 3x2 + 50 sen
(pi y
2
)
.
com D(x, y) a profundidade e x e y as distaˆncias em quiloˆmetro.
(a) Qual a profundidade do navio se ele esta´ localizado nas coordenadas
x = 1 e y =
1
2
?;
(b) Determine o declive do fundo do oceano na direc¸a˜o positiva de x a
partir da posic¸a˜o do navio;
1
(c) Determine o declive do fundo do oceano na direc¸a˜o positiva de y a
partir da posic¸a˜o do navio;
(d) Determine a direc¸a˜o de maior taxa de variac¸a˜o de profundidade a
partir da posic¸a˜o do navio. Encontre o valor da taxa ma´xima.
4. Seja f(x, y) = y ex + x ln(z). Mostre que:
(a)
∂2f
∂x∂z
=
∂2f
∂z∂x
; (b)
∂3f
∂z2∂x
=
∂3f
∂z∂x∂z
=
∂3f
∂x∂z2
.
5. Determine se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Em
qualquer um dos caso, explique. Se for falsa explique ou deˆ um contra-
exemplo.
(a) Se f(x, y) tem um ma´ximo local no ponto (a, b) e as derivadas parciais
de 1a ordem existem enta˜o o plano tangente a superf´ıcie z = f(x, y) no ponto
(a, b) e´ horizintal;
(b) Todos os pontos cr´ıticos de uma func¸a˜o f(x, y) sa˜o ma´ximos locais
ou mı´nimos locais de f(x, y).
(c) Se ∇f(a, b) = (0, 0) enta˜o o ponto (a, b) e´ ponto cr´ıtico da func¸a˜o
f(x, y).
(d) Seja f(x, y) =
√
x2 + y2. O ponto (a, b) = (0, 0) na˜o e´ ponto cr´ıtico
da func¸a˜o f .
2