prova 1 2004.2 cálculo I area II CIn UFPE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
PRIMEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR
SEGUNDO SEMESTRE DE 2004
20 de dezembro de 2004
1aQuesta˜o -
2aQuesta˜o -
3aQuesta˜o -
4aQuesta˜o -
5aQuesta˜o -
6aQuesta˜o -
Total -
Nome leg´ıvel –
Assinatura –
Turma – CPF –
Justifique suas respostas. Mostre seus ca´lculos. Respostas sem ca´lculos ou justificativas
na˜o sera˜o aceitas.
1a Questa˜o (1,5pt): Calcule a derivada de f(x) = xx.
2a Questa˜o (1,0pt): Suponha que f(3) = 6, f ′(3) = 10, f ′(6) = 5, f ′(8) = 6, g(3) = 2,
g′(3) = 2, g′(6) = 4 e g′(8) = 5. Calcule a derivada de f ◦ h no ponto x = 3, onde
h(x) = xg(x).
3a Questa˜o (1,5pt): Suponha que f(a) = 3 e que a func¸a˜o f satisfac¸a, para todo ∆x,
3 + 5∆x+ sen(∆x) ≤ f(a+∆x) ≤ 3 + 5∆x+ sen(∆x) + (∆x)2
Mostre que f e´ diferencia´vel em x = a e calcule f ′(a).
4a Questa˜o (1,0pt): Calcule lim
x→−∞
3x√
5x2 + 2
5a Questa˜o (2,5pts): Uma chapa retangular de metal tem 5m de largura e 8m de
comprimento. Cortam-se quatro quadrados de mesma a´rea, um de cada canto da chapa,
de forma que a chapa resultante (o que sobrou apo´s se retirarem os quatro quadrados)
possa ser dobrada e soldada de maneira a formar uma caixa aberta em cima (sem tampa).
Qual a medida de cada lado dos quadrados retirados de forma que o volume da caixa
aberta obtida pela maneira descrita acima seja ma´ximo? Qual e´ esse volume ma´ximo?
6a Questa˜o (2,5pts): Um avia˜o esta´ em voˆo horizontal com velocidade constante, a
uma altitude de 3km do solo, sobre uma linha reta que ira´ passar diretamente acima de
um observador no solo. Em um dado instante, a elevac¸a˜o angular do avia˜o com relac¸a˜o
ao observador (o aˆngulo formado entre a reta que da´ a direc¸a˜o de voˆo do avia˜o e a reta
que passa pelo avia˜o e pelo observador) e´ pi/3 radianos e esta´ aumentando a uma taxa de
1/60 radianos por segundo. Calcule a velocidade do avia˜o.