Aula_5_Balanco_Global_de_Quantidade_de_Movimento (1)

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AULA 5: BALANÇO DE QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO
Universidade Comunitária da Região de Chapecó 
Curso: Engenharia de Alimentos / Produção
Componente Curricular: Fenômenos de Transporte de Fluidos e Calor
Profª Liciani Inaê Putti
- Equação de conservação da quantidade de movimento 
BALANÇO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
Em muitos problemas da engenharia, é necessário determinar as forças que agem em 
estruturas sólidas, fixas ou em movimento, devidas a fluidos que se movem em contato 
com elas. 
A equação que permitirá essa análise chama-se equação da quantidade de movimento. 
Essa equação nada mais é que a segunda Lei de Newton da dinâmica modificada 
funcionalmente para o estudo da Mecânica dos Fluidos. 
A força resultante aplicada a um corpo é 
igual ao produto da massa do corpo pela 
sua aceleração
A força resultante tem, em cada instante, a 
direção e o sentido da aceleração. 
Acelerar uma massa significa modificar sua velocidade em módulo e/ou direção, e 
para que a velocidade de um fluido seja modificada em módulo ou direção, será 
necessário aplicar uma força provocada por algum agente externo, em geral uma 
superfície sólida em contato com o escoamento. 
BALANÇO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
Dessa forma, a quantidade de movimento torna-se uma grandeza fundamental na 
análise do comportamento dos fluidos em escoamento. 
Quantidade de movimento, também chamada de momento linear é uma grandeza 
vetorial, cuja definição é o produto da massa de um corpo pela velocidade.
𝑄𝑚 = 𝑚 × 𝑢𝑏
𝑄𝑚 = 𝜌 × 𝑉 × 𝑢𝑏
BALANÇO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
Em termos matemáticos, para um volume de controle contendo um fluido em 
movimento, a quantidade de movimento é expressa como:
A velocidade é uma grandeza vetorial, ou seja, possui módulo, direção e 
sentido. 
Isso significa que qualquer alteração em qualquer um desses aspectos 
caracteriza uma variação da quantidade de movimento.
Portanto, para que a velocidade de um fluido se altere em módulo, direção 
ou sentido, é necessário que uma força externa atue sobre ele.
BALANÇO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
Nos balanços aplicados à Mecânica dos Fluidos, o que utilizamos não é apenas a 
quantidade de movimento em si, mas sim a taxa de variação da quantidade de 
movimento — ou seja, como essa quantidade muda ao longo do tempo dentro de um 
sistema ou volume de controle.
A taxa de variação da quantidade de movimento pode ter duas contribuições principais:
1. Variação temporal dentro do volume de controle (quando o escoamento é não-estacionário);
2. Fluxo de quantidade de movimento através das superfícies de entrada e saída do volume de 
controle (associado ao transporte convectivo).
BALANÇO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
0
Regime permanente
Fluxo de quantidade de movimento através das 
superfícies de entrada e saída do volume de controle 
(entra e o que sai)
෍𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 = 𝑄𝑚𝑠𝑎𝑖 − 𝑄𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 + 𝑄𝑚𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜
0
Regime permanente
A soma das forças atuando sobre um sistema é igual à taxa de 
variação da quantidade de movimento no tempo no volume de 
controle:
෍𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 =
𝑑𝑄𝑚
𝑑𝑡
=
𝑑( ሶ𝑚 × 𝑢𝑏)
𝑑𝑡
BALANÇO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
෍𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 =
𝑑𝑄𝑚
𝑑𝑡
=
𝑑( ሶ𝑚 × 𝑢𝑏)
𝑑𝑡
෍𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 = 𝑆𝑎𝑖 − 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎 + 𝐴𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜
෍𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 = 𝑄𝑚𝑠𝑎𝑖 − 𝑄𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 + 𝑄𝑚𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜
෍𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 = ሶ𝑚2 × 𝑢𝑏2 − ሶ𝑚1 × 𝑢𝑏1
Balanço de quantidade de movimento em um volume de controle fixo:
ሶሶ𝒎 = 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂 = 𝒘
෍𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 = 𝑤2 × 𝑢𝑏2 − 𝑤1 × 𝑢𝑏1
1
2
෍𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 = 𝜌2 × 𝑄2 × 𝑢𝑏2 − 𝜌1 × 𝑄1 × 𝑢𝑏1
Regime permanente
Por definição:
BALANÇO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
ሶሶ𝒎 = 𝒗𝒂𝒛ã𝒐 𝒎á𝒔𝒔𝒊𝒄𝒂 = 𝒘
1
2
෍𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 = 𝜌 × 𝑄2 × 𝑢𝑏2 − 𝜌 × 𝑄1 × 𝑢𝑏1
Pelo balanço de massa em regime permanente:
𝑄2= 𝑄1= 𝑄
𝑤2= 𝑤1= 𝑤
E propriedades físicas constantes: 𝜌1= 𝜌2 = 𝜌
Logo: 
෍𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 = 𝜌 × 𝑄 𝑢𝑏2 − 𝑢𝑏1
෍𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 = 𝜌 × 𝑄 𝑢𝑏2 − 𝑢𝑏1
෍𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 = 𝑤 𝑢𝑏2 − 𝑢𝑏1
Equação da Conservação da Quantidade de Movimento 
para os fluidos ideais, em escoamento permanente.
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Hipóteses: 
➢Efeitos viscosos internos desprezados → 𝑭𝒅𝒙 =0
Sem efeitos viscosos significa que não há atrito entre o fluido e as paredes do 
volume de controle — ou seja, é um escoamento ideal.
➢Escoamento permanente
Não há variação com o tempo (entra = sai)
➢Escoamento incompressível
As propriedades físicas são constantes (ρ)
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Para variações de quantidade de movimento na direção x, podemos escrever:
BALANÇO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
෍𝐹𝑥 = 𝑤 𝑢𝑏2𝑥 − 𝑢𝑏1𝑥
onde, 𝐹𝑥 representa a força necessária para manter o volume de controle fixo no 
espaço, sendo definido como:
• 𝑭𝒈𝒙 : força da gravidade (provocada pelo peso)
• 𝑭𝒑𝒙 : força de pressão
• 𝑭𝒅𝒙 : força de cisalhamento (atrito)
• 𝑹𝒙 : força resultante externa
Forças que atuam no volume de controle (direção x):
෍𝐹𝑥 = 𝑭𝒈𝒙 + 𝑭𝒑𝒙 + 𝑭𝒅𝒙 + 𝑹𝒙
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Para variações de quantidade de movimento na direção y, podemos escrever:
BALANÇO GLOBAL DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
෍𝐹𝑦 = 𝑤 𝑢𝑏2𝑦 − 𝑢𝑏1𝑦
onde, 𝐹𝑦 representa a força necessária para manter o volume de controle fixo no 
espaço, sendo definido como:
• 𝑭𝒈𝒚 : força da gravidade (provocada pelo peso)
• 𝑭𝒑𝒚 : força de pressão
• 𝑭𝒅𝒚 : força de cisalhamento (atrito)
• 𝑹𝒚 : força resultante externa
Forças que atuam no volume de controle (direção y):
෍𝐹𝑦 = 𝑭𝒈𝒚 + 𝑭𝒑𝒚 + 𝑭𝒅𝒚 + 𝑹𝒚
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Quando o escoamento do fluido está inclinado, as forças contribuem em 
diferentes direções, sendo necessário determinar suas componentes em x e y:
Exemplo: A velocidade total (𝒖𝒃) pode ser decomposta em duas componentes:
• Componente horizontal (x):
𝒖𝒃𝒙 = 𝒖𝒃 ⋅cos(θ)
• Componente vertical (y):
𝒖𝒃𝒚 = 𝒖𝒃 ⋅sin(θ)
𝒖𝒃𝒚
𝒖𝒃
Em escoamentos inclinados, é essencial considerar apenas a componente na direção da 
força analisada (x ou y) ao aplicar o balanço de quantidade de movimento.
𝒖𝒃𝒙
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A pressão atmosférica está 
atuando em ambas as 
seções, então ela se anula!
Fp1: força de pressão na entrada→ a favor do escoamento → positiva
FP2: força de pressão na saída → contra o escoamento → negativa
EXEMPLO: ESCOAMENTO DE ÁGUA EM UMA TUBULAÇÃO COM JOELHO:
“A pressão age sempre para dentro do volume de controle. 
Para sabermos o sinal, observamos se ela está ajudando ou resistindo ao escoamento.”
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Os esforços atuantes, são os seguintes, em módulo:
a) esforço da pressão unitária P1 na área A1:
Fp1 = P1 x A1
b) esforço da pressão unitária P2 na área A2:
Fp2 = P2 x A2
c) peso W do fluido entre as seções A1 e A2.
d) Componente horizontal Rx da reação ao 
deslocamento do fluido na curva da tubulação.
e) Componente horizontal Ry da reação ao 
deslocamento do fluido na curva da tubulação.
Rx
Ry
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Rx
Ry
෍ Ԧ𝐹 = 𝑭𝒈 + 𝑭𝒑 + 𝑹𝒙 + 𝑹𝒚
𝐰cos𝜽 + 𝑨𝟏𝑷𝟏 cos 𝜽 − 𝑨𝟐𝑷𝟐 cos 𝜽 + 𝑹𝒙 cos 𝜽 + 𝑹𝒚 cos 𝜽 = 𝑤 𝑢𝑏2 cos 𝜽 − 𝑢𝑏1 cos 𝜽
𝑭𝒈 = 𝑾 = força gravitacional provocada 
pelo peso do fluido (W) entre as seções 1 e 2
expressão que representa a componente HORIZONTAL:
A força exercida pelo fluido sobre as paredes pode ser representada por suas componentes:
෍ Ԧ𝐹 = 𝑾+ 𝑭𝒑𝟏 − 𝑭𝒑𝟐 + 𝑹𝒙 + 𝑹𝒚
𝐰sen𝜽 + 𝑨𝟏𝑷𝟏 sen𝜽 − 𝑨𝟐𝑷𝟐 sen𝜽 + 𝑹𝒙 sen𝜽 + 𝑹𝒚 sen𝜽 = 𝑤 𝑢𝑏2 sen𝜽 − 𝑢𝑏1 sen𝜽
expressão que representa a componente VERTICAL:
෍ Ԧ𝐹 = 𝑾+ 𝑭𝒑𝟏 − 𝑭𝒑𝟐 + 𝑹𝒙 + 𝑹𝒚 = 𝒘 𝒖𝒃𝟐 − 𝒖𝒃𝟏16
𝑅 = 𝑅𝑥
2 + 𝑅𝑦
2
A força resultante final pode ser encontrada a partir das forças resultantes em x e y pela 
aplicação do teorema de Pitágoras:
𝐰cos 𝜽 + 𝑨𝟏𝑷𝟏 cos 𝜽 − 𝑨𝟐𝑷𝟐 cos 𝜽 + 𝑹𝒙 cos(𝟏𝟖𝟎° 𝒐𝒖 𝟎°) + 𝑹𝒚 cos(𝟗𝟎° 𝒐𝒖 𝟐𝟕𝟎°) = 𝑤 𝑢𝑏2 cos 𝜽 − 𝑢𝑏1 cos 𝜽
expressão que representa a componente HORIZONTAL:
𝐰sen𝜽 + 𝑨𝟏𝑷𝟏 sen𝜽 − 𝑨𝟐𝑷𝟐 sen𝜽 + 𝑹𝒙 sen(𝟏𝟖𝟎° 𝒐𝒖 𝟎°) + 𝑹𝒚 sen(𝟗𝟎° 𝒐𝒖 𝟐𝟕𝟎°) = 𝑤 𝑢𝑏2 sen𝜽 − 𝑢𝑏1 sen𝜽
expressão que representa a componente VERTICAL:
0
𝐰cos𝜽 + 𝑨𝟏𝑷𝟏 cos𝜽 − 𝑨𝟐𝑷𝟐 cos𝜽 ± 𝑹𝒙 = 𝑤 𝑢𝑏2 cos𝜽 − 𝑢𝑏1 cos𝜽
0
𝐰sen𝜽 + 𝑨𝟏𝑷𝟏 sen𝜽 − 𝑨𝟐𝑷𝟐 sen𝜽 ± 𝑹𝒚 = 𝑤 𝑢𝑏2 sen𝜽 − 𝑢𝑏1 sen𝜽
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1 – Água (ρ=1000kg/m³) saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao 
fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m². 
Determinar a força horizontal sobre o suporte.
EXEMPLOS:
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2 - Determine a força total exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do 
jato de água é igual a 15m/s. Considere que a lamina de fluido mantém a mesma espessura 
em toda sua trajetória.
3 - Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o 
qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N.
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4 - Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 180°. Na tubulação 
escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 kg/m³ com vazão 
de 150 m³/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a pressão relativa no ponto 
(1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa.
Considere que o fluido entra em (1). 
5 - Água escoa na plataforma abaixo com uma vazão igual a 0,05m³/s e uma velocidade 
igual a 8m/s. Considere que o ângulo θ mostrado na figura é igual a 60°. Determine a 
resultante das forças e o ângulo em que atua.
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