Unidade 2 números inteiros

Prévia do material em texto

Matemática Básica Unidade 2 
1 
 
 
Unidade 2 
Números inteiros 
 
 
 
 
Metas 
Ampliar o conhecimento sobre os números naturais para a noção numérica conhecida 
como conjunto dos números inteiros. 
 
Objetivos 
Ao final desta unidade você deve: 
 conhecer os números inteiros por meio de sua representação decimal; 
 saber resolver novos problemas práticos; 
 conhecer uma representação geométrica dos números inteiros; 
 conhecer as duas operações básicas entre números inteiros; 
 entender como se pode aplicar as operações na resolução de problemas práticos; 
 
 
Matemática Básica Unidade 2 
2 
 
Números inteiros 
 
 Ao longo da unidade 1, falamos sobre o uso dos números naturais em problemas 
de previsão. Esta visão de aplicação do processo de contagem ainda pode ser estendida. 
Além de ajudar a prever o futuro, a Matemática também pode nos ajudar a contar um 
pouco mais sobre nosso passado. É possível dizer, por exemplo, quando determinada 
espécie extinta vivia na Terra. Pode-se estimar quando a vida apareceu na Terra, ou 
quando a Terra foi criada. Questões como essas, que falam sobre retroceder, podem ser 
descritas por meio de contagem. Só que é uma contagem ao contrário, para “trás”, 
voltando no tempo. 
 Na verdade, existem várias situações onde podemos precisar contar num sentido 
contrário do esperado. Por exemplo, em edifícios com elevadores, os andares acima do 
nível do chão são contados e associados a números naturais. Mas, existem situações em 
que o elevador pode descer para níveis abaixo do nível do chão. Neste caso, podemos 
contar os andares para baixo, mas a contagem tem um significado diferente da contagem 
para cima. Um exemplo bem mais comum de contagem com mais de um significado 
pode ser encontrado nas operações financeiras. Podemos contar dinheiro. O problema é 
quando começamos a contar dívidas, isto é, contar dinheiro que não temos e precisamos 
pagar a alguém. 
 Para lidar com situações envolvendo contagens com dois significados, perda e 
ganho, antes e depois, para cima e para baixo, a Matemática desenvolveu um novo 
conjunto numérico, o conjunto dos números inteiros, e denotado por . Este conjunto 
estende o conjunto dos números naturais e a representação decimal de seus elementos é 
parcialmente dada a seguir. 
 = { ... , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }. 
Uma representação geométrica parcial de , com a correspondente representação 
decimal, é a seguinte. 
 
 
 Os números inteiros possuem uma classificação especial. Os números cuja 
representação decimal pertence ao conjunto {1, 2, 3, 4, ...} são chamados números 
positivos e os números cuja representação decimal pertence ao conjunto {1, 2, 3, 4, 
...} são chamados números negativos. 
Matemática Básica Unidade 2 
3 
 
 
Observação: Uma das peculiaridades da Matemática é o uso especializado de símbolos. 
A ideia de se usar símbolos é bastante frutífera. Com símbolos podemos representar 
ideias ou objetos de uma forma mais simples (econômica) ou mais representativa. Você 
se lembra da atividade 1 da unidade anterior, quando foi pedido para representar uma 
grande quantidade de objetos por símbolos numéricos, uma representação bem mais 
simples, não? 
 
 O conjunto dos números negativos e o dos números positivos têm grande 
destaque em estudos matemáticos e também possuem uma notação especial. Temos as 
seguintes notações em símbolos: 
 + = {1, 2, 3, 4, ...}, 
  = {1, 2, 3, 4, ...}. 
 
 Agora, o uso de símbolos ajuda de um lado, mas pode complicar de outro. Às 
vezes, com o uso de muitos símbolos, podemos nos perder sobre o significado completo 
de determinado símbolo. Este é um preço que temos que pagar pela simplificação. Uma 
dica importante, nestes casos, é estudar de vez em quando os principais símbolos, rever 
os seus significados. 
 
Atividade 1: 
a) Certifique-se de que são verdadeiras as seguintes igualdades envolvendo símbolos 
matemáticos: + = *;  = \ ; =   {0}  +. 
b) O símbolo * denota o conjunto sem o número zero. Escreva * como a união de 
dois conjuntos conhecidos. 
c) Represente numa reta graduada o conjunto: 
i. {n  : 4  n  2} 
ii. {n  : n  3} 
d) O que é maior, 13 ou 1? 13 ou 2? 
e) Os registros mais antigos de uso de numerais escritos datam de aproximadamente 
3500 a.C., e foram produzidos pelos antigos sumérios e egípcios. Segundo esta 
referência, há quantos anos, aproximadamente, o homem faz uso de numerais escritos? 
f) O que ocorreu primeiro, um fato de 160 a.C. ou um fato de 340 a.C.? 
Matemática Básica Unidade 2 
4 
 
 
 A manipulação dos números inteiros é semelhante à dos números naturais. A 
maior diferença é que agora não temos o menor elemento. No conjunto , os números 
não possuem um limite superior de valor e também não possuem um limite inferior. Um 
problema que pode acontecer é na manipulação das operações soma e produto neste 
novo conjunto. Na verdade os cálculos se realizam da mesma maneira, só que é preciso 
tomar certo cuidado com os sinais. 
 Se você, leitor, ainda se confunde com esta questão, as calculadoras geométricas 
apresentadas na unidade 1 podem ser bastante úteis. Observe que, para a soma com 
números inteiros, basta usar a régua de forma invertida quando trabalhar com números 
negativos. Para adaptar a calculadora geométrica de produtos para números negativos, 
basta considerar os raios solares com direções e sentidos variados. 
 
Observações: 
1) Trabalhando com números inteiros, temos a notação a  b = a + (b). Note que, ao 
contrário de quando a situação envolve só números naturais, a expressão a – b sempre 
faz sentido, mesmo se b é maior de que a. Por exemplo, 3 – 9 = 3 + (9) = 6. 
2) Uma regra útil para produto é a seguinte: (a)b = a(b) = ab. Por exemplo, 
podemos realizar o seguinte desenvolvimento: 5 + 3.(4) = 5 – 3.4 = 5 – 12 = 7. 
3) A notação a não representa um número negativo. Cuidado! Esta notação indica o 
simétrico de um número. Por exemplo, se a = 3, temos a = 3, um número positivo. 
4) Em , toda equação do tipo a + x = b, com a, b pertencentes a e x representando a 
incógnita, tem solução em , a saber, x = b – a. 
5) Assim como em , uma equação do tipo ax = b nem sempre tem solução em . Por 
exemplo, a equação 4x = 1 não tem solução em , isto é, não existe um número em 
que possa substituir x a fim de tonar verdadeira a expressão 4x = 1. 
 
Fatoração em 
 Dados dois números inteiros, n e m, diz-se que n é um múltiplo de m se 
pudermos encontrar outro inteiro, k, tal que n = k  m. Assim, o conjunto dos múltiplos 
de m é infinito e podemos escrevê-lo da seguinte forma, { }. 
 Quando n é múltiplo de m e m é diferente de zero, dizemos que m divide o 
Matemática Básica Unidade 2 
5 
 
inteiro n ou que m é um divisor de n ou ainda que m é um fator de n. Também, dizemos 
que n é divisível por m. 
 
Exemplos: 
a) Temos 15 = 3  5, donde 3 e 5 são divisores de 15 e 15 é um múltiplo de 3, e também 
de 5. 
b) Temos que 12 é múltiplo de , pois 12 = (1) (12), 12 = 
3 ( ) ( ) e assim por diante. 
c) Vejamos a representação geométrica de alguns múltiplos de 3 na reta numérica, eles 
estão destacados como pontos. 
 
No desenho, você encontra a representação geométrica dos seguintes múltiplos de 3: 
(2)  3, (1)  3, 0  3, 1  3, 2  3 e 3  3. 
d) Verificamos que 7 não é múltiplo de 3, pois 2  3 = 6 < 7, 3  3 = 9 > 7 e não existe 
inteiro entre 2 e 3. Portanto, 3 não divide 7. Entenda a situação descrita a partir da 
representação geométrica. Vejacomo a sequência de bolinhas vermelhas, que representa 
os múltiplos de 3, pula o ponto que corresponde a 7. 
 
e) O conjunto dos múltiplos de 2 pode ser escrito como o conjunto dos números inteiros 
n do tipo n = 2  k. Assim, esse conjunto é formado pelos números inteiros n que são 
divisíveis por 2, ou seja, é o conhecido conjunto dos números pares. 
 
Observações importantes: 
 O número 0 é múltiplo de qualquer número inteiro. De fato, para todo a  , 0 = 
a.0. 
 O número 0 não é divisor de nenhum número inteiro, pois por definição um divisor 
é diferente de zero. 
 Todo número inteiro é múltiplo de si próprio. De fato, para todo a  , a = a.1. 
 Todo número inteiro não nulo é divisor de si próprio. 
Matemática Básica Unidade 2 
6 
 
 
Atividade 2: 
a) No início desta seção, o conjunto dos múltiplos de m foi descrito por listagem. 
Descreva agora o mesmo conjunto, mas por meio de uma propriedade. 
b) Conte os 10 primeiros múltiplos positivos de 5. Você precisa contar de quanto em 
quanto? 
c) A figura a seguir representa parcialmente a reta numérica e os múltiplos de um 
determinado número. Que número é este? 
 
d) Quais são os múltiplos de 7 entre 30 e 65? Dê a resposta de duas maneiras, em 
termos de conjunto e também listando os múltiplos sobre a reta graduada. 
e) Quantos são os múltiplos de 11 entre 99 e 12504? 
f) Mostre que todo número da forma 4k + 2, onde k  , é divisível por 2. 
g) Passaram-se 392 dias. Quantas semanas passaram? 
 
O Teorema Fundamental da Aritmética: 
Lembremos que um número inteiro p > 0 é dito primo se for diferente de 1 e 
possuir exatamente dois divisores positivos, a saber, o 1 e ele mesmo. Por exemplo, os 
cem primeiros números primos positivos são: 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 
191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 
281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 
389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 
491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547. 
 Um número inteiro negativo p é primo se seus únicos divisores positivos forem 1 
e p. Assim, os cem maiores números primos negativos são os simétricos dos 
relacionados acima (2, 3, 5, 7,...). 
Matemática Básica Unidade 2 
7 
 
 Os números primos desempenham um papel importantíssimo na teoria dos 
números, pois, no que diz respeito a propriedades multiplicativas, formam a estrutura 
dos números inteiros, assim como os átomos formam a estrutura da matéria. Qualquer 
número inteiro maior do que 1 pode ser construído através de produtos de potências de 
primos positivos. Logo, podemos fatorar um número inteiro, diferente de 0,1 e 1, 
usando potências de primos, onde, no caso do número ser negativo, fatoramos o 
simétrico do número e multiplicamos a fatoração por 1. Esse é o conteúdo do Teorema 
Fundamental da Aritmética. Com certeza você conhece esse resultado! Vejamos 
exemplos de fatoração. 
 
Exemplo: 
a) 6 = 2  3 b) 28 = 22  7 c) 720 = 24  32  5 d) 82 = (1)  2  41 
b) Vamos relembrar um método prático de fazer a fatoração de um inteiro: 
924 2 menor primo positivo que divide 924 
462 2 menor primo positivo que divide 462 
231 3 menor primo positivo que divide 231 
77 7 menor primo positivo que divide 77 
11 11 menor primo positivo que divide 11 
 ⏟ 
__________ 
2
2
  3  7  11 
Logo, 924 = 2
2
  3  7  11. 
 
 Veja abaixo o enunciado do Teorema. 
Teorema Fundamental da Aritmética: 
Seja . Então, 
 
 
 ... 
 , onde 
 são primos positivos e são inteiros positivos. E essa é a 
única maneira de decompor com essas propriedades. 
Matemática Básica Unidade 2 
8 
 
 
Observação: Se a  e a < 1 então a > 1 e, pelo teorema acima, temos que 
 
 
 
 ... 
 e, portanto, obtemos 
 
 
 ... 
 
 . 
 
 Lembremos que dois (ou mais) inteiros são primos entre si se não possuírem 
divisores positivos em comum diferentes de 1. Note que, pensando na decomposição 
dos números em fatores primos, isso significa que não há primos em comum nas 
decomposições. Por exemplo, 12 e 35 são primos entre si, pois 12 = e 
 e não há primos em comum nas duas decomposições. 
 
Atividade 3: 
a) Determine quais são os números fatorados: 
i) ii) iii) 
b) Fatore os números segundo o Teorema Fundamental da Aritmética: 
i) 234 ii) 512 iii) 303. 
c) Verifique se 35 e 162 são primos entre si. 
d) Encontre as soluções inteiras da equação . 
 
Mínimo múltiplo comum 
Situação-problema: Uma engrenagem é composta de duas rodas dentadas, uma com 20 
dentes e outra com 36 dentes. Num dado momento, dois dentes específicos, um de cada 
roda, ao se encontrarem, ficaram danificados. É certo que no próximo encontro dos dois 
dentes a engrenagem irá parar de funcionar. A engrenagem ainda funciona quando um 
dente com problema entra em contato com outro dente bom, mas quando dois dentes 
com problemas se encontrarem, não terá jeito. Sabendo destas informações, quantas 
voltas a roda menor ainda pode dar antes da engrenagem parar de funcionar? 
Matemática Básica Unidade 2 
9 
 
 
 Vamos analisar o problema. Quando a roda menor der uma volta, o seu dente 
com defeito novamente entra em contato com um dente da roda maior. O que você acha, 
para este momento, o dente da roda maior também é o dente com defeito? Para a roda 
menor ter dado uma volta, seus 20 dentes entraram em contato na engrenagem. Assim, 
20 dentes da roda grande também trabalharam na engrenagem. Mas, para a roda grande 
dar uma volta, é preciso que seus 36 dentes trabalhem na engrenagem. Ou seja, com 
uma volta da roda menor depois do acidente envolvendo os dois dentes quebrados, estes 
não se encontram e, portanto, a engrenagem vai continuar a funcionar. 
 Continuamos sem saber quando os dois dentes quebrados vão se encontrar. Você 
já sabe o que vai acontecer? Só sabemos que isto não acontece depois da primeira volta 
da roda menor. Precisamos adotar uma estratégia para entender melhor este problema. 
 Caro aluno, vamos adotar uma estratégia. Ela não é única. Caso você imagine 
outra estratégia, nós o incentivamos a desenvolvê-la também. Agora vamos desenvolver 
a nossa. Imagine a roda menor esticada, isto é, que os seus dentes sejam colocados 
sobre uma reta. Bom imagine que isto seja possível. Assim, teríamos 20 dentes, lado a 
lado, sobre uma reta. Estes 20 dentes representam uma volta da roda menor. Para duas 
voltas, continuando este exercício de imaginação, teríamos 40 dentes, lado a lado, sobre 
uma reta. Agora podemos praticar algo que foi comentado na primeira unidade. Vamos 
representar o problema matematicamente. Vamos associar a grandeza dente a números. 
Para visualizar a situação, vamos considerar a representação geométrica dos números. O 
dente quebrado da primeira roda está associado ao número zero. Assim, o dente 
quebrado também estará associado ao número 20, 40, 60, etc. Ou seja, todo múltiplo de 
20 representa o dente quebrado da roda menor em contato com algum dente da roda 
maior (veja a noção de múltiplo aparecendo no problema). Podemos analisar o 
comportamento do dente quebrado da roda maior da mesma maneira. Associandoos 
dentes a números e o dente quebrado ao número zero, temos que os números 36, 72, 
108, etc., representam o dente quebrado da roda maior. 
Matemática Básica Unidade 2 
10 
 
 A partir desta representação matemática que obtemos, podemos perceber um 
padrão de comportamento. Temos que 20, 40, 60, 80, etc. representam os números 
associados aos dentes quebrados da roda menor após sucessivas voltas da roda menor. 
Temos também que 36, 72, 108, 144, etc. representam os números associados aos 
dentes quebrados da roda maior. Pergunta: Quando os dois dentes vão entrar em contato 
novamente? Resposta (que agora parece natural): Quando tivermos um número que 
pertença às duas listas ao mesmo tempo. O problema agora é encontrar tal número. O 
mais natural é realizar uma contagem, duas, na verdade. Podemos contar de 20 em 20 e 
de 36 em 36 até encontrar o número procurado. A tabela a seguir foi obtida de uma 
planilha eletrônica. Ela contém uma lista de múltiplos de 20 e uma lista de múltiplos de 
36. 
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 
36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 396 432 
 
Veja pela tabela que 180 ocorre nas duas listas. Isto significa que 180 representa o dente 
quebrado, tanto o da roda menor, quanto o da roda maior. Pela quantidade de números 
representados da primeira lista, temos que os dentes quebrados vão se encontrar 
novamente após 9 voltas da roda menor (180 ocupa a nona posição na 1ª lista). 
 Recapitulando, associamos os dentes das duas rodas a números. Verificamos que 
o contato dos dentes quebrados na engrenagem ocorre por múltiplos, o primeiro por 
múltiplos de 20 e o segundo por múltiplos de 36. Depois, verificamos que a ocorrência 
simultânea dos dois dentes quebrados ocorreria quando tivéssemos dois múltiplos em 
comum. Na verdade, existem vários múltiplos em comum nas duas listas. O que 
encontramos foi o menor múltiplo em comum das duas listas de múltiplos. 
 
Atividade 4: 
Faça uma lista com os 10 primeiros múltiplos positivos de 2 e uma lista com os 10 
primeiros múltiplos positivos de 3. Faça uma terceira lista com números que sejam 
comuns às duas listas. 
a) Esta terceira lista tem um menor número? Tem um maior número? 
Matemática Básica Unidade 2 
11 
 
b) Se você considerar todos os múltiplos positivos de 2 e de 3, mesmo que não possa 
listá-los, você acha que a lista de múltiplos em comum de 2 e de 3 é finita ou infinita? 
Ela tem um menor elemento? Ela tem um maior elemento? 
 
 A situação-problema analisada aqui é só um exemplo. Existem várias situações 
que podem apresentar um comportamento parecido com o que encontramos na análise, 
e que podem ser estudadas segundo a mesma estratégia. Por exemplo, sabendo que 
houve uma eleição para presidente e senadores num determinado ano, que a eleição para 
presidente ocorre de 4 em 4 anos e que a eleição para senador ocorre de 6 em 6 anos, 
quando teremos uma nova eleição para presidente e senadores ao mesmo tempo? Outro 
exemplo, se dois planetas se encontram alinhados, um deles leva 4 anos terrestres para 
dar uma volta em torno do Sol e o outro leva 7 anos, quando estarão alinhados 
novamente? Sabendo que a estratégia de procurar o menor múltiplo em comum pode ser 
útil em várias situações, devemos ver a importância de se formalizar esta noção. 
 
 O menor múltiplo comum positivo de dois ou mais números inteiros, é chamado 
de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação mmc. 
 
Exemplo: 
a) Vamos determinar os conjuntos M(6) e M(7), dos 10 menores múltiplos não 
negativos de 6 e 7, respectivamente. Analisando os dois conjuntos, podemos determinar 
o mmc(6,7). 
 M(6) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54} 
 M(7) = { 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63}. 
Observe que o primeiro múltiplo comum, que é o menor múltiplo comum, que aparece 
nos dois conjuntos é 42, logo mmc(6,7) = 42. Note que, nesse caso, 42 = 6 7, ou seja, o 
mmc é o produto entre os dois números. 
b) Determine o mmc(60,72). 
 Poderíamos proceder como em a), porém tomaremos um caminho mais simples. 
Vamos usar a decomposição dos dois números: 
Matemática Básica Unidade 2 
12 
 
60-72 2 menor primo positivo que divide 
60 e/ou 72 
30-36 2 menor primo positivo que divide 
30 e/ou 36 
15-18 2 menor primo positivo que divide 
15 e/ou 18 
15-9 3 menor primo positivo que divide 
15 e/ou 9 
5-3 
5-1 
 ⏟ 
 3 menor primo positivo que divide 
15 e/ou 9 
 5 menor primo positivo que divide 5 
e/ou 1 
 __________ 
 
 Observe que 360 = 6 60 = 5 72 e é o menor múltiplo comum entre 60 e 72. 
Nesse caso, mmc(60,72) 60 72 = 4320. Compare as decomposições de 60 
 e 72 com o mmc. No mmc aparecem os primos que estão presentes 
em pelo menos uma das decomposições, elevados ao maior expoente com que 
aparecem. 
 
c) Encontre o mmc( ) 
Os primos que aparecem em pelo menos uma das decomposições elevados à maior 
potência são . Logo, mmc( ) . 
 
Atividade 5: 
a) Encontre: i) ( ) ii) ( ) 
 iii) ( ) 
Matemática Básica Unidade 2 
13 
 
b) Um filho visita a mãe a cada 15 dias e o outro filho a cada 18 dias. Se os dois filhos 
visitaram a mãe hoje, daqui a quantos dias coincidirá novamente a visita dos dois? 
c) A soma de dois inteiros positivos é 30 e o mmc dos dois é 36. Determine esses 
números. 
 
Máximo divisor comum 
O maior divisor comum positivo de dois ou mais números inteiros, é chamado 
de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação mdc. Dados a, b , 
o 1 é sempre um divisor comum entre eles e será o maior, isto é, mdc(a,b) = 1 quando 
a e b forem primos entre si. 
Para o conceito anterior, nós apresentamos uma situação-problema, elaboramos 
uma estratégia para entendê-la e vimos que seria interessante formalizar a ideia 
matemática de menor múltiplo comum. Esta parece ser uma ótima estratégia didática. 
Pelo menos é uma das principais orientações didáticas dos Parâmetros Curriculares 
Nacionais (PCN), que são uma coleção de documentos governamentais que têm como 
fim a orientação da formação do professor e das ações didáticas voltadas para a escola 
básica. Inclusive, praticar esta metodologia didática é muito útil também para se buscar 
contextualizar os conhecimentos matemáticos estudados em situações práticas ou do 
cotidiano, além de ser um ótimo exercício de preparação de aula para quem pretende ser 
professor. 
Nem sempre vamos adotar este recurso didático. O conceito de mdc, por 
exemplo, foi simplesmente apresentado, sem nenhuma contextualização. O leitor está 
convidado para buscar uma situação-problema onde a noção de mdc apareça 
naturalmente como estratégia de solução. Este é um exercício extra que pode muito bem 
ser praticado com todos os conceitos matemáticos que forem vistos neste texto. 
 
Exemplo: 
a) Vamos determinar os conjuntos D(36) e D(42), dos divisores positivos de 36 e 42, 
respectivamente. Analisando os dois conjuntos, determinamos o mdc(36,24). 
 D(36)={ } 
Matemática Básica Unidade 2 
14 
 
 D(42)={ }, 
Os divisores em comum são 1,2,3,6 e o maior deles é o 6, logo mdc(36,42)=6. 
b) Determine o mdc(60,72). 
 Vamos usar a decomposição dos dois números: 
60-72 2 menor primo positivo que divide 
60 e 72 
30-36 2 menor primo positivo que divide 
30 e 36 
15-18 3 menor primo positivo que divide 
15 e 18 
 ⏟ 
Primos 
 entre siNão há mais primo positivo 
divisor de 5 e 6, 
 então o processo termina. 
 __________ 
 
 ( ) 
 
Vimos que 60 e 72 , portanto no mdc(60,72) = 
aparecem os primos que estão presentes nas duas decomposições, elevados ao menor 
expoente com que aparecem. 
 
 Relacionando o mdc e o mmc, temos a seguinte igualdade ( ) 
 ( ) , para quaisquer a e b inteiros positivos. 
 
Atividade 6: 
a) Encontre: i) mdc(124,328) ii) mdc(124,328,1200) 
 iii) mdc( ). 
Matemática Básica Unidade 2 
15 
 
b) Um terreno retangular mede 300m por 135m e será dividido em lotes quadrados 
iguais com a maior área possível. Qual é o comprimento de cada lote? Quantos lotes 
formaremos? 
c) Senhora Delícia, dona de uma fábrica caseira de bolos, recebeu a seguinte 
encomenda: 24 bolos de chocolate, 36 de laranja e 48 de maracujá. Porém, no pedido 
havia a seguinte exigência: os bolos devem ser postos em embalagens contendo o 
mesmo número de bolos de cada tipo e a menor quantidade possível de bolos em cada 
embalagem. Como podemos ajudar a nossa confeiteira a não perder a encomenda? 
Quantas embalagens serão usadas? Quantos bolos de cada tipo serão postos em cada 
uma? 
d) Um terreno retangular tem 144m de comprimento e 112m de largura. Esse terreno foi 
cercado com coqueiros mantendo-se a mesma distância entre dois coqueiros 
consecutivos. Sabendo que plantamos um coqueiro em cada canto do terreno e que a 
distância entre dois coqueiros consecutivos é a maior possível, determine quantos 
coqueiros foram plantados no terreno. 
 
Divisão Euclidiana 
 Antes de apresentarmos o algoritmo da divisão, vamos trabalhar um exemplo 
para que a noção fique clara. 
Exemplo: Existem várias maneiras de escrever o número 35 usando multiplicações por 
4, observe: 
35 = 2 × 4 + 27, 35 = 3 × 4 + 23, 35 = 4 × 4 + 19, 35 = 5 × 4 + 15, 35 = 6 × 4 
+ 11, 35 = 7 × 4 + 7, 35 = 8 × 4 + 3, 35 = 9 × 4  1, 35 = 10 × 4  5, (temos 
também multiplicações por negativos) 35 = 2 × 4 + 43, 35 = 3 × 4 + 47, ... 
Porém, há uma única forma de escrever 35 como um produto entre 4 e um número 
inteiro mais um outro inteiro r ( o resto) não negativo e menor do que 4 (0  r < 4). É 
conforme a expressão acima grifada de amarelo. Esse fato é verdadeiro no caso geral, e 
é o que nos atesta o Teorema a seguir. 
 
 
Matemática Básica Unidade 2 
16 
 
 
A divisão euclidiana: 
Dados a, b  , b > 0, podemos escrever a, de forma única, como um produto 
entre b e um número inteiro q mais um resto r, onde r é não negativo e menor do que b 
(a = q × b + r, onde 0  r < b). 
 q é dito o quociente, b o divisor, a o dividendo e r o resto da divisão de a por b. 
 Se r = 0, então a é múltiplo de b. E reciprocamente, se a é múltiplo de b, então r 
= 0. 
Exemplo 3: 
a) A divisão euclidiana de 23 por 6 é 23 = 3 × 6 + 5, pois temos o resto r = 5 
satisfazendo 0  r < 6. 
b) A divisão euclidiana de a = 23, tendo como divisor b = 6, é dada por 
 23 = (4) × 6 + 1. 
Neste caso temos q = 4, pois decompondo segundo a divisão euclidiana, o resto deve 
ser não negativo. 
c) Qualquer número ímpar, n, pode ser escrito na forma n = 2×q + 1, pois se n não é 
divisível por 2 então o único resto possível na divisão de n por 2 é 1 
d) Podemos efetuar uma divisão euclidiana a partir da representação gráfica dos 
números inteiros. Por exemplo, vejamos como fica a divisão euclidiana de 25 por 3. 
 
Atividade 7: 
a) Faça a divisão euclidiana de 46 por 6. 
b) Faça a divisão euclidiana de 46 por 6. 
c) Se um inteiro a deixa resto 6 na divisão por 7 e b deixa resto 2 na divisão por 7, 
determine o resto de na divisão por 7. 
 
Exemplo 4: Vejamos uma forma de representação geométrica da divisão euclidiana para 
números inteiros não negativos. Veja se ela ajuda a entender melhor este tipo de divisão. 
Matemática Básica Unidade 2 
17 
 
Sabemos que 20 = 4  5. Geometricamente, isto é equivalente à construção de um 
retângulo formado por 20 peças, sendo que um lado é formado por 4 peças e outro por 
5. Veja o desenho. 
 
Será que 22 pode ser transformado num retângulo com um dos lados formado por 5 
peças? É imediato verificar que ao colocarmos mais uma fila de cinco peças no 
retângulo acima teremos um retângulo com 25 peças, número que ultrapassa o valor 22. 
Veja a tentativa de montar um retângulo com 22 peças e com filas de 5 peças. 
 
A única coisa que podemos concluir é que com 22 peças só podemos montar um 
retângulo com fileiras de 5 peças e mais um resto de 2 peças, ou seja, 22 = 45 + 2. 
Seguindo este padrão de construção de retângulos, deve ser fácil perceber que, dado 
qualquer número a  , temos a divisão euclidiana, a = q  5 + r, onde r é tal que 0  r 
< 5. Nesta divisão, q representa o número de filas de 5 peças e r é a quantidade de peças 
que sobraram sem preencher uma fila, e que só pode ser menor do que 5. Bom, o valor 5 
aqui só foi usado para exemplificar, é claro que vale a representação geométrica para 
qualquer divisor b > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Básica Unidade 2 
18 
 
Comentários finais 
 A princípio, o conjunto dos números inteiros é simplesmente uma ideia 
matemática que ajuda com a noção estendida de contagem, permitindo a contagem 
regressiva, para trás, e sem limites, pois este conjunto não contém um menor elemento. 
Esta é uma visão mais prática da questão. Do ponto de vista matemático, adotar o 
conjunto dos números inteiros significar operar a subtração sem restrições, o que 
implica na garantia de solução para equações do tipo x + a = b, com x representando a 
incógnita. 
 O assunto de estudo da próxima unidade é uma nova extensão numérica, o 
conjunto dos números racionais. Do ponto de vista matemático, este conjunto permite 
operar a divisão sem restrições, o que acarreta na garantia de solução para equações do 
tipo ax + b = c, com a  0 e x representando a incógnita. Contudo, este novo conjunto 
matemático tem influência direta em questões práticas, como, por exemplo, a questão de 
comparação de medidas obtidas de unidades de medidas diferentes. 
 Mas, antes de passar para a próxima unidade, é importante que o aluno tenha 
domínio na fatoração de números inteiros, além de saber calcular mmc e mdc. É 
interessante também que se entenda bem a divisão euclidiana. 
 
 
Exercícios complementares 
1) Qual o menor número inteiro positivo que devemos somar a 4786 para obtermos um 
múltiplo de 13? 
2) Encontre as soluções inteiras da equação a
2
.b = 1575. 
3) Determine os números inteiros positivos cujos únicos divisores primos são 7 e 11 e 
que possuem exatamente 15 divisores positivos diferentes de 1. 
4) Prove que todo inteiro que deixa resto 5 na divisão por 6, deixa resto 2 na divisão por 
3. 
5) Prove que o quadrado de um inteiro é da forma 3k ou 3k + 1, ou seja, o resto da 
divisão do quadrado por 3 só pode ser 0 ou 1. 
6) Qual é o resto da divisão de ( ) por 2? 
7) Qual é o resto da divisão de ( ) por 5? 
 
Matemática Básica Unidade 2 
19 
 
Respostas das atividades 
Atividade 1 
a) O símbolo + representa o conjunto dos elementos de que são positivos, isto é, 
 + = {1, 2, 3, ... }. 
Já o símbolo * representa o conjunto dos elementos de que são diferentes de 0, isto 
é, 
 * = {1, 2, 3, ... }. 
 Para a igualdade  = \ , devemos entender que \ representa o conjunto 
dos elementos que estão eme não estão em , ou seja, os elementos de \ devem 
pertencer ao conjunto { ... , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } e não podem pertencer ao 
conjunto {0, 1, 2, 3, ... }. Assim, \ * = {1, 2, 3, 4, ...} = . 
 Para a última igualdade, temos: 
 = { ... , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } 
 = {1, 2, 3, 4, ...}  {0}  {1, 2, 3, 4, ...} 
 =   {0}  +. 
b) * =   +. 
c) i. {n  : 4  n  2} 
 
ii. {n  : n  3} 
 
d) Se você tiver dúvidas, basta encontrar estes números na reta numérica. 
 
Assim, 13 < 1 e 13 < 2. 
e) Passaram-se 3500 anos antes do nascimento de Cristo e mais 2000 anos, 
aproximadamente, na nossa era. No total, o homem faz uso de numerais escritos há 
aproximadamente 5500 anos. 
f) 340 a.C. 
 
Atividade 2: 
a) {n  : n = km e k  } 
Matemática Básica Unidade 2 
20 
 
b) Temos, 5 = 1.5, 10 = 2.5, 15 = 3.5, 20 = 4.5, 25 = 5.5, 30 = 6.5, 35 = 7.5, 40 = 8.5, 45 
= 9.5, 50 = 10.5. Assim, encontrar os 10 primeiros múltiplos positivos de 10 é 
equivalente a contar de 5 em 5, a partir de 5. 
c) O número é 4. 
d) Temos 35 = 5.7, 42 = 6.7, 49 = 7.7, 56 = 8.7 e 63 = 9.7. A resposta em termos de 
conjuntos é {35, 42, 49, 58}. Na reta graduada, temos. 
 
(Este problema é simples e pode ser resolvido só por contagem, isto é, enumerando 
todos os múltiplos de 7 que estão entre 30 e 65, basta contar de 7 em 7. Mas, esta 
estratégia já não é muito interessante para números como o da próxima questão.) 
e) São os números inteiros do tipo 11k, onde 99 < 11k < 12504. Logo, 
 9 = 
11
99
 < k < 
11
12504
  1136,7 (é para usar a calculadora mesmo) 
 e, portanto, k representa um inteiro que varia entre 10 e 1136, o que corresponde a 1127 
múltiplos. 
f) Basta observar que ( ) onde Logo, os inteiros do 
tipo 4k + 2 são divisíveis por 2. 
g) Como 392 = 56.7, passaram-se 56 semanas. 
 
Atividade 3: 
a) i)792 ii)2625 iii) 5005 
b) i) ii) iii) 
c) 35 = e , portanto não há primos em comum nas duas 
decomposições. Logo, são primos entre si. 
d) Como , temos as seguintes soluções inteiras: a = 5 e b = ; a = 5 e b 
= ; a = 1 e b = ; a = 1 e b = . 
 
Atividade 4: 
Lista 1: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} 
Lista 2: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} 
Lista 3: {6, 12, 18} 
a) 6 é o menor número da 3ª lista e 18 é o maior número. 
b) Veja uma representação parcial de todos os múltiplos positivos de 2 e 3, 
respectivamente: 
Matemática Básica Unidade 2 
21 
 
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, ...}, 
{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, ...}. 
Uma lista parcial dos múltiplos em comum entre os múltiplos de 2 e de 3 é a 
seguinte: 
{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 75, 78, ...}. 
Note que podemos montar a terceira lista seguindo um padrão, mesmo sem ter as 
listas 1 e 2 completas. Por exemplo, basta notar que os múltiplos em comum 
aumentam de 6 em 6. Bom, é fácil perceber que esta lista tem um menor 
elemento, o 6, mas não terá um maior elemento. Sempre conseguimos um 
múltiplo em comum maior. Em particular, a terceira lista é infinita. 
 
Atividade 5: 
a) i) ( ) 
ii) Fatorando os dois números , obtemos: 
 ( ) ( ) 
iii) Fatorando os três números , obtemos ( ) 
b) A visita dos filhos coincidirá quando tiverem se passado um número de dias que é 
um múltiplo comum entre 15 e 18. Para sabermos quando será o próximo encontro, 
devemos calcular mmc(15,18) = 2 Logo, a visita dos dois coincidirá 
daqui a 90 dias. 
c) Sejam m e n esses inteiros positivos, então ( ) 
 . Assim, m e n são divisores positivos de 36, isto é, pertencem ao conjunto {1, 2, 3, 
4, 6, 9, 12, 18, 36}. O único par de divisores cuja soma é 30 é dado por 12 e 18, e ainda 
de fato mmc(12, 18) = 30. Logo, os números são 12 e 18. 
 
Atividade 6: 
a) i)mdc(124, 328) = mdc( , ) = 
ii) mdc(124,328,1200) = mdc( , ) = 
iii)mdc( ) = = 45. 
Matemática Básica Unidade 2 
22 
 
b) Para que tenhamos a maior área possível, a medida de cada lado dos lotes será dada 
pelo mdc(300, 135) = 15. Assim, o comprimento de cada lote é igual a 15m e 
formaremos 20 = 180 lotes. 
c) Para que cada embalagem contenha os 3 tipos de bolos, o número de embalagens 
deve ser divisor comum de 24, 36 e 48. E para termos em cada embalagem a menor 
quantidade de cada tipo de bolo, o número de embalagens deve ser igual ao 
mdc(24,36,48)=12. Em cada embalagem, teremos 2 bolos de chocolate, 3 bolos de 
laranja e 4 de maracujá. 
d) A distância entre cada coqueiro é dada pelo ( ) ( 
 ) Logo, foram plantados ( ) = 32 coqueiros. A 
seguinte ilustração pode ajudar a entender o problema. Por exemplo, se você não 
entendeu a fórmula que gerou a quantidade total de coqueiros, pode contar um a um no 
desenho. 
 
 
Atividade 7: 
a) Note que . 
b) Note que, como o resto é positivo, temos que ( ) . 
Matemática Básica Unidade 2 
23 
 
c) Usando o algoritmo da divisão podemos escrever e . 
Então, = ( 
 ) = onde q` é um número inteiro. Logo, o resto é 5. 
 
 
Respostas dos Exercícios 
1) Podemos escrever 4786 = 36813 + 2, donde 4797 = 4786 + 11 = 36813 + 2 + 11 = 
36913. Logo o menor inteiro positivo que somamos para obter um múltiplo de 13 é 11. 
2) Como , temos as seguintes soluções inteiras: a = 3 e b = ; a 
= 3 e b = ; a = 5 e b = 63; a = 5 e b = 63; a = 15 e b = 7; a = 15 e b = ; a = 1 e 
b = 1575; a = 1 e b = 1575. 
3) Um inteiro que só possui 7 e 11 como divisores primos é do tipo 
 e o número de divisores positivos desse número é ( ) ( ) 
já que para cada expoente de 7 de 0 a n, temos m + 1 divisores 
( , 
e analogamente para ). Assim, o número de divisores de 
positivos e diferentes de 1 é dado por ( ) ( ) Logo, ( ) 
( ) ( ) ( ) . Observe que as soluções inteiras 
dessa equação são : 
 Assim, os inteiros possíveis são 
 
4) Seja n um inteiro qualquer que deixa resto 5 na divisão por 6, então 
 `+5=3 ( ) , onde e 0<r=2<3. Logo, o resto é 2. 
5) Usando o Algoritmo da Divisão, um inteiro n é escrito como onde 
 . Então, ( ) ( 
 ) , onde pode ser igual a 0,1 ou 4. Se for 0, então o resto 
de na divisão por 3 será 0. Se for 1 ou 4 o resto de na divisão por 3 será 1. 
6) Observe que o algarismo das unidades de qualquer potência de 1001 é 1, formando 
um número ímpar, portanto o resto será 1. 
7) O algarismo das unidades de 1002 é 2, quando multiplicamos o 
algarismo das unidades é 4 e portanto o algarismo das unidades de 
( ) =( ) é resultante da multiplicação de 4 por 2, o que dá 8. Daí, 
Matemática Básica Unidade 2 
24 
 
( ) ( ) possui algarismo das unidades 6, pois . 
Observe que ( ) possui algarismo das unidades 2, pois resulta da multiplicação de 
6 por 2 . Assim, retornamos ao algarismo das unidades da base .Pelo visto acima, os 
algarismos das unidadesdas potências ( ) formam um ciclo de quatro algarismos 
que se repetem: 2,4,8,6,2,4,8,6,2,.... .Portanto, para sabermos qual será o algarismo das 
unidades de ( ) , basta encontrarmos o resto da divisão de 144 por 4, então 
 e 36 ciclos são completos. Logo, o algarismo das unidades de 
( ) é o 6 o que nos dá resto 1 na divisão por 5.