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Aula 1 - Múltiplos e divisores de um número
Para começar, é importante você lembrar que entendemos a multiplicação como uma adição repetida de um mesmo número. Veja:
Como você pode observar o número 5 indica quantas vezes o número 4 está sendo somado por ele mesmo. E o resultado dessa soma é igual a 20.
O número 4 aparece 5 vezes, então podemos escrever da forma de produto:
O termos 5 e 4 são chamados de fatores.
O resultado 20 é denominado de produto.
propriedades da multiplicação:
O que são então múltiplos? 
Os múltiplos de um número são os produtos desse número por 0, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, enfim, quantas vezes quisermos multiplicar.
Veja que representamos o conjuntos dos múltiplos de um número pela letra M(a), onde a é o número considerado.
Divisão
Divisão é a operação inversa à multiplicação.
O divisor é um número que divide um número. Indicamos por D(a), todos os divisores naturais do número a.
Exemplos:
D(6) = {1,2,3,6}
D(24) = {1,2,3,4,6,8,1, 12,24}
D(8) = {1,2,4,8}
Dicas importantes sobre os divisores:
a) O zero nunca será um divisor. 
b) O primeiro divisor de um número é 1.
c) O último divisor de um número é ele mesmo.
Aula 2 -Números primos e fatoração
Primos:
Um número natural é denominado primo quando:
– for maior que 1,
– for divisível somente por 1 e por ele mesmo.
Então se tivermos um número P, ele será primo se, e somente se, o número de divisores de P, for igual a 2.
Para você compreender melhor, vamos analisar se o número 11 é ou não um número Primo. Em primeiro lugar temos que determinar o conjunto de números naturais divisíveis por ele:
D(11) = {1,11}
Podemos dizer que o número de divisores de 11 é: n[D(11)] = 2 . Pois esse número tem somente dois divisores: 1 e 11.
Pense em uma pizza. Imagine que essa pizza tem um tamanho médio com 11 fatias e que você quer dividi-la com um grupo de amigos. A divisão não será exata independente da quantidade de pessoas. Uma amigo ficará com uma fatia a mais.
As possibilidades de termos a divisão exata dessa pizza é se apenas uma pessoa ficar com todas as fatias ou se dividirmos essa pizza para 11 pessoas.
Por isso, 11 é um número primo.
A condição necessária para identificarmos um número primo é que a divisão entre os números considerados seja inexata.
Os números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47…
Número composto
Se você dividir um número por outros números além de 1 e dele mesmo e o resultado for exato, você terá um número composto.
Sendo assim, “A” é um número composto, se e somente se, o número de divisores de A, ou seja
n[D(A)] > 4. (Maior que 4).
Para você entender melhor, vamos a um exemplo:
O número 12 é composto ou primo?
O conjunto dos divisores de 12 é: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Logo, temos n[D(A)] = 6 e o número 12 é composto pois é divisível por 6 números. E, 6 > 4.
Método de Erastóstenes
Os números primos ainda podem ser identificados pelo Método de Erastóstenes.
Erastóstenes de Cirene ( 276 a.C. – 194 d.C.) foi um astrônomo, matemático, geógrafo e filósofo (entre outras atividades) que viveu na Grécia Antiga, tendo também sido chefe bibliotecário na famosa Biblioteca de Alexandria.
Fatoração ou decomposição em fatores primos
Todo número composto pode ser fatorado ou decomposto num produto de fatores primos.
Decompor um número em fatores primos é o mesmo que reescrever esse número em forma de produto (multiplicação), onde todos os fatores desse produtos são primos.
Um exemplo simples: 12 pode ser escrito de diversas formas:
12 = 2 x 6 ( O número seis é composto.)
Temos que reescrever o número 6 através de um produto de números primos também:
12 = 2 x 2 x 3.
Essa é a decomposição em fatores primos do número 12.
Ainda podemos escrever os fatores que se repetem em forma de potência:
12 = 2² x 3. Pronto! Fácil, não é mesmo?
A regra para fatoração é simples:
dividimos o número composto pelo seu menor divisor primo.
O resultado pelo menos número primo seguindo os critérios de divisibilidade.
Continue a dividir até chegarmos ao resultado igual a 1.
Os divisores usados são escritos em forma de produto e temos a fatoração.
Aula 3 - Fatoração
Tipos de fatoração
Fator comum:
Dizemos que colocamos o fator que se repete em todos os termos da expressão em evidência, como mostramos no exemplo anterior. Quer mais um exemplo? Vamos lá!
Temos mais que um termo que se repete aqui. Vamos reescrever a expressão para você entender:
Reescrevemos a expressão toda em forma de produto e deixamos em vermelho os termos que se repetem nos dois termos da expressão. Agora é só colocar em evidência:
Agrupamento:
Para fatorar um polinômio por agrupamento temos que:
Identificar os termos que têm variáveis e números em comum.
Agrupar esses termos
Usar o método do fator comum.
Agrupar os fatores em comum.
Escrever em forma de produto.
Veja o seguinte polinômio:
Vamos descobrir os fatores comuns:
Agora vamos colocar os fatores comuns em evidência:
Precisamos agrupar os fatores em evidência:
Ainda temos um fator comum, vamos fatorar:
- Diferença entre dois quadrados:
Neste caso temos uma operação inversa aos produtos notáveis.
O produto notável em questão aqui é o produto da soma pela diferença e sua forma geral é: 
Um exemplo desse tipo de fatoração é 
Para resolver esse tipo de fatoração basta extrair a raiz quadrada de cada termo:
Agora é só colocar no formato inverso do produto notável:
E está pronta a fatoração dessa expressão.
Trinômio quadrado perfeito:
É o inverso do quadrado da soma ou o quadrado da diferença:
Como fazer:
Identifique o termo do meio como duas vezes o primeiro pelo segundo.
Identifique se é soma ou diferença.
Extraia a raiz quadrada do primeiro e último termo do polinômio.
Vamos para a prática?
O termo do meio é:
O sinal do termo do meio é negativo, isso é quadrado da diferença.
A raiz quadrada do primeiro termo é:
A raiz quadrada do último termo é:
Basta montar o produto notável:
Aula 4 -Métodos de MMC
“Para dois ou mais números existirão infinitos múltiplos comuns a esses dois números . O M.M.C será o menor desses infinitos múltiplos comuns.”
Para entendermos melhor o que isso quer dizer, vamos pensar em um exemplo. Determine o MMC entre 15 e 20:
O MMC entre dois números a e b é representado por MMC(a,b).
M(15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}
M(20) = { 20, 40, 60, 80, 100, 120, …}
Compare os dois conjuntos e procure o primeiro e menor múltiplo comum aos dois. Vamos marcar de vermelho nos próprios conjuntos
M(15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}
M(20) = { 20, 40, 60, 80, 100, 120, …}
Esse é o MMC (15, 20) = 60.
Como você pode ver, a comparação entre os conjuntos de múltiplos de dois números é um dos métodos de resolução com o MMC. Vamos estudar outros?
Propriedades do MMC
a) Múltiplos entre si:
Se dois números a e b forem múltiplos entre si ( são da mesma tabuada), o MMC entre esses números será igual ao maior deles.
MMC(a,b) = b
Exemplo: Calcule o MMC entre 4 e 12:
MMC(4,12) = 12
b) Números primos entre si:
Se dois números a e b forem primos entre si, o MMC entre eles será igual ao produto entre eles.
MMC(a,b) = a x b
Exemplo: Qual é o MMC entre 7 e 23?
MMC(7,23) = 7 . 23 = 161
c) Consecutivos:
Se dois números a e b forem consecutivos, o MMC entre eles será igual ao produto entre eles.
MMC(a,b) = a x b
Exemplo:
MMC (11,12) = 11 . 12 = 132
Métodos de calcular o MMC
a) Fatoração em separado:
Para o cálculo do MMC entre a e b, fatoramos os números em separado.
O MMC será o produto de todos os fatores primos, tomando sempre os maiores expoentes dos fatores comuns.
b) Fatoração simultânea:
Fatoramos todos os números ao mesmo tempo. O resultado da fatoração será o MMC entre eles.
Exemplo: Qual o MMC entre 12 e 34?
Aula 5 - Radiciação na Matemática
Na Aritmética aprendemos o conceito de Radiciação como sendo a operação inversa da Potenciação. Os seguintes exemplo geralmente são apresentados pelos professores de matemática:
E assim apresentamos a raiz quadrada de um número, onde o índice da raiz quadrada é 2, mas o costume é não aparecer no sinal de raiz.
Mas a definição geralda Radiciação é:
Quando estudamos as primeiras raízes, usamos o que chamamos de quadrados perfeitos. Esses números independente de seu sinal tem uma raiz quadrada exata e em módulo, isto é, uma raiz de valor positivo. Veja os exemplos:
Existe uma propriedade que diz que um número elevado ao mesmo índice da raiz, o valor da raiz é o próprio módulo do número. Por isso os exemplos dos quadrados perfeitos são válidos.
Operações envolvendo raízes:
I. Adição e Subtração:
As raízes devem ter o mesmo índice e mesmo radicando, isto é, essas raízes devem ser idênticas.
Assim podemos adicionar ou subtrair seus coeficientes (números que vem a frente do sinal de raiz). Observe os seguintes exemplos:
Subtração: Diminuímos os coeficientes e conservamos a raiz quadrada de 5.
Observe que operamos somente com os coeficientes e as raízes continuam as mesmas.
II. Multiplicação e Divisão:
As raízes devem ter somente o mesmo índice para que possamos multiplicar ou dividir seus radicandos. Veja o exemplo a seguir:
Multiplicação:
Multiplicamos os coeficientes, permanece o sinal de raiz e multiplicamos também dentro do sinal de raiz os radicandos.
Divisão:
Dividimos os coeficientes. Dentro do sinal de raiz dividimos os radicandos e pronto!
III. Potência de um expoente:
Esse caso é aquele que o radicando está elevado a um expoente, ou seja, em forma de potência. Nesse caso a raiz pode ser escrita em forma de potência com expoente fracionário. Exemplificando:
Note que o expoente da raiz tem o numerador como o expoente do radicando e o denominador é o índice da raiz. Essa propriedade é válida somente para radicandos positivos.
Propriedades:
1ª propriedade: Simplificação de radicais
Se multiplicarmos ou dividirmos o índice da raiz e o expoente do radicando por um mesmo número Natural e diferente de zero, o resultado da raiz não se altera.
Vamos dar um exemplo usando a multiplicação:
2ª propriedade: Produto de radicais de mesmo índice
Nesta multiplicação quando temos dois radicandos sendo multiplicados dentro de uma mesma raiz, podemos separá-los em duas raízes com o mesmo índice.
Olhe o exemplo:
3º propriedade: Divisão de radicais de mesmo índice
Na divisão, podemos colocar os dois radicando sendo divididos no mesmo sinal de raiz se tiverem o mesmo índice. Veja nosso exemplo:
4ª propriedade: Potência de uma raiz
Para elevarmos uma raiz a um expoente, basta elevar o radicando a esse expoente. Observe o exemplo:
5ª propriedade: Raiz de outra raiz
Para obtermos a raiz de outra raiz basta multiplicarmos os índices dessas raízes.
O exemplo mostra esse procedimento:
Conceito Geométrico da Radiciação:
A Radiciação tem sua origem da geometria. O símbolo da raiz quadrada surgiu para representar o cálculo do lado de um quadrado a partir de sua área.
O conceito da área de um quadrado é o produto do lado pelo lado, isto é lado ao quadrado:
O quadrado com lado l tem área:
Com um exemplo vai ficar tudo mais claro. Vamos a ele:
O símbolo de raiz cúbica foi criado para calcular a aresta de um cubo a partir de seu volume. Observe onde é a aresta do cubo na figura abaixo:
Aula 6 - Números negativos
Atualmente falamos muito em mudanças climáticas e a meteorologia nos dá uma ideia de como o clima vai se comportar. E, a maior preocupação em relação a esse assunto está relacionada às médias de temperaturas.
Em alguns lugares do planeta, é interessante que essas temperaturas permaneçam baixas e, para demonstrá-las, em geral usamos um sinal negativo em frente ao número e sua unidade, como – 1°C.
Em Urupema, cidade serrana de Santa Catarina, as médias de temperatura no inverno são bastante baixas. Como por exemplo, o dia 04 de junho de 2019, onde as temperaturas chegaram a – 1°C, possibilitando o surgimento de neve.
Perceba que o sinal negativo na frente do número 1 já te dá uma ideia de que está muito frio naquele determinado local, não é mesmo? Podemos dizer que está congelante!
No setor de finanças temos outro exemplo onde os números negativos são úteis, especialmente quando tratamos de conceitos como débito e saldo. Quando fazemos uma compra em débito já sabemos que o dinheiro saiu de nossa conta, pois no extrato bancário há a um número negativo para representar o pagamento.
Isto é, se pagamos uma almoço de R$25,00 com cartão, esse dinheiro será descontado da conta. Teremos – 25 reais na conta. E quando a gente gasta demais e extrapola a quantidade de dinheiro que temos na conta?
Se temos limite no cheque especial, ficamos devendo para o banco. Esse débito é registrado em nosso extrato através de um número negativo.
Nos esportes, podemos perceber números negativos “traduzindo” diversos quesitos. Quando mergulhamos, por exemplo, podemos contar como referência o mar sendo nosso marco zero e, cada metro que mergulhamos, podemos representar como um “metro negativo” na nossa escala de referências.
Se você mergulhou 15 metros, por exemplo,  podemos expressar isso como –15 metros.
Conjuntos numéricos
Existem muitos conjuntos numéricos, porém podemos afirmar que números só existem três tipos: positivos (+), zero (0) e negativos (–)
O zero é nosso ponto de referência, de equilíbrio e a partir dele podemos medir para sua direita ou para sua esquerda. Os números negativos e positivo podem ser simétricos.
Simétrico quer dizer que tem a mesma medida a partir do ponto zero.
Observe a reta numérica:
Teoria dos conjuntos
Primeiramente, vamos observar como a teoria dos conjuntos está presente em nossas rotinas. Em nossa rotina, temos a tendência de selecionar coisas para depois organizar. Em geral, agrupamos nossos pertences por uma característica que eles têm em comum. Além disso, classificamos ou damos nome a esses grupos.
Um exemplo: algumas pessoas organizam seus materiais escolares agrupando canetas, lápis, lapiseiras em um estojo. Esse estojo pode ser um conjunto de materiais de escrever.
Do mesmo modo, colocamos diversos cadernos em uma pilha e livros em outra. Assim, organizamos nossos materiais em diversos conjuntos.
Com isso podemos afirmar que:
Um conjunto é um agrupamento de elementos.
A simbologia dos conjuntos
Os conjuntos normalmente são representados por letras maiúsculas e os elementos são delimitados por chaves ou diagrama de Venn.
Em primeiro lugar, vamos ver alguns exemplos de conjuntos representados através de chaves:
Cores primárias: C = {amarelo, azul, vermelho}
Dinheiro brasileiro: D = {centavos, real}
Flores: F = {rosa, violeta, sempre-viva, amarílis, cravo, …}
Sob o mesmo ponto de vista, vamos ver agora exemplos de representação de conjuntos com diagrama de Venn. Esse diagrama é facilita a visualização da teoria dos conjuntos:
O diagrama de Venn é uma linha fechada que pode ter qualquer forma. Ele serve para delimitar os elementos.
Conjuntos especiais:
Bem como a representação através de chaves e o diagrama de Venn, você precisa entender dois tipos de conjuntos especiais:
a) Conjunto vazio: é um conjunto sem elementos e é representado por { } ou ∅.
b) Conjunto unitário: é um conjunto que tem um único elemento. Ex: A = {10}.
Além disso, é importante que você saiba que existe uma relação entre conjuntos e elementos que denominamos Relação de Pertinência.
Relação de Pertinência- teoria dos conjuntos
Antes de mais nada, vamos definir o que é relação de pertinência. Essa relação analisa se um elemento pertence ou não a um conjunto.
Quer um exemplo? Vamos construir um conjunto de números naturais ímpares menores que 20:
Sabemos que os números naturais são aqueles que usamos para a contagem:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 …
Esse é um conjunto infinito.
Tirando os números ímpares menores que 20, temos um novo conjunto que vamos chamar de I:
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
Até agora, selecionamos, agrupamos e classificamos. Se alguém perguntar a você se o número 10 pertence ao conjunto I, o que você responderia?
Não, 10 não pertence ao conjunto I. Isso porque o número 10 não é um número ímpar, logo ele não está dentro do conjunto I.
E o número 13 pertence ao conjunto I? Sim, porqueele é um número ímpar menor que 20.
Em suma, essa é a análise da Relação de Pertinência que faz a relação entre elementos e um conjunto.
Linguagem matemática dos conjuntos numéricos
Assim como a compreensão da simbologia dos conjuntos, é necessário que você saiba sua linguagem matemática. Como podemos escrever a frase 10 não pertence ao conjunto I na linguagem matemática? Podemos escrever essa expressão: 10 ∉ I.
O símbolo ∉ indica não pertence.
Sob o mesmo ponto de vista, como podemos escrever, na linguagem matemática, a frase 13 pertence ao conjunto I? Escrevemos assim: 13 ∈ I.
O símbolo ∈ significa pertence.
O que são subconjuntos?
Vamos falar da Relação de Inclusão propriamente dita? Anteriormente, temos que mostrar o que é um subconjunto.
Em primeiro lugar, para entender o que são subconjuntos, observe o exemplo anterior (aquele que vimos no item Relação de Pertinência). Vamos definir que o conjunto dos números naturais é o conjunto a ser analisado. Dessa forma, o conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares são subconjuntos do conjunto dos números naturais.
Logo, subconjuntos são pequenos conjuntos formados com os elementos do conjunto maior que denominamos Universo.
De acordo com o que vimos acima, vamos representar esses conjuntos em linguagem matemática:
a) Conjunto dos números naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9…}
b) Conjunto dos números pares: P = { 0, 2, 4, 6 …}
c) Conjunto dos números ímpares: U = {1, 3, 5, 7, 9…}
d) Conjunto dos números ímpares menores que 20:
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
Os conjuntos dos itens b) c) d) são subconjuntos do conjunto dos números naturais. E são apenas alguns exemplos dos infinitos subconjuntos que se originam do conjunto maior.
Relação de Inclusão – teoria dos conjuntos
A Relação de Inclusão analisa se subconjuntos estão dentro de outros conjuntos maiores.
Primeiramente, vamos aprender quais são os símbolos usados nas relações de inclusão são:
a) Contido: ⊂
b) Não está contido: ⊄
c) Contém: ⊃
d) Não contém: ⊅
Operações com conjuntos numéricos
Importante: Quando formos efetuar uma operação com um conjunto numérico, na verdade estamos realizando uma operação com os elementos desse conjunto.
Vamos ver agora cada uma das operações com conjuntos numéricos, separadamente.
União de conjuntos
Para calcular a união de dois ou mais conjuntos basta fazer o que o próprio verbo nos diz: unir os elementos de um conjunto com os elementos do outro. Ou seja, o conjunto união é formado pelos elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.
O conjunto União é representado pelo símbolo U. Veja os exemplos:
· Exemplo 1: Dados os conjuntos A = {3,4,5,6} e B = {8,9,10,11} , represente a união entre os dois conjuntos.
Resposta: o conjunto da união de A e B vai ser representado por A U B, e seus elementos serão todos os elementos de A e todos os elementos de B:
· Exemplo 2: Gabriela e Marina estão estudando para o vestibular, Gabriela está estudando o conjunto de matérias H = {História, Filosofia, Geografia, Química}, enquanto Marina está estudando o conjunto de matérias I = {Inglês, Química, Matemática, Física}. Se forem estudar juntas, qual será a união de todas as suas matérias?
Resposta: Iremos representar por H U I a união de todos os elementos (matérias que estão sendo estudadas). Logo:
H U I = {História, Filosofia, Geografia, Química, Inglês, Matemática, Física}
Atenção! Você percebeu que Química, apesar de aparecer nos dois conjuntos, apareceu uma única vez no conjunto união? Lembre-se desta propriedade, no caso de um elemento se repetir nos dois conjuntos, no conjunto união só aparecerá uma vez.
Intersecção de conjuntos
Embora a união de conjuntos se assemelhe bastante com a soma, a intersecção é bem diferente. Para realizar a intersecção entre dois conjuntos, devemos considerar os elementos que aparecem em ambos conjuntos e descartar os elementos que não são comuns aos dois.
A intersecção é representada pelo ∩, símbolo inverso da união.
· Exemplo 1: Dados os conjuntos I = {1,3,5,7,9,11,13,15} e P = {2,3,5,7,11,13} , apresente a intersecção ∩ entre os dois conjuntos.
Resposta: podemos verificar que os elementos que se repetem nos dois conjuntos são os numerais 3, 5, 7, 11, 13. Já os numerais 1, 9, 15 e 2 só aparecem em um conjunto. Logo, o conjunto Intersecção será dado por:
I ∩ P = {3,5,7,11,13}
· Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {-4, – 3, -2, -1, 0} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, apresente a intersecção ∩ entre os dois conjuntos.
Resposta: Perceba que o único elemento que se repete em ambos conjuntos A e B é o elemento 0, logo a intersecção entre A e B será dada por:
A ∩ B = {0}
Diferença de conjuntos
Para calcular a diferença entre dois conjuntos é preciso prestar atenção na ordem em que os conjuntos são apresentados. Ou seja, devemos efetuar a diferença de um conjunto A por um conjunto B é representar no conjunto final A – B, todos os elementos de A que não pertencem ao conjunto B. Na verdade, o que acontece é que eliminamos os elementos correspondentes aos dois conjuntos. Veja o exemplo numérico para sintetizar:
· Exemplo 1: Dados os conjuntos X = {5,10,15,20,25,30,35,40} e Y = {10,20,30,40} , a diferença entre os conjuntos, dada por X-Y é dada por:
Resposta: Temos X = {5,10,15,20,25,30,35,40} – Y = {10,20,30,40} e os elementos que se repetem são 10, 20, 30, 40, logo:
X – Y = {5,15,25,35}
· Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {-3, -2, -1} e B = {-7, -6, -5, -3}, B-A é igual a:
Resposta: esse exemplo nos faz perceber como a ordem dos conjuntos é importante, além do mais, os elementos que aparecem em A e não aparecem em B não são considerados aqui. Então, o resultado de B-A é:
B – A = {-7, -6, -5}
Características dos números negativos
Nos textos e problematizações eles aparecem simbolizados por algumas palavras como débito, decréscimo, abaixo de, profundidade, perda, queda, desconto etc.
Assim se num enunciado aparecer números sem sinais, você vai identificar o sinal por palavras como as citadas acima.
Exemplos:
a) A Bolsa de valores teve uma queda de 20 por cento: – 20%.
b) A queda daquele homem foi de 15 metros. – 15 m.
c) A camisa custava R$ 120,00 e teve um desconto de R$ 50,00 porque paguei a vista:
120 – 50 =70.
Comparando números negativos com os números positivos:
Quando você quiser comparar dois números em termos de quantidade usamos os símbolos > ( maior),  < (menor) ou igual.
No conjunto dos números Inteiros existem números negativos, o zero e os números positivos (que podem conter ou não um sinal de + antes do algarismo).
Na reta numérica, vimos que os números positivos de mesmo algarismo são simétricos, isto é sua distância até o número zero é a mesma.
Só que seus valores são diferentes, pois um número negativo é menor que um número positivo.  Se compararmos alguns números da reta mais acima, usamos os símbolos de menor, maior ou igual. Veja os exemplos a seguir:
3 é maior que – 2, em linguagem matemática podemos dizer que 3 > – 2.
Para explicar esse pensamento matemático, usamos um exemplo sobre dinheiro pois é melhor ter 3 reais do que dever 2 reais. Dívidas sempre são simbolizadas com sinal negativo.
Outro exemplo:
– 1 é maior que –  3  ou –  1 > –  3, pois um número negativo é maior quando está mais próximo do zero na reta numérica.
Essa mesma expressão podemos escrever da forma inversa: – 3 é menor que –  1, isto é,  –  3 < –  1.
Quanto mais afastado o número negativo estiver do zero, na reta numérica,  menor valor ele terá.
Operações com números negativos
a) Adição e Subtração:
Dizemos que existe uma regra de sinais para tudo em Matemática, porém nesse caso específico as pessoas se confundem ao resolver problema envolvendo números negativos.
Neste caso, a análise da resolução é o mais importante. Entenda que se somarmos duas dívidas essa dívida aumenta e não diminui.
Se o número negativo representa perdas, dívidas, decréscimos entre outros termos que já vimos, ele indica que houve sempre uma dívida.
Olhe o exemplo: Juan fez um empréstimo com o Banco de R$ 15 000,00. Não conseguiu pagar as prestações acordadas e fez outroempréstimo de 35 mil.
Juan está ganhando ou perdendo dinheiro? Sem contar os juros, correções e outras taxas, quanto Juan está devendo ao Banco agora?
– 15 – 35= – 45.
Você deve ter somado sem levar em conta o sinal, não é mesmo? Está correto. O sinal representa que esse rapaz está falido. Está com duas dívidas somadas.
A adição tem um conceito semelhante: Se você tem R$ 1 300,00 e gasta R$ 900,00, quanto que você ficará de saldo? 1300 – 900 = 400.
Mas, e se você recebeu o mesmo R$ 1300, 00 no mês e teve que comprar muitas coisas em seu cartão de crédito e a fatura veio com o valor de R$ 1500,00? Com certeza você vai gerar uma dívida de no mínimo:
1300 – 1500 = – 200.
Como a gente faz esse cálculo?
1500 – 1300 = 200, mas sabemos pelo exemplo que você ficou devendo, não é mesmo? Então temos que colocar o sinal negativo.
b) Multiplicação e Divisão
A multiplicação com números negativos é igual a multiplicação com números naturais, o que muda é a famosa regra de sinais.
Se multiplicarmos números de mesmo sinal o produto entre eles tem sinal positivo.
Se multiplicarmos números de sinais diferentes o produto entre eles tem sinal negativo.
Aí vem aquela tabelinha que fica na cabeça da gente e queremos aplicar a tudo:
A aplicação dessas regras é muito mais simples do que somar ou subtrair números negativos, mas cuidado para não confundir as regras das operações.
A divisão se comportará da mesma forma que a multiplicação e, por isso usamos as mesmas regras e tabelas.
Vamos dar uns exemplos para que você relembre essas operações:
a) (– 15) . (+ 3) = – 45
b) ( – 18) . ( – 3) = + 54 = 54
c) ( – 144) : ( –12) = +12 = 12
Aula 7 - Adição, subtração, multiplicação e divisão de Frações
A fração ou número fracionário é uma forma diferente de representar um quociente. Dizemos que uma fração é uma pequena porção de um todo e é representada por:
Veja a imagem abaixo:
Observe que as três imagens são idênticas em tamanho forma e cor. O que difere uma da outra é o número de divisões que elas têm.
Se compararmos as três frações ou simplificarmos teremos o mesmo valor, então dizemos que essas frações são equivalentes.
Podemos concluir que:
“Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de zero, essa não se altera e as frações assim obtidas são chamadas de equivalentes.”
Operações com frações:
Adição e subtração
Temos dois casos que envolvem essas operações:
Frações com o mesmo denominador
Nesse caso adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos os denominadores. Isso é importante:
Nunca se soma ou subtrai denominador de uma fração.
Veja o exemplo:
Frações com denominadores diferentes
Nesse caso devemos realizar o MMC entre os denominadores.
A regra é dividir o denominador pelo MMC e multiplicar pelo numerador em cada fração.
Veja o exemplo:
Multiplicação entre frações:
Multiplicamos numeradores com numeradores e denominadores com denominadores. Observe:
Neste caso ainda podemos simplificar o resultado, isto é, achar seu equivalente:
(24 ÷12)/(60÷12)=2/5
Divisão entre frações:
A divisão de frações deve ser transformada em uma multiplicação: conservamos a primeira fração e invertemos a segunda.
Veja o exemplo:
Nesse caso, simplificamos as frações antes de continuar a multiplicação. Treine que fica muito fácil!
Potências e Raízes:
As potências e raízes são inversas e, por isso veremos as duas num mesmo tópico.
Para elevarmos uma fração a um expoente, elevamos o numerador e também o denominador.
Aqui vai um exemplo:
Para extrair uma raiz de uma fração, extraímos tanto do numerador como o denominador. Veja abaixo:
Aula 8 - Números mistos
Os números mistos surgiram a partir do estudo dos números racionais. Esses números são obtidos pela razão (divisão) entre dois números inteiros.
Por exemplo, os canos hidráulicos em alguns locais ainda são vendidos em polegadas. Um cano pode ter uma polegada e meia, duas polegadas e três quartos ou três polegadas e um quarto. Outro exemplo desse tipo de medida são os fios que são usados nas instalações elétricas. Se não tivermos as informações corretas é difícil acertar na compra desse material.
Um tipo de número racional é a fração. Com ela podemos representar as partes que um inteiro é dividido.
Tipos de frações
a) Fração Própria:
Uma fração é própria quando representa uma quantidade menor que 1(um) e apresenta o numerador menor que o denominador.
Exemplos:
b) Fração Imprópria:
A fração imprópria representa uma quantidade maior que 1(um) e o numerador é maior que o denominador.
Exemplo:
c) Fração Aparente:
A fração aparente tipo especial de fração imprópria. Essa fração representa uma quantidade inteira e o numerador é múltiplo do denominador.
Exemplos:
Imagine que você vai fazer um bolo através de uma receita. Nessa receita aparecem os ingredientes:
3 xícaras de farinha de trigo,
1 xícara de açúcar,
1 ovo,
1 colher de café fermento em pó ,
1 1/3 de manteiga.
O que quer dizer 1 1/3 de manteiga? Quer dizer que você precisa de um tablete inteiro de manteiga. E outro tablete você deve cortar em três pedaços iguais e usar só um.
Então, número misto é composto de um número inteiro mais uma fração. Esse número é originado de uma fração imprópria.
Como transformar números mistos em um frações impróprias?
Podemos transformar um número misto em fração imprópria com poucos cálculos. Observe:
1º ) Multiplicamos o denominador da fração pelo número inteiro.
2º) O resultado da multiplicação(produto) é adicionado ao numerador da fração.
Aqui determinamos o valor do numerador da fração imprópria.
3º) O denominador ficará o mesmo da fração inicial do número misto.
Como transformar a fração imprópria em número misto?
Para transformar a fração imprópria em um número misto basta dividirmos o numerador pelo denominador da fração. Veja abaixo:
Você deve entender o seguinte:
1º) O quociente da divisão é o número inteiro do número misto.
2º) O resto é o numerador da fração.
3º) O denominador continua o mesmo.
Aula 9 - Números decimais
Alguns exemplos básicos são os que lidamos dia a dia como os preços dos alimentos, gasolina, gás, medicamentos e uma lista sem fim de produtos que são vendidos sempre com valores decimais.
Mas nem sempre um número decimal é representado através da vírgula e casas decimais, já que um número inteiro também faz parte desse conjunto de números. Veja que o peso de um saco de arroz de 5kg pode ser expresso em reais e ser um número inteiro como 13 reais ou R$ 13,00.
Entenda que a função da vírgula é a de separar a parte inteira da parte decimal.
Fração Decimal:
Observe os denominadores das frações apresentadas e veja que o que elas têm em comum são seus denominadores múltiplos de 10.
Para transformar números decimais em frações decimais, devemos escrever no numerador o número decimal sem a vírgula e, no denominador, o algarismo 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais esse número tem. Vamos a alguns exemplos?
Você pode perguntar: e como faço para transformar frações em números decimais? Nesse caso, as frações decimais podem ser transformadas em números decimais escrevendo o numerador da fração com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Vamos a alguns exemplos:
Veja que esse número dado tem 3 casas decimais, isto é, três algarismos após a vírgula. Então, o 
denominador será o algarismo 1 seguido de 3 zeros.
Neste caso, temos uma parte inteira que é o algarismo 1 seguido de duas casas decimais. Escrevemos no numerador da fração todo o número dado sem a vírgula. No denominador colocamos o algarismo 1 seguido de dois zeros. ( que correspondem às duas casas decimais.)
Números decimais e frações equivalentes:
Podemos também transformar um número decimais em várias frações equivalentes. Observe esse exemplo:
Se multiplicarmos o numerador e o denominador da fração acima sempre por 10, temos:
Assim, encontramos algumas frações equivalentes, porque essa multiplicação pode ser infinita. O que nos interessa é mostrar que se dividirmos cada uma delas retornaremos a seu valororiginal que é 2, 25.
Sempre encontraremos o mesmo valor. Essa é uma propriedade importante dos números decimais.
Dica: Para relembrar das potências de dez acesse o artigo: Potências de dez – Revise Matemática.
Adição e Subtração com números decimais:
Para adicionarmos ou subtrairmos dois números decimais precisamos lembrar que:
· Esses números têm que ter a mesma quantidade de casas decimais, para isso temos que colocar zeros para completar as casas decimais dos números que tem menos,
· As vírgulas devem ser colocadas umas embaixo das outras,
· Agora basta somar ou subtrair normalmente, mantendo a vírgula no mesmo alinhamento.
Observe o exemplo: 17,321-13,9=
Precisamos armar esse cálculo:
Veja que colocamos zeros na segunda parcela da adição para que ficasse com 3 algarismos após a virgulas ou seja 3 casas decimais. Então 17,321-13,9=3,421
Multiplicação
A multiplicação entre números decimais, precisamos multiplica-los como se fossem números inteiros. Após obtermos o resultado, contamos tantas casas decimais da direita para a esquerda. Essas casas decimais devem ser iguais a soma do número de casas decimais do primeiro número com o número de casas decimais do segundo número (fator).
Vamos mostrar um exemplo:
8,2×5,25=
O primeiro fator (81,2) tem uma casa decimal enquanto o segundo fator (5,25) tem duas casas decimais, logo o produto (resultado) deve ter 1 + 2 = 3 algarismos após a vírgula.
Após a multiplicação contamos de trás para a frente o número de casas decimais e colocamos a vírgula a frente da última casa contada, que nesse caso é o número zero. Então 8,2×5,25=43,050
Divisão
A divisão entre números decimais depende de alguns detalhes:
· Se o número de casas decimais dos números que serão divididos não for igual temos que igualar acrescentando zeros;
· Após igualarmos as casas decimais nos livramos das vírgulas;
· Dividimos normalmente como aprendemos com números inteiros.
Acompanhe o exemplo:
Aula 10 - Como mudar números da forma decimal para fração
Primeiro caso: decimais exatos ou decimais finitos
Os números decimais exatos são os que apresentam um número exato de casas decimais (casas depois da vírgula). São os mais fáceis de identificar e também os que mais se apresentam no nosso cotidiano. Veja os exemplos:
1. 0, 8
2. 0, 5
3. 3, 45
4. 1, 012
5. 52,1
Para transformar os decimais exatos em fração, basta pensar na leitura em voz alta do número. Perceba que quando você lê 0,8 (lê-se oito décimos) fica fácil de imaginar como escrever em fração.
Então, seguindo essa lógica para os exemplos a. e b. temos:
1. 0,8 = 8/10 ou ainda “simplificando”, 4/5
2. 0,5 = 5/10 ou 1/2
Mas essa lógica não pode ser utilizada com os exemplos seguintes.
É importante lembrar que para toda a transformação de decimais exatos em frações, utilizamos primeiramente um denominador de base 10, fazendo somente depois as simplificações necessárias.
Nesses casos, o que vai determinar a potência do denominador da fração é o número de casas depois da vírgula. Já para o numerador basta “eliminar a vírgula”. Veja o exemplo:
· 3, 45
Temos duas casas depois da vírgula, logo o denominador será dez na potência 2.
Resolvendo os outros exemplos, temos:
· 1, 012
· 52, 1
Bem tranquilo né? Já podemos ir para o próximo caso.
Segundo caso: dízimas periódicas
Chamamos de dízima periódica os números decimais que possuem algum tipo de repetição depois da vírgula. Pode ser a repetição de um ou mais algarismos. Diferente do primeiro caso, as dízimas periódicas são infinitas. Além disso, elas podem ser simples ou compostas, veja os exemplos.
Exemplos.
· 0,33333… (período 3)
· 0,12121… (período 12)
· 2,33333…. (período 3)
· 0,123232323… (período 23, não período 1)
Para efetuar essa transformação, a ideia é parecida do primeiro caso. Mas, aqui vamos utilizar o período como numerador e o denominador da fração será formado pelo número 9. O que vai determinar a quantidade de dígitos 9 é a quantidade de termos do período. Veja os exemplos.
· 0,333333
· 0,121212…
· 2,3333….
Aqui podemos reescrever 2,333… como 2 + 0,33333… Como já sabemos que 0,33333…= 1/3, então:
· 0,123232323…
Uma maneira simples de transformar em fração uma dízima periódica composta, é transformá-la em simples fazendo a seguinte operação:
E então resolvendo normalmente:
Caso você seja fã de fórmulas, existe uma que podemos utilizar para encurtar esse caminho, onde a fração de uma dízima composta é uma fração onde o numerador é a parte não periódica seguida do período menos a parte não periódica, e o denominador será tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quanto forem os algarismos da parte não periódica.
Exemplo:
Terceiro caso: dízimas não periódicas
As dízimas não periódicas são os chamados números irracionais, portanto não são transformadas em frações. São exemplos desses números:
Aula 11 - Operações com Números 
Soma
Cada uma das quatro operações com números decimais tem um macete para ser resolvido, vamos começar com a soma:
Exemplo 1.  O preço de um eletrodoméstico é de R$ 88,52 à vista. Mas pode ser parcelado, tendo um acréscimo de R$ 2,05 no valor total. Qual será o valor se eu optar pelo pagamento parcelado?
1. Podemos considerar que o numeral que está à esquerda da vírgula é o valor em reais, e o que está a direita, é o valor em centavos, logo temos que operar cada valor com o seu respectivo.
Fazemos isso escrevendo os numerais de forma que as vírgulas fiquem alinhadas e resolvemos normalmente:
Logo, o valor a ser pago será de R$ 90,57.
Subtração
Para a subtração, utilizamos a mesma lógica da vírgula abaixo de vírgula. Veja o exemplo.
Exemplo 2. Uma passagem de ônibus de Florianópolis para Porto Alegre custa R$ 135,26. Já se você optar por um desconto de estudante, pagará somente R$ 83,50. Neste caso, qual foi o valor do desconto obtido?
Escrevendo a equação alinhando as vírgulas, temos:
Este estudante obteve R$ 51,76 de desconto.
Importante: Muitas vezes os valores nas questões são apresentados de forma “arredondada”. Nestes casos, basta adicionar o número zero à esquerda do último número, não alterando o valor.
Exemplo 3. Efetue 13,90 + 3,3.
Multiplicação
Já o cálculo da multiplicação de números decimais é considerado mais simples por alguns.
Para isto, basta fazer o cálculo somente com os numerais, fazendo de conta que não existem as vírgulas. No resultado final, o número de casas decimais (casas á esquerda da vírgula) será a soma do número de casas decimais de cada fator. Veja o exemplo:
Exemplo 4. Um estudante gasta por dia R$ 2,09 com passagens de ônibus. Se o número de dias letivos for de 20 dias, qual será o valor gasto ao final do mês?
Eliminamos todas as vírgulas e calculamos a multiplicação com números inteiros.
Então, o valor gasto mensalmente pelo estudante é de R$ 41,80.
Divisão
Agora vamos trabalhar com a divisão de números decimais.
A ideia de “eliminar” as vírgulas também é utilizada no momento da divisão de números decimais. Porém antes de fazer isso, é preciso igualar o número de casas depois da vírgula de ambos os fatores. Veja o exemplo:
Exemplo 5. Ao fechar a conta na pizzaria o valor total deu R$ 58,2. Sabendo que eram 4 pessoas para dividir a conta, quanto cada uma irá pagar?
Primeiramente estruturamos, sabemos que o valor de R$ 58,2 tem que ser dividido por 4.
Perceba que o valor do resto é um número menor do que o valor do resto, nesses casos, acrescentamos uma vírgula á esquerda do quociente e o número zero á esquerda do resto.
Logo, cada uma das quatro pessoas irá pagar o valor de R$ 14,55.
Aula 12 - Dízimas Periódicas e Não Periódicas: simples e compostas
A palavra dízima vem do latim e significa “décima”. Na matemática, dízimas são números decimais. As dízimas podem ser:
· Finitas: são números racionais que tem um fim. Exemplo: 2,46.
· Infinitas: podem ser números racionais ou irracionais. Exemplo: 0,464646…
 
As dízimas infinitas podem ser classificadas como periódicas ou não periódicas:
a) Dizimas periódicas: são números decimais que pertencem ao conjunto dos números racionais.
Lembre-sede que número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros (com denominador diferente de zero), podendo apresentar ainda a forma decimal (casos em que não há resto).
b) Dízimas não periódicas pertencem ao conjunto dos números irracionais.
Números irracionais são números decimais infinitos e não periódicos, o que podemos concluir que não há um período. Por exemplo, o número Pi:
Outra coisa importante que precisamos lembrar sobre as dízimas periódicas é que elas são números formados por infinitos algarismos que se repetem periodicamente. E o número que se repete é chamado de período.
As Dízimas Periódicas são classificadas em Simples ou Compostas.
Observe os exemplos de Dízimas Periódicas Simples:
a) 1, 44444 – O período da dízima é 4.
b) 0,565656 – O período é 56.
Note que para reconhecermos o período, basta olharmos para o número que se encontra logo após a vírgula.
As Dízimas Compostas têm entre o período e a vírgula,  uma parte não-periódica.
a) 3,422222 – Note que após a vírgula temos o número 4 e, em seguida, o número 2 se repete várias vezes. Sendo assim, neste exemplo, o período é 2 e a parte não-periódica é 4.
b) 0, 256666 – Neste outro exemplo, o período é 6 e a parte não-periódica é 25.
Geratriz de uma dízima periódica
Fração geratriz de uma dízima periódica simples:
Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples, basta escrever a fração com numerador igual ao período e o denominador 9.
Exemplo: Transforme a Dízima Periódica Simples em uma fração Geratriz:
a) 0, 22222… =
O período da Dízima Periódica Simples é 2 então a fração geratriz é 2/9.
b) 0,151515151515…=
O período da Dízima Periódica Simples é 5, logo a fração Geratriz é 15/99.
Veja que o número de “números 9” no denominador é igual ao número de algarismos do período.
Fração geratriz de uma dízima periódica simples com período não-inteiro:
Quando a dízima apresentar um período não-inteiro, devemos separá-la em duas partes: inteira e decimal, somadas. Depois, transformamos a parte decimal em fração Geratriz de uma Dízima Periódica Simples e aplicamos a soma de fração para encontrar a solução final:
Exemplo: 1,4545 =
a) separamos em duas partes: inteira e decimal, somadas:
1 + 0,4545 =
b) Transformamos a parte decimal em fração Geratriz de uma Dizima Periódica Simples:
1 + 45/99  =
c) Somamos usando o M.M.C:
(99 + 45)/99 = 144/99
Encontramos a fração geratriz.
III. Fração Geratriz de uma Dízima Periódica Composta:
As dízimas compostas são convertidas em fração através de um método prático que forma a fração. Veja o passo-a-passo:
a) Para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador.
b) Para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.
Atenção! O antiperíodo é formado pelos algarismos antes do período.
c) Calcule o denominador do seguinte modo:
 Aula 13 - Transformação de potência de base dez em número decimal
Quando estudamos alguns assuntos da Física, Química, Biologia nos deparamos com alguns números representados com potências de base dez.
A Astronomia nos dá informações com valores muito grandes como a distância entre dois estrela e planetas, como a distância entre o Sol e Netuno que é de aproximadamente  4,5 . 109 Km.
No círculo amarelo temos um referência ao elétron. E ao átomo. Todos os nomes tem abaixo o tamanho em potências de 10.
Potência de base dez com expoente positivo
As potências na base 10 com expoentes negativos indicam grandezas muito grandes como a distância da Terra à Lua que tem em média 384.403 quilômetros ou 3, 85. 105 km, esse valor é o que usamos para resolver problemas da Física.
Para transformarmos uma potência de base 10 com expoente positivo em um número inteiro basta escrever o algarismo um precedido de tantos zeros indicar o expoente da potência.
Veja a tabela abaixo, com alguns exemplos.
 
Quando essa potência vem escrita em forma de produto, então escrevemos o número e colocamos tantos zeros quanto indica o expoente da base 10.
Veja o exemplo: 7 x 105 = 700000.
Se o número que antecede a potência de dez tiver uma vírgula, essa deve ser deslocada para a direita tantas casas decimais indicar o expoente da base 10. Veja o exemplo:
2,3456 x 10³ = 2345,6.
Observe que a vírgula se deslocou três casas decimais.
Potência de dez com expoente negativo
Números acompanhados por potências de dez com expoente negativos indicam medidas muito pequenas. Por exemplo temos a medida da carga do elétron que é de 1,6 . 10 -19 C.
Nesses casos de expoente negativo, contamos para a esquerda o número de casas decimais que indica o expoente. Observe:
235,65 x 10 -4 = 0,023565
Você percebeu que temos que ter quatro casas decimais, não é mesmo? Porém contando para a esquerda a partir da virgula temos somente 3 algarismos, neste caso devemos completar com zeros.
A gente diz que deslocamos a virgula para a frente 4 casas decimais.
Regra número 1:
Se o expoente da potência de base dez for positivo, a vírgula se desloca para a direita.
Vamos mostrar para você alguns exemplos:
a) 23, 42 98 . 10 +3 = 23429, 8
Contamos a partir da virgula 3 casas decimais e deslocamos  a vírgula.
b) 0, 000 5 . 10 + 5 = 50
Deslocamos a virgula para a direita 5 casas decimais.
Regra número 2:
Se o expoente da potência de base dez for negativo, a vírgula se desloca para a esquerda.
Vamos exercitar?
a) 23456789 . 10 – 6 =
Primeiro vamos descobrir a virgula. Nos números inteiros a virgula fica escondida. Vamos reescrever esse número:
23456789, 0 . 10 – 6 .
Vamos deslocar a virgula para a esquerda 6 casas decimais: 23456789, 0
A vírgula ficará entre o algarismo 3 e o 4.  Então:
23456789 . 10 – 6 = 23, 456789
Um prefixo métrico ou de SI é um nome que fica antes de uma unidade de medida. Esses prefixos são representados por potencias de 10 e indicam múltiplos ou submúltiplos da unidade em questão.
Na tabela 3, temos alguns exemplos desses prefixos e quanto cada um vale em potências de dez.
Em estudos da Física, esse prefixos aparecem em unidades de carga elétricas, distância entre cargas, planetas, no cálculo de forças elétricas e gravitacionais em forma de notação científica.
Os prefixos são muito usados para transformar medidas de modo rápido e prático. Veja alguns exemplos:
Transformar as unidades de medidas em  metro: 25 cm = 25 . 10 -2 m. Observe que mantivemos o número 25 e substituímos o prefixo c por 10 – 2.
A regra para o uso dos prefixos é essa: multiplique o valor da medida dada por uma potência de dez que corresponde ao prefixo que acompanha a unidade.
Vamos a mais alguns exemplos:
a) 3 mm = 3 . 10 -3 m = 3,0 . 10 -3 = 0, 003 m.
Neste caso, o expoente da base dez é 3 negativo e pela regra deslocamos a virgula três casas decimais para a esquerda. Lembramos que quando um número é inteiro podemos representá-lo na forma decimal: 3 = 3,0.
b) 5 dm = 5 . 10 -1 m = 5,0 . 10 -1 = 0,5 m.
No exemplo acima, o expoente da base dez é 1 negativo e pela regra deslocamos a virgula uma casa decimal para a esquerda. Lembramos que quando um número é inteiro podemos representa-lo na forma decimal: 1 = 1,0.
Aula 14 - Potência de dez
A potência de base dez é uma forma amigável de representarmos um número com muitas casas decimais ou muito grande.
A forma mais conhecida do conceito de Potência e apresentada por vários autores é:
Então uma potência na base dez tem a=10.
Veja os exemplos a seguir:
Como você pode perceber nos quatro primeiros exemplos, o expoente positivo indica que se trata da representação de um número inteiro, onde o algarismo 1 tem a seu lado tantos zeros quanto indica o expoente.
Isso quer dizer que se tivermos o número:
Pois 57 é o número de zeros ao lado do um.
Já quanto o expoente da base dez é negativo, como nos últimos três exemplos, indica que temos um número decimal e o expoente indica quantas casas decimais tem esse número.
Operações com potências na base 10:
Segundo Lezzi (2005) temos que conservar a base e somar os expoentes (algebricamente, isto é, respeitando a regra de sinais).
Veja os exemplosabaixo:
Na divisão de potências de mesma base, aprendemos que devemos repetir a base e diminuir algebricamente os expoentes. Lembro aqui que a fração é uma forma de representar a divisão também.
Esse último exemplo é uma forma de alertar a troca do sinal do expoente da potência que se encontra no denominador da fração.
As potências de base 10 não servem somente para expressar números grandes ou pequenos e facilitar cálculos matemáticos. Podemos também transformar unidades sabendo os valores de alguns prefixos. Veja a tabela abaixo:
Aula 15 - Notação científica: operações com decimais
Uma forma de representarmos a notação científica é:
Onde a letra N representa um número entre 1 e 10 e o expoente a representa o número de casas decimais que esse número possui.
Bem, vamos a um passo a passo para você aprender a transformar um número decimal em forma de notação científica.
Em primeiro lugar, vamos aprender a transformar os números grandes em notação científica:
Temos o número 200 000 000 e sabemos que todo o número inteiro pode ser escrito da seguinte forma 200 000 000,00! Agora temos o número decimal.
Conte da esquerda para a direita quantas casas decimais devemos deslocar essa virgula para que esse número seja maior ou igual a 1 e menor que 10. Isso mesmo! A virgula tem que ficar do lado do algarismo 2.
Quantas casas você deslocou? Foram 8, não é mesmo? Então 8 será o valor do expoente da potência de base 10.
Agora vamos montar todos os passos aqui para que você entenda muito bem!
Fácil, não é mesmo?
O mesmo podemos fazer com os números muito pequenos e a dica é deslocar a vírgula da direita para a esquerda:
O que você notou de diferente em relação ao primeiro exemplo? O expoente é negativo, não é mesmo? Isso porque o número é menor que 1.
Aula 16 - Racionalização de denominadores
A racionalização de um número fracionário consiste, basicamente, em se obter uma fração onde o denominador é um número racional e não um número irracional, que geralmente se apresenta em forma de raiz. 
É importante frisar que o número fracionário, depois de racionalizado, permanece com o mesmo valor anterior. O que muda é somente a apresentação dele. Esse melhoramento é uma convenção dentro da matemática, pois todos concordam que ter um número racional no denominador facilita muito na hora de efetuar cálculos.
Importante: para este estudo é imprescindível lembrar da propriedade que nos diz que:
Primeiro caso de racionalização de denominadores: raiz quadrada
A principal maneira como se apresenta uma raiz quadrada é na forma. Aqui nesta aula, vamos substituir a letra “a” por um numeral, para facilitar o estudo a partir de um exemplo. Então, tomemos como exemplo a raiz quadrada de 7: 
Para eliminar uma raiz quadrada, basta multiplicá-la por ela mesma. Nesse caso, o cálculo seria:
Claro que este é só um exemplo aleatório, pois o cálculo feito acima alterou o valor do número inicial, já que raiz quadrada de 7 é diferente do número 7.
Porém, se nos depararmos com uma fração da forma , nosso objetivo primeiro será eliminar a raiz do denominador. Fazemos isso utilizando o mesmo método utilizado acima. Mas, agora, iremos multiplicar não somente o denominador, mas também o numerador por uma raiz quadrada idêntica à que está no denominador.
Temos: 
Mas o que significa multiplicar por ? Você já deve saber que uma fração representa uma divisão, e um número dividido por ele mesmo equivale a 1, certo? Nesse caso não é diferente,  será um elemento neutro na multiplicação, pois equivale a 1.
Chamamos o  de fator racionalizante da fração.
Exemplo:
Racionalizar o número: .
Nesse caso, o fator racionalizante é o . Então, basta multiplicarmos o número  por :
Nesse exemplo, podemos simplificar ainda mais o resultado final, pois se trata de uma multiplicação no numerador, considerando que  é igual a 1. Temos:
Tendo tudo isso levado em consideração, podemos agora estudar os outros casos de racionalização de denominadores.
Segundo caso de racionalização: raiz não quadrada
A raiz quadrada do primeiro caso de racionalização é a mais comum de ser vista em vários estudos matemáticos, principalmente na parte de trigonometria. Mas o índice da raiz pode ser qualquer outro, de forma que não teremos mais uma raiz quadrada. Será que o fator racionalizante nesses casos continua sendo igual ao denominador? Vamos descobrir juntos!
Tomemos como exemplo a seguinte fração: .
Usando a ideia do primeiro caso, e multiplicando por , teremos:
Perceba que, após esse cálculo todo, não conseguimos eliminar o radical. Ou seja, a escolha do fator racionalizante não foi boa. Queremos escolher um fator que, ao final das contas, nos dê um expoente inteiro para o denominador.
Preste atenção no denominador , se tivéssemos escolhido um número, onde, no fim das contas ficássemos com o um denominador , teria sido ideal pois = 2.
Então, devemos multiplicar o radical por um outro fator, chamado fator de sorte,  que nos faça chegar a  e não a . Qual é esse fator?
Para isso, utilizamos a regra que nos diz que para um denominador da forma , utilizamos um fator racionalizante na forma .
Usando essa regra no exemplo anterior, temos
Acredite ou não, é a forma mais simplificada de .
Terceiro caso de racionalização: denominador como soma ou diferença
Já dizia o velho ditado, nem tudo são flores, e na matemática não ia ser diferente, não é mesmo? Se uma raiz aparecendo no denominador incomoda, imagina só uma soma de raízes, ou ainda, uma subtração de raízes. Nestes casos, já te aviso que não basta somente multiplicar por um fator racionalizante igualzinho ao denominador, hein! É preciso relembrar conceitos além da radiciação. Precisamos relembrar dos produtos notáveis.  
Veja a fração abaixo:
Você deve ter percebido que o denominador dessa fração é uma soma de dois quadrados, e o produto notável que mais se encaixa na resolução deste problema é o produto da soma pela diferença. Esse produto notável, nos traz uma regra que diz que (a + b) . (a – b) = a² – b².
Aplicando essa regra na fração, substituindo a e b por valores numéricos, temos que:
Perceba que no denominador tínhamos uma soma , e o nosso fator racionalizante foi uma diferença . A grosso modo, podemos dizer que somente trocamos o sinal, o mesmo pode ser feito se tivermos uma diferença no denominador, veja o exemplo:
Atenção: perceba que nesse caso, não podemos simplificar o denominador 6 por nenhum dos numerais do numerador, pois se trata de uma soma.
Aula 17 - Conjuntos Numéricos
É importante saber como surgiram os conjuntos numéricos. Os primeiros números surgiram da necessidade do homem primitivo de contabilizar as coisas, ou seja, de registrar quantidades. Mais tarde esses números foram chamados de números naturais.
Depois, na história, o homem começou a lidar com o comércio e os cálculos passaram a exigir numerais que representassem situações de lucro e de prejuízo. Então, você deve imaginar, que os numerais que passaram a representar o prejuízo foram os números negativos. Posteriormente esses números (negativos e positivos) foram chamados de números inteiros.
Sucessivamente ao longo da história cada conjunto numérico foi surgindo com a necessidade do ser humano em representar suas vivências. Para demonstrar partes de um inteiro, por exemplo, surgiram os números racionais, nome dado por representarem a razão de uma quantidade sobre outra.
Principalmente na geometria, surgiram também os números irracionais. Como exemplo de número irracional, podemos citar o número  que representa a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro.
Conjunto dos números naturais
O conjunto dos números naturais é composto por todos os números inteiros e positivos, incluindo o número zero. O conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo  .
= {0, 1, 2, 3, 4…}
Atenção! As reticências quando aparecem à esquerda do último número de um conjunto significam que os elementos daquele conjunto vão até o infinito positivo. Se as reticências aparecem à direita do conjunto, significam que os elementos vão até o infinitonegativo.
Todos os conjuntos de numerais possuem subconjuntos que são subdivisões dentro daquele grupo de elementos que possuem características bem específicas.
Subconjunto dos números naturais
Representado por , esse conjunto representa os números naturais não nulos. Ou seja, sem a presença do elemento nulo. E qual é o elemento nulo? Isso mesmo, o número zero.
= {1, 2, 3, 4…}
Atenção: Lembre-se: sempre que houver a presença do asterisco (*) em qualquer conjunto numérico significa que o elemento zero não faz parte do conjunto.
Conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros engloba todos os números positivos (números naturais) e também todos os números negativos. Os números inteiros são representados pela letra .
= {… -4, -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…}
Perceba que o conjunto de inteiros engloba o conjunto dos naturais.
Subconjuntos dos números inteiros
· Inteiros não negativos – todos os números positivos e o número zero.
ℤ+ = { 0, 1, 2, 3, 4…}
· Inteiros positivos – todos os números positivos, sem o número zero.
ℤ*+ = { 1, 2, 3, 4…}
· Inteiros não positivos – todos os números negativos e o número zero.
ℤ_ = {…-4, -3, -2, -1, 0}
· Inteiros negativos – todos os números negativos, sem o número zero.
ℤ*_ = {… -4, -3, -2, -1}
· Inteiros não nulos – todos os números, positivos e negativos, sem o número zero.
ℤ* = {… -4,-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4…}
Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser representados em uma razão. Para isso, o numerador e o denominador dessa razão (fração) precisam ser inteiros e o denominador diferente de zero. Esse conjunto é representado pela letra .
Perceba que o conjunto de racionais engloba o conjunto dos naturais e dos inteiros também.
Lembre-se que frações podem ser escritas sob a forma de decimais finitas ou dízima periódica.
Conjunto dos números irracionais
Os números irracionais, são aqueles que, ao contrário dos racionais, não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros, eles são chamados de decimais não exatos. São representados pela letra 
Exemplos
O conjunto dos números irracionais possui essa característica bastante peculiar, portanto não engloba os conjuntos citados anteriormente (veja Imagem 1).
Conjunto dos números reais
Os conjuntos dos números irracionais e racionais não possuem nenhum elemento em comum, portanto foi necessária a criação de um conjunto que unisse os dois. Esse conjunto é representado pela letra  e engloba TODOS os números racionais e irracionais.
Além do diagrama de Venn (Imagem 1, lá no começo desta aula), os conjuntos podem ser representados pela notação de intervalos. Veja abaixo como escrever cada um deles.
Intervalos Reais
· Intervalo aberto
Esse intervalo vai de 3 até 21, porém os números 3 e 21 não fazem parte do intervalo.
· Intervalo fechado
O intervalo vai de – 4 até 5, ou seja, o intervalo é maior ou igual a – 4 e menor ou igual a 5 (os números – 4 e 5 fazem parte do intervalo).
· Intervalo determinado por desigualdade
O intervalo vai de 2 até 7, porém o 7 não faz parte do intervalo
· Intervalo aberto infinito
Esse intervalo contém todos os números maiores que  .
Aula 18 - Razão e Proporção & Regra de Três
Se você foi para a escola hoje e teve duas horas de aula de matemática, no seu horário reservado para estudos na sua casa você deve estudar quatro horas – se possível usando a maior parte do tempo para resolver exercícios, porque é isso que faz o desempenho em provas melhorar.
Um exemplo de como a razão é importante no nosso dia-a-dia é na utilização de escalas gráficas, isto é, na leitura de mapas.
Artesanato não é seu estilo? Quem sabe cozinhar? Digitei em um buscador “receitas de dois ingredientes” para achar um exemplo para esse post, digamos que apareceu muita receita que envolvia creme de avelã com cacau e nozes. Mas gosto de receitas saudáveis então achei melhor escolher biscoito de banana com aveia, veja:
Ingredientes:
· 2 bananas bem maduras
· 1 xícara de aveia
Preparo:
Amasse as bananas e acrescente a aveia, misturando bem. Depois, faça bolinhas no formato de pequenos biscoitos e coloque para assar em uma forma untada por 15 minutos em forno pré-aquecido a 175 graus.
Gostou da receita? Hmm… Digamos que você tenha um cacho de banana madura e irá receber visitas. Então vai precisar saber a razão entre a quantidade dos ingredientes dessa receita para poder aumentar a quantidade dos ingredientes na razão certa.
No nosso exemplo temos 2 bananas para uma xícara de aveia. Então, se você tem 6 bananas (2×3) vai precisar de 3 xícaras de aveia (1×3). E vai ter 3 vezes a quantidade de biscoitos da receita encontrada inicialmente.
Poderíamos encontrar muitos mais exemplos de uso do conceito de razão, como para pintar um quadro ou uma parede, razão entre os pigmentos que vão ser misturados na base branca para encontrar uma determinada cor de tinta. Ou ainda a razão entre uma imagem real e a sua representação impressa, caso o quadro fosse uma pintura realista.
Aula 19 - Unidades de medida e escalas
Grandezas como massa, comprimento e tempo são exemplos de grandezas escalares. Essas grandezas podem ser expressas em diversas unidades. Mas, em algum momento na história, resolveu-se padronizar essas medidas a fim de facilitar as relações internacionais. Com isso, criou-se o Sistema Internacional de Unidades, o SI. 
Unidades de comprimento
A unidade metro (m) é a unidade de comprimento padrão do SI. Para representar medidas maiores ou menores, existem os múltiplos: o decâmetro (dam), o hectômetro (hm) e o quilômetro (km). Também existem os submúltiplos: o decímetro (dm), o centímetro (cm) e o milímetro. Para conversão, basta multiplicar ou dividir quantas vezes forem necessário por 10.
	Quilômetro
	Hectômetro
	Decâmetro
	Metro
	Decímetro
	Centímetro
	Milímetro
	Km
	Hm
	Dam
	m
	dm
	cm
	mm
	1000m
	100m
	10m
	1m
	0,1m
	0,01m
	0,001m
Unidades de área 
Sendo a área calculada pelo conceito da base x altura, quando se trata de um quadrado, para calcular a área dele fazemos lado ao quadrado. Portanto, as unidades de medida de área são, basicamente, as unidades de comprimento elevadas ao quadrado. Sendo assim:  
	Quilômetro Quadrado
	Hectômetro Quadrado
	Decâmetro Quadrado
	Metro Quadrado
	Decímetro Quadrado
	Centímetro Quadrado
	Milímetro Quadrado
	km²
	hm²
	dam²
	m²
	dm²
	cm²
	mm²
	1.000.000m²
	10.000m²
	 100m²
	1m²
	0,01m²
	0,0001m²
	0,000001m²
 
Unidades de volume
Seguindo a mesma linha de raciocínio, as unidades de volume são as unidades de comprimento elevadas ao cubo. A unidade de medida padrão de volume é o metro cúbico (m³), sendo ainda utilizados seus múltiplos (km³, hm³ e dam³) e submúltiplos (dm³, cm³ e mm³).
Unidades de capacidade
O litro é a unidade fundamental de capacidade. Em algumas situações é necessário transformar a unidade de medida de volume para uma unidade de medida de capacidade ou vice-versa. Nestes casos, podemos utilizar as relações expressas na tabela:
	Quilômetro Cúbico
	Hectômetro Cúbico
	Decâmetro Cúbico
	Metro Cúbico
	Decímetro Cúbico
	Centímetro Cúbico
	Milímetro Cúbico
	km³
	hm³
	dam³
	m³
	dm³
	cm³
	mm³
	
	
	
	10³ L
	1 L
	1mL
	
	109m³
	106m³
	 10³ m³
	1m³
	10–³ m³
	10-6 m³
	10-9 m³
 
Unidades de massa
É importante lembrar que, assim como o metro, a grama é a unidade de medida padrão do Sistema Internacional. Sendo assim, essa medida admite múltiplos, que são o quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), e os submúltiplos, que são decigrama (dg), centigrama (cg) e miligrama (mg).
	Quilograma
	Hectograma
	Decagrama
	Grama
	Decigrama
	Centigrama
	Miligrama
	kg
	Hg
	dag
	g
	Dg
	cg
	Mg
	1000g
	100g
	10g
	1 g
	0,1g
	0,01g
	0,001g
 
Unidades de tempo
As unidades de medida de tempo não têm uma padronização onde cada múltiplo e submúltiplo é uma potência de 10, como nas unidades vistas anteriormente. Na verdade, as unidades de tempo seguem um padrão único. A unidade de medida de tempo padrão no SI é o segundo (S). As demais são: minuto, hora, dia, ano, década, século e milênio, sendo que:
1 milênio = 1000 anos;1 ano = 365 dias;
1 dia = 24 horas;
1 hora = 60 min;
1 minuto = 60 segundos.
Escalas 
A escala é uma ferramenta utilizada para representar medidas reais em tamanhos maiores ou menores, mantendo a proporcionalidade. O cálculo é feito através da relação de razão e proporção entre a dimensão real e o tamanho apresentado no desenho.
Uma escala (E) nada mais é do que a relação entre uma distância menor (d) e uma distância maior (D). Elas podem ser representadas por E = d/D, embora o que é mais comumente visto seja a representação: E= d:D
Veja o exemplo:
A escala, por exemplo, 1:10.000 indica que uma unidade no mapa corresponde a 10 mil unidades no terreno. Ou seja, considerando como unidade o centímetro, 1 cm no mapa equivale a 10.000 cm no terreno. Quanto maior o denominador, menor a escala, menor o detalhamento e maior a extensão da área mapeada.
Podemos classificar as escalas da seguinte maneira:
Escala de redução: A representação do desenho é menor que a dimensão real do objeto.
Exemplo:  1:100.000 – Uma medida do desenho representa cem mil vezes a medida da dimensão real.
Escala de ampliação: A representação do desenho é maior que a dimensão real do objeto.
Exemplo: 10:1 – Uma medida do desenho representa um décimo da medida da dimensão real.
 Aula 20 - Grandezas e relações de dependência
Comprimento, massa, velocidade, tempo, volume, capacidade e temperatura são alguns exemplos de grandezas que constantemente aparecem no nosso dia a dia. As grandezas podem se relacionar entre si,  como por exemplo, ao calcularmos a velocidade, relacionamos o espaço percorrido com o tempo. Ou seja, uma medida de comprimento com uma medida de tempo.
As grandezas relacionadas podem ser classificadas de duas diferentes formas: grandezas diretamente proporcionais  e inversamente proporcionais. 
Grandezas Diretamente Proporcionais
As grandezas diretamente proporcionais se relacionam entre si, assim como nome sugere. De uma forma bem direta, quando uma grandeza aumenta ou diminui, a outra aumenta ou diminui proporcionalmente. Mas o que isso significa? Observe o exemplo abaixo e entenda:
Exemplo 1: Quando uma pessoa fala que seu veículo faz 13 por 1, ela está querendo dizer que este veículo percorre 13 km com 1 litro de combustível. Em uma viagem de 1600 km, quantos litros de combustível serão gastos?
Resposta: Perceba que as grandezas que estão sendo relacionadas são diferentes entre si. Estamos relacionando uma medida de comprimento, que é o quilômetro, e uma medida de capacidade, que é o litro.
Geralmente, para solucionar questões como essa, utilizamos a famosa regra de três, montando o esquema
13 km   equivale 1 L
1600 km equivale x L
Resultando em:
Ou seja, serão gastos aproximadamente 123 litros de combustível para fazer uma viagem de 1600 km.
Perceba como ao aumentarmos o percurso, a quantidade de combustível também aumentou. Esse aumento ocorreu de uma forma diretamente proporcional. A recíproca também é verdadeira: se diminuirmos o percurso, o consumo de combustível também é menor.
Grandezas inversamente proporcionais
Neste caso, podemos utilizar a mesma lógica do nome sugestivo para dizer que grandezas são inversamente proporcionais quando se relacionam entre si de forma inversa. Ou seja, quando operações inversas são utilizadas nos cálculos. Sendo assim, se triplicarmos uma grandeza, a outra é dividida por 3; se elevarmos uma grandeza ao quadrado, na outra é aplicada a raiz quadrada.
A grosso modo, pode-se dizer que grandezas são inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui, e vice-versa.
Um exemplo clássico de grandezas inversamente proporcionais são o tempo e a velocidade. Quando a velocidade aumenta, o tempo de deslocamento de um ponto até outro diminui.
Veja em um exemplo como isso funciona:
Exemplo 2: Qual é a velocidade de um trem que gasta 2 horas em um percurso, sabendo que gastaria 6 horas nesse mesmo percurso se estivesse a 30 km/h?
Resposta: Para solucionar esse exemplo você precisa lembrar das regrinhas utilizadas na regra de três.
Então, construímos uma proporção entre a velocidade do automóvel e o tempo gasto no percurso. essa proporção é:
Por se tratar de grandezas inversamente proporcionais, utilizamos uma técnica de resolução onde inverte-se uma das razões da proporção apresentada acima. Depois, calcula-se normalmente a regra de 3.
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos:
Ou seja, a velocidade do trem ao realizar o percurso em 2 horas é maior do que a velocidade em que ele estava ao realizar o percurso em 6 horas. No percurso de 2 horas a velocidade foi de 90 km/h e no percurso de 6 horas foi de 30 km/h.
Aula 21 - Regra de três simples e composta
Regra de Três Simples
Esse é o procedimento que utilizamos para resolver problemas de um conjunto de duas grandezas. Essas grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Veja:
A sombra de uma torre mede 4,5 metros e a de uma estaca, colocada verticalmente e no mesmo instante, 90 cm. Calcule a altura da torre, sabendo-se que a vara tem 2 metros de comprimento.
· Resolução:
· Em primeiro lugar vamos fazer uma tabela e relacionar as grandezas por seu tipo.
· Não esqueça de observar se todas as grandezas estão com a mesma unidade!
No caso desse problema, temos a sombra da estaca em cm então dividimos por 100 e a transformamos em metros: 90 cm = 0,9 m.Agora vamos comparar as medidas para descobrir se essas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais
Se aumentarmos a altura da estaca, sua sombra também aumentará, ou se diminuirmos a altura dessa mesma estaca, sua sombra também diminuirá em mesma proporção.
Então concluímos que é uma grandeza diretamente proporcional e nesse caso basta multiplicar as grandezas em Xis:
Resposta: A partir da resolução dessa regra de três, podemos concluir que a torre tem 10 metros de altura.
Regra de três composta
Regra de três composta é o procedimento para resolver um problema que envolva mais de duas grandezas e uma delas é um valor desconhecido, ou seja, é uma incógnita. A solução para esse caso é aplicação da seguinte propriedade:
“Se uma grandeza é diretamente proporcional a outras duas ou mais grandezas, então será diretamente proporcional ao produto dessas grandezas.”
Caso uma grandeza seja inversamente proporcional, no cálculo sua razão será invertida, tornando-se diretamente proporcional. 
 Aula 22 - Números Binários
O computador usa um sistema operacional. E esse sistema se comunica com a máquina através de um sistema numérico.
Esse sistema numérico é denominado de Sistema Binário e é formado por uma base de apenas dois algarismos: o zero e um (0 e 1).
Sistema binário = base 2.
Imagine quantas combinações podemos fazer com esses dois algarismos:
0, 1, 10, 11
Agora com três algarismos:
100, 101, 110, 111
Com quatro algarismos:
1000, 1001, 1010, 1110
E assim por diante. Perceba que o sistema numérico binário é formado por números binários compostos por algarismos zero e 1.
Correspondência entre o sistema decimal e o sistema binário.
O número binário vale o mesmo que um número decimal? É uma dúvida bastante comum, então fizemos uma tabela para você entender quanto vale o nosso número decimal em binário:
Agora você pode comparar um número decimal e o número binário.
Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, sendo o seu sistema de numeração binário, a máquina entende 0 para tensão baixa e 1 para tensão alta.
Glossário: Tensão = voltagem.
Em computação, chamamos um dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit.
E, um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term).
Toda a eletrônica e a lógica computacional tem base o sistema binário, baseado na Lógica chamada de Boleana em homenagem a George Boole.
A Álgebra Boleana facilita operações da lógica e da aritmética usando somente a base 2. Essa base dois pode ser analisada em:
· Liga ou desliga;
· Sim ou não
· Falso ou Verdadeiro
· 1 ou 0.
Nos anos 90, o uso de imagens com chuvas de números binários nas telas do computador forammoda em homenagem ao filme Matrix (1999). Nesse filme se falava de código binário, rede neural e outras tecnologias. Tudo no filme era sobre códigos e comunicação entre computadores e humanos.
Como convertemos os binários em números decimais?
Para convertermos um número binário em um número decimal temos que:
a) escrever cada algarismo que forma o número binário em questão, multiplicado pela base do sistema (base 2), elevado à posição que ocupa (1º, 2º 3º,….).
b) soma do produto de cada dígito binário pelo valor de suas potências resulta no número real representado.
Vamos passo a passo, para que fique mais claro:
O número que vamos transformar é o 1010. O algarismo da posição de:
a) milhar é o 1 e está na 1º posição, isto é, o expoente é 1: 1 x 2¹
b) centena é o 0 e está na 2ª posição, então, o expoente é o 2: 0 x 2²
c) dezena é o 1 e está na 3ª posição, então, o expoente é 3: 1 x 2³
d) unidade é o 0 e está na 4ª posição, então o expoente é 4: 0 x 24
Somando todos os termos temos:
1 x 2¹ + 0 x 2² + 1 x 2³ + 0 x 24 = Resolvendo as potências e os produtos temos:
2  +   0      +    8     +  0    =  10
Chegamos à conclusão de que o número decimal correspondente ao número binário 1010 é 10.
Conversão de um decimal em binário:
Vimos que um sistema de numeração binário:
· Tem base 2.
· A base é formada por dois algarismos: 0 e 1.
· Com o 0 e o 1 são formadas sequências.
· E as sequências são compostas por letras, palavras, textos, cálculos.
Neste momento queremos converter, transformar um número decimal em um número binário. Para que isso aconteça devemos seguir os seguintes passos:
· Dividimos o número decimal sucessivamente por 2.
· O número binário é formado pelo quociente seguido dos restos de todas as divisões anteriores.
Veja o exemplo abaixo:
Transforme o número 6 em um número binário:
Veja que o último quociente é igual a 1. E os restos são todos zeros, isto é, três zeros. Então, podemos concluir que 2 corresponde ao número binário 1 000.
Adição com números binários: 
A adição com números binários deve seguir a representação com números binários.
Em casos de adições simples de 1 algarismo em cada parcela temos que lembrar em converter sempre que a soma der um número decimal.Observe os exemplos abaixo:
a) 0 + 0 = 0
b) 0 + 1 = 1
c) 1 + 1 = 2
Neste caso, trocamos o número decimal 2 pelo número binário correspondente:
1 + 1 = 10
 1 + 1 + 1 = 11
Em adições mais complexas, montamos os cálculos e operamos normalmente com o mesmo cuidado de converter os valores que não sejam binários.
Veja os exemplos a seguir:
 Sabemos que o número decimal 2 é igual ao número binário 10, então precisamos converter esses dois números para termos o resultado:
 
 Na terceira coluna somamos 1 + 1 = 2, que foi convertido para 10 e após somamos o algarismo 1 que foi transportado do resultado da coluna anterior a ele. Lembre que a soma é realizada de trás para a frente, isto é, da direita para a esquerda.
Usamos o processo de conversão entre números decimais e números binários, tanto a Adição como a Subtração entre números decimais.
Subtração
O método da Subtração com números binários é semelhante ao de subtração com números decimais. Temos uma exceção:
0 – 1 = 1 para o sistema de numeração binário.
Para subtrairmos números binários pelo método tradicional devemos organizar da seguinte forma:
a) Alinhar os números um abaixo do outro como uma subtração com número decimais.
b) Resolver como uma subtração normal.
c) Converter se for preciso.
Veja o exemplo: 1000b – 111b =
Lembramos que o b subscrito indica que é um número binário. Essas representações aparecem em enunciados de problemas envolvendo informática ou eletrônica.
a) Alinhamos os números:
 
 
 
b) Resolvemos como uma subtração normal:
 
 
c) Lembramos aqui que “deve 1”. Assim, 0 – 1 = 1, lembrando que ele deve 1, 1 – 1 = 0, e fica devendo 1 “deve 1”.
d) Não podemos nos esquecer que “deve 1” novamente para o próximo cálculo e que 1 – 1 = 0. 
e) Continua a dever 1, então 1 – 1 = 0
 E chegamos ao resultado esperado: 0 0 0 1.
Fácil, não é mesmo? Basta ficarmos atentos aos processos de conversão e a única regra da subtração que 0 – 1 = 1.
Aula 23 - Transformando números decimais em porcentagem
Para aprender como transformamos números decimais em porcentagem, vamos utilizar como exemplo o número decimal 0,64.
Para transformar 0,64 em porcentagem basta multiplica-lo pelo número 100/100 . Esse número pode ser lido como “cem por cem” ou “cem por cento”. Percebeu a “mágica” acontecendo aqui? Quando falamos de porcentagem, estamos nos referindo a uma razão de base 100. Ou seja, estamos falando de uma parte de um total de 100.
Lembre-se de que se levarmos em consideração que uma fração com o mesmo valor numérico no numerador e no denominador é equivalente a 1, então não faz diferença multiplicar por qualquer número. Vejamos:
Tendo isto em vista é preciso lembrar que 64/100 pode ser lido como “sessenta e quatro cem avos”, ou ainda, “sessenta e quatro centésimos”, ou ainda “sessenta e quatro dividido por cem”, ou “sessenta e quatro porcento”. Dentre tantas formas de ler um mesmo numeral, podemos notar que temos o que precisamos: sessenta e quatro porcento. Ou seja, é verdadeira a seguinte igualdade 
Então podemos escrever 64% da forma mais usual.
Atenção! Para transformar um número decimal em porcentagem basta mover a vírgula, DUAS casas, contando da esquerda para a direita. Isso é o equivalente a MULTIPLICAR pelo número 100.
Outros exemplos:
– 0,08 ao multiplicar por 100 é convertido para 8%
– 1,75 ao multiplicar por 100 é convertido para 175%
– 0,094 ao multiplicar por 100 é convertido para 9,4%
Transformando porcentagem em número decimal
O processo inverso (transformar porcentagem em número decimal) é bem parecido com o que você viu acima. Nesses casos é preciso lembrar que a vírgula está subentendida ao final do último número, exceto em casos em que é apresentado de outra forma como por exemplo nas porcentagens 4,5% ou 174,21%
Para transformar uma porcentagem em número decimal basta mover a vírgula, também chamada de separador decimal, DUAS casas, contando da direita para a esquerda. Isso é o equivalente a dividir pelo número 100.
Veja no exemplo abaixo mais detalhadamente:
Logo, 93% é equivalente a 0,93. 
 Aula 24 - Escala
Uma escala nada mais é do que uma relação entre a distância medida em um mapa ou imagem e a sua medida real na superfície terrestre. Usa-se bastante a cartografia e mapas como referência ao se falar em escalas. Mas, na verdade, podemos representar literalmente qualquer coisa em escalas reduzidas ou ampliadas: desde carros até maquetes de cidades inteiras. Para se criar uma representação fiel ao objeto real, é preciso que todas as escalas possuam unidades de medidas proporcionais. Dessa maneira, os dados expressos nos mapas são diretamente proporcionais às distâncias na realidade.
Existem dois tipos de escalas: a gráfica e a numérica. Cada uma delas é expressa de uma forma e isso depende do que está sendo representado. A seguir iremos especificar como elas funcionam.
Escala Numérica
A escala numérica estabelece uma relação entre a medida de comprimento na representação e a medida de comprimento real do objeto representado (seja ele um terreno, mapa, objeto) por meio de uma proporção numérica.
É representada por dois pontos, ou seja, o símbolo de divisão.
Exemplo 1: Uma escala numérica de 1 para 2.000 significa que cada centímetro na representação corresponde a 2.000 centímetros no mundo real. Essa escala é representada da seguinte forma:
1 : 2.000
Essa escala nos diz que cada centímetro na representação, corresponde a 2.000 centímetros no mundo real.
Importante: a unidade de medida centímetro é a mais utilizada em se tratar de escalas.
Exemplo 2:  Se uma sala de aula possui 5 metros de largura por 5 metros de comprimento, a mesma pode ser representada estabelecendo que cada centímetro na representação equivalha a 1 metro ou 100 centímetros no real. Então, a escala produzida é de 1 : 100.
Sabendo que 5 metros equivalem a 500 centímetros, a miniatura