Aula força e biomecânica

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Biof´ısica Aula 4 - Forc¸as e Biomecaˆnica
Conteu´do
1 Unidade 2 - Biomecaˆnica 1
1.1 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Cinema´tica 4
1 Unidade 2 - Biomecaˆnica
Na unidade 2 desse curso, iremos discutir os fundamentos da biomecaˆnica.
Repetindo o que ja´ foi discutido nas aulas anteriores, a biomecaˆnica e´ uma a´rea da biof´ısica responsa´vel
por descrever e analisar o movimento de sistemas biolo´gicos sob a perspectiva da mecaˆnica. A biomecaˆnica
externa estuda as forc¸as f´ısicas que agem sobre os corpos enquanto a biomecaˆnica interna estuda a mecaˆnica
e os aspectos f´ısicos e biof´ısicos das articulac¸o˜es, dos ossos e dos tecidos histolo´gicos do corpo.
A biomecaˆnica, ale´m de ser atualmente uma cieˆncia com laborato´rios espec´ıficos e diversos n´ıveis de
pesquisas, nas Universidades, e´ tambe´m uma especialidade e uma disciplina oferecida pelos Cursos superi-
ores de Engenharia Biome´dica, Biomedicina, Cieˆncias Biolo´gicas, Educac¸a˜o F´ısica, Fisioterapia e Terapia
Ocupacional.
Estamos discutindo nesse curso a aplicac¸a˜o de conceitos de mecaˆnica em sistemas biolo´gicos. Em outras
palavras, usaremos os conceitos extra´ıdos diretamente da mecaˆnica para explicarmos os diversos fenoˆmenos
que ocorrem quando um ser vivo esta´ em repouso ou movimento.
De modo geral, pensando no corpo humano como refereˆncia, todo corpo inicialmente em repouso pode
mudar seu estado de movimento pela ac¸a˜o de seus mu´sculos. Nesse momento, na˜o nos interessa quais os
mecanismos responsa´veis pela movimento muscular, apenas suas consequeˆncias no corpo.
Nesse caso, a ac¸a˜o muscular e o´ssea, se manifesta na forma de forc¸as, cujos efeitos diretos se exprimem na
mudanc¸a do estado de movimento do corpo. Fazendo um paralelo com a mecaˆnica newtoniana, comumente
conhecida como dinaˆmica, temos que segundo as leis de Newton para alterarmos o estado de movimento de
um corpo, necessariamente deve existir uma forc¸a resultante na˜o nula, lhe conferindo uma acelerac¸a˜o.
Temos que a simplicidade ou a complexidade das forc¸as que atuam sobre um corpo em movimento ou
em repouso, depende do tipo de movimento e da estrutura do corpo. Um beija-flor, por exemplo, para voar
realiza uma se´rie de movimentos que outras aves sa˜o incapazes de realizar. Isso esta´ diretamente associado
aos fatores f´ısicos e biolo´gicos que influenciam esse tipo de locomoc¸a˜o.
Para podermos prosseguir com a ana´lise e descric¸a˜o dos movimentos devemos inicialmente nos ater a`
definic¸a˜o de dois conceitos fundamentais, os quais rotineiramente utilizamos sem necessariamente nos preo-
cuparmos com suas reais definic¸o˜es. Sa˜o eles os conceitos de massa e forc¸a.
1.1 Massa
Afinal de contas, o que e´ massa?
Esse e´ um conceito que utilizamos diariamente mas que para F´ısica deve ser definido de modo consistente.
1
Massa e´ um termo utilizado para nos referirmos a` uma quantidade de mate´ria, em termos de sua
habilidade em resistir ao movimento quando sujeita a` ac¸a˜o de uma forc¸a. E´ uma grandeza escalar cuja
unidade no sistema internacional e´ o kg
De modo espec´ıfico, massa em f´ısica e´ a quantidade de mate´ria em um organismo, independentemente do
seu volume ou de quaisquer forc¸as que atuam sobre ele. O termo na˜o deve ser confundido com o peso, que
e´ a medida da forc¸a da gravidade que atua sobre um corpo. Sob condic¸o˜es normais a massa de um corpo
pode ser considerada como sendo constante; o seu peso, no entanto, na˜o e´ constante, uma vez que a forc¸a da
gravidade varia de local para local.
Ha´ duas maneiras de se referir a massa, em func¸a˜o da lei da f´ısica que a define: massa gravitacional e
massa inercial.
A massa gravitacional de um corpo pode ser determinado por comparac¸a˜o do corpo em um equil´ıbrio com
um conjunto de massas normalizadas. Deste modo, o fator de gravitacional e´ eliminado.
A massa inercial de um corpo e´ uma medida pela resisteˆncia do corpo a sofrer acelerac¸a˜o por uma forc¸a
externa. Um corpo tem duas vezes mais massa inercial que outro corpo se oferece duas vezes mais forc¸a em
oposic¸a˜o a` mesma acelerac¸a˜o.
Toda a evideˆncia parece indicar que as massas gravitacional e inercial de um corpo sa˜o iguais, como e´
exigido pelo princ´ıpio da equivaleˆncia de Einstein da relatividade. De modo que, no mesmo local iguais
massas (inerciais) teˆm pesos iguais. Temos que o valor nume´rico para a massa de um corpo e´ o mesmo em
qualquer parte do mundo, que e´ usado como uma base de refereˆncia para muitas medic¸o˜es f´ısicas, tais como
a densidade e a capacidade de calor.
De acordo com a teoria da relatividade especial, a massa na˜o e´ estritamente constante mas aumenta com
a velocidade de acordo com a definic¸a˜o m = m01−v2/c2 , onde m0 e´ a massa de repouso do corpo, v e´ a velocidade
e c e´ a velocidade da luz no va´cuo. Este aumento na massa, no entanto, na˜o se torna muito aprecia´vel ate´
que grandes velocidades sejam atingidas. A massa de repouso de um corpo e´ a sua massa em velocidade zero.
A teoria da relatividade especial tambe´m leva a` relac¸a˜o massa-energia de Einstein, E = mc2 , onde E e´ a
energia, e m e c sa˜o a massa (relativista) e a velocidade da luz, respectivamente. Devido a esta equivaleˆncia
entre massa e energia, a lei da conservac¸a˜o da energia foi estendida para incluir a massa como uma forma de
energia.
A massa de um sistema f´ısico pode ser medida pela aferic¸a˜o do peso desse sistema, contudo, essa massa
gravitacional esta´ condicionada a` termos plena conscieˆncia do campo gravitacional em uma dada regia˜o.
Podemos medir a massa inercial, verificando a resposta desse sistema sob a ac¸a˜o de uma forc¸a, computando
sua acelerac¸a˜o. Poder´ıamos montar um sistema de molas, que teria uma frequeˆncia caracter´ıstica de oscilac¸a˜o,
a partir da qual poder´ıamos obter a massa inercial desse sistema. As opc¸o˜es sa˜o diversas e devem ser escolhidas
segundo a situac¸a˜o.
1.2 Forc¸a
Outro conceito muito utilizado e que poucas vezes paramos para refletir sobre seu real significado e´ o
conceito de forc¸a. Podemos listar va´rias aplicac¸o˜es do termo “forc¸a” em nosso cotidiano, sem que estejamos
corretamente nos referindo ao real significado do ponto de vista f´ısico. Por exemplo, costumamos nos referir
a` energia ele´trica como forc¸a - mas ao utilizarmos a energia ele´trica para acender uma laˆmpada esta esta´
realmente sob a ac¸a˜o de uma forc¸a?
De modo muito geral
Forc¸a pode ser defina como “qualquer interac¸a˜o” capaz de mudar o estado de movimento de um
corpo.
Ou seja, uma forc¸a atuando sobre um corpo que possua massa pode tira´-lo de seu estado de repouso;
aumentar sua velocidade lhe conferindo acelerac¸a˜o; ou ainda reduzir sua velocidade.
Devemos ter conscieˆncia que forc¸a e´ um vetor e assim sendo, devemos sempre indicar sua magnitude
(mo´dulo), direc¸a˜o e sentido. Fazendo um simples experimento mental, podemos observar uma relac¸a˜o direta
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entre a aplicac¸a˜o de uma forc¸a sobre um sistema f´ısico e sua mudanc¸a de estado de movimento. Imaginemos,
por exemplo, que apliquemos uma dada forc¸a de magnitude, direc¸a˜o e sentido constantes sobre um corpo
de massa m. Caso esse corpo esteja parado, desconsiderando efeitos de atrito (forc¸as que se opo˜em ao
movimento), podemos intuir que esse corpo comec¸ara´ a ser acelerado. Agora imaginemos a mesma forc¸a
sendo aplicado a um corpo com duas vezes a massa do primeiro, ou seja 2m, tambe´m inicialmente em
repouso. Nesse caso, esperamos que esse corpo tambe´m seja acelerado, contudo, com metade da acelerac¸a˜o
do primeiro.
De modo muito simples, pudemos verificar que existeuma relac¸a˜o direta de proporcionalidade entre a
forc¸a e a acelerac¸a˜o gerada em um corpo sujeito a essa forc¸a - a massa. Essa relac¸a˜o e´ diretamente verificada
na chamada segunda lei de Newton, ~F = m~a.
Existem va´rias maneiras de mensurarmos forc¸as, seja pela verificac¸a˜o da acelerac¸a˜o concedida a um objeto
de massa conhecida, seja por meio da distensa˜o produzida em um sistema ela´stico (como uma mola). No
sistema internacional de unidades, a unidade de forc¸a e´ o N (newton), de modo que 1N = 1kgm/s2.
Existem quatro forc¸as fundamentais na natureza, a forc¸a gravitacional, a forc¸a eletromagne´tica, a forc¸a
forte e a forc¸a fraca. A primeira esta´ relaciona a` interac¸a˜o entre corpos que possuem massa; ja´ a forc¸a eletro-
magne´tica e´ oriunda da interac¸a˜o entre corpos que possuem carga ele´trica (estaciona´rias ou em movimento
na forma de correntes) e/ou momentos magne´ticos. A forc¸a nuclear forte e´ uma interac¸a˜o de curto alcance e
e´ responsa´vel pela coesa˜o dos nucleot´ıdeos (pro´tons e neˆutrons). Finalmente, a forc¸a nuclear fraca tambe´m e´
uma interac¸a˜o de curto alcance e e´ responsa´vel pela coesa˜o dos chamado quarks, as unidades fundamentais
dos ele´trons, pro´tons e neˆutrons.
Qualquer outra forc¸a, e´ uma forc¸a derivada. Por exemplo, temos as forc¸as ela´sticas, as forc¸as de contato
e as forc¸as musculares.
Em biomecaˆnica, analisamos principalmente os efeitos das forc¸as derivadas sobre os sistemas biolo´gicos e
essas podem ser de origem interna ou externa ao sistema.
1.3 Leis de Newton
A expressa˜o leis de Newton designa as treˆs leis que possibilitam e constituem a base prima´ria para
compreensa˜o dos comportamentos esta´tico e dinaˆmico dos corpos materiais, em escalas quer celeste quer
terrestre. As treˆs leis foram formuladas pelo f´ısico ingleˆs Isaac Newton ainda no se´culo XVII e encontram-se
primariamente publicadas em seu livro “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”. Em esseˆncia as
leis estabelecem, inicialmente, os observadores (referenciais) que podem corretamente usa´-las a fim de se
explicar a esta´tica e dinaˆmica dos corpos em observac¸a˜o (as leis valem em referenciais inerciais); e assumindo
estes referenciais por padra˜o, passam enta˜o a mensurar as interac¸o˜es f´ısicas entre dois (ou, via princ´ıpio da
superposic¸a˜o, entre todos os) corpos materiais bem como o resultado destas interac¸o˜es sobre o repouso ou o
movimento de tais corpos.
A interac¸a˜o entre dois corpos, a` parte sua natureza f´ısica, e´ mensurada mediante o conceito de forc¸a; e o
resultado f´ısico da interac¸a˜o sobre cada corpo e´ fisicamente interpretado como resultado da ac¸a˜o desta forc¸a:
em esseˆncia, as forc¸as representam interac¸o˜es entre pares de corpos, e sa˜o responsa´veis pelas acelerac¸o˜es, ou
seja, pelas mudanc¸as nas velocidades dos corpos nos quais atuam.
Corpos distintos usualmente respondem de formas distintas a uma dada forc¸a, e para caracterizar essa
resposta define-se para cada corpo uma massa.
Ao iniciarmos a descric¸a˜o da mecaˆnica, nos deparamos com o conceito de ine´rcia, que e´ de extrema
importaˆncia. A ine´rcia e´ uma propriedade f´ısica da mate´ria (e segundo a Relatividade, tambe´m da energia)
sendo a resisteˆncia de qualquer objeto f´ısico a qualquer mudanc¸a no seu estado de movimento, incluindo
mudanc¸as em sua velocidade e direc¸a˜o. E´ a tendeˆncia de objetos para se manter em movimento com velocidade
constante.
Newton na˜o apenas estabeleceu as leis da mecaˆnica como tambe´m estabeleceu a lei para uma das interac¸o˜es
fundamentais, a lei da Gravitac¸a˜o Universal, e ainda construiu todo o arcabouc¸o matema´tico necessa´rio -
o ca´lculo diferencial e integral - para que hoje se pudessem projetar e pragmaticamente construir desde
edif´ıcios ate´ avio˜es, desde sistemas mais eficientes de freios automotivos ate´ sate´lites em o´rbita. O mundo
hoje mostra-se inconceb´ıvel sem a compreensa˜o que vem a` luz via leis de Newton.
O princ´ıpio da ine´rcia e´ um dos princ´ıpios fundamentais da f´ısica cla´ssica que sa˜o usados para descrever
o movimento de objetos e como eles sa˜o afetados pela ac¸a˜o de forc¸as. Tal princ´ıpio, formulado pela primeira
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vez por Galileu e, posteriormente, confirmado por Newton, e´ conhecido como primeiro princ´ıpio da Dinaˆmica
(primeira lei de Newton) ou princ´ıpio da Ine´rcia.
A segunda lei de Newton, tambe´m chamada de princ´ıpio fundamental da dinaˆmica, afirma que a forc¸a
resultante em uma part´ıcula e´ igual a` taxa temporal de variac¸a˜o do seu momento linear ~p em um sistema de
refereˆncia inercial
~F =
d~p
dt
, (1)
onde o momento linear (comumente conhecido como quantidade de movimento) e´ definido como ~p = m~v.
Essa foi a forma descrita por Newton para sua segunda lei, contudo na˜o e´ a forma mais comum. Podemos
explicitamente realizar a diferenciac¸a˜o do momento em relac¸a˜o ao tempo e, supondo que a massa e´ constante
no tempo, temos quer
d~p
dt
= m
d~v
dt
. (2)
Mas o que significa d~vdt , ou seja, uma variac¸a˜o da velocidade no tempo? Variar a velocidade de um sistema
significa submeter esse sistema a uma acelerac¸a˜o. Podemos portanto verificar que d~vdt = ~a de modo que
~F = m~a. (3)
Essa e´ a foma que comumente conhecemos a segunda lei de Newton.
Aproveitando que ja´ apresentamos as duas primeiras leis de Newton, para completar o assunto podemos
continuar falando sobre forc¸as e mencionar a terceira lei.
A terceira lei estabelece que as forc¸as existem em pares: se um objeto A exerce uma forc¸a ~Fa em um
segundo objeto B, enta˜o B exerce simultaneamente uma forc¸a ~Fb em A, e as duas forc¸as sa˜o iguais e opostas:
~Fa = −~Fb. A terceira lei implica que todas as forc¸as sa˜o interac¸o˜es entre corpos diferentes e, portanto, que
na˜o ha´ uma forc¸a unidirecional ou uma forc¸a que age em um so´ corpo. Essa lei e´ muitas vezes referida como
a lei de ac¸a˜o e reac¸a˜o, com ~Fa sendo a “ac¸a˜o” e ~Fb sendo a “reac¸a˜o”. Do ponto de vista cla´ssico, a ac¸a˜o e a
reac¸a˜o sa˜o simultaˆneas e na˜o importa o que e´ chamado de ac¸a˜o e que e´ chamado de reac¸a˜o; ambas as forc¸as
sa˜o parte de uma u´nica interac¸a˜o, e na˜o existe forc¸a sem a outra. As duas forc¸as a que se refere a terceira lei
de Newton, sa˜o do mesmo tipo (por exemplo, se a estrada exerce uma forc¸a de atrito para a frente nos pneus
de um carro em acelerac¸a˜o, enta˜o tambe´m uma forc¸a de atrito e´ prevista pela terceira lei de Newton com a
qual os pneus empurram para tra´s a estrada).
Existem duas formas para a terceira lei de Newton, a forma forte em que as forc¸as de ac¸a˜o e reac¸a˜o atuem
ao longo da linha que conecta os corpos interagindo por meio de tais forc¸as e uma forma fraca em que essa
restric¸a˜o e´ aliviada. Exemplos da forma forte ocorrem, por exemplo, nas forc¸as centrais como a forc¸a de
atrac¸a˜o gravitacional, ja´ para a forma fraca temos exemplos nas forc¸as magne´ticas.
2 Cinema´tica
Conforme apresentado anteriormente, a biomecaˆnica envolve aplicac¸a˜o de princ´ıpios de mecaˆnica no estudo
de organismos vivos, dessa forma devemos mencionar o estudo da mecaˆnica dos movimentos com relac¸a˜o a`s
caracter´ısticas cinema´ticas do movimento linear. Trataremos especificamente da cinema´tica que descreve
o movimento de um corpo no tempo, incorporando grandezas vetoriais e escalares relacionadas como o
movimento dos corpos.
Dentre as grandezas analisadas esta˜o a distaˆncia e o deslocamentos. Tais grandezas tem relac¸a˜o direta
com os processos de medida do movimento, determinando, por exemplo, a distaˆncia percorrida por um
corredor durante uma maratona. De modo espec´ıfico, a distaˆncia mede o deslocamento total de um corpo
em movimento enquanto que o deslocamento e´ determinado pela separac¸a˜o entre os pontos iniciais e finais
desse percurso, obtida por uma linha reta entre os pontos. Imaginemos o caso de um jogador que atravessa
um campode futebol driblando seus adversa´rios. Ao realizar os dribles, o jogador percorre uma distaˆncia
muito maior que seu deslocamento no campo, devido aos desvios laterais realizados para ultrapassar seus
adversa´rios. Outra diferenc¸a entre distaˆncia e deslocamento, e´ que distaˆncia e´ uma grandeza escalar, enquanto
que o deslocamento e´ uma grandeza vetorial ligando dois pontos de um percurso.
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No caso de uma corrida, a grandeza importante e´ a distaˆncia, que definira´ para o atleta seu desempenho.
Ja´ no caso de uma prova de natac¸a˜o em um lago, devido a` condic¸o˜es ambientais de correntezas, ventos, e´
praticamente imposs´ıvel nadar em uma linha reta, de forma que ao atravessar o lago o deslocamento feito
pelo atleta e´ geralmente mais que a distaˆncia entre as margens e, portanto, e´ uma informac¸a˜o importante
para esse atleta.
Avanc¸ando mais um pouco na discussa˜o, temos a velocidade. Essa e´ uma grandeza vetorial determinada,
de forma rigorosa, como a derivada temporal do deslocamento,
~v =
d~s
dt
. (4)
Dessa forma, e´ importante determinarmos a direc¸a˜o e o sentido do deslocamento, para assim determi-
narmos corretamente a velocidade. Podemos simplificar esse tratamento considerando que a variac¸a˜o no
deslocamento em um dado intervalo de tempo e´ constante, de forma que a velocidade passa a ser
~v =
∆~s
∆t
. (5)
Existem situac¸o˜es em que um corpo possui duas ou mais velocidades, de forma que seu movimento e´
composto. Para lidar com esse tipo de situac¸a˜o, basta realizar a soma vetorial dessas velocidades e obter a
velocidade efetiva do movimento desse corpo. Imaginemos mais uma vez um nadado atravessando um lago,
somada a` velocidade do nadador, temos uma velocidade perpendicular a` direc¸a˜o da velocidade de nado devida
a`, por exemplo, uma correnteza. Assim, a velocidade resultante do nadador sera´ dada pela soma dessas duas
velocidades e tera´ direc¸a˜o obl´ıqua a`s margens do lago.
Caso a velocidade de um corpo seja varia´vel temporalmente durante um determinado percurso, dizemos
que esse corpo foi acelerado. A acelerac¸a˜o define-se como a derivada temporal da velocidade, sendo assim
um vetor com a mesma direc¸a˜o e sentido que a velocidade em movimentos lineares acelerados; com mesma
direc¸a˜o e sentidos opostos em movimentos lineares retardados. No caso de movimentos circulares, a direc¸a˜o
da acelerac¸a˜o tera´ componentes na mesma direc¸a˜o e na direc¸a˜o perpendicular a` velocidade. Temos, portanto
~a =
d~v
dt
=
d2~s
dt2
. (6)
Assim como no caso da velocidade, sendo sua variac¸a˜o constante durante um intervalo de tempo, a
acelerac¸a˜o sera´
~a =
∆~v
∆t
. (7)
A partir dessas expresso˜es, podemos facilmente determinar expresso˜es mais usuais estudadas em ci-
nema´tica. Seja a velocidade ~v = ∆~s∆t , o deslocamento sera´
∆~s = ~v∆t. (8)
Considerando o movimento iniciando-se no tempo t = 0, temos que ∆t = t e tomando ∆~s = ~sf − ~s0,
teremos
~sf = ~s0 + ~vt. (9)
O mesmo procedimento pode ser tomado com relac¸a˜o a` expressa˜o da velocidade, obtendo
~vf = ~v0 + ~at. (10)
Tais equac¸o˜es podem ser utilizadas de forma mais pra´tica para determinar o movimento de corpos em
deslocamentos retil´ıneos uniformes, como as trajeto´rias de saltos.
Quando a acelerac¸a˜o e´ nula, ou seja, a forc¸a resultante atuando sobre o sistema e´ nula, temos que a
condic¸a˜o de ine´rcia e´ alcanc¸ada e o movimento sera´ retil´ıneo uniforme (MRU). Nesse caso a velocidade e´
constante. Ja´ quando a velocidade e´ na˜o nula pore´m constante, teremos o caso de um movimento uniforme-
mente variado (MUV). No u´ltimo caso, podemos descrever a func¸a˜o hora´rio do movimento como
5
~sf = ~s0 + ~v0t +
1
2
~at2. (11)
Com as func¸o˜es hora´rias podemos prever e descrever o movimento de corpos sob a ac¸a˜o de forc¸as constantes
em qualquer intervalo de tempo.
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