MATEMATICA- RELAÇÕES E FUNÇÕES FEV 2013

Prévia do material em texto

RELAÇÕES 
 
Com frequencia observamos pares ordenados; como nos exemplos: 
 
Bimestre 1°bimestre 2° bimestre 3° bimestre 4° bimestre 
Notas de Matemática 6,0 5,5 7,0 6,0 
 
Na tabela acima, existe uma relação entre bimestre e a nota, determinada 
pelos pares do conjunto: 
 
{ (1° bi; 6,0), (2° bi; 5,5), (3° bi; 7,0), (4° bi; 6,0)} 
 
mês janeiro fevereiro março 
Carros vendidos 6,0 5,0 7,0 
 
Na tabela acima, existe uma relação entre mês e o n° de carros 
vendidos 
 
Então sempre que observamos um conjunto de pares ordenados sabemos 
que existe uma relação entre os elementos desses pares 
 
Dados A = {0, 1, 2 } e B = { 1, 3, 5 }, formar o conjunto dos pares 
ordenados onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento 
pertence a B. 
 
{ (0,1), (0,3), (0,5), (1,1), (1,3), (1,5), (2,1), (2,3), (2,5) } 
 
O conjunto dos pares ordenados assim formado chama-se produto 
cartesiano de A por B e indica-se por A X B (lê-se A cartesiano B} 
 
Dados dois conjuntos não vazios A e B, chama-se produto cartesiano de 
A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro 
elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B 
 
A X B = { (x, y) x A e y B } 
 
 
Definição de Relação 
 
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}, o produto 
cartesiano de A por B será: 
 
A X B = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (2,2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 2), 
 (3, 4), (3, 6), (3, 8) , (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8)} 
 
Considerando-se os mesmos conjuntos acima, vejamos os exemplos 
abaixo: 
1° exemplo: 
 Formar o conjunto dos pares (x, y) de A X B tal que y é o dobro de x. 
Vamos obter o seguinte conjunto: 
 
R1 = {(x, y) A x B y = 2x } = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)} 
 
O conjunto R1 assim formado nos mostra uma relação entre os 
elementos de A e de B e é chamado relação de A em B 
 
2° exemplo: 
 O conjunto dos pares (x, y) de A x B tais que y é igual a x. 
Vamos obter o seguinte conjunto: 
 
R2 = {(x, y) A x B y = x } = {(2, 2), (4, 4)} 
 
O conjunto R2 assim formado nos mostra uma relação entre os 
elementos de A e de B e é chamado relação de A em B 
 
Pelos exemplos dados podemos dizer que: 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer 
subconjunto de A X B, isto é, se R é uma relação de A em B então 
R A X B. 
 
 
 
DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO 
 
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} E B = {0, 2, 3, 4, 5} 
 
Vamos considerar a relação de A em B, que incidamos por y = 2x 
 
R = { (x, y) A X B y = 2x} = { ( 0, 0), (1, 2), (2, 4) } 
 
Chama-se Domínio de R, que indicamos por D(R) o conjunto formado 
pelos primeiros elementos de cada par ordenado que pertencem à 
relação. 
 
D(R) = { 0, 1, 2 } 
 
Chama-se Imagem de R, que indicamos por Im(R) o conjunto 
formado pelos segundos elementos de cada par ordenado que 
pertencem à relação. 
 
Im(R) = { 0, 2, 4 } 
 
Pelo Diagrama de Venn (círculos) temos: 
 D(R) Im(R) 
 0. .0 
 1. .2 
 2. 4. 2. 4. 
 3. 
 3. 5. 
 A B 
 
OBS: O D(R) A e a Im(R) B 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES 
 
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 
 
Dados dois conjuntos não vazios A e B e uma relação f de A 
em B, dizemos que f é uma função ou aplicação de A em B, 
se e somente se, a todo elemento x de A está associado um 
único elemento y de B. 
 
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = { 0, 1, 2, 3, 4} ; vamos 
considerar as seguintes relações de A em B 
 
R1={(x, y) A x B y = x + 1} 
 0. .0 Obs: A todo elemento x 
 1. .1 de A se associa um e 
 2. .2 um só elemento y de 
 .3 
 A .4 B 
 
R2 ={(x, y) A x B y = 2x} 
 
 0. .0 Obs: A todo elemento x 
 1. .1 de A se associa um e 
 2. .2 um só elemento y de B 
 .3 
 A .4 
 B 
R3 ={(x, y) A x B y = x - 1} 
 
 0. .0 Obs: Ao elemento 0 
 1. .1 de A não se associa 
 2. .2 elemento de B 
 .3 
 A .4 
 B 
 
 
R4 ={ (x, y) A x B y x } 
 
 0. .0 
 
 1. .1 
 
 2. .2 
 .3 
 .4 
 
 A B 
 
Obs: 
 
 Ao elemento 0 de A se associam quatro elementos 
 {1, 2, 3, 4} de B 
 Ao elemento 1 de A se associam tres elementos 
 {2, 3, 4} de B 
 Ao elemento 2 de A se associam dois elementos 
 {3, 4} de B 
 
Observa-se assim que: 
 As relações R1 e R2 apresentam a particularidade de; 
a todo elemento x de A se associa um e um só 
elemento de B 
 A relação R3 apresenta o fato de: a um elemento x 
de A não se associar elemento de B 
 A relação R4 apresenta o fato de: ao mesmo 
elemento de A não se associar mais de um 
elemento de B 
 
 As relações R1 e R2 são chamadas funções ou 
 aplicações de A em B 
 
 
 
Notação: f: A B (Lê-se: função f de A em B) 
 
Para que uma função fique bem definida é necessário 
conhecermos os conjuntos A e B e uma lei de associação, 
que associe a todo elemento x de A um único elemento y de B 
 
Domínio; Imagem; Contradomínio 
 
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = { 0, 1, 2, 3, 4,5} ; vamos 
considerar a função f: A B definida por y = x + 1 
 
 .0 
 0. .1 
 1. .2 
 2. .3 
 A .4 
 .5 
B 
Observando o diagrama da função vamos definir: 
 
 O conjunto A (ou conjunto de partida das flechas) é 
chamado domínio da função, que indicamos D(f) = A que 
no exemplo acima é D(f) = {0, 1, 2} = A 
 O conjunto {0, 1, 2} (ou conjunto formado pelos elementos 
onde chegam as flechas), que é um subconjunto de B, é 
chamado conjunto-imagem da função que indicamos 
por: Im(f) = {1, 2, 3}. 
 O conjunto B tal que Im(f) B, é chamado 
contradomínio da função, que indicamos: CD(f) = B 
 
Exercícios pg 66 e 67