Unidade 5 progressões aritméticas

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Matemática Básica Unidade 5 
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Unidade 5 
Progressões aritméticas 
 
 
 
 
Metas 
Esta unidade é sobre a noção de matemática que lida com sequências de valores de 
variação constante. 
 
Objetivos 
Ao final desta unidade você deve: 
 conhecer a noção de sequência de números reais; 
 conhecer a noção de progressão aritmética; 
 saber determinar os elementos de uma progressão aritmética, a razão e termos 
pedidos; 
 conhecer e saber aplicar a fórmula da soma de uma progressão aritmética. 
 
 
 
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Sequências 
 Na unidade 1, vimos que muitos problemas podem ser resolvidos a partir do 
simples ato de contar. No processo de contagem, obtém-se uma sequência de valores, 
isto é, um primeiro valor, um segundo valor, um terceiro valor, etc. 
 Na mesma unidade 1, vimos também que o conhecimento de técnicas 
matemáticas pode facilitar o ato de contagem. A contagem é um processo extremamente 
simples, mas pode se tornar cansativo, longo, espaçoso e, portanto, pode deixar de ser 
eficiente, ou até atraente. Assim, é interessante conhecer tipos de contagens e conhecer 
técnicas matemáticas que simplificam certos atos de contagem. 
 O ato de contar produz um conjunto de valores, a1, a2, a3, etc, dispostos numa 
certa ordem, primeiro elemento, segundo elemento, terceiro elemento, etc. Um conjunto 
formado por estes valores ordenados é chamado sequência. Como um elemento da 
sequência é determinado pelo elemento do conjunto de valores e também pela sua 
ordem, chamamos os elementos de uma sequência de termo da sequência. Uma 
sequência pode ser finita ou infinita, dependendo da quantidade dos seus termos ser 
finita ou infinita. O elemento an da sequência, com n  
*
, é chamado o n-ésimo termo 
da sequência, muitas vezes referido como o termo geral da sequência. Uma sequencia 
finita de N termos pode ser representada por (a1, a2, a3, ..., aN), onde N  
*
. Uma 
sequência infinita pode ser representada por (a1, a2, a3, ..., an, ...), onde n  
*
. 
 
Observação: Veja o detalhe da definição de uma sequência, aluno. Qual é a natureza 
deste conceito? Se o aluno voltar lá na definição verá que uma sequência foi 
estabelecida de modo bem claro como um conjunto de números reais. No entanto, a 
definição tem mais informações, ela fala de valores ordenados. Por exemplo, os 
conjuntos {1, 2, 3, 4} e {2, 1, 4, 3}, são iguais, mas formam sequências diferentes, pois 
os valores dos conjuntos têm uma ordenação diferente. Por isso, quando queremos fazer 
referência ao conjunto e à ordem de seus elementos, isto é, quando queremos fazer 
referência ao objeto matemático, sequência, trocamos a notação {2, 1, 4, 3} por (2, 1, 4, 
3). 
 
Exemplo: O conjunto dos números inteiros positivos pares forma uma sequência 
infinita, (2, 4, 6, 8, ...). A expressão do n-ésimo termo desta sequência é an = 2n. Vamos 
testar esta fórmula para alguns termos. O primeiro termo, a1, é dado por a1 = 2.1 = 2. 
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Está certo. O quarto termo é a4 = 2.4 = 8. Também está certo. O décimo termo é a10 = 
2.10 = 20. Agora não sabemos se a resposta está certa. Precisamos, para conferir, 
continuar a sequência dos números pares. Para isto, basta contar de 2 em 2. Temos, 
então, (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ...). Pela contagem, chegamos que o décimo 
termo é 20, ou seja, a fórmula funcionou novamente. 
 Você percebeu a vantagem de se conhecer a fórmula para o termo geral da 
sequência, aluno? Podemos antecipar qualquer termo da sequência sem precisar ter o 
trabalho de passar por todos os termos anteriores. Por exemplo, se quisermos saber qual 
é o centésimo termo, não precisamos contar os cem primeiros pares, basta usar a 
fórmula a100 = 2.100 = 200. 
 
 Nem sempre conseguimos dar uma fórmula para o termo geral de uma 
sequência. Inclusive, uma sequência pode ter um comportamento aleatório, de modo 
que seja impossível prever o próximo termo. 
 
Exemplo: Um bom exemplo de seqûencia aleatória pode ser obtido com a listagem de 
números sorteados em sucessivos lançamentos de dados. Se a sequência de valores 
obtidos depois de 5 lançamentos é (2, 3, 1, 1, 4) e se o dado, que estamos imaginando 
não viciado, é lançado mais uma vez, não existe meio de prever qual será o próximo 
valor da sequência. 
 
Exemplo: Um exemplo maravilhoso de sequência é a conhecida sequência de 
Fibonacci, (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...). Esta sequência pode ser usada no estudo 
de inúmeros fenômenos da natureza. Você consegue obter uma fórmula que determine o 
termo geral desta sequência? .... É possível, sim, obter uma fórmula geral (se você não 
conseguiu, pense mais um pouco antes de continuar a leitura). O primeiro e o segundo 
termos devem ser dados explicitamente, a1 = 1 e a2 = 1. A partir daí, o termo seguinte é 
dado pela soma dos dois termos anteriores, isto é, an = an  1 + an  2, com n  3. Leitor, 
verifique como esta fórmula funciona bem. 
 Agora, existe uma limitação no uso da fórmula do termo geral desta sequência. 
Para se determinar o termo geral, é preciso conhecer os termos anteriores. Ou seja, não 
se pode prever qual será o n-ésimo termo, é preciso calcular um por um, até chegar lá. 
Este caso é diferente do caso dos números pares. 
 
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Exemplo: Uma sequência importantíssima é a sequência dos números naturais positivos 
que são primos, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... . O mais interessante nesta sequência é que não 
existe um fórmula para o termo geral desta sequência. Você sabia, leitor, que a senha do 
seu banco, e várias outras senhas, são garantidas justamente por não existir tal fórmula? 
 
Atividade 1: A representação geométrica dos números reais pode ser útil na 
compreensão do comportamento de algumas sequências. Veja um exemplo de 
representação geométrica de uma sequência. 
 
Só pelo desenho, podemos perceber que estamos falando de uma sequência com valores 
negativos, e que estão diminuindo constantemente. Para esta atividade, represente 
geometricamente cada um dos 3 primeiros exemplos de sequências desta seção. Se 
quiser fazer uma boa análise do terceiro exemplo, utilize folha milimetrada e marque o 
maior número de pontos possíveis. Aproveite e faça também a representação geométrica 
da sequência cujo termo geral é dado por an = (1)
n
, para todo n  *. Responda 
também se esta última sequência é finita ou infinita. 
 
Atividade 2: O propósito desta atividade é analisar os possíveis comportamentos de 
uma sequência. 
a) Uma sequência pode ser limitada inferiormente e superiormente. No caso em que ela 
é limitada inferiormente e superiomente, diz-se simplesmente que a sequência é 
limitada. Para os 4 exemplos a seguir, classifique-os com relação a formarem uma 
sequência limitada, limitada inferiormente, limitada superiormente, ou nenhum destes 
casos. Note que os exemplos representam sequências infinitas. 
(i) 
(ii) 
(iii) an = n, para todo n  
* 
(iv) an = (1)
n
.n, para todo n  * 
0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 an ... 
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b) Uma sequência pode ser crescente, decrescente ou constante. Para os exemplos 
anteriores, classifique-os com relação a formarem uma sequência crescente, 
decrescente, constante, ou nenhum destes casos. 
 
 
Progressão aritmética 
 
 O exemplo mais simples de sequência pode ser obtido quando os termos 
apresentam um padrão de variação que é constante. Isto significa dizer, mais 
precisamente, que a diferença entre termos consecutivos é sempre constante, isto é, a2  
a1 = a3  a2 = a4  a3 = ... = an  an  1 = ... = constante.Exemplo: O exemplo da unidade 1, sobre a temperatura do forno que diminui com o 
tempo, possui esta característica de variação constante. Neste exemplo, a temperatura 
diminui, a cada minuto que passa, 12ºC. Assim, a sequência de valores de temperaturas 
obtida é (200, 188, 176, 164, 152, 140, 128, 116, 104, 92, 80, 68, 56, 44, 32, 20). Leitor, 
verifique que a variação entre os valores é constante, igual a 12. 
 
Definição: Uma sequência é chamada progressão aritmética se a diferença entre cada 
termo e o termo anterior é constante. Se o número real r é a tal constante então r é 
chamado de razão e a sequência é chamada progressão aritmética de razão r. 
 
Exemplo: A sequência dos inteiros positivos que são pares é uma progressão aritmética. 
De fato, a variação dos termos desta sequência é constante igual a 2. Assim, a sequência 
é uma progressão aritmética de razão 2. 
 
 É imediato da definição que, numa progressão aritmética, o termo geral, an, é 
dado por an = an  1 + r, que é equivalente a dizer que a diferença entre ele o termo 
anterior é r, an  an  1 = r. Assim, numa progressão aritmética, basta conhecer o 
primeiro termo e a razão para que conheçamos todos os termos da razão. De fato, 
temos: a2 = a1 + r, a3 = a2 + r = a1 + 2r, a4 = a3 + r = a1 + 3r, etc. Procedendo desta 
maneira para cada termo, deduzimos a fórmula do termo geral de uma progressão 
aritmética de razão r, 
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an = a1 + (n  1)r. 
 
Exemplo: Para a sequência dos inteiros positivos que são pares, temos que o primeiro 
termo é o 2 e a razão é 2. Assim, temos que o termo geral é dado pela fórmula 
 an = 2 + (n  1)2 = 2n, 
que é a fórmula apresentada no exemplo desta sequência. 
 
Exemplo: Uma progressão aritmética pode ter razão negativa. Neste caso, os termos 
diminuem constantemente. A sequência (10, 5, 0, 5, 10, 15) é uma progressão 
aritmética de razão 5. 
 
Atividade 3: No desenho a seguir, encontramos a representação geométrica de duas 
sequências. 
 
 
a) Verifique, pelo desenho, que as duas sequências possuem as seguintes classificações 
em comum: são limitadas; são crescentes; são finitas. Você percebe algum tipo de 
diferença no comportamento delas? 
b) Suponha que exista um 7º termo para as duas sequências. Baseando-se no desenho, 
você arriscaria um palpite de qual seria o valor deste termo para a primeira sequência? E 
para a segunda? 
c) Para cada uma das sequências, determine a2  a1, a3  a2, a4  a3, a5  a4 e a6  a5. A 
1ª sequência é uma progressão aritmética? A 2ª sequência é uma progressão aritmética? 
Relacione esta diferença na classificação das sequências com as representações 
geométricas delas. 
 
Desafio: Vimos que uma sequência é dita uma progressão geométrica se vale a relação 
an + 1  an = r para todo n  
*
, onde r é um valor constante. Você é capaz de 
caracterizar este conceito em termos geométricos, em função da noção de distância? 
 
Atividade 4: 
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a) A sequência representada a seguir é uma progressão aritmética? Justifique. 
 
b) A sequência representada no próximo desenho esta contida no intervalo [2, 7] e é 
infinita. Ela pode ser uma progressão aritmética? 
 
c) No desenho a seguir encontram-se dois termos de uma progressão aritmética 
representados na reta graduada. (i) Determine a3. (ii) Determine a razão da progressão. 
 
d) No desenho a seguir encontram-se dois termos de uma progressão aritmética 
representados na reta graduada. Determine a razão da progressão. 
 
 
 
Atividade 5: 
a) Verifique que a sequência de variação de temperatura do exemplo do forno que foi 
desligado, da unidade 1, é uma progressão aritmética. Determine a razão desta 
progressão. Dê a fórmula do termo geral da sequência. Utiliza a fórmula do termo geral 
para resolver o problema apresentado na unidade 1, isto é, para determinar quando a 
temperatura atingirá 20ºC. 
b) Utilize progressão aritmética, em vez de contagem, para resolver o problema dos 
palitos da unidade 1. 
c) (i) Considere o conjunto dos números naturais que deixam resto 0 quando divididos 
por 3 como uma sequência crescente. Esta sequência é uma progressão aritmética? Se 
sim, qual é a razão? 
(ii) Considere o conjunto dos números naturais que deixam resto 1 quando divididos por 
3 como uma sequência crescente. Esta sequência é uma progressão aritmética? Se sim, 
qual é a razão? 
(iii) Considere o conjunto dos números naturais que deixam resto 2 quando divididos 
por 3 como uma sequência crescente. Esta sequência é uma progressão aritmética? Se 
sim, qual é a razão? 
d) O 10º termo de uma progressão aritmética de razão 3 é 145. Determine o 1º termo. 
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e) O 14º termo de uma progressão aritmética é 99 e o 13º é 91. Determine o 1º termo. 
f) O 23º termo de uma progressão aritmética é 1046 e o 1º termo é 3. Determine a razão. 
g) O 12º termo é 79 e o 8º termo é 15. Determine r e a1. 
h) A sequência (500, 482, 464, ...) é uma progressão aritmética. Determine o primeiro 
termo negativo desta sequência. 
i) O 12º termo de uma progressão aritmética é 10 e o 16º é 25. Determine o 14º termo. 
Calcule a média aritmética entre 10 e 25. 
j) Dê uma fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética em função do 3º 
termo. 
 
Soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética 
 
 Existe uma história, com versões bastante variadas, de um garoto de cerca de 9 
anos que resolveu um problema de Matemática em poucos minutos, quando a atividade 
tinha sido dada pelo professor para que os alunos se ocupassem dela por um longo 
tempo. Parece que o professor pediu para que todos os alunos da classe somassem os 
números de 1 a 100. E o garoto, chamado Gauss, fez isto de uma forma bastante 
inusitada. O método que Gauss usou foi o seguinte. Veja a sequência de números: 
1 , 2 , 3 , ... , 98 , 99 , 100 
Antes de começar a efetuar as somas, o garoto percebeu que 101 = 1 + 100 = 2 + 99 = 3 
+ 98 = ... . Assim, a soma de 100 parcelas, 
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100, 
é igual a soma de 50 parcelas de 101, isto é, 
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = 101 + ... + 101 (50×) = 50×101 = 5050. 
 O aluno pode experimentar fazer a soma dos números de 1 a 100, “no braço”, 
para ver como é engenhosa a solução de Gauss. 
 
 Ah! Gauss se tornou um dos matemáticos mais importantes da história. E sua 
genialidade é reconhecida por todos que estudam um pouco mais de Matemática. De 
fato, a solução dada por Gauss, quando ainda garoto, para fazer aquelas contas é digna 
de um gênio. Contudo, uma vez que se passou a conhecer esta técnica, qualquer um 
pode empregá-la. Esta é uma das vantagens de se estudar. Nem sempre somos capazes 
de ter ideias brilhantes, como algumas pessoas especiais. Mas, se estudamos e 
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conhecemos as técnicas importantes, passamos a nos encontrar no mesmo patamar das 
grandes mentes. Vamos entender melhor este método de Gauss? 
 
Situação-problema: Uma pessoa começou a fazer um muro e empilhou todos os tijolos 
como na figura abaixo. 
 
O problema é que acabaram os tijolos. Bom, a pessoa vai ter que reorganizar os tijolos a 
fim de montar o muro todo da mesma altura. O muro não pode ficar muito alto, pois 
neste caso vai ficar com uma extensão muito pequena. Também não pode ser estender 
muito, pois teria que ficar bem baixo. Você tem alguma sugestão, leitor? Qual seria a 
altura média? Veja se o desenho abaixo está de acordo com a sua ideia. O que se fez foi 
redistribuir os tijolos. 
 
Uma pergunta, olhando a primeira pilha de tijolos, você sabe determinar a quantidadede tijolos existente nela? Uma maneira de fazer isto é simplesmente contar, um a um, 
todos os tijolos. Outra maneira é reparar que a pilha cresce de 1 em 1. Como temos 8 
pilhas, temos no total 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8. Agora, é só somar. Ficou um pouco 
mais fácil. Por outro lado, olhando a segunda pilha, que está num formato retangular, é 
bem mais fácil determinar o total de tijolos, basta contar a quantidade da base, 9, e 
contar a quantidade da altura, 4. Aí, temos como total o produto 9×4 = 36. 
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 O que tem este problema a ver com o método de Gauss? Veja o valor da base do 
muro pronto, 9 = 1 + 8. Veja o valor da altura, 4, que é metade das parcelas do 
somatório 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8. Não foi isso que Gauss fez? Somou o primeiro 
termo com o último, o segundo com o penúltimo e assim por diante. Como o resultado é 
sempre o mesmo, no caso do muro é 9 e as parcelas se reduziram a metade, temos a 
soma reescrita como 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 9 + 9 + 9 + 9 = 4×9 = 36. 
 
Atividade 6: Tente adaptar o método de Gauss para determinar a quantidade de 
quadrados nas duas pilhas do desenho. 
 
 
 E o que tem o método de Gauss a ver com progressões aritméticas? Agora, entra 
o desenvolvimento do nosso conhecimento. Gauss teve uma ideia brilhante, mas nós 
também temos conhecimentos e podemos tentar desenvolver a ideia dele. 
 
 Considere a progressão aritmética, a1, a2 = a1 + r, a3 = a1 + 2r, ... , an  2 = a1 + (n 
 3)r, an  1 = a1 + (n  2)r, an = a1 + (n  1)r. Como podemos ver o somatório 
a1 + a2 + a3 + ... + an  2 + an  1 + an? 
 Vamos imitar Gauss e somar a 1ª parcela com a última, a segunda com a penúltima, a 
3ª com a antepenúltima e assim sucessivamente. Temos, então, 
 a1 + an = a1 + (a1 + (n  1)r) = 2a1 + (n  1)r, 
 a2 + an  1 = (a1 + r) + (a1 + (n  2)r) = 2a1 + (n  1)r, 
 a3 + an  3 = (a1 + 2r) + (a1 + (n  2)r) = 2a1 + (n  1)r, 
e assim sucessivamente. Isto significa que podemos fazer a seguinte transformação. 
 a1 + a2 + a3 + ... + an  2 + an  1 + an = (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an) 
 = 
2
n
(a1 + an). 
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Você entendeu o aparecimento de 
2
n
 na expressão, leitor? Tínhamos de início n 
parcelas. Depois, reagrupamos as parcelas de duas em duas, ficando com metade, 
2
n
. 
Como tínhamos 
2
n
 parcelas repetidas, tínhamos, então, um produto. 
 
 Em resumos, acabamos de deduzir a expressão para a soma dos n primeiros 
termos de uma progressão aritmética de razão r, que é dada pela fórmula 
Sn = 
2
)( 1 naa n
. 
 
Atividade 7: 
a) Determine a soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética (2, 6, 10, ...). 
b) Determine a soma dos n primeiros inteiros positivos pares. 
c) Resolva a atividade 6 usando a fórmula da soma de uma progressão aritmética. 
d) Determine a soma dos 50 primeiros termos de uma progressão aritmética na qual a6 + 
a45 = 160. 
e) Determine o número mínimo de termos da sequência ( 133, 126, 119, 112...) 
para que a soma dos termos seja positiva. 
f) Três números são expressos por x  1, 2x, x2 – x + 5 e estão em progressão aritmética, 
nesta ordem. Calcule sua soma. 
 
 
Resposta das Atividades 
 
Atividade 1: 
Exemplo 1: 
 
Exemplo 2: 
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Exemplo 3: 
 
 
Exemplo extra: an = (1)
n
, para todo n  *. 
 
Note que o conjunto de valores assumidos na sequência é finito, é formado por 1 e 1. 
Contudo, os termos são infinitos, donde a sequência é infinita. 
 
Atividade 2: 
a) (i) limitada inferiormente; (ii) limitada; (iii) limitada superiormente; (iv) não é 
limitada inferiormente nem superiormente. 
b) (i) crescente; (ii) decrescente; (iii) decrescente; (iv) não é nenhum dos 3 tipos 
 
Atividade 3: 
a) Na primeira sequência, a distância entre dois termos consecutivos é sempre 
constante. 
b) Como os termos da primeira sequência “pulam” de 3 em 3, o a7 deve ser 16. Como a 
2ª sequência tem um comportamento aleatório, não dá para fazer nenhuma previsão. 
c) Temos a2  a1 = a3  a2 = a4  a3 = a5  a4 = a6  a5 = 3. Então, por definição, a 1ª 
sequência é uma progressão aritmética. Esta mesma relação com relação as diferenças 
dos termos da segunda sequência não se verifica. Por exemplo, a2  a1 = 2 e a3  a2 = 3. 
 
Desafio: Uma sequência é uma progressão se a distância entre dois pontos que 
representam geometricamente termos consecutivos é constante. 
 
Atividade 4: 
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a) Não, pois a sequênia não é crescente nem decrescente nem constante (toda 
progressão aritmética tem uma destas classificaçãoes). Pode-se ver também que 
diferença entre dois termos consecutivos não é constante. 
b) Uma progressão aritmética não pode ser limitada, a não ser que seja constante, o que 
não é o caso. 
c) (i) a3 = 2. (ii) r = 2. 
d) r = 3. 
 
Atividade 5: 
a) Como a diferença entre cada termo da sequência de temperaturas e seu anterior é 
sempre constante, igual a 12, a sequência é uma progressão aritmética de razão 12. A 
fórumla do termo geral é, então, an = 200  12(n  1). Neste caso, para que an = 20, 
precisamos ter 20 = 212  12n, donde n = 16. Ou seja, depois de 15 minutos o forno 
atinge 20ºC. 
b) A sequência de palitos que formam quadrados é a progressão aritmética (4, 7, 10, 13, 
...). O primeiro termo corresponde ao número de palitos para o primeiro quadrado, o 
segundo termo corresponde ao número de palitos para o segundo quadrado e assim 
sucessivamente. O problema da unidade 1 é determinar o número de palitos para fazer 
17 quadrados, ou seja, o que é an quando n = 17? Temos a17 = 4 + 3.16 = 52, resultado 
que bate com o obtido naquela unidade. 
c) (i) 0, 3, 6, 9, 12, ... é uma progressão aritmética de razão 3. 
(ii) 1, 4, 7, 10, 13, ... é uma progressão aritmética de razão 3. 
(iii) 2, 5, 8, 11, 14, ... é uma progressão aritmética de razão 3. 
d) a10 = 145 e r = 3. Então, a10 = a1 + 3.9, donde a1 = 145  27 = 118. 
e) a14 = 99 e a13 = 91. Temos, então que r = 8. Com raciocínio semelhante ao item 
anterior, concluímos que a1 = 5. 
f) a23 = 1046 e a1 = 3. Então, 1046 = 3 + r.22, donde r = 
22
1043
. Note que esta é uma 
representação fracionária irredutível. 
g) a12 = 79 e a8 = 15. Temos a12 = a8 + r.4, donde r = 64/4 = 16. Como a8 = a1 + r.7, 
segue que a1 = 15  7.16 = 97. 
h) Temos a1 = 500 e r = 18. Basta resolver a inequação an > 0. De fato, se 500  18(n 
 1) > 0 então n < 518/18  28,8. Logo, temos a28 > 0, mas a29 < 0. Para verificar se não 
cometemos erros, veja que a28 = 14 e a29 = 4. Em resumo, a29 é o primeiro termo 
negativo da sequência. 
i) a12 = 10 e a16 = 25. a16  a12 = 4r, donde r = 15/4 = 3,75. Daí, a14 = 10 + 2.3,75 = 
17,5, valor que coincide com a média aritmética entre 10 e 25. 
j) an = a1 + (n  1)r e a1 = a3  2r. Logo, an = a3  2r + (n  1)r = a3  (n  3)r. 
 
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Atividade 7 
a) a1 = 2, r = 4. S20 = 
800
2
20)782(


. 
b) Os inteiros positivos pares formam uma progressão aritmética com a1 = 2 e r = 2. 
Assim, Sn = 
nn
nn

 2
2
)22(
. 
c) O n – ésimo número triangular é dado pela soma 1 + 2 + ... + n, que é a soma dos 
termos da progressão aritmética, (1, 2, 3, ..., n, ...). Logo, 
 1 + 2 + ... + n = 
22
)1( 2 nnnn 


, 
Resultado que confere com o encontrado na unidade 1. 
d) A soma dos 50 primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 
S50 = 
2
)(50 501 aa 
. 
Por outro lado, temos a6 = a1 + 5r e a45 = a50  5r. Daí, a6 + a45 = a1 + 5r + a50  5r = a1 
+ a50. Voltando para S50, temosS50 = 
2
)(50 501 aa 
 = 25.(a6 + a45) = 25.160 = 4000. 
e) Temos uma progressão aritmética de primeiro termo 133 e razão 7. Temos que a 
soma dos n primeiros termos é dada por 
Sn = 
2
7273
2
)(7266
2
)]7)1(133(133[ 22 nnnnnnn 




. 
Assim, temos que Sn > 0  7n
2
  273n > 0  n(7n  273) > 0. Fazendo o estudo de 
sinais da inequação, obtemos que o conjunto solução da inequação é S = {n  N | n < 0 
ou n > 39} = {40, 41, 42,...}. Como queremos o primeiro termo que torna a soma Sn 
positiva, temos que o número pedido é 40. 
f) Se os números estão nesta ordem em progressão aritmética, a diferença entre o 
segundo e o primeiro, será igual à diferença entre o terceiro e o segundo. Assim, 
2x – (x – 1) = x2  x+5  2x 

 x
2 – 4x + 4 = 0 

(x  2)2 = 0 

x = 2. Então, os 
números são 1, 4 e 7 e sua soma é 12.