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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 1 Avaliação III – Integrais As atividades a seguir estão apresentadas por tema de estudo. Para aprofundamento dos estudos, você pode também consultar as referências a seguir: FLEMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A. Florianópolis: Editora da UFSC, 1988. GRANVILE, W. A. Elementos de cálculo diferencial e integral. Rio de Janeiro: Row do Brasil, 1977, Volume 1. LEITHOLD, Louis. O Cálculo em Geometria Analítica. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1984. Volume I e II. DOMÊNICO, Luiz Carlos de. Matemática. Volume 1. Ed. IBEP, 1997. GIOVANI, José Ruy. Matemática. Volume 1. São Paulo: Atual, 1997. IEZZI, Gelson e MURATONI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Conjuntos e Funções. Volume 1. São Paulo: Atual, 1994. MACHADO, A. dos S., Funções e Derivadas. Matemática – Temas e Metas. São Paulo: Atual, 1991. Volume 6. TAYLOR, R. e Thomas, W. Cálculo Diferencial e Integral. México: Limusa Willey S.A. Bons Estudos! CONTEÚDOS ABORDADOS: Cálculo da superfície de sólido de revolução. Cálculo de volume dos sólidos de revolução. Cálculo de comprimento de arco de curvas Derivadas parciais Integrais com transformação de coordenadas Integrais duplas e triplas UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 2 1. Calcule a área de superfície de revolução gerada pela rotação, em torno do eixo y, da curva dada por . Resposta: ( √ ) 2. Determine a área da superfície de revolução obtida com a rotação da curva limitada pelas retas , em torno do eixo ox. Resposta: √ 3. Ache a área da superfície gerada pela revolução da curva 3x = y³, 0 x 9, em torno do eixo do y. Resposta: A 258,8468 u.a. 4. Calcule o volume de revolução, em torno de ox. a) ( ) b) √ Respostas: a) 15π/4 uv b) 31π/5 uv 5. Calcule o volume de revolução, em torno de oy. a) b) Respostas: a) 24π/7 uv b) 2π uv UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 3 6. Determine o volume V dos sólidos de revolução gerados pela rotação das curvas f(x), rotacionados em torno do eixo x. )5,1(,63)() )3,2(,43)() )4,1(, 4 1 )() 2 2 2 xxxxcurvafc xxxxcurvafb xxxcurvafa Respostas: .. 5 7614 ) .. 30 251 ) .. 80 1023 ) vuc vub vua 7. Determine o volume V dos sólidos de revolução gerados pela rotação das curvas f(y), rotacionados em torno do eixo y. )3,2(,52)() )4,2(,54)() )1,0(, 4 3 )() 2 2 2 yyyycurvafc yyyycurvafb yyycurvafa Respostas: .. 15 9782 ) .. 5 3726 ) .. 80 9 ) vuc vub vua UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 4 8. Determine o volume V dos sólidos de revolução gerados pela rotação das regiões indicadas, ao redor do eixo x. xyxxyc xyxxyb yxxya 2,3) 2,2) 1,12) 2 2 2 Respostas: .. 6 625 ) .. 15 992 ) .. 5 8 ) vuc vub vua 9. Encontre o comprimento de arco do gráfico de (y – 1)³ = x² no intervalo [0,8]. Resposta: L 9,0734 u.c. 10. Encontre o comprimento de arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4). Resposta: L 7,6 u.c. 11. O comprimento de arco de f(x) = ⁄ entre (8, 3) e (27, 8) Resposta: 19,65 12. O comprimento de arco de f(x) = ⁄ entre (0, 0) e (4, 8). Resposta: ( √ ) UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 5 13. Determine o comprimento de arco da curva dada. 31, 4 1 3 1 ) 21, 8 1 4 1 ) 22,25) 3 2 4 y y yxc x x xyb xxya Respostas: .. 6 53 ) .. 32 123 ) ..264) cuc cub cua 14. Considere a função Encontre as derivadas parciais . Respostas: ( ) ( ) 15. Calcule as derivadas parciais das funções : ) ) Respostas: a) b) ( ) ( ) UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 6 16. Calcule x z e y z para a função z = 4xy – 2x²y² + 3x³y². Respostas: x z = 4y - 4xy² + 9x² y² y z = 4x - 4x²y + 6x³y 17. Calcule as derivadas parciais das funções : a ) h(x,y) = 443 yx Respostas: x h = 42 3 3. 42 1 43 2 2 43 yx x x yx y h = 4 2 4. 42 1 43 3 3 43 yx y y yx b) z = cos ( 5x - 3y ) Respostas: x z = -sen ( 5x - 3y ) . 5 = -5. sen ( 5x - 3y ) y z = -sen ( 5x - 3y ) . ( -3 ) = 3. sen ( 5x - 3y ) UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 7 c ) f(x,y) = 6x²y - 5x3y2 – 6y Respostas: x f = 12xy - 15x2y2 y f = 6x² - 10x3y – 6 d) f(x, y) = x 2 + y 2 + xy Respostas: ∂f(x, y) /∂x = 2x + y; ∂f(x, y) / ∂y = 2y + x 18. Determinar as derivadas parciais das seguintes funções. 2),() 432),() 22 22 yxyxgb xxyyxyxfa Respostas: 2 2 ) 62 434) 22 22 2 2 yx y y g yx x x g b xyx y f yxy x f a UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 8 19. Resolver as integrais múltiplas: a)∫ ∫ ( ) b)∫ ∫ ∫ ) ∫ ∫ √ d) ∫ ∫ ( ) √ ) ∫ ∫ ∫ f) ∫ ∫ RESPOSTAS: a) b) c) 1/6 d) e) f) 20. Calcule as integrais duplas: a) dxdyy y y 32 3 1 b) dydxx 2 0 1 0 )3( c) dydxxy x x 2 2 1 0 Respostas: a) 7/24 b) 7 c) 1/40 UNIVERSIDADEDO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 9 21. Calcule as integrais duplas. x x x x x ydyxdxc dyxdxb dydxa 2 2 3 1 4 1 3 2 0 1 0 ) ) ) 2 2 3 Respostas: 15 1754 ) 3 16 ) 12 1 ) c b a
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