Apostila para Controle de Processos

Prévia do material em texto

1 
1-Introdução ao Controle de Processos 
 
 Plantas químicas não operam em estado estacionário. O estado estacionário, apesar de 
ser uma condição de operação desejável, nem sempre é atingido ou mantido por muito tempo. 
Isso quer dizer que numa planta química, as condições de operação estão sujeitas a mudanças 
ao longo do tempo. O nível de líquido em um equipamento, a pressão em um vaso, a vazão de 
um reagente ou sua composição; todas estas condições podem (e costumam) variar. Assim, 
existe a necessidade de se monitorar a operação destas plantas e intervir para garantir a 
satisfação dos objetivos operacionais. 
1.1-Porque controlar? 
 Plantas químicas devem operar sob condições conhecidas e pré-determinadas. Existem 
várias razões para isso: 
 Segurança: restrições de segurança e ambientais não podem ser violadas. 
 "Operabilidade": certas condições são requeridas para que as reações desejadas ou outras 
operações ocorram. 
 Economia: plantas químicas são caras e devem gerar lucros. Produtos finais devem 
atender aos requerimentos de pureza do mercado ou não serão vendidos. 
Uma planta química deve ser pensada como uma coleção de tanques nos quais 
materiais são aquecidos, resfriados e reagem, e de tubulações através das quais estes materiais 
escoam. Tais sistemas em geral não se mantêm em tal estado que a temperatura requerida para 
uma reação se mantenha, que a pressão além dos limites de segurança em todos os tanques 
seja evitada ou que a vazão exata para atingir a composição ótima do produto seja atingida. 
Controlar um processo significa atuar sobre ele, ou sobre as condições a que o 
processo está sujeito, de modo a atingir algum objetivo - por exemplo, podemos achar 
necessário ou desejável manter o processo sempre próximo de um determinado estado 
estacionário, mesmo que efeitos externos tentem desviá-lo desta condição. Este estado 
estacionário pode ter sido escolhido por atender melhor aos requisitos de qualidade e 
segurança do processo. 
Exemplo 1.1: considere o tanque de aquecimento da Figura 1.1: 
 Um líquido entra no tanque com uma vazão Fi (l/h) e uma temperatura T (ºC) onde é 
aquecido com vapor (que tem uma taxa de alimentação Fst (kg/h)). O tanque é perfeitamente 
agitado, o que significa que a temperatura da corrente de saída é igual à temperatura do 
 2 
líquido no tanque. A corrente de saída tem vazão F e temperatura T. Os objetivos operacionais 
do tanque são: 
1-Manter a temperatura de saída T num valor desejado Ts 
2-Manter o volume de líquido no tanque num valor desejado Vs 
 
Figura 1.1-Tanque aquecedor. 
 Se o processo operasse em estado estacionário, ou seja, se nada mudasse, não seria 
necessário controlar o processo. Uma vez que a temperatura da corrente de saída fosse igual a 
Ts e o volume de líquido igual a Vs o sistema poderia funcionar sem supervisão ou controle. 
No entanto, a operação de equipamentos é afetada por fatores externos. Por exemplo, podem 
ocorrer mudanças na vazão e temperatura de entrada (Fi e Ti). Assim, é necessário um 
esquema de controle que mantenha T e V nos valores desejados Ts e Vs. 
 Uma outra situação que pode ocorrer é a mudança dos valores desejados. Por algum 
motivo deseja-se que o tanque deixe de operar na temperatura Ts e no volume Vs e opere em 
Ts1 e Vs1. Também neste caso um esquema de controle é necessário para levar o sistema às 
novas condições de operação. 
 Na Figura 1.2 está mostrado um esquema de controle para manter T=Ts quando Ti 
e/ou Fi sofrem perturbações. Um termopar (sensor de temperatura) mede a temperatura T do 
líquido dentro do tanque. T é comparada com o valor desejado Ts gerando um desvio =Ts-T. 
O valor do desvio é enviado para um mecanismo de controle que decide o que deve ser feito 
para que a temperatura T volte ao valor desejado Ts. Se >0, o que implica em Ts>T, o 
controlador abre a válvula de vapor de forma que mais calor seja fornecido ao sistema. Ao 
contrário, se <0, e logo Ts<T, o controlador fecha a válvula de vapor. Está claro que se =0, 
T=Ts e o controlador não faz nada. Este tipo de sistema de controle, que mede a variável a ser 
controlada (T neste caso) depois que uma perturbação a afeta é chamado de controle feedback. 
O valor desejado Ts é chamado de set point e é especificado externamente pela pessoa 
responsável pela produção (operador). 
 3 
 
Figura 1.2- Esquema de controle feedback de um tanque aquecedor. 
Uma configuração similar pode ser usada de desejamos manter o volume V, ou de forma 
equivalente, o nível de líquido h, no seu set point (hs) quando Fi muda. Neste caso medimos o 
nível do líquido no tanque e abrimos ou fechamos a válvula que afeta a vazão de saída F, ou a 
vazão de entrada (Fi). Este também é um esquema de controle feedback já que age depois do 
fato, ou seja, depois que o efeito da perturbação foi sentido pelo processo (mudança da 
variável controlada T). 
 Pode-se usar um arranjo diferente para manter a temperatura T=Ts quando Ti muda. 
Mede-se a temperatura da corrente de entrada Ti e abre-se ou fecha-se a válvula de vapor para 
fornecer mais ou menos calor. Se Ti aumenta, a temperatura do tanque T tende a subir, logo a 
válvula de vapor deve ser fechada para fornecer menos calor e manter a temperatura em Ts. 
Ao contrário, se Ti diminui, deve-se abrir a válvula de vapor. Este esquema de controle é 
chamado de feedforward e é mostrado na Figura 1.3. Pode-se notar que o controle 
feedforward não espera até que a perturbação seja sentida pelo sistema, mas age 
antecipadamente, prevendo qual será o efeito seta perturbação. 
 
Figura 1.3-Esquema de controle feedforward de um tanque aquecedor. 
 4 
1.2-Classificação das variáveis de um processo químico 
 As variáveis (vazões, temperaturas, pressões, concentrações etc.) associadas a um 
processo químico são divididas em dois grupos 
 variáveis de entrada, que estão relacionadas com o efeito do meio externo no processo. 
 variáveis de saída, que estão relacionadas com o efeito do processo no meio externo. 
Exemplo 1.2: Considere o CSTR (Continuous Stirred Tank Reactor) abaixo: 
 
Figura 1.4- CSTR. 
Para este reator temos: 
 variáveis de entrada: Cai, Ti, Fi, Tci, Fc, (F) 
 variáveis de saída: Ca, T, F, Tco, V 
 A vazão de efluente, F, pode ser considerada uma variável de entrada ou saída. Se há 
uma válvula na corrente de efluente, de forma que a sua vazão possa ser manipulada por um 
controlador, F é uma variável de entrada, desde que a abertura da válvula é ajustada 
externamente; senão F é uma variável de saída. 
 
 As variáveis de entrada podem ainda ser classificadas da seguinte maneira 
 variáveis manipuladas (ou ajustáveis), cujos valores podem ser ajustados por um operador 
humano ou por um mecanismo de controle. 
 perturbações, cujos valores não são resultantes de ajuste por um operador ou sistema de 
controle 
 As variáveis de saída podem ser classificadas em: 
 variáveis medidas, cujos valores são conhecidos por medida direta. 
 variáveis não medidas, cujos valores não podem ser medidos diretamente. 
Exemplo 1.3: Suponha que a corrente de entrada do CSTR do exemplo 1.2 (Figura 1.4) vem 
de uma unidade sobre a qual não temos nenhum controle. Então Cai, Fi e Ti são perturbações. 
Se a vazão de refrigerante é controlada através de uma válvula de controle, Fc é uma variável 
manipulada, enquanto Tci é uma perturbação. Além disso, se a vazão de efluente é controlada 
por uma válvula, F é uma variável manipulada, de outra forma é uma variável de saída. 
 5 
 Com respeito às variáveis de saída, temos o seguinte: T, F, Tco e V são saídas medidas, 
desde que seus valores podem ser facilmente conhecidos usando-se termopares (T, Tco), um 
tuboVenturi (F) e uma célula de diferencial de pressão (V). A concentração Ca pode ser uma 
variável medida se um analisador (cromatógrafo gasoso, espectofotômetro de infravermelho, 
etc.) está ligado à corrente de efluente. Em muitas plantas estes analisadores não estão 
presentes porque são caros e/ou pouco confiáveis. Em tais casos, Ca é uma variável de saída 
não medida. 
 As perturbações também podem ser classificadas como medidas ou não medidas. 
Como veremos mais tarde, perturbações não medidas geram problemas de controle mais 
difíceis. 
1.3-Elementos de projeto de um sistema de controle 
 Definir o objetivo do controle: 
 O elemento central de qualquer configuração de controle é o processo a ser controlado. 
A primeira pergunta que deve ser respondida é qual o objetivo operacional do sistema de 
controle. Que variáveis se deseja controlar? 
 Selecionar as medidas: 
 Quaisquer que sejam os nossos objetivos de controle, precisamos de meios de 
monitorar o desempenho do processo químico. Isto é feito medindo-se os valores de certas 
variáveis de processo (temperaturas, pressões, concentrações, vazões, etc.). Logo a segunda 
questão é: que variáveis devem ser medidas para monitorar o desempenho da planta? É fácil 
concluir que gostaríamos de medir diretamente as variáveis que representam os nossos 
objetivos de controle e isso é o que é feito sempre que possível. Estas medidas são chamadas 
de medidas primárias. 
Exemplo 1.4: Para o tanque aquecedor do exemplo 1.1 (Figura 1.1) os nossos objetivos de 
controle eram manter o volume e a temperatura do líquido no tanque em níveis desejados, ou 
seja, manter T=Ts e V=Vs. Consequentemente a primeira tentativa é instalar medidores para 
monitorar T e V diretamente. Para este caso, isso é bastante simples. 
 Algumas vezes acontece que os nossos objetivos de controle não são quantidades 
mensuráveis, ou seja, pertencem à classe de saídas não medidas. Nestes casos, devem-se 
medir outras variáveis que possam ser medidas com facilidade e confiança. Estas medidas de 
suporte são chamadas de medidas secundárias. Então desenvolvemos relações matemáticas 
entre as saídas não medidas e as medidas secundárias, ou seja 
saída não medida = f (medidas secundárias) 
 6 
que nos permitem determinar os valores das variáveis não medidas (sempre que os valores das 
medidas secundárias estejam disponíveis). Estas relações matemáticas podem resultar de 
considerações empíricas, experimentais ou teóricas. 
 A terceira classe de medidas que podem ser feitas para monitorar o comportamento do 
processo inclui a medida direta de perturbações externas. Medir as perturbações antes que elas 
atinjam o processo pode ser muito vantajoso, porque nos permite saber com antecedência qual 
vai ser o comportamento do processo e tomar ações de controle para evitar qualquer 
consequência indesejada. 
 Selecionar as variáveis manipuladas: 
 Uma vez que os objetivos de controle foram especificados e as várias medidas 
identificadas, a próxima questão é: que variáveis manipuladas vamos usar para controlar o 
sistema? Normalmente num processo temos algumas variáveis de entrada que podem ser 
ajustadas. Qual selecionar é uma questão importante, que afetará a qualidade das ações de 
controle tomadas. 
A variável a manipular tem que ter um efeito razoável sobre aquelas que definem o 
objetivo desejado. Muita ou pouca sensibilidade geram inconvenientes que devem ser 
evitados. Pouca sensibilidade significa que seriam necessárias mudanças muito grandes na 
variável manipulada para produzir um efeito na variável controlada. Neste caso, surgem 
problemas de saturação de instrumentos, problemas de ruídos etc. Muita sensibilidade 
também não é desejável, pois apenas uma pequena mudança na variável manipulada já produz 
um efeito exagerado na variável controlada. Surgem problemas com a resolução dos 
instrumentos e, novamente, com o efeito de ruídos. 
Exemplo 1.5: Para controlar o nível de líquido num tanque podemos ajustar (manipular) a 
vazão da corrente de entrada ou a vazão da corrente de saída. Qual a melhor é uma questão 
importante a ser respondida mais tarde. 
 Selecionar a configuração de controle: 
 Uma configuração (ou estrutura) de controle é a estrutura de informação que é usada 
para conectar as medidas disponíveis às variáveis manipuladas disponíveis. 
 Projetar o controlador: 
 Em toda configuração de controle o controlador é o elemento ativo que recebe a 
informação das medidas e toma ações de controle apropriadas para ajustar os valores das 
variáveis manipuladas. Para o projeto de um controlador devemos responder à seguinte 
pergunta: Como a informação tirada das medidas é usada para ajustar as variáveis 
 7 
manipuladas? A resposta desta questão constitui a lei de controle, que é implementada 
automaticamente pelo controlador. 
 
Bibliografia: 
1-Stephanopoulos, George, Chemical Process Control: An Introduction to Theory and 
Practice, Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1984. 
2-Luyben, William L., Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers, 
2nd edition, McGraw-Hill Inc., Singapore, 1990. 
3-Seborg, Dale E., Thomas F. Edgar e Duncan A. Mellichamp, Process Dynamics and 
Control, J. Wiley, New York, 1989. 
4-Curso de Controle de Processos, PUC-Rio, http://venus.rdc.puc-
rio.br/werneckr/index_cp.html. 
5-Curso de Controle de Processos, University of NewCastle Upon TY NE, 
http://lorien.ncl.ac.uk/ming/Dept/Swot/notes.htm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
2-Modelagem de processos para controle 
 
2.1-Introdução 
Toda e qualquer técnica de controle, desde a mais elementar até a mais sofisticada, 
requer algum grau de conhecimento sobre o comportamento do sistema. Para investigar como 
o comportamento do sistema (suas saídas) muda com o tempo sob a influência de mudanças 
nas perturbações externas e variáveis manipuladas, e consequentemente projetar um 
controlador apropriado, pode-se usar duas abordagens diferentes: 
 abordagem experimental: neste caso o(s) equipamento(s) físico do processo está 
disponível. Logo, mudamos o valor das várias entradas (perturbações e variáveis 
manipuladas) e observamos como as saídas variam com o tempo. Este procedimento é 
demorado e normalmente caro, já que um grande número de experimentos deve ser realizado. 
Além disso, deve-se garantir que as medidas realizadas contêm informação suficiente para 
caracterizar completamente a dinâmica do processo, ou pode-se obter um quadro errado desta 
dinâmica, de forma que podem estar ocorrendo flutuações fortes dentro do sistema que não 
estão aparecendo nas saídas medidas. 
 abordagem teórica: modelos matemáticos são usados para determinar o comportamento 
dinâmico ou estático do processo. 
 Como em alguns casos o equipamento físico do processo não está disponível para 
testes e, mesmo quando está, a abordagem experimental é demorada e cara, a abordagem 
teórica é a mais usada. 
 Os modelos matemáticos podem ser classificados genericamente em duas categorias: 
 teóricos (fenomenológicos): desenvolvidos a partir de pressupostos teóricos que tentam 
descrever de forma mais fundamentada os vários aspectos envolvidos no problema. 
 empíricos: não estão baseados em quaisquer pressupostos teóricos, mas apenas são 
utilizados para descrever um certo conjunto de pontos experimentais conhecidos. 
A princípio, os modelos empíricos são tão bons quanto os modelos teóricos, embora os 
modelos teóricos possam ser utilizados de forma bem mais racional do que os modelos 
empíricos. Por exemplo, as extrapolações feitas com modelos empíricos não são 
recomendadas, já que nada garante que arealidade vá continuar se comportando daquela 
forma numa faixa diferente de condições. No entanto, a continuidade dos pressupostos 
teóricos (e, portanto, do modelo matemático a que dão origem) em condições diferentes é bem 
mais aceitável. 
 9 
 Os modelos podem ainda ser classificados como lineares ou não lineares. O uso de 
modelos lineares se baseia na hipótese de que os sistemas têm um comportamento que pode 
ser aproximado linearmente. O seu uso é difundido pois a teoria de controle linear está 
bastante bem desenvolvida e as equações lineares em geral têm solução analítica, o que 
permite a fácil obtenção de resultados. Em particular na área de controle de processos, como a 
principal forma de operação nas grandes indústrias é no estado estacionário, os pequenos 
desvios associados ao efeito de perturbações não chega a afastar o sistema de um 
comportamento aproximadamente linear. 
 Entretanto, devemos ter em mente que a realidade é não linear. As crescentes 
exigências de qualidade e quantidade colocadas para a indústria a defrontam com situações de 
operação extremas, onde os efeitos não lineares são muito mais importantes. Ainda, existem 
inúmeros processos que são operados em batelada ou batelada alimentada (polímeros, 
produtos farmacêuticos, etc.). Neste tipo de operação, não há estado estacionário, e o 
comportamento do processo é fortemente não linear. Neste caso, são necessários modelos não 
lineares. 
 Ao se modelar o sistema de interesse, deve-se ter em mente que um modelo muito 
complexo não tem utilidade em análise e projeto de sistemas de controle. Muitas leis de 
controle são obtidas a partir de versões simplificadas do comportamento do processo e/ou são 
ajustadas usando essas versões. Num processo iterativo de projeto, via tentativa e erro, o uso 
frequente do modelo matemático também requer que o mesmo seja uma versão simples da 
realidade, caso contrário o esforço computacional requerido seria muito grande. Ainda, muitas 
das leis de controle mais avançadas incluem um modelo do processo que, consequentemente, 
tem que ser resolvido em linha. Novamente não podemos nem imaginar o uso de modelos 
complexos. 
 Neste curso a teoria de controle linear será abordada e, logo, trabalharemos na maioria 
das vezes com modelos lineares ou linearizados. 
2.2- Linearização e variáveis desvio 
 Linearização é o processo pelo qual nós aproximamos sistemas não lineares com 
sistemas lineares. Considere a seguinte equação diferencial não linear 
dx
dt
f x ( )
 (2.1) 
Expanda a função não linear f(x) em série de Taylor em torno de um ponto x0 
 10 
f x f x
df
dx
x x d f
dx
x x d f
dx
x x
nx x
n
n
x
n
( ) ( )
!
( )
!
.....
( )
!
... 

















 









0
0
0
2
2
0
0
2
0
0
1 2
 (2.2) 
Se desprezarmos todos os termos de ordem 2 ou maior, temos a seguinte aproximação para o 
valor de f(x) 
f x f x
df
dx
x x
x
( ) ( ) ( ) 





 0
0
0
 (2.3) 
 A aproximação linear somente é satisfatória quando x está próximo de x0. Na figura 
2.1 está mostrada a função não linear f(x) e a sua aproximação linear em torno de x0. Fica 
claro que a aproximação linear depende da localização do ponto x0 em torno do qual fazemos 
a expansão em série de Taylor. Compare a aproximação linear de f(x) nos pontos x0 e x1. A 
aproximação somente é exata no ponto de linearização. 
 
Figura 2.1- Linearização em torno de um ponto. 
Vamos introduzir agora o conceito de variáveis desvio, que é muito útil para controle 
de processos. Suponha que xs é o valor de estado estacionário de x que descreve o sistema 
dinâmico da eq. (2.1) inicialmente. Então 
dx
dt
f xs s 0 ( )
 (2.4) 
 Considere que xs é o ponto de linearização para a eq. (2.1). Então o modelo linearizado 
é 
dx
dt
f x
df
dx
x xs
xs
s 





 ( ) ( )
 (2.5) 
Subtraia a eq. (2.4) da eq. (2.5) 
d x x
dt
df
dx
x xs
xs
s
( )
( )







 
 (2.6) 
Definimos a variável desvio como 
x x xs
'  
 (2.7) 
 11 
Então a eq. (2.5) fica 
dx
dt
df
dx
x
xs
'
'






 (2.8) 
Esta é a aproximação linearizada do sistema dinâmico não linear descrito pela eq. (2.1) 
expressa em termos de variáveis desvio. 
 A noção de variáveis desvio é muito útil em controle de processos. Normalmente 
estamos tentando manter o valor de uma variável de processo em algum estado estacionário 
desejado (set-point). Consequentemente, o estado estacionário é um bom ponto em torno do 
qual se pode desenvolver o modelo linearizado. Nestes casos, a variável desvio descreve 
diretamente a magnitude do deslocamento do sistema do nível de operação desejado. Além 
disso, se o controlador de um dado processo foi bem projetado, não permitirá que a variável 
de processo se afaste muito do estado estacionário desejado. Desta forma o modelo linear 
aproximado expresso em termos de variáveis desvio descreverá bem o comportamento 
dinâmico do sistema. 
 Para sistemas com mais de uma variável, a metodologia para linearização é a mesma. 
Considere o seguinte sistema dinâmico 
dx
dt
f x x1 1 1 2 ( , )
 (2.9) 
dx
dt
f x x2 2 1 2 ( , )
 (2.10) 
Expanda as funções não lineares f1(x1,x2) e f2(x1,x2) em série de Taylor em torno do ponto 
(x1,0,x2,0) e despreze os termos de ordem 2 e superiores 
f x x f x x
df
dx
x x
df
dx
x x
x x x x
1 1 2 1 1 0 2 0
1
1
1 0 2 0
1 1 0
1
2
1 0 2 0
2 2 0( , ) ( , ) ( ) ( ), ,
( , , , )
,
( , , , )
, 





  





 
 (2.11) 
f x x f x x
df
dx
x x
df
dx
x x
x x x x
2 1 2 2 1 0 2 0
2
1
1 0 2 0
1 1 0
2
2
1 0 2 0
2 2 0( , ) ( , ) ( ) ( ), ,
( , , , )
,
( , , , )
, 





  





 
 (2.12) 
Substituindo as aproximações acima nas equações dinâmicas (eq. (2.9) e (2.10)) 
dx
dt
f x x
df
dx
x x
df
dx
x x
x x x x
1
1 1 0 2 0
1
1
1 0 2 0
1 1 0
1
2
1 0 2 0
2 2 0 





  





 ( , ) ( ) ( ), ,
( , , , )
,
( , , , )
,
 (2.13) 
dx
dt
f x x
df
dx
x x
df
dx
x x
x x x x
2
2 1 0 2 0
2
1
1 0 2 0
1 1 0
2
2
1 0 2 0
2 2 0 





  





 ( , ) ( ) ( ), ,
( , , , )
,
( , , , )
,
 (2.14) 
Estas duas últimas equações são lineares e constituem o modelo linearizado que aproxima o 
modelo não linear descrito pelas eqs. (2.9) e (2.10). 
 12 
 Para expressar o modelo linearizado em termos de variáveis desvio, selecione o estado 
estacionário (x1,s, x2,s) como o ponto em torno do qual a linearização vai ser feita. No estado 
estacionário as eqs. (2.9) e (2.10) levam a 
0 1 1 2 f x xs s( , ), ,
 (2.15) 
0 2 1 2 f x xs s( , ), ,
 (2.16) 
Subtraia as eqs. (2.15) e (2.16) das eqs. (2.13) e (2.14) e obtenha 
d x x
dt
df
dx
x x
df
dx
x x
s
x s x s
s
x s x s
s
( )
( ) ( )
,
( , , , )
,
( , , , )
,
1 1 1
1
1 2
1 1
1
2
1 2
2 2







  





 
 (2.17) 
d x x
dt
df
dx
x x
df
dx
x x
s
x s x s
s
x s x s
s
( )
( ) ( )
,
( , , , )
,
( , , , )
,
2 2 2
1
1 2
1 1
2
2
1 2
2 2







  





 
 (2.18) 
Definindo as variáveis desvio 
x x x s1 1 1
'
, 
 ex x x s2 2 2
'
, 
 
dx
dt
df
dx
x
df
dx
x
x s x s x s x s
1 1
1
1 2
1
1
2
1 2
2
'
( , , , )
'
( , , , )
'





 






 (2.19) 
dx
dt
df
dx
x
df
dx
x
x s x s x s x s
2 2
1
1 2
1
2
2
1 2
2
'
( , , , )
'
( , , , )
'





 






 (2.20) 
Exemplo 2.1- Linearize a seguinte expressão e a escreva em função de variáveis desvio em 
relação ao ponto x10 e x20: 
2)t(2cx)t(2x)t(1bx)t(1ax
dt
)t(1dx

. Nesta expressão a, b e c são 
parâmetros constantes e x1 e x2 variam com o tempo. Considere x10=1, x20=2, a=b=c=1. 
Da eq. (2.9) temos que 
2)t(2cx)t(2x)t(1bx)t(1ax)2x,1x(1f 
. Pela eq. (2.11) podemos 
aproximar f1(x1,x2) por: 
)2x2x)(2cx21bx()1x1x)(2bxa(2cx2x1bx1ax)2x,1x(1f 00000
2
0000 
 
Logo, 
)2x2x)(2cx21bx()1x1x)(2bxa(2cx2x1bx1ax
dt
1dx
00000
2
0000 
 
No estado estacionário: 
2
0000
0 2cx2x1bx1ax0
dt
1dx

 
Subtraindo as duas equações chegamos a: 
)2x2x)(2cx21bx()1x1x)(2bxa(
dt
)1x1x(d
00000
0 

 
 13 
Mas 
'
0 1x)1x1x( 
 e 
'
0 2x)2x2x( 
, então a equação acima fica igual a: 
'
00
'
0
'
2x)2cx21bx(1x)2bxa(
dt
1dx

 
Substituindo os valores de x10, x20, a, b e c, chegamos a: 
''
'
2x51x3
dt
1dx

 
2.3-Alguns tipos de modelos matemáticos 
a)Modelos de equações diferenciais 
b)Modelos de diferenças finitas 
c)Modelos de entrada saída (exemplo: modelos de função de transferência) 
a)Modelos de equações diferenciais 
 Estes são modelos teóricos, baseados nas hipóteses fundamentais que balizam a 
análise de problemas da engenharia química, que são normalmente os princípios de 
conservação de massa e energia. Os balanços de massa e/ou energia dão origem a equações 
diferenciais ordinárias e/ou parciais, geralmente combinadas com uma ou mais equações 
algébricas. As equações algébricas podem descrever relações termodinâmicas (relações que 
descrevem as situações de equilíbrio atingidas durante uma reação ou por uma ou mais fases), 
equações de estado (por exemplo a lei dos gases ideais ou a equação de Van der Waals), 
equações de taxa de transporte (taxas de transferência de massa, energia etc.), equações de 
taxas cinéticas (descrevem as taxas de reações químicas), etc. 
A aplicação dos princípios de conservação permite construir modelos para um grande 
número de sistemas. No entanto, informações adicionais que não podem ser obtidas das 
equações de balanço são freqüentemente necessárias. Por exemplo, saber como a densidade 
de um fluido depende da temperatura ou como a velocidade da reação depende das 
concentrações dos reagentes. Nestes casos, equações empíricas podem ser utilizadas para 
descrever a fração desconhecida do modelo ou uma modelagem mais detalhada do fenômeno 
pode ser utilizada. Por exemplo, pode-se dizer simplesmente que a velocidade de reação varia 
com uma potência da concentração e tentar determinar o expoente a partir de experimentos, 
introduzindo-se assim um certo grau de empirismo ao nosso modelo teórico, ou tentar 
descrever o mecanismo de reação de forma detalhada para tentar desvendar a forma com que 
a velocidade de reação depende da concentração do reagente. 
 Para a maioria dos sistemas de interesse para um engenheiro químico existem somente 
três quantidades: massa, energia e momento. Frequentemente, no entanto, as variáveis 
 14 
fundamentais não podem ser medidas diretamente. Nestes casos, selecionamos outras 
variáveis que podem ser medidas e que agrupadas apropriadamente determinam o valor das 
variáveis fundamentais. Então massa, energia e momento podem ser caracterizados por 
variáveis tais como densidade, concentração, temperatura, pressão e vazão. Estas são as 
chamadas variáveis de estado e os seus valores definem o estado de um sistema. 
 As equações que relacionam as variáveis de estado (variáveis dependentes) às 
variáveis independentes são derivadas da aplicação de princípios de conservação nas 
quantidades fundamentais e são chamadas de equações de estado. 
 O princípio da conservação de uma quantidade S diz que: 
[acúmulo S]/tempo = [entrada S]/tempo - [saída S]/tempo + [geração S]/tempo 
- [consumo S]/tempo 
S pode ser: 
 massa total 
 massa dos componentes individuais 
 energia total 
 momento 
Deve-se lembrar sempre que para os processos químicos a massa total e a energia total 
não podem ser gerados nem desaparecer. 
Revisando a forma mais usada das equações de balanço: 
 Balanço de massa total: 
 

entradas:i saídas:j
jjii FF
dt
)V(d
 (2.21) 
 Balanço de massa para o componente A: 
rVFCFC
dt
)VC(d
dt
dn
j
saídas:j
Aji
entradas:i
Ai
AA  
 (2.22) 
 Balanço total de energia: 
WsQhFhF
dt
)PKU(d
dt
dE
saídas:j
jjj
entradas:i
iii 

 
 (2.23) 
 As variáveis que aparecem acima são: 
: densidade 
V: volume do sistema 
F: vazão volumétrica de alimentação 
nA: número de moles do componente A 
 15 
CA: concentração molar de A (moles/volume) 
r: taxa de reação por unidade de volume para o componente A 
h: entalpia específica 
U, K, P: energias interna, cinética e potencial do sistema 
Q: quantidade de calor trocada pelo sistema com o meio ambiente por unidade de tempo 
(por condução, radiação ou reação) 
Ws: trabalho realizado por unidade de tempo 
 Por convenção, uma quantidade é considerada positiva se entra no sistema e negativa 
se sai. 
 As equações de estado com as variáveis de estado associadas constituem o modelo 
matemático do processo, que simula o comportamento dinâmico do processo. A aplicação dos 
princípios de conservação levam a um conjunto de equações diferenciais com as quantidades 
fundamentais como variáveis dependentes e o tempo como a variável independente. A 
solução das equações diferenciais determinam como as quantidades fundamentais, ou 
equivalentemente, as variáveis de estado, mudam com o tempo, ou seja, o comportamento 
dinâmico do processo. 
 Se as variáveis de estado não variam com o tempo, dizemos que o processo está em 
estado estacionário. Neste caso a taxa de acúmulo é zero e, logo, os balanços resultantes são 
um conjunto de equações algébricas. 
Exemplo 2.2- Considere o tanque aquecedor do exemplo 1.1 (Figura 1.1). As quantidades 
fundamentais cujos valores definem o estado do aquecedor são: 
 a massa total de líquido no tanque 
 a energia total do material no tanque 
 o momento 
O momento permanece constante mesmo com as perturbações e não será considerado. 
 As variáveis de estado, logo, são: 
 massa total no tanque=
AhV 
 
onde  é a densidade do líquido, V é o volume de líquido, A é a área tranversal do tanque e h 
é a altura do nível de líquido. 
 energia total do líquido no tanque=E=U+K+P 
Se a velocidade de escoamento da entrada e saída não forem muito altas, o termo de energia 
cinética é desprezível:dK/dt. Se a diferença de altura entre a entrada e saída não for alta a 
energia potencial também é desprezível:dP/dt=0. Assim, dE/dt=dU/dt. 
 16 
 As equações de balanço são dadas por: 
 balanço de massa total: 
FF
dt
)Ah(d
i 

 
onde Fi e F são as vazões volumétricas de entrada e saída. 
 Considerando-se que  não varia com a temperatura 
FF
dt
dh
A i 
 (2.24) 
 balanço de energia total 
QhFhF
dt
)VU(d
ii 

 
Mas a entalpia é definida como 
VPUH 
 
Para líquidos o termo 
VP
é desprezível e 
dt
dH
dt
dU

 
Além disso 
)TT(CpH refonde Cp é a capacidade calorífica do líquido no tanque e Tref é a temperatura de referência 
onde a entalpia específica do líquido é assumida igual a zero. A equação se transforma em: 
Q)TT(FCp)TT(CpF
dt
)]TT(AhCp[d
refrefii
ref 

 
onde Q é a quantidade de calor fornecida pelo vapor por unidade de tempo. Simplificando 
(assume-se que Tref=0): 
Cp
Q
FTTF
dt
)hT(d
A ii


 
Mas, 
dt
dh
AT
dt
dT
Ah
dt
)hT(d
A 
. Substituindo então a equação 2.24 e simplificando chega-se a 
Cp
Q
)TT(F
dt
dT
Ah ii


 (2.25) 
As variáveis nas equações 2.4 e 2.5 podem ser classificadas como segue: 
 variáveis de estado: h, T 
 variáveis de saída: h, T (medidas) 
 variáveis de entrada: 
 perturbações: Ti, Fi 
 variáveis manipuladas: Q,F (para controle feedback) 
 Fi (para controle feedforward) 
Elementos adicionais dos modelos matemáticos 
 17 
 Além das equações de balanço, precisamos de outras relações para expressar equilíbrio 
termodinâmico, taxas de reação, taxas de transporte para calor, massa, momento, etc. Estas 
relações adicionais podem ser classificadas como: 
 Equações de taxas de transporte 
São necessárias para descrever taxas de transferência de massa, energia e momento. 
São estudadas em cursos de fenômenos de transporte. Por exemplo, o calor fornecido pelo 
vapor no exemplo anterior é dado pela seguinte equação de transferência de calor: 
)TT(UAQ Vt 
 
onde U=coeficiente global de tranferência de calor 
 At=área total de transferência de calor 
 TV=temperatura do vapor 
 Equações de taxas cinéticas 
São necessárias para descrever as taxas de reação química que ocorrem no sistema. 
São estudadas nos cursos de cinética. Por exemplo, a taxa de uma reação de primeira ordem 
ocorrendo num CSTR é dada por: 
A
RT
E
0 Cekr


 
onde k0=constante cinética 
 E=energia de ativação da reação 
 R=constante dos gases ideais 
 T,CA=Temperatura e concentração de A no líquido reacional. 
 Relações de equilíbrio de fase e reação 
São necessárias para descrever as situações de equilíbrio alcançadas durante uma 
reação química por duas ou mais fases. São estudadas em cursos de termodinâmica. 
 Equações de estado 
São necessárias para descrever relações entre as variáveis que descrevem o estado 
termodinâmico de um sistema. A equação dos gases ideais e a equação de van der Walls são 
dois exemplos de equação de estado para sistemas gasosos. 
 
Tempo morto 
 Nos exemplos anteriores assumimos que sempre que uma mudança ocorre numa das 
variáveis de entrada, seu efeito é instantaneamente observado nas variáveis de saída. Na 
verdade, normalmente quando uma variável de entrada sofre uma mudança existe um 
 18 
intervalo de tempo (curto ou longo) durante o qual nenhum efeito é observado nas saídas do 
sistema. Este intervalo é chamado de tempo morto. 
Exemplo 2.3- Considere o escoamento de um líquido incompressível através de um tubo 
(Figura 2.1a). Se o tubo é termicamente isolado e o calor gerado pela fricção do fluido 
escoando é desprezível, é fácil concluir que no estado estacionário a temperatura de saída do 
tubo (Tout) é igual à de entrada (Tin). Se no tempo t=0 a temperatura de entrada muda como 
mostrado pela curva A mostrada na Figura 2.1b é claro que a temperatura na saída (Tout) vai 
permanecer a mesma até que a mudança chegue ao final do tubo. Então vamos observar a 
temperatura de saída mudando, como mostrado na curva B na Figura 2.1b. Notamos que a 
mudança na temperatura de saída segue a mesma forma da mudança na entrada com um 
atraso de td segundos. td é o tempo morto e a partir de considerações físicas é fácil ver que: 
avav U
L
AU
AL
avolumétricvazão
tubodovolume
td 
 
onde Uav é a velocidade média do fluido através da área transversal do tubo, assumida 
constante. Podemos relacionar Tin e Tout como: 
)tdt(T)t(T inout 
 
 
Figura 2.2 
 
Exemplos adicionais 
Exemplo 2.4: Modelo matemático de um CSTR 
 19 
 Considere o CSRT do exemplo 1.2 (Figura 1.4), onde uma reação simples exotérmica 
A  B acontece no reator, que é resfriado por um fluido refrigerante que escoa através de 
uma jaqueta em torno do reator. 
 As quantidades fundamentais do reator são: 
 massa total de mistura reativa no reator 
 massa do componente A na mistura reativa 
 energia total da mistura reagente no tanque 
 A massa do componente B pode ser calculada a partir dos balanços do componente A 
e global. Logo, este balanço não é independente. (massa total = massa A + massa B). A massa 
se conserva, mas não o número de moles dos componentes. 
 Os balanços são: 
 balanço global: 
FF
dt
)V(d
ii 

 
considerando =cte, temos: 
FF
dt
dV
i 
 
 balanço para o componente A: 
rVFCFC
dt
)VC(d
dt
dn
AiAi
AA 
 
Substituindo a equação de balanço global (dV/dt) e simplificando: 
A
RT
E
0AAi
iA Cek)CC(
V
F
dt
dC


 
 balanço de energia: 
QrV)Hr()TT(Fcp)TT(cpF
dt
)]TT(Vcp[d
dt
dH
refrefii
ref 


 
onde Hr é o calor de reação, que por convenção é negativo para reação exotérmica e Q é o 
calor retirado pela jaqueta. 
Simplificando chega-se a: 
CpV
Q
Cp
r)Hr(
)TT(
V
F
dt
dT
i
i





 
Exemplo 2.5- Considere o CSTR com duas fases mostrado na Figura 2.3. Correntes de 
líquido (F)e vapor (Fv) são retiradas do tanque. A pressão no tanque é P. Os volumes de 
líquido e vapor são V e Vv. A densidade e temperatura da fase vapor são v e Tv. A fração 
molar de A no vapor é y. 
 20 
 
Figura 2.3 
 Se as fases estão em equilíbrio térmico, as temperaturas do vapor e líquido são iguais 
(T=Tv). Se existe equilíbrio de fases, as composições do líquido e do vapor estão relacionadas 
pela lei de Raoult, por uma relação de volatilidade relativa ou alguma outra relação de 
equilíbrio líquido-vapor. A entalpia da fase vapor (H) é uma função da composição y, da 
temperatura Tv e da pressão. Desprezando os termos de energia cinética, potencial e trabalho 
e substituindo as energias internas por entalpias, a equação de balanço global de energia se 
transforma em: 
Vr)Hr(QvHFvhFhF
dt
)hVHvV(d
000
Lv 

 
Pode-se substituir a entalpia do líquido por h=CpT e a do vapor por H=CpT+v, onde v é o 
calor de vaporização da mistura. A equação se transforma em: 
Vr)Hr(Q)vCpT(vFvCpTFCpTF
dt
)CpTV)vCpT(vV(d
000
Lv 

 
b)Modelos de diferenças finitas 
 Modelos com equações de diferenças finitas correspondem à discretização de modelos 
de equações diferenciais e são normalmente usados em sistemas de controle digital. 
Exemplo 2.6: discretização de um modelo de 1
a
 ordem. Considere o processo 
dy
dt
f x y ( , )
 (2.26) 
Discretizando, temos 
dy
dt
y y
t
n n
 1

 (2.27) 
ou 
dy
dt
y y
t
n n
1

 (2.28) 
Usando a eq. (2.27) temos a equação de diferenças finitas 
y y t f y xn n n n   1 1 1 . ( , )
 (2.29) 
 21 
Exemplo 2.7: discretização de um modelo de 2
a
 ordem. 
d y
dt
a
dy
dt
a y x
2
2 1 0
  
 (2.30) 
d y
dt
d
dt
dy
dt
d
dt
y y
t t
y y yn n n n n
2
2
1
2 1 2
1
2





 





   

 
 
( )
 (2.31) 
1 2 1
2
1
2
1
0 1 2 2 1    t
a
t
y
t
a
t
a y
t
y xn n n n





   





    
 (2.32) 
Logo, 
y a y a y b xn n n n    1 1 2 2 1 1
' ' '
 (2.33)Estes modelos podem ser não lineares ou lineares, dependendo se resultam da 
discretização de equações diferenciais não lineares ou linearizadas. 
c) Modelos de entrada-saída 
 Todo processo químico e as suas variáveis associadas podem ser descritos pela Figura 
2.4. Um modelo matemático conveniente para um projetista de sistemas de controle deve estar 
de acordo com esta figura, ou seja, deve ser tal que, dados os valores das entradas, ele calcula 
diretamente os valores das saídas. Em particular, o modelo deve ter a seguinte forma geral 
para cada saída 
saída = f(variáveis de entrada) 
 
Figura 2.4 
ou seja, usando-se a Figura 2.4: 
y f m m m d d di k L ( , ,..., ; , ... )1 2 1 2
 para i=1,2,…,m. (2.34) 
Estes modelos que descrevem diretamente a relação entre as variáveis de entrada e 
saída de um processo são chamados de modelos de entrada-saída. Existem diversos tipos de 
modelo de entrada-saída, entre eles os modelos de resposta ao degrau, os modelos de 
convolução, os modelos de funções de transferência e até mesmo as redes neuronais. 
 
 
c.1)Modelos de função de transferência 
c.1.1) Transformada de Laplace 
 22 
 Os modelos de função de transferência usam transformadas de Laplace. Estas 
transformadas são muito usadas em controle de processos, já que permitem o 
desenvolvimento de representações dinâmicas bastante simples de processos químicos. Elas 
transformam equações diferenciais lineares ou linearizadas em equações algébricas, com as 
quais é muito mais fácil trabalhar, e permitem uma análise rápida da dinâmica do processo. 
Além disso, elas fornecem uma relação direta entre as entradas e saídas do processo. 
 A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida da seguinte forma: 
dtf(t)ef(s)[f(t)]
0
st-


L
 (2.35) 
 Nota-se que a transformada de Laplace é a transformação de uma função do domínio 
do tempo (onde t é a variável independente) para o domínio s (onde s é a variável 
independente). s é uma variável definida no plano complexo (s=a+jb). 
 A transformada de Laplace é uma operação linear: 
)]t(f[a)]t(f[a)]t(fa)t(fa[ 22112211 LLL 
 (2.36) 
onde a1 e a2 são parâmetros constantes. 
Propriedades adicionais das transformadas de Laplace: 
Teorema do valor final: 
0st
)]s(sflim[)t(flim
 

 (2.37) 
Teorema do valor inicial: 


s0t
)]s(sflim[)t(flim
 (2.38) 
c.1.2) Funções de transferência dos modelos entrada-saída 
 Considere um sistema simples com uma entrada e uma saída (SISO-Single input 
Single Output), como descrito na Figura 2.5a. O seu comportamento dinâmico é descrito por 
uma equação diferencial linear ou linearizada de ordem n. 
Figura 2.5 
a
d y
dt
a
d y
dt
a
dy
dt
a y bf tn
n
n n
n
n
    

1
1
1 1 0
..... ( )
 (2.39) 
 23 
onde f(t) e y(t) são as variáveis de entrada e saída do processo, respectivamente. As duas são 
descritas como variáveis desvio. Considere que o sistema inicialmente está no estado 
estacionário. Logo 
y
dy
dt
d y
dt
d y
dtt t
n
n
t
( ) ........0 0
0
2
2
0
1
1
0






 








 









 



 (2.40) 
 Sabemos que a transformada de Laplace da derivada é dada por 
)0(y)0(sy.......)0(ys)0(ys)s(ys
dt
)t(yd 1n2n'2n1nn
n
n
 








L
 (2.41) 
Logo, pode-se calcular a transformada de Laplace da eq. (2.39) 
a s y s a s y s a sy s a y s bf sn
n
n
n( ) ( ) ...... ( ) ( ) ( )    

1
1
1 0
 (2.42) 
Pode-se escrever a função de transferência, G(s), que relaciona a entrada diretamente com a 
saída numa forma algébrica simples 
G s
y s
f s
b
a s a s a s an
n
n
n
( )
( )
( ) .......
 
   

1
1
1 0
 (2.43) 
 A figura 2.5b descreve esta relação entrada-saída e é chamada de diagrama de blocos 
do sistema. 
 Se o processo tem duas entradas, como mostrado na figura 2.6a, o modelo dinâmico é 
a
d y
dt
a
d y
dt
a
dy
dt
a y b f t b f tn
n
n n
n
n
     

1
1
1 1 0 1 1 2 2
..... ( ) ( )
 (2.44) 
Com as mesmas condições iniciais (eq. (2.38)), temos 
y s
b
a s a s a s a
f s
b
a s a s a s a
f s
n
n
n
n
n
n
n
n
( )
......
( )
......
( )
   

   



1
1
1
1 0
1
2
1
1
1 0
2
 (2.45) 
Ou equivalentemente 
y s G s f s G s f s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2
 (2.46) 
onde G1(s) e G2(s) são duas funções de transferência que relacionam a saída do processo a 
cada uma das entradas. Estas relações estão mostradas no diagrama de blocos da figura 2.6b. 
Um procedimento semelhante pode ser aplicado a qualquer sistema com uma saída e várias 
entradas, como mostrado na figura 2.7. 
 24 
 
Figura 2.6 
 
Figura 2.7 
 Resumindo, pode-se definir a função de transferência entre uma entrada e uma saída 
da 
seguinte forma 
G s( ) 
transformada de Laplace da saida, em variaveis desvio
transformada de Laplace da entrada, em variaveis desvio
 (2.47) 
 
 25 
 
 
 26 
 
 27 
 
c.1.3) Inversão de transformadas de Laplace (Expansão por frações parciais ou 
expansão de Heaviside) 
 O ponto crítico para se achar a solução de uma equação diferencial usando 
transformadas de Laplace é a inversão destas transformadas para voltar ao domínio do tempo. 
Vamos então estudar o método das frações parciais para inversão destas transformadas. 
 Considere que a transformada de Laplace de uma função desconhecida x (t) é dada 
por: 
)s(P
)s(Q
)s(x 
 
 Caso 1- P(s) com raízes reais e distintas 
Considere a seguinte função de transferência: 
)s(P
)s(Q
2ss2s
6ss
)s(x
23
2




 
 28 
P(s) é de 3ª ordem e tem três raízes: p1=1, p2=-1 e p3=2 
Então P(s) pode ser escrito como 
)2s)(1s)(1s()s(P 
 
Então a equação de x(s) pode ser expandida em frações parciais como 
)2s(
C
)1s(
C
)1s(
C
)2s)(1s)(1s(
6ss
)s(x 321
2









 (2.48) 
A inversa desta função de transferência é igual a: 






















)2s(
C
)1s(
C
)1s(
C
)t(x 3
1-
2
1-
1-1 LLL
 
Usando a Tabela 2.1, temos: 
t2
3
t
2
t
1 eCeCeC)t(x 

 (2.49) 
Para calcular C1 deve-se multiplicar os dois lados da equação acima por (s-1): 
)2s(
)1s(C
)1s(
)1s(C
C
)2s)(1s(
)6ss(
)s(x 321
2









 
Se assumirmos (s-1)=0 ou s=1, temos: 
3
)2s)(1s(
)6ss(
C
1s
2
1 












 
Para calcular C2 deve-se multiplicar ambos os lados da eq. (2.48) por (s+1): 
)2s(
)1s(C
C
)1s(
)1s(C
)2s)(1s(
6ss
)s(x 32
1
2









 
Assumimos s+1=0 ou s=-1, logo: 
3/2
)2s)(1s(
6ss
C
1s
2
2 












 
Para calcular C3 deve-se multiplicar ambos os lados da eq. (2.48) por (s-2): 
3
21
2
C
)1s(
)2s(C
)1s(
)2s(C
)1s)(1s(
6ss
)s(x 









 
Assumimos s-2=0, ou seja, s=2. Logo 
3/4
)1s)(1s(
6ss
C
2s
2
3 












 
Da eq. (2.49) temos a resposta: 
t2tt e3/4e3/2e3)t(x  
 
 Caso 2- P(s) com raízes complexas e distintas 
Considere a transformada: 
 29 
5s2s
1s
)s(x
2 


 
P(s)tem duas raízes distintas e complexas conjugadas: 
p1=1+2j e p2=1-2j 
Então 
)]j21(s)][j21(s[5s2s)s(P 2 
 
Expandindo em frações parciais: 
)j21(s
C
)j21(s
C
)]j21(s)][j21(s[
1s
5s2s
1s
)s(x 21
2 









 
Usando a Tabela 2.1: 
t)j21(
2
t)j21(
1 eCeC)t(x
 
 
Para calcular C1, multiplica-se ambos os lados da equação acima por [s-(1+2j)] 
)j21(s
)]j21(s[C
C
)]j21(s[
1s 2
1





 
Fazendo [s-(1+2j)]=0, ou seja s=1+2j, calcula-se 
2
j1
C1


 
Fazendo [s-(1-2j)]=0, ou seja s=1-2j, calcula-se 
2
j1
C2


 
Note que os coeficientes C1 e C2 são complexos conjugados. 
Substituindo a resposta é: 
t)j21(t)j21( e
2
j1
e
2
j1
)t(x 




 ou 
jt2jt2
t
e)j1(e)j1[(
2
e
)t(x 
 
Relembrando a identidade de Euler: 
asenjacose ja 
 
Então 
t2senjt2cose jt2 
 
e 
t2senjt2cos)t2sen(j)t2cos(e jt2 
 
Então 
)t2sent2(cose
)]t2senjt2)(cosj1()t2senjt2)(cosj1[(
2
e
e)j1(e)j1[(
2
e
)t(x
t
t
jt2jt2
t

  
 30 
Relembrando a identidade trigonométrica: 
)bsen(3absen2abcos1a 
 
onde 
22 2a1a3a 
 e 






 
2a
1a
tan 1
 
Então a resposta é 
)t2sen(2e)t(x t 
 
onde =tan-1(1/1)=45º 
Então, sempre que um polinômio P(s) tiver raízes complexas : 
-elas sempre serão pares complexos conjugados 
-os coeficientes dos termos correspondentes na expansão em frações parciais também serão 
complexos conjugados um do outro. 
-darão origem a um termo periódico (ex. onda senoidal). 
 Caso 3- P(s) com raízes múltiplas 
Considere a transformada de Laplace: 
)2s()1s(
1
)s(x
3 

 
Este polinômio tem 3 raízes iguais e uma diferente: 
p1=p2=p3=-1 e p4=-2 
Expandindo em frações parciais: 
2s
C
)1s(
C
)1s(
C
1s
C
)2s()1s(
1
)s(x 4
3
3
2
21
3 









 (2.50) 
Pelas tabelas 2.1 e 2.2 temos que: 
t2
4
t23t
2
t
1 eCet
2
C
teCeC)t(x  
 
Cálculo de C4: este coeficiente é o correspondente à raiz distinta e pode ser calculado pelo 
procedimento já descrito, ou seja, multiplica-se ambos os lados da eq.(2.50) por (s+2) e faça 
s=-2. C4=-1. 
Cálculo de C3: multiplique ambos os lados da eq. (2.50) por (s+1)
3
: 
2s
)1s(C
C)1s(C)1s(C
)2s(
1 34
32
2
1




 (2.51) 
Faça s=-1 e obtenha C3=1. 
Cálculo de C2: o procedimento descrito acima não funciona. Se multiplicarmos ambos os 
lados da equação por (s+1)
2
 temos: 
 31 
2s
)1s(C
)1s(
C
C)1s(C
)2s)(1s(
1
2
43
21






 
Fazendo s=-1, tanto o lado esquerdo quanto o termo envolvendo C3 tendem a infinito. O 
mesmo problema acontece se tentarmos calcular C1. Então, um procedimento alternativo deve 
ser usado. Diferencie ambos os lados da eq. (2.51) com relação a s e obtenha: 
2
2
4212 )2s(
)5s2()1s(
CC)1s(C2
)2s(
1





 (2.52) 
Faça s=-1 e obtenha C2=-1. 
Cálculo de C1: para obter C1 diferencie a eq. (2.52) uma vez mais e obtenha: 
3
2
413 )2s(
7s5s
)1s(2CC2
)2s(
2




 
Faça s=-1 e obtenha C1=1. 
c.1.4) Pólos e zeros de uma função de transferência 
 De acordo com a definição de função de transferência, temos: 
)s(f
)s(y
)s(G 
 (2.53) 
Em geral, a função de transferência G(s) será a razão de dois polinômios: 
)s(P
)s(Q
)s(G 
 (2.54) 
Para sistemas fisicamente realizáveis, o polinômio Q(s) será sempre de ordem menor do que o 
P(s). 
 As raízes do polinômio Q(s) são chamadas de zeros da função de transferência ou 
zeros do sistema cuja dinâmica é descrita pela função de transferência G(s). Quando a 
variável s assume os valores dos zeros de Q(s), a função de transferência é igual a zero. 
 As raízes do polinômio P(s) são chamadas de pólos da função de transferência, ou 
equivalentemente de pólos do sistema. Nos pólos de um sistema a função de transferência 
tende ao infinito. 
 Se sabemos onde os pólos de um sistema estão localizados, podemos determinar as 
características qualitativas da resposta do sistema a uma entrada em particular sem cálculos 
adicionais. Por exemplo, considere que a função de transferência de um sistema dada por: 
)5ps*)(4ps)(4ps()3ps)(2ps)(1ps(
)s(Q
)s(G
m 

 
 32 
onde p1, p2, p3, p4, p4* e p5 são as raízes de P(s), ou seja, os pólos do sistema. As seguintes 
observações podem ser feitas sobre a localização dos pólos: 
1- Pólos distintos e reais, tais como p1 e p2 na Figura 2.8, estão localizados no eixo real. 
Durante a inversão da transformada de Laplace, dão origem a termos exponenciais tais como 
C1e 
p1t
 e C2e 
p2t
. Como p1<0, C1e 
p1t
 cai exponencialmente para zero para t  (Figura 2.9a). 
Como p2>0, C2e 
p2t
 aumenta exponencialmente conforme t (Figura 2.9b). Então, pólos 
distintos no eixo real negativo produzem termos que caem para zero com o tempo, enquanto 
pólos positivos reais fazem com que a resposta tenda a infinito com o tempo. 
2-Múltiplos pólos reais, tais como p3, que são repetidos m vezes, levam a termos como: 
t3p1mm323332
31 et
)!1m(
C
...t
!2
C
t
!1
C
C 






 
 
O termo entre colchetes tende à infinito com o tempo. O comportamento do termo 
exponencial depende do valor do pólo p3: 
Se p3>0 então e
p3t quando t. 
Se p3<0 então e
p3t0 quando t. 
Se p3=0 então e
p3t
=1 pata todo tempo t. 
 Então pólos reais e múltiplos levam a termos que tendem ao infinito, se o pólo é 
positivo ou zero, ou decaem para zero, se o pólo é negativo. 
 
Figura 2.8 
 33 
 
Figura 2.9 
3-Pólos conjugados e complexos, tais como p4 e p4*. Deve-se enfatizar que estas pólos 
sempre aparecem em pares conjugados e nunca sozinhos. Seja p4=a+jb e p4=a-jb. Na 
inversão estes levam a termos tais como e 
at
 sen(bt+). A função sen(bt+) é periódica e 
oscilatória e o comportamento de e 
at
 depende do valor da parte real a. Então: 
Se a>0, então e 
at quando t, e e at sen(bt+) tende para infinito de forma oscilatória 
(Figura 2.10a). 
Se a<0, então e 
at0 quando t, e e at sen(bt+) cai para zero de forma oscilatória com 
amplitude decrescente (Figura 2.10b). 
Se a=0, então e 
at
=1 para todo t, e e 
at
 sen(bt+)=sen(bt+), que oscila continuamente com 
amplitude constante (Figura 2.10c). 
 
Figura 2.10 
Então, um par de complexos conjugados como pólos levam a comportamento oscilatório, cuja 
amplitude pode crescer continuamente se a parte real do pólo complexo for positiva, decrescer 
para zero se a parte real do complexo for negativa ou permanecer constante se a parte real for 
zero. 
 34 
Observações 
1-O comportamento descrito acima é geral e descreve qualquer sistema. Assim, pode-se 
encontrar as características qualitativas da resposta do sistema se sabemos onde os pólos da 
sua função de transferência estão localizados. Para uma entrada particular f(t) devemos 
considerar as raízes adicionais introduzidas pelo denominador de f(s) antes de ter o quadro 
completo da resposta do sistema. 
2-Pólos à direita do eixo imaginário levam a termos que crescem para o infinito com o tempo. 
Tais sistemas com comportamento não limitado são chamados de instáveis. Assim, um 
sistema será estável (ou seja, com resposta dentro de limites) se todos os pólos estão situados 
à esquerda do eixo imaginário (Figura 2.8).35 
3-Comportamento Dinâmico 
 
3-1-Sistemas de primeira ordem 
 Um sistema de primeira ordem é aquele cuja saída y(t) é modelada por uma equação 
diferencial de primeira ordem. Então no caso de um sistema linear ou linearizado, temos: 
)t(bfya
dt
dy
a 01 
 (3.1) 
onde f(t) é a entrada do sistema. Se a00, então a equação acima pode ser escrita como: 
)t(f
a
b
y
dt
dy
a
a
00
1 
 
Definimos 
p
0
1
a
a

 e 
p
0
K
a
b

 
Logo a equação se transforma em 
)t(fKy
dt
dy
pp 
 (3.2) 
p é conhecida como a constante de tempo do sistema e Kp é chamado de ganho estático ou 
ganho estacionário do processo. 
 Se y(t) e f(t) estão em termos de variáveis desvio em torno do estado estacionário 
inicial, as condições iniciais são: 
y(0)=0 e f(0)=0 
Logo, a função de transferência de um processo de primeira ordem é: 
1s
K
)s(f
)s(y
)s(G
p
p


 (3.3) 
 Um processo de primeira ordem com a função de transferência acima é também 
conhecido como atraso de primeira ordem (first-order lag) ou atraso linear (linear lag). 
 Se a0=0, então da eq. (3.1) temos: 
)t(fK)t(f
a
b
dt
dy '
p
1

 
que leva a uma função de transferência: 
s
K
)s(f
)s(y
)s(G
'
p

 (3.4) 
Neste caso o processo é chamado de puramente capacitivo ou integrador puro. 
 
 36 
Resposta dinâmica de um processo de primeira ordem 
 Imagine um processo com função de transferência dada pela eq.(3.3). Vamos examinar 
como ele responde a um degrau unitário em f(t). Como f(s)=1/s, da eq. (3.3) temos: 
1s
K
s
K
)1s(s
K
)s(y
p
ppp
p
p





 
Invertendo esta equação temos: 
)e1(K)t(y p
/t
p


 
3.2-Sistemas de segunda ordem 
 Um sistema de segunda ordem é descrito por equações diferenciais de segunda ordem. 
Por exemplo, a seguinte equação descreve um sistema linear de segunda ordem: 
)t(bfya
dt
dy
a
dt
yd
a 012
2
2 
 (3.5) 
Se a00, então: 
)t(fKy
dt
dy
2
dt
yd
p2
2
2 
 (3.6) 
onde 2=a2/a0, 2=a1/a0 e Kp=b/a0. A equação (3.6) está na forma padrão de um sistema de 
segunda ordem, onde 
=período natural de oscilação do sistema 
=fator de amortecimento 
Kp=ganho de estado estacionário, ganho estático ou simplesmente ganho do sistema. 
 Se a eq. (3.6) está escrita em termos de variáveis desvio, as condições iniciais são 
iguais a zero e a sua transformada de Laplace leva à seguinte função de transferência: 
1s2s
K
)s(f
)s(y
)s(G
22
p


 (3.7) 
Resposta dinâmica de um processo de segunda ordem 
 Vamos examinar como um sistema descrito pela função de transferência dada pela eq. 
3.7 responde a um degrau unitário na entrada. Para um degrau unitário a eq. 3.7 fica: 
)1s2s(s
K
)s(y
22
p


 (3.8) 
 Os dois pólos da função de transferência são dadas pelas duas raízes do polinômio 
característico 
01s2s22 
 
 37 
e são 






1
1p
2 e 






1
2p
2 
Logo, a eq. 3.8 se transforma em: 
)2ps)(1ps(s
/K
)s(y
2
p



 (3.9) 
e a forma da resposta y(t) vai depender da localização dos dois pólos, p1 e p2, no plano 
complexo. Pode-se distinguir três casos distintos: 
Caso A: quando  > 1, temos dois pólos distintos e reais 
Caso B: quando  = 1, temos dois pólos iguais (pólos múltiplos) 
Caso C: quando  < 1, temos dois pólos complexos conjugados 
Caso A: Sistema super amortecido ( > 1) 
 Neste caso a inversão da eq. 3.9 por expensão por frações parciais leva a: 

































 
t
1senh
1
t
1coshe1K)t(y 2
2
2/t
p
 (3.10) 
onde cosh(.) e senh(.) são as funções trigonométricas definidas por: 
2
ee
senh
 

 e 
2
ee
cosh
 

 
 A resposta está mostrada na Figura 3.1 para vários valores de  > 1. Ela é conhecida 
como resposta super amortecida e lembra a resposta de um sistema de 1ª ordem a uma 
perturbação degrau. No entanto, quando comparada a uma resposta de 1ª ordem notamos que 
o sistema inicialmente demora a responder e então a sua resposta é bem lenta. Ela se torna 
mais lenta conforme  aumenta. Finalmente, notamos que quando o tempo passa, a resposta se 
aproxima do seu valor final assintoticamente. Como no caso do sistema de 1ª ordem o ganho é 
dado por: 
)entradadaioestacionárestado(
)saídadaioestacionárestado(
Kp



 
Caso B: Sistema criticamente amortecido ( = 1). 
 Neste caso, a inversão da eq. 3.9 resulta em: 













  /tp e
t
11K)t(y
 (3.11) 
 38 
 A resposta também está mostrada na Figura 3.1. Notamos que um sistema de segunda 
ordem com amortecimento crítico se aproxima do seu valor final mas rápido do que um 
sistema super amortecido. 
 
Figura 3.1 
Caso C: Resposta sub amortecida ( < 1) 
 A inversão da eq. 3.9 neste caso leva a: 










 


)wtsen(e
1
1
1K)t(y
t
2
p
 (3.12) 
onde 



21
w
 (3.13) 
e 










 
2
1 1tan
 (3.14) 
 A reposta está mostrada na Figura 3.1 para vários valores do fator de amortecimento. 
Pode-se observar o seguinte: 
1-A resposta sub amortecida é inicialmente mais rápida do que a criticamente amortecida ou 
super amortecida, que é caracterizada como lenta. 
 39 
2-Embora a resposta sub amortecida seja inicialmente mais rápida e atinja o seu valor final 
rapidamente, não permanece lá, mas começa a oscilar com amplitude progressivamente 
decrescente. Este comportamento oscilatório faz a resposta sub amortecida completamente 
diferente das outras. 
3-O comportamento oscilatório se torna mais pronunciado com valores menores do fator de 
amortecimento (). 
 Deve ser enfatizado que quase todas as respostas sub amortecidas numa planta 
química são causadas pela interação de controladores com as unidades de processo que eles 
controlam. Assim, este é um tipo de resposta que vamos encontrar com bastante frequência e 
é importante nos familiarizarmos com as suas características. 
 
Figura 3.2-Características de uma resposta sub amortecida. 
 Vamos usar como referência a resposta sub amortecida mostrada na Figura 3.2, de 
forma a definir os termos empregados para descrever uma resposta sub amortecida. 
1-Sobre elevação ou Overshoot: é a razão A/B, onde B é o valor final da resposta e A é o 
valor máximo em que a resposta excede o seu valor máximo. O overshoot é uma função de , 
e pode-se demonstrar que ele pode ser calculado por: 













21
expovershoot
 
A Figura 3.3 mostra o overshoot contra  dado pela eq. acima. Notamos que o overshoot 
aumenta conforme  diminui e que conforme  se aproxima de 1 o overshoot se aproxima de 
zero (resposta criticamente amortecida). 
2- Razão de declínio: É a razão C/A, ou seja, a razão entre o valor acima da resposta final 
atingida por dois picos sucessivos. Ela é descrita por: 
 40 
2
2
)(
1
2
expdeclínioderazão overshoot













 
Esta equação também foi traçada na Figura 3.3. 
 
Figura 3.3- efeito do fator de amortecimento no overshoot e razão de declínio. 
3-Período de oscilação: da eq. 3.13 temos a frequência das oscilações (rad/tempo) de um 
sistema sub amortecido. O período de oscilação T (ou seja, o tempopassado entre dois picos 
sucessivos), é calculado pela relação 
f2w 
e f=1/T, onde f é a frequência cíclica. Então: 
21
2
T



 
4- Período natural de oscilação: um sistema de segunda ordem com =0 é um sistema sem 
amortecimento. Sua função de transferência é: 
)
1
js)(
1
js(
/K
1s
K
)s(G
2
p
2
p








 
ou seja, tem dois pólos imaginários puros e vai oscilar continuamente com amplitude 
constante e frequência natural igual a: 


1
wn
 
O período cíclico correspondente Tn é dado por: 
 2Tn
 
5- Tempo de resposta: a resposta de um sistema sub amortecido atingirá o seu valor final de 
forma oscilatória quando t→. Para questões práticas considera-se que a resposta atingiu o 
valor final quando está dentro da faixa de  5% do valor final e permanece ai. O tempo 
 41 
necessário para a resposta chegar neste ponto é conhecida como tempo de resposta e também 
está mostrado na Figura 3.2. 
6-Tempo de ascensão: este termo é usado para caracterizar a velocidade com a qual o sistema 
responde. É definido como o tempo necessário para a resposta atingir o seu valor final pela 
primeira vez (ver Figura 3.2). Pela Figura 3.1b pode-se ver que quanto menor o valor de , 
menor o tempo de ascensão, ou seja, mais rápida é a resposta do sistema, mas ao mesmo 
tempo maior é o valor do overshoot. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42 
4-Sistemas de Controle Feedback (Controle por Realimentação de Estados) 
 
4.1-Introdução 
 Considere o processo genérico mostrado na Figura 4.1a. Ele tem uma saída y, uma 
perturbação potencial d e uma variável manipulada m. 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 4.1- (a) Processo; (b) Malha de controle correspondente. 
 Existem duas situações nas quais um sistema de controle pode ser requerido. Na 
primeira, a perturbação d, também chamada de carga, muda de maneira imprevisível e o 
objetivo do controle é manter a saída y num valor desejado. Este é o chamado problema de 
controle regulatório. Na segunda, é feita uma mudança no valor do estado estacionário 
desejado (set point) e o objetivo do controle é levar a saída y ao novo estado estacionário. 
Este é o chamado problema de controle servo. Em ambos os casos a ação de controle 
feedback é a seguinte: 
 mede-se o valor da saída y usando um equipamento de medida adequado 
 compara-se o valor medido da saída ym ao valor de set point (ysp). O erro é calculado por 
=ysp-ym. 
 43 
 o valor do erro é alimentado ao controlador. Este muda o valor da variável manipulada m 
de forma a reduzir o erro. O controlador geralmente não afeta a variável manipulada m 
diretamente, mas através de um elemento final de controle. 
 A figura 4.1b mostra estes três passos. O sistema na figura 4.1a é dito estar em malha 
aberta, em contraste com o sistema controlado da figura 4.1b, que é dito estar em malha 
fechada. 
Vantagens do controle feedback: 
 o sistema de controle não requer nenhum conhecimento da fonte ou natureza da 
perturbação. 
 para fazer um sistema feedback funcionar só é necessário saber se a variável manipulada 
faz a variável controlada aumentar ou diminuir. 
Desvantagens: 
A principal desvantagem do controle feedback é que a perturbação atinge o processo e 
somente depois que a saída controlada se afasta do set point é que o sistema de controle toma 
alguma ação. Embora a maioria dos processos permitam alguma flutuação da variável 
controlada dentro de uma certa faixa, existem duas condições que fazem com que o controle 
feedback não funcione bem. Uma delas é a ocorrência de perturbações de grande magnitude 
que sejam fortes o suficiente para afetar seriamente ou mesmo danificar o processo. O outro 
caso é o de processos com grandes atrasos (lag). 
 Os componentes de uma malha de controle feedback são 
 processo: equipamentos físicos do processo (tanques, trocadores de calor, reatores etc) 
 instrumentos de medida ou sensores: tais instrumentos são usados para medir a variável de 
saída e são as principais fontes de informação sobre o que acontece com o processo. 
Exemplos característicos são 
-termopares ou termômetros de resistência para medir a temperatura 
-tubos de venturi para medir vazões 
-cromatógrafos gasosos para medir a composição de uma corrente 
 Um termômetro de mercúrio não é um instrumento de medida apropriado para ser 
usado num sistema de controle já que a sua medida não pode ser prontamente transmitida. Por 
outro lado, um termopar é aceitável, porque gera uma voltagem elétrica que pode ser 
prontamente transmitida. Logo, a transmissão é um fator crucial na seleção de equipamentos 
de medida. 
 44 
 transdutores: muitas medidas não podem ser usadas para controle até que tenham sido 
convertidas em quantidades físicas (tais como voltagem elétrica ou corrente, ou um sinal 
pneumático, isto é, líquido ou ar comprimido) que possam ser transmitidas facilmente. Os 
transdutores são usados com o propósito de fazer esta conversão. Por exemplo, existem 
condutores metálicos cuja resistência elétrica muda quando eles são sujeitos a pressão 
mecânica. Logo, podem ser usados para converter um sinal de pressão para um elétrico. 
 linhas de transmissão: usadas para carregar o sinal medido do sensor ao controlador e do 
controlador ao elemento final de controle. Estas linhas podem ser pneumáticas (ar 
comprimido) ou elétricas. Muitas vezes o sinal vindo de um equipamento de medida é 
muito fraco e não pode ser transmitido por uma distância longa. Nestes casos, as linhas de 
transmissão são equipadas com amplificadores que elevam o nível do sinal. Por exemplo, a 
saída de um termopar é da ordem de milivolts. Antes de ser transmitida ao controlador, ela 
é amplificada ao nível de volts. 
 controlador: também inclui a função do comparador. esta é a unidade com lógica que 
decide quanto mudar o valor da variável manipulada. Requer a especificação do valor 
desejado (set point). 
 elemento final de controle: é o equipamento que recebe o sinal de controle e o implementa 
fisicamente ajustando o valor da variável manipulada. A válvula de controle é o elemento 
final de controle mais usado, mas não o único. Outros elementos finais de controle usados 
em processos químicos são: 
-interruptores de revezamento, para controle on-off 
-bombas de velocidade variável 
-compressores de velocidade variável 
 Cada um destes elementos deve ser visto como um sistema físico com uma entrada e 
uma saída. Consequentemente, o seu comportamento pode ser descrito, por exemplo, por uma 
equação diferencial ou uma função de transferência. 
4.2- Controladores feedback 
 Entre o equipamento de medida e o elemento final de controle está o controlador. A 
sua função é receber o sinal da saída medida ym(t) e, após compará-lo com o set point ysp, 
produzir um sinal c(t) de forma a retornar a saída para o valor desejado ysp. Logo, a entrada 
para o controlador é o erro (t)=ysp-ym(t), enquanto a saída é c(t). Os vários tipos de 
controladores diferem na forma em que relacionam (t) e c(t). 
 Há três tipos básicos de controladores feedback: 
 45 
 proporcional 
 proporcional-integral 
 proporcional-integral-derivativo 
 
4.2.1- Controlador proporcional (P) 
 Seu sinal de saída é proporcional ao erro 
c t K t cc s( ) ( ) 
 (4.1) 
onde Kc é o ganho proporcional do controlador e cs é o sinal de bias do controlador, ou seja, o 
seu sinal de saída quando =0. 
 Um controlador proporcional é descrito pelo valor do seu ganho proporcional Kc ou 
pela sua banda proporcional (BP=100/Kc). Quanto maioro ganho Kc ou, equivalentemente, 
quanto menor a sua banda proporcional, maior a sensibilidade do sinal de atuação c(t) a 
desvios no erro (t). 
 Num controle feedback proporcional pode-se 
 ajustar o ganho do controlador para fazê-lo tão sensível quanto desejado ao erro 
 ajustar o sinal de Kc de forma que a saída do controlador aumente ou diminua quando o 
desvio aumenta 
Exemplo: considere que queremos controlar a temperatura (T) no tanque aquecedor da Figura 
1.2. A variável manipulada é taxa de calor introduzida pela passagem de vapor na serpentina 
(Q). Sabemos que 
 se T aumenta, Q deve baixar 
 se T diminui, Q deve aumentar 
Suponha que Tsp=40 C. 
-Situação 1: A temperatura aumenta: Tm=60C. Logo, c(t)=Kc(40-60)+cs=-20Kc+cs. Assim, se 
Kc > 0, a saída do controlador diminui e se Kc < 0, a saída do controlador aumenta. Queremos 
baixar Q e logo o sinal de Kc deve ser positivo. 
-Situação 2: A temperatura diminui: Tm=20 C. Logo, (t)=Kc(40-20)+cs=20Kc+cs. Assim, se 
Kc > 0, a saída do controlador aumenta e se Kc < 0, a saída do controlador diminui. Queremos 
aumentar Q e logo o sinal de Kc deve ser, novamente, positivo. 
 O bias também pode ser ajustado. Como a saída do controlador é igual a cs quando o 
erro é zero, cs deve ser ajustado de forma que a saída do controlador e, consequentemente, a 
variável manipulada, estejam nos seus valores de estado estacionário. 
 46 
 O controlador proporcional ideal descrito pela eq. (4.1) e mostrado na Figura 4.2a não 
inclui limitações físicas na saída do controlador. Uma representação mais real é mostrada na 
Figura 4.2b. Diz-se que o controlador fica saturado quando a sua saída chega a um limite, cmin 
ou cmax. 
 
 
 
 Figura 4.2a Figura 4.2b 
 Em variáveis desvio temos que a saída do controlador é dada por 
c t K tc
'( ) ( ) 
 (4.2) 
 Note que o erro já é uma variável desvio e que no estado estacionário =0. 
 A função de transferência para o controlador proporcional é dada por: 
Kc
)s(
)s(c
)s(Gc 


 (4.3) 
 Uma desvantagem do controle proporcional é a sua inabilidade em eliminar os erros 
estacionários (off-set) que ocorrem após uma mudança de set point ou após uma perturbação 
sustentada. Logo, normalmente se usam controladores que contenham ação integral. Em 
alguns casos onde off-sets podem ser tolerados, o controlador somente proporcional é atrativo 
devido a sua simplicidade. Por exemplo, em alguns problemas de controle de nível, manter o 
nível do líquido no set point não é importante, desde que o tanque não transborde ou seque. 
4.2.2- Controlador proporcional-integral (PI) 
 Este controlador também é chamado de proporcional+reset. O seu sinal de saída está 
relacionado ao erro pela equação 
 


t
0
s
I
c
c cdt)t(
K
)t(K)t(c
 (4.4) 
 onde I é a constante de tempo integral ou tempo de reset (reajuste). 
Em variáveis desvio: 
 47 



t
0I
c
c
' dt)t(
K
)t(K)t(c
 (4.5) 
 Podemos explicar a origem do termo reset (reajuste). Considere que o erro mude num 
degrau de magnitude . Pela equação 4.4 pode-se ver que no tempo t=0 a saída do controlador 
c'(t) é igual a Kc ( a contribuição do termo integral é zero). Depois de I minutos, a 
contribuição do termo integral é: 






cI
I
c
I
0I
c K
K
dt)t(
K
 (4.6) 
Ou seja, a ação integral "repete" a resposta da ação proporcional. Esta repetição ocorre 
a cada I minutos. Tempo de reset, então, é o tempo necessário para o controlador repetir a 
ação proporcional inicial na saída. 
A ação integral faz com que a saída do controlador c(t) mude enquanto existir um erro 
na saída do processo. Logo, este controlador pode eliminar mesmo pequenos erros. 
 Uma desvantagem da ação de controle integral está relacionada justamente a esta 
característica de que a saída muda enquanto houver erro. Frequentemente os erros não são 
eliminados rapidamente e, passado algum tempo, produzem valores cada vez maiores para o 
termo integral, que por sua vez continua aumentando a ação de controle até a saturação (por 
exemplo, a válvula completamente aberta ou fechada). Esta condição é chamada integral 
windup e ocorre quando um controlador PI ou PID encontra um erro sustentado, como, por 
exemplo, durante a partida de um processo em batelada ou depois de uma grande mudança de 
set point. Pode também ocorrer em consequência de uma grande perturbação de carga 
sustentada que está além da faixa da variável manipulada. Existem controladores comerciais 
que apresentam antireset windup, que retira a ação integral temporariamente sempre que a 
saída do controlador está saturada e depois a retorna. 
 A partir da equação 4.5 pode-se calcular a função de transferência para o controlador 
PI: 












s
1
1K
)s(
)s(c
)s(Gc
I
c
 (4.7) 
obs.: A transformada de Laplace da integral é dada por: 
)s(f
s
1
dt)t(f
t
0









L
 
4.2.3- Controlador proporcional-integral-derivativo (PID) 
 A saída deste controlador é dada por 
 48 
c t K t
K
t dt K
d
dt
cc
c
I
c D s
t
( ) ( ) ( )   

 

0
 (4.8) 
onde D é a constante de tempo derivativa. 
 Com a presença do termo derivativo o controlador PID antecipa qual vai ser o erro no 
futuro imediato e aplica a ação de controle proporcional à taxa atual de mudança do erro. 
Devido a esta propriedade a ação derivativa também é chamada de controle antecipativo. Os 
maiores desafios proporcionados por esta ação de controle são os seguintes 
 para uma resposta com erro diferente de zero mas constante, não há ação de controle, já 
que d/dt=0. 
 para uma resposta com ruído e erro praticamente zero, derivadas grandes podem ser 
calculadas e logo a ação de controle será grande, embora não necessária. 
A função de transferência para o controlador PID é dada por: 










 s
s
1
1K
)s(
)s(c
)s(Gc D
I
c
 (4.9) 
 Como no controlador proporcional, o sinal de Kc também pode ser escolhido para os 
controladores PI e PID. Quando Kc > 0, a saída do controlador c(t) aumenta quando a variável 
medida ym(t) diminui. Neste caso o controlador é de ação reversa. Quando Kc < 0, o 
controlador é de ação direta, já que a saída do controlador aumenta quando a variável medida 
aumenta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49 
5- Comportamento dinâmico de processos com controle feedback 
 
5.1-Diagrama de blocos e a resposta em malha fechada 
 Considere o sistema em malha fechada mostrado na Figura 4.1 b. Para cada um dos 
seus quatro componentes (processo, equipamentos de medida, controlador e elemento final de 
controle) podemos escrever a função de transferência correspondente, relacionando a saída 
com a entrada. Em particular, se desprezarmos a dinâmica das linhas de transmissão, temos: 
 Processo: 
)s(d)s(Gd)s(m)s(Gp)s(y 
 (5.1) 
 Equipamento de medida: 
)s(y)s(Gm)s(ym 
 (5.2) 
 Controlador: 
)s(ym)s(ysp)s( 
 comparador (5.3) 
)s()s(Gc)s(c 
 ação de controle (5.4) 
 Elemento final de controle: 
)s(c)s(Gf)s(m 
 (5.5) 
onde Gp, Gd, Gm, Gc e Gf são as funções de transferência entre as saídas e entradas 
correspondentes. 
 A Figura 5.1 mostra o diagrama de blocos para o sistema de controle em malha 
fechada. 
 
Figura 5.1- Diagrama de blocos de um sistema em malha fechada. 
 50 
 A série de blocos entre o comparador e a saída controlada (Gc, Gf e Gp) constituem o 
caminho "para frente" (forward) e o bloco Gm está no caminho da realimentação